Idées de "beaux" résultats mathématiques

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Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par Ganash le Sam 2 Avr 2016 - 11:27

Bonjour à tous,

Je travaille à améliorer ma frise chronologique des mathématiciens et j'ai notamment le projet d'incorporer un "panorama" de résultats mathématiques (sans considérations de dates) sous la frise.

L'idée est de représenter dans des cadres des résultats ou curiosités mathématiques qui sont esthétiques (jolies figures ou schémas ou belles formules...) ou impressionnants pour donner envie aux élèves d'approfondir ou de se poser des questions.

J'ai commencé quelques cadres relativement classiques :
- théorème de Pythagore (évidemment les miens sont en collège) ;
- cercle trigonométrique ;
- coupure de Dedekind de sqrt(2) (façon wikipedia) ;
- diagramme commutatif ;
- table de Cayley de S3 ;
- somme de Riemann (graphique) ;
- diagramme de Venn ;
- spirale d'or.

Voilà pour le résumé. J'aimerais donc entendre vos suggestions si vous en avez pour enrichir considérablement cela. C'est un peu comme lorsque je cherche un film à regarder, j'ai plein d'idées les jours précédents mais devant mon ordinateur... plus rien !

Bonne journée,

Ganash

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par Balthazaard le Sam 2 Avr 2016 - 12:27

Au niveau des élèves

la courbe de Peano....
la formule D'Euler sur les polyèdres
le triangle de Pascal

Balthazaard
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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par thalina le Sam 2 Avr 2016 - 15:58

Les fractales de Benoît Mandelbrot.

thalina
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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par verdurin le Sam 2 Avr 2016 - 17:26

Un site francophone sur le quel il y a de belles images
mathcurve

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Contre la bêtise, les dieux eux mêmes luttent en vain.
Ni centidieux, ni centimètres.

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par Vincent83 le Sam 2 Avr 2016 - 18:34

Si on peut parler de Pythagore et de sqrt(2)  alors il y a le joli dessin illustrant la preuve de l'irrationnalité de sqrt(2) via descente infinie, cf cet article.

Vincent83
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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par Avatar des Abysses le Mer 13 Avr 2016 - 23:09

Ruban de moebius, bouteille de klein, disque de poincaré, fibration de Hopf parce que c'est joli en couleur ( c'est le topologue algébriste qui parle Smile )

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Il y a 10 catégories de personnes ceux qui connaissent le binaire ... et les autres.
N'écoutez pas les bruits du monde, mais le silence de l'âme. ( JCVD )

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par JPhMM le Mer 13 Avr 2016 - 23:12

L'aire de la couronne et du disque chez Kant.

@JPhMM a écrit:Pour le plaisir de toutes et tous, je vous propose de construire lentement une liste de citations littéraires, philosophiques, etc... qui demandent une explication mathématique.

Puisque nous sommes si nombreux à goûter la beauté des mathématiques d'une part et les textes de Kant d'autre part, je commencerai par une pièce de choix.

De fait, on est surpris et émerveillé à juste raison d'un accord si régulier du divers, selon des lois si fécondes, dans une figure aussi commune, et en apparence si simple. La nature ne présente aucun phénomène prodigieux susceptible, par la beauté et l'ordre qui y règne, de justifier davantage l'étonnement, à moins de penser que ce phénomène est prodigieux du fait qu'on ne peut pas en découvrir la cause, et que l'admiration est fille de l'ignorance.
Le champ dans lequel je cueillis ces merveilles en est si rempli qu'ici même, à la place où nous sommes, sans avoir à faire un pas de plus, s'offrent à nous d'innombrables beautés. Il y a en géométrie des solutions où ce qui semble ne pouvoir être résolu que par de nombreux préparatifs s'offre de soi-même, dans la chose elle-même, sans avoir besoin de recourir à aucun artifice. Chacun trouve ces solutions élégantes, et cela d'autant plus qu'on à moins d'opérations à y accomplir, alors que la solution paraissait devoir être bien plus compliquée. La couronne comprise entre deux cercles concentriques a une forme très différente de celle du cercle, et il paraît à chacun difficile et artificiel de la convertir en cette seconde figure. Mais, aussitôt que je m'aperçois que la tangente du cercle intérieur, prolongée jusqu'à ce qu'elle coupe des deux côtés la circonférence du cercle le plus grand, est le diamètre d'un cercle dont la surface équivaut exactement à celle de la couronne, je ne puis m'empêcher de manifester une certaine admiration pour la manière simple avec laquelle la solution cherchée se présente si facilement dans la nature de la chose même, et sans exiger d'effort de ma part.

Emmanuel Kant, L'unique fondement possible d'une démonstration de l'existence de dieu, IIe partie, Ire considération,
traduction de Sylvain Zac.



Il s'agit donc de démontrer que la couronne bleue a la même aire que le disque vert.
Saurez-vous trouver une solution élégante, de celles qui sont tant appréciées par Kant ?

http://www.neoprofs.org/t44711-ces-citations-qu-il-faut-resoudre#1308136

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Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par JPhMM le Mer 13 Avr 2016 - 23:14

@Vincent83 a écrit:Si on peut parler de Pythagore et de sqrt(2)  alors il y a le joli dessin illustrant la preuve de l'irrationnalité de sqrt(2) via descente infinie, cf cet article.
L'escargot de Pythagore.


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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par William Foster le Mer 13 Avr 2016 - 23:21


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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par Mateo_13 le Jeu 14 Avr 2016 - 14:27

Bonjour,

de belles démonstrations dans un tout petit livre de Burkard Polster : "QED" :
http://www.priceminister.com/offer/buy/67296444/Q-E-D-Beauty-In-Mathematical-Proof-Livre.html

Amicalement,

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www.mathemagique.com : Axiomatique de collège.

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par JPhMM le Jeu 14 Avr 2016 - 14:31


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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par ben2510 le Jeu 14 Avr 2016 - 17:46

Mais on ne voit pas le code, c'est moins drôle.

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par dami1kd le Jeu 14 Avr 2016 - 18:15

@ben2510 a écrit:Mais on ne voit pas le code, c'est moins drôle.

Le code de la cagouille ? Retirez donc #fullscreen de l'url...

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par Filnydar le Jeu 14 Avr 2016 - 18:58

Je connais ce que JPhMM appelle "escargot de Pythagore" sous le nom de "spirale de Théodore de Cyrène".

J'ai proposé à mes élèves il y a quelques années un DS dans lequel on donne une représentation polaire d'une courbe qui passe par tous ses points, inspiré par un sujet posé au concours CCP MP en 1999 qui m'avait intrigué.

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par William Foster le Jeu 14 Avr 2016 - 19:25

@Filnydar a écrit:Je connais ce que JPhMM appelle "escargot de Pythagore" sous le nom de "spirale de Théodore de Cyrène".

J'ai proposé à mes élèves il y a quelques années un DS dans lequel on donne une représentation polaire d'une courbe qui passe par tous ses points, inspiré par un sujet posé au concours CCP MP en 1999 qui m'avait intrigué.
Je crois que tout le monde l'appelle la cagouille de Pythagore parce qu'elle permet d'utiliser le théorème de Pythagore en boucle, pas forcément parce que c'est lui qui l'aurait inventé... Il est donc très possible que ce soit à Théodore de Cyrène qu'on doive la figure... Smile

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par ben2510 le Jeu 14 Avr 2016 - 19:27


Rigolo, le "viens" !
Perso sur le même programme j'utilisais des variables x et y.

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par ben2510 le Jeu 14 Avr 2016 - 19:28

@dami1kd a écrit:
@ben2510 a écrit:Mais on ne voit pas le code, c'est moins drôle.

Le code de la cagouille ? Retirez donc #fullscreen de l'url...

Merci ! C'est ce que j'avais fait mais en mettant #edit à la place...

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par Ganash le Ven 15 Avr 2016 - 12:03

Merci pour vos idées c'est super !

Je réactualise la liste des « curiosités » que j'ai déjà créées :
- théorème de Pythagore ;
- cercle trigonométrique ;
- coupure de Dedekind de sqrt(2) (façon wikipedia) ;
- diagramme commutatif ;
- table de Cayley de S3 ;
- somme de Riemann (graphique) ;
- diagramme de Venn ;
- spirale d'or ;
- somme des inverses des carrés d'entiers (carrés à côté les uns des autres) ;
- heptadécagone à la règle et au compas ;
- intégrale de Dirichlet ;
- aire du dodécagone régulier (A=3R²) ;
- série de Fourier d'un signal carré ;
- bijection de R dans ]a;b[ ;
- triangle de Pascal et formule du binôme ;
- inégalité arithmético-géométrique (schéma pour n=3) ;
- cinq solides de Platon ;
- nombre dérivé et tangente ;
- construction de racine(n) à la règle et au compas ;
- espace vectoriel ;
- aire couronne et disque ;
- escargot de Pythagore (nom à changer potentiellement...).

Il y en a d'autres qui m'intéressent mais que je ne peux pas coder en LaTeX : courbe de Peano, fractale, ruban de Mobius, bouteille de Klein, fibration de Hopf, noeuds etc...
Si vous connaissez des logiciels sympas et gratuits pour réaliser ces figures, je vous écoute Very Happy Je préfère évidemment créer moi-même les images pour qu'elles soient conformes à mes attentes et, bien entendu, libres de droit...

Vincent 83 : sympa la preuve de l'irrationalité de racine(2) par descente infinie mais je ne sais pas si ce sera très parlant sans un minimum d'explications. Je la garde sous le coude.

Merci encore,

Ganash

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par Ganash le Ven 15 Avr 2016 - 12:07

Et pour Mateo_13 je ne connaissais pas ce livre, je vais me renseigner. Il semble s'inscrire dans la catégorie des "proofs without words" dont on m'a déjà parlées. Elles sont très intéressantes et esthétiques, utilisées notamment en arithmétique et combinatoire.

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par ben2510 le Ven 15 Avr 2016 - 12:16

Tu as aussi un puzzle cubique me semble-t-il qui permet de prouver que (1+2+3+...+n)²=1^3+2^3+3^3+...+n^3 ("la somme des cubes est le carré de la somme")

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par William Foster le Ven 15 Avr 2016 - 14:06

Un truc qui peut être aussi intéressant, c'est l'utilisation de l'origami pour construire des nombres non-constructibles à la règle et au compas (racine cubique de 2, trisection de l'angle, etc.). Un lien pour ceux qui veulent regarder : https://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques_des_origamis

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par JPhMM le Ven 15 Avr 2016 - 14:24

+1

Nous avions parlé de la trisection de l'angle par origami, quelque part dans le forum.

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par William Foster le Ven 15 Avr 2016 - 15:08

@JPhMM a écrit:+1

Nous avions parlé de la trisection de l'angle par origami, quelque part dans le forum.
Ah oui mais je ne suis pas si vieux que toi Embarassed

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par Mateo_13 le Ven 15 Avr 2016 - 16:53

Salut Ganash,

@Ganash a écrit:Et pour Mateo_13 je ne connaissais pas ce livre, je vais me renseigner. Il semble s'inscrire dans la catégorie des "proofs without words" dont on m'a déjà parlées. Elles sont très intéressantes et esthétiques, utilisées notamment en arithmétique et combinatoire.


Le sommaire du livre "QED, beauty in mathematical proof" de Burkard Polster est le suivant :

Treacherous proof
Pythagoras' theorem
Plane and simple
From Pie to Pi
Cavalieri's principle
Cavalier Cone Carving
A Frustrating Frustum
Archimedes' theorem
Inside out
Mathematical Dominoes
The Infinite Staircase
Circling the Cycloid
Slicing Cones
Folding conics
Knoting Polygons
Cutting Squares
Power Sums
Neverending Primes
The Nature of Numbers
The Golden Ratio
The Numbers of Nature
Euler's Formula
Possible Impossibilities
Appendix I : One Theorem, Many Proofs
Appendix II : All for One and One For All
Appendix III : Looks can be Deceiving
Appendix IV : Triangles of Generality
Appendix V : Polytopes of Analogy

http://www.priceminister.com/offer/buy/67296444/Q-E-D-Beauty-In-Mathematical-Proof-Livre.html

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Re: Idées de "beaux" résultats mathématiques

Message par verdurin le Ven 15 Avr 2016 - 19:19

Juste une idée : le découpage de Dudeney, d'un carré  faire un triangle équilatéral.

Pour avoir de belles images de figures 3D, il y a pov-ray

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