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Ganash
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Idées de "beaux" résultats mathématiques Empty Idées de "beaux" résultats mathématiques

par Ganash Sam 2 Avr 2016 - 11:27
Bonjour à tous,

Je travaille à améliorer ma frise chronologique des mathématiciens et j'ai notamment le projet d'incorporer un "panorama" de résultats mathématiques (sans considérations de dates) sous la frise.

L'idée est de représenter dans des cadres des résultats ou curiosités mathématiques qui sont esthétiques (jolies figures ou schémas ou belles formules...) ou impressionnants pour donner envie aux élèves d'approfondir ou de se poser des questions.

J'ai commencé quelques cadres relativement classiques :
- théorème de Pythagore (évidemment les miens sont en collège) ;
- cercle trigonométrique ;
- coupure de Dedekind de sqrt(2) (façon wikipedia) ;
- diagramme commutatif ;
- table de Cayley de S3 ;
- somme de Riemann (graphique) ;
- diagramme de Venn ;
- spirale d'or.

Voilà pour le résumé. J'aimerais donc entendre vos suggestions si vous en avez pour enrichir considérablement cela. C'est un peu comme lorsque je cherche un film à regarder, j'ai plein d'idées les jours précédents mais devant mon ordinateur... plus rien !

Bonne journée,

Ganash

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Balthazaard
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par Balthazaard Sam 2 Avr 2016 - 12:27
Au niveau des élèves

la courbe de Peano....
la formule D'Euler sur les polyèdres
le triangle de Pascal
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thalina
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par thalina Sam 2 Avr 2016 - 15:58
Les fractales de Benoît Mandelbrot.
verdurin
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par verdurin Sam 2 Avr 2016 - 17:26
Un site francophone sur le quel il y a de belles images
mathcurve

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Contre la bêtise, les dieux eux mêmes luttent en vain.
Ni centidieux, ni centimètres.
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Vincent83
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par Vincent83 Sam 2 Avr 2016 - 18:34
Si on peut parler de Pythagore et de sqrt(2)  alors il y a le joli dessin illustrant la preuve de l'irrationnalité de sqrt(2) via descente infinie, cf cet article.
Avatar des Abysses
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par Avatar des Abysses Mer 13 Avr 2016 - 23:09
Ruban de moebius, bouteille de klein, disque de poincaré, fibration de Hopf parce que c'est joli en couleur ( c'est le topologue algébriste qui parle Smile )

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Il y a 10 catégories de personnes ceux qui connaissent le binaire, ceux qui connaissent le ternaire... et les autres.
N'écoutez pas les bruits du monde, mais le silence de l'âme. ( JCVD  )
"if you think education is expensive, try ignorance", Abraham Lincoln
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Au 01/01/2023 :  2,2 SMIC = 2976,75 euros NET...
Au 01/05/2023 :  2,2 SMIC = 3036,24 euros NET...
JPhMM
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par JPhMM Mer 13 Avr 2016 - 23:12
L'aire de la couronne et du disque chez Kant.

JPhMM a écrit:Pour le plaisir de toutes et tous, je vous propose de construire lentement une liste de citations littéraires, philosophiques, etc... qui demandent une explication mathématique.

Puisque nous sommes si nombreux à goûter la beauté des mathématiques d'une part et les textes de Kant d'autre part, je commencerai par une pièce de choix.

De fait, on est surpris et émerveillé à juste raison d'un accord si régulier du divers, selon des lois si fécondes, dans une figure aussi commune, et en apparence si simple. La nature ne présente aucun phénomène prodigieux susceptible, par la beauté et l'ordre qui y règne, de justifier davantage l'étonnement, à moins de penser que ce phénomène est prodigieux du fait qu'on ne peut pas en découvrir la cause, et que l'admiration est fille de l'ignorance.
Le champ dans lequel je cueillis ces merveilles en est si rempli qu'ici même, à la place où nous sommes, sans avoir à faire un pas de plus, s'offrent à nous d'innombrables beautés. Il y a en géométrie des solutions où ce qui semble ne pouvoir être résolu que par de nombreux préparatifs s'offre de soi-même, dans la chose elle-même, sans avoir besoin de recourir à aucun artifice. Chacun trouve ces solutions élégantes, et cela d'autant plus qu'on à moins d'opérations à y accomplir, alors que la solution paraissait devoir être bien plus compliquée. La couronne comprise entre deux cercles concentriques a une forme très différente de celle du cercle, et il paraît à chacun difficile et artificiel de la convertir en cette seconde figure. Mais, aussitôt que je m'aperçois que la tangente du cercle intérieur, prolongée jusqu'à ce qu'elle coupe des deux côtés la circonférence du cercle le plus grand, est le diamètre d'un cercle dont la surface équivaut exactement à celle de la couronne, je ne puis m'empêcher de manifester une certaine admiration pour la manière simple avec laquelle la solution cherchée se présente si facilement dans la nature de la chose même, et sans exiger d'effort de ma part.

Emmanuel Kant, L'unique fondement possible d'une démonstration de l'existence de dieu, IIe partie, Ire considération,
traduction de Sylvain Zac.

Idées de "beaux" résultats mathématiques Sans_t27

Il s'agit donc de démontrer que la couronne bleue a la même aire que le disque vert.
Saurez-vous trouver une solution élégante, de celles qui sont tant appréciées par Kant ?

https://www.neoprofs.org/t44711-ces-citations-qu-il-faut-resoudre#1308136

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Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. — John Locke

Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
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par JPhMM Mer 13 Avr 2016 - 23:14
Vincent83 a écrit:Si on peut parler de Pythagore et de sqrt(2)  alors il y a le joli dessin illustrant la preuve de l'irrationnalité de sqrt(2) via descente infinie, cf cet article.
L'escargot de Pythagore.

Idées de "beaux" résultats mathématiques Escarg10

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William Foster
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par William Foster Mer 13 Avr 2016 - 23:21
Vive la cagouille à Pythagore ! Very Happy

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Tout le monde me dit que je ne peux pas faire l'unanimité.
"Opinions are like orgasms : mine matters most and I really don't care if you have one." Sylvia Plath
Vérificateur de miroir est un métier que je me verrais bien faire, un jour.
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Mateo_13
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par Mateo_13 Jeu 14 Avr 2016 - 14:27
v


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JPhMM
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par JPhMM Jeu 14 Avr 2016 - 14:31
William Foster a écrit:Vive la cagouille à Pythagore ! Very Happy
Joli. Very Happy

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ben2510
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par ben2510 Jeu 14 Avr 2016 - 17:46
Mais on ne voit pas le code, c'est moins drôle.

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On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré  La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold
dami1kd
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par dami1kd Jeu 14 Avr 2016 - 18:15
ben2510 a écrit:Mais on ne voit pas le code, c'est moins drôle.

Le code de la cagouille ? Retirez donc #fullscreen de l'url...
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Filnydar
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par Filnydar Jeu 14 Avr 2016 - 18:58
Je connais ce que JPhMM appelle "escargot de Pythagore" sous le nom de "spirale de Théodore de Cyrène".

J'ai proposé à mes élèves il y a quelques années un DS dans lequel on donne une représentation polaire d'une courbe qui passe par tous ses points, inspiré par un sujet posé au concours CCP MP en 1999 qui m'avait intrigué.
William Foster
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par William Foster Jeu 14 Avr 2016 - 19:25
Filnydar a écrit:Je connais ce que JPhMM appelle "escargot de Pythagore" sous le nom de "spirale de Théodore de Cyrène".

J'ai proposé à mes élèves il y a quelques années un DS dans lequel on donne une représentation polaire d'une courbe qui passe par tous ses points, inspiré par un sujet posé au concours CCP MP en 1999 qui m'avait intrigué.
Je crois que tout le monde l'appelle la cagouille de Pythagore parce qu'elle permet d'utiliser le théorème de Pythagore en boucle, pas forcément parce que c'est lui qui l'aurait inventé... Il est donc très possible que ce soit à Théodore de Cyrène qu'on doive la figure... Smile

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ben2510
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par ben2510 Jeu 14 Avr 2016 - 19:27
William Foster a écrit:Vive la cagouille à Pythagore ! Very Happy

Rigolo, le "viens" !
Perso sur le même programme j'utilisais des variables x et y.

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par ben2510 Jeu 14 Avr 2016 - 19:28
dami1kd a écrit:
ben2510 a écrit:Mais on ne voit pas le code, c'est moins drôle.

Le code de la cagouille ? Retirez donc #fullscreen de l'url...

Merci ! C'est ce que j'avais fait mais en mettant #edit à la place...

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Ganash
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par Ganash Ven 15 Avr 2016 - 12:03
Merci pour vos idées c'est super !

Je réactualise la liste des « curiosités » que j'ai déjà créées :
- théorème de Pythagore ;
- cercle trigonométrique ;
- coupure de Dedekind de sqrt(2) (façon wikipedia) ;
- diagramme commutatif ;
- table de Cayley de S3 ;
- somme de Riemann (graphique) ;
- diagramme de Venn ;
- spirale d'or ;
- somme des inverses des carrés d'entiers (carrés à côté les uns des autres) ;
- heptadécagone à la règle et au compas ;
- intégrale de Dirichlet ;
- aire du dodécagone régulier (A=3R²) ;
- série de Fourier d'un signal carré ;
- bijection de R dans ]a;b[ ;
- triangle de Pascal et formule du binôme ;
- inégalité arithmético-géométrique (schéma pour n=3) ;
- cinq solides de Platon ;
- nombre dérivé et tangente ;
- construction de racine(n) à la règle et au compas ;
- espace vectoriel ;
- aire couronne et disque ;
- escargot de Pythagore (nom à changer potentiellement...).

Il y en a d'autres qui m'intéressent mais que je ne peux pas coder en LaTeX : courbe de Peano, fractale, ruban de Mobius, bouteille de Klein, fibration de Hopf, noeuds etc...
Si vous connaissez des logiciels sympas et gratuits pour réaliser ces figures, je vous écoute Very Happy Je préfère évidemment créer moi-même les images pour qu'elles soient conformes à mes attentes et, bien entendu, libres de droit...

Vincent 83 : sympa la preuve de l'irrationalité de racine(2) par descente infinie mais je ne sais pas si ce sera très parlant sans un minimum d'explications. Je la garde sous le coude.

Merci encore,

Ganash

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Ganash
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par Ganash Ven 15 Avr 2016 - 12:07
Et pour Mateo_13 je ne connaissais pas ce livre, je vais me renseigner. Il semble s'inscrire dans la catégorie des "proofs without words" dont on m'a déjà parlées. Elles sont très intéressantes et esthétiques, utilisées notamment en arithmétique et combinatoire.

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par ben2510 Ven 15 Avr 2016 - 12:16
Tu as aussi un puzzle cubique me semble-t-il qui permet de prouver que (1+2+3+...+n)²=1^3+2^3+3^3+...+n^3 ("la somme des cubes est le carré de la somme")

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par William Foster Ven 15 Avr 2016 - 14:06
Un truc qui peut être aussi intéressant, c'est l'utilisation de l'origami pour construire des nombres non-constructibles à la règle et au compas (racine cubique de 2, trisection de l'angle, etc.). Un lien pour ceux qui veulent regarder : https://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques_des_origamis

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par JPhMM Ven 15 Avr 2016 - 14:24
+1

Nous avions parlé de la trisection de l'angle par origami, quelque part dans le forum.

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William Foster
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par William Foster Ven 15 Avr 2016 - 15:08
JPhMM a écrit:+1

Nous avions parlé de la trisection de l'angle par origami, quelque part dans le forum.
Ah oui mais je ne suis pas si vieux que toi Embarassed

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Mateo_13
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par Mateo_13 Ven 15 Avr 2016 - 16:53
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verdurin
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par verdurin Ven 15 Avr 2016 - 19:19
Juste une idée : le découpage de Dudeney, d'un carré  faire un triangle équilatéral.

Pour avoir de belles images de figures 3D, il y a pov-ray

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