Je fais des maths pour le plaisir

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par MarieF le Sam 21 Mai 2016 - 11:53

Je pense que l'ensemble des entiers naturels muni de la loi de composition interne + n'est pas un groupe car les entiers n n'ont pas de symétrique dans N. Je crois que (N,+) s'appelle un magma où il y a seulement l'associativité et la commutativité. Pour simplifier, je pense qu'il est incontournable de recourir à l'ensemble des entiers relatifs pour avoir la propriété d'un groupe abélien.(je ne suis que professeur de physique, j'ai rouvert mes Ramis) Very Happy

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par ycombe le Sam 21 Mai 2016 - 12:00

N est défini par l'axiomatique de Peano. Si deux éléments ont le même successeur ils sont égaux, donc les prédecesseurs de a+n et b+n sont égaux. Tu réitères n fois ce raisonnement et tu arrives à a=b, donc à la simplification de n.

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par MarieF le Sam 21 Mai 2016 - 12:06

Merci Ycombe cheers

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par Laverdure le Sam 21 Mai 2016 - 12:07

@MarieF a écrit:Je pense que l'ensemble des entiers naturels muni de la loi de composition interne + n'est pas un groupe car les entiers n n'ont pas de symétrique dans N. Je crois que (N,+) s'appelle un magma où il y a seulement l'associativité et la commutativité. Pour simplifier, je pense qu'il est incontournable de recourir à l'ensemble des entiers relatifs pour avoir la propriété d'un groupe abélien.(je ne suis que professeur de physique, j'ai rouvert mes Ramis) Very Happy

@ycombe a écrit:N est défini par l'axiomatique de Peano. Si deux éléments ont le même successeur ils sont égaux, donc les prédecesseurs de a+n et b+n sont égaux. Tu réitères n fois ce raisonnement et tu arrives à a=b, donc à la simplification de n.

Merci pour vos réponses mais à ce stade du livre que j'utilise, les notions de corps, de groupe ou l'axiomatique de Peano, ne sont pas encore définies. Mais je comprend le raisonnement, ycombe, merci Smile

MarieF, le livre que j'utilise a été écrit sous la direction de Ramis et Warusfel topela

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par verdurin le Sam 21 Mai 2016 - 16:39

Pour montrer que tous les entiers naturels sont réguliers (simplifiables), une récurrence me semble la meilleure méthode.
D'autant que la définition de l'addition est souvent donné par une formule récursive.

Une esquisse en utilisant S pour la fonction successeur et
1)  m+0=m
2)  m+S(n)=S(m+n)
comme définition de l'addition.

Soit n un entier naturel. On note R(n) la propriété :
  quelques soient les entiers naturels a et b (a+n=b+n) implique (a=b)

R(0) est vraie, ce qu'il faut quand même justifier.

Si R(n) est vraie alors a+S(n)=b+S(n) est équivalent par définition à S(a+n)=S(b+n) et la fonction S est injective par définition...

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par Laverdure le Sam 21 Mai 2016 - 17:40

@verdurin a écrit:Pour montrer que tous les entiers naturels sont réguliers (simplifiables), une récurrence me semble la meilleure méthode.
D'autant que la définition de l'addition est souvent donné par une formule récursive.

Une esquisse en utilisant S pour la fonction successeur et
1)  m+0=m
2)  m+S(n)=S(m+n)
comme définition de l'addition.

Soit n un entier naturel. On note R(n) la propriété :
  quelques soient les entiers naturels a et b (a+n=b+n) implique (a=b)

R(0) est vraie, ce qu'il faut quand même justifier.

Si R(n) est vraie alors a+S(n)=b+S(n) est équivalent par définition à S(a+n)=S(b+n) et la fonction S est injective par définition...

J'ai regardé ce que c'était que la fonction successeur, je ne suis pas sûr de comprendre et en notamment l'exemple donné pour le successeur de 0 : 0 U {0} = {0} (ça, je comprend parce qu'on identifie 0 à l'ensemble vide) mais après, d'après la méthode de Von Neumann, on a {0} = 1 et là, je comprend plus... heu

EDIT : mais je le verrai sans doute plus loin dans le livre Smile

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par verdurin le Sam 21 Mai 2016 - 18:11

Disons que l'on ne peut rien démontrer sur les entiers sans avoir une définition des entiers.

Fondamentalement la fonction successeur fait passer d'un entier au suivant.
Une fois que l'on a défini l'addition S(n)=n+1.

Sinon un extrait de l'article nombre ordinal de wikipedia :

   0 = {}
   1 = {0} = { {} }
   2 = {0,1} = { {}, { {} } }
   3 = {0,1,2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}
   4 = {0,1,2,3} = { {}, { {} }, { {}, { {} } }, {{}, { {} }, { {}, { {} } }} }
avec, en rouge, les accolades qui permettent de vérifier que 4 a bien quatre éléments.

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