Je fais des maths pour le plaisir

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par MarieF le Sam 21 Mai 2016 - 11:53

Je pense que l'ensemble des entiers naturels muni de la loi de composition interne + n'est pas un groupe car les entiers n n'ont pas de symétrique dans N. Je crois que (N,+) s'appelle un magma où il y a seulement l'associativité et la commutativité. Pour simplifier, je pense qu'il est incontournable de recourir à l'ensemble des entiers relatifs pour avoir la propriété d'un groupe abélien.(je ne suis que professeur de physique, j'ai rouvert mes Ramis) Very Happy

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par ycombe le Sam 21 Mai 2016 - 12:00

N est défini par l'axiomatique de Peano. Si deux éléments ont le même successeur ils sont égaux, donc les prédecesseurs de a+n et b+n sont égaux. Tu réitères n fois ce raisonnement et tu arrives à a=b, donc à la simplification de n.

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par MarieF le Sam 21 Mai 2016 - 12:06

Merci Ycombe cheers

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par Laverdure le Sam 21 Mai 2016 - 12:07

@MarieF a écrit:Je pense que l'ensemble des entiers naturels muni de la loi de composition interne + n'est pas un groupe car les entiers n n'ont pas de symétrique dans N. Je crois que (N,+) s'appelle un magma où il y a seulement l'associativité et la commutativité. Pour simplifier, je pense qu'il est incontournable de recourir à l'ensemble des entiers relatifs pour avoir la propriété d'un groupe abélien.(je ne suis que professeur de physique, j'ai rouvert mes Ramis) Very Happy

@ycombe a écrit:N est défini par l'axiomatique de Peano. Si deux éléments ont le même successeur ils sont égaux, donc les prédecesseurs de a+n et b+n sont égaux. Tu réitères n fois ce raisonnement et tu arrives à a=b, donc à la simplification de n.

Merci pour vos réponses mais à ce stade du livre que j'utilise, les notions de corps, de groupe ou l'axiomatique de Peano, ne sont pas encore définies. Mais je comprend le raisonnement, ycombe, merci Smile

MarieF, le livre que j'utilise a été écrit sous la direction de Ramis et Warusfel topela

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par verdurin le Sam 21 Mai 2016 - 16:39

Pour montrer que tous les entiers naturels sont réguliers (simplifiables), une récurrence me semble la meilleure méthode.
D'autant que la définition de l'addition est souvent donné par une formule récursive.

Une esquisse en utilisant S pour la fonction successeur et
1)  m+0=m
2)  m+S(n)=S(m+n)
comme définition de l'addition.

Soit n un entier naturel. On note R(n) la propriété :
  quelques soient les entiers naturels a et b (a+n=b+n) implique (a=b)

R(0) est vraie, ce qu'il faut quand même justifier.

Si R(n) est vraie alors a+S(n)=b+S(n) est équivalent par définition à S(a+n)=S(b+n) et la fonction S est injective par définition...

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par Laverdure le Sam 21 Mai 2016 - 17:40

@verdurin a écrit:Pour montrer que tous les entiers naturels sont réguliers (simplifiables), une récurrence me semble la meilleure méthode.
D'autant que la définition de l'addition est souvent donné par une formule récursive.

Une esquisse en utilisant S pour la fonction successeur et
1)  m+0=m
2)  m+S(n)=S(m+n)
comme définition de l'addition.

Soit n un entier naturel. On note R(n) la propriété :
  quelques soient les entiers naturels a et b (a+n=b+n) implique (a=b)

R(0) est vraie, ce qu'il faut quand même justifier.

Si R(n) est vraie alors a+S(n)=b+S(n) est équivalent par définition à S(a+n)=S(b+n) et la fonction S est injective par définition...

J'ai regardé ce que c'était que la fonction successeur, je ne suis pas sûr de comprendre et en notamment l'exemple donné pour le successeur de 0 : 0 U {0} = {0} (ça, je comprend parce qu'on identifie 0 à l'ensemble vide) mais après, d'après la méthode de Von Neumann, on a {0} = 1 et là, je comprend plus... heu

EDIT : mais je le verrai sans doute plus loin dans le livre Smile

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par verdurin le Sam 21 Mai 2016 - 18:11

Disons que l'on ne peut rien démontrer sur les entiers sans avoir une définition des entiers.

Fondamentalement la fonction successeur fait passer d'un entier au suivant.
Une fois que l'on a défini l'addition S(n)=n+1.

Sinon un extrait de l'article nombre ordinal de wikipedia :

   0 = {}
   1 = {0} = { {} }
   2 = {0,1} = { {}, { {} } }
   3 = {0,1,2} = {{}, { {} }, { {}, { {} } }}
   4 = {0,1,2,3} = { {}, { {} }, { {}, { {} } }, {{}, { {} }, { {}, { {} } }} }
avec, en rouge, les accolades qui permettent de vérifier que 4 a bien quatre éléments.

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par Sulfolobus le Mer 3 Mai 2017 - 11:04

J'ai un petit problème mathématique que je n'arrive pas à résoudre.

Voici la situation :

J'ai une solution dans laquelle se trouve en suspension homogène des particules (invisibles) à une concentration connue. J'aliquote une centaine de fois un petit volume d'une telle solution de telle sorte à obtenir en espérance 300, 30 ou 3 particules par aliquot. Comme la concentration de mes particules est faible, il est possible que certains de mes aliquots ne contiennent aucune particule. Je cherche à calculer la fréquence de ces aliquots ne contenant aucune particule.

Tout le monde me dit que de manière évidente il suffit d'appliquer une loi de Poisson. C'est tellement évident que pour moi ça me parait mystérieux mais personne ne peut m'expliquer de manière convaincante pourquoi la loi de Poisson est la bonne loi à appliquer. Est-ce que quelqu'un saurait me l'expliquer ?
(Appliquer la loi de Poisson ne me pose pas de problème en soit, j'aimerais juste comprendre pourquoi c'est la bonne chose à faire).
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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par archeboc le Mer 3 Mai 2017 - 12:45

@Sulfolobus a écrit:(Appliquer la loi de Poisson ne me pose pas de problème en soit, j'aimerais juste comprendre pourquoi c'est la bonne chose à faire).

Je suis dans le cas inverse : je ne saurais pas appliquer la loi de poisson, mais je devine pourquoi il faut l'appliquer.

Prenons une loi binomiale : je cherche à calculer la probabilité de k succès si je fais n tirages indépendants, avec p la probabilité d'un tirage. Je considère la répartition des probabilité selon k : cette probabilité suit une loi binomiale.

Mes théorèmes me disent que si je fais tendre n vers l'infini, à p constant, ma loi binomiale va tendre vers une loi normale, mais surtout que si je fais tendre n vers l'infini avec np constant, alors la loi binomiale tend vers une loi de poisson.

C'est bien le cas qui s'applique ici : je modélise mon phénomène comme la sélection d'un très grand nombre de particule (n tend vers l'infini) de telle sorte que l'espérance np=3 (ou 30, ou 300). Je suis donc bien dans le cadre de la loi de poisson.



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« [..] tout avait sombré dans un tel bourbier d'incompétences qu'au lieu de choisir celui qui était le plus digne d'être élu, on avait tendance à chercher celui qui était simplement le moins pire, le moins stupidement inepte, le moins dramatiquement incapable, et on votait pour lui. La médiocrité était devenu un mérite, et l'incompétence la règle. » ---- Silvana de Mari, auteur européen du XXIe siècle.
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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par Sulfolobus le Mer 3 Mai 2017 - 14:13

idee Merci ! Là ça me parait clair !
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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par archeboc le Mer 3 Mai 2017 - 16:05

@Sulfolobus a écrit:idee Merci ! Là ça me parait clair !

Oui, mais maintenant, c'est ton tour : tu fais comment pour appliquer la loi de poisson ?
Tu en déduis quoi ?

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par ben2510 le Mer 3 Mai 2017 - 17:37

Si tu supposes que le nombre Y de schprountz dans un kuduk suit la loi de Poisson (c'est Monsieur Poisson, merci de mettre une majuscule) de paramètre lambda=3, alors la probabilité qu'un kuduk ne contienne aucun schprountz est P(Y=0)=lambda^0 *exp(-lambda) / factorielle(0) ce qui fait de l'ordre de 0,05.
Ce qui revient, en changeant légèrement de point de vue, à affirmer que 5% des kuduks ne contiennent aucun schprountz.

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par Sulfolobus le Mer 3 Mai 2017 - 18:17

Il faut rajouter à la réponse de Ben que l'Espérance de la loi de Poisson est égale à son paramètre lambda. Comme je connais l'espérance, je connais lambda et comme je connais lambda, je déduis p(Y=0).

Une fois que j'ai estimé p(Y=0), je peux estimer mon nombre d'aliquots qui ne contient aucun schprountz. cheers
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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par wanax le Mer 3 Mai 2017 - 18:19

@ben2510 a écrit:Si tu supposes que le nombre Y de schprountz dans un kuduk suit la loi de Poisson (c'est Monsieur Poisson, merci de mettre une majuscule) de paramètre lambda=3, alors la probabilité qu'un kuduk ne contienne aucun schprountz est P(Y=0)=lambda^0 *exp(-lambda) / factorielle(0) ce qui fait de l'ordre de 0,05.
Ce qui revient, en changeant légèrement de point de vue, à affirmer que 5% des kuduks ne contiennent aucun schprountz.
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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par ben2510 le Mer 3 Mai 2017 - 23:08

En fait j'y vais très rarement.

Mais c'est le fait d'avoir eu des collégiens pendant des années.

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Re: Je fais des maths pour le plaisir

Message par Fibonacci le Dim 7 Mai 2017 - 0:41


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