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MesonMixing
Niveau 10

Re: Je fais des maths pour le plaisir

par MesonMixing le Mer 7 Mar - 19:15
Je ne sais pas justifier mais...  :

Moi je dirais :
u0 = 1
u1 = 2
u2 = u1 + u0 = 2 + 1 = 3
u3 = u2 + u1 = 3 + 2 = 5
u4 = u3 + u2 = 5 + 3 = 8
u5 = u4 + u3 = 8 + 5 = 13
Donc u_{n+2} = u_{n+1} + u_{n}
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JPhMM
Demi-dieu

Re: Je fais des maths pour le plaisir

par JPhMM le Mer 7 Mar - 19:42
Oui MesonMixing, et Mathador en donne une preuve. Very Happy

La première suite de nombres :

@JPhMM a écrit:1 = 1 (1 décomposition)
2 = 1 + 1 (1 décomposition)
3 = 3 = 1 + 1 + 1 (2 décompositions)
4 = 3 + 1 = 1 + 3 = 1 + 1 + 1 + 1 (3 décompositions)
5 = 5 = 3 + 1 + 1 = 1 + 3 + 1 = 1 + 1 + 3 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (5 décompositions)
etc.
est aussi la suite de Fibonacci. Reste à le démontrer, bien sûr. Razz

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
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Mathador
Habitué du forum

Re: Je fais des maths pour le plaisir

par Mathador le Mer 7 Mar - 20:55
@JPhMM a écrit:Oui MesonMixing, et Mathador en donne une preuve. Very Happy

La première suite de nombres :

@JPhMM a écrit:1 = 1 (1 décomposition)
2 = 1 + 1 (1 décomposition)
3 = 3 = 1 + 1 + 1 (2 décompositions)
4 = 3 + 1 = 1 + 3 = 1 + 1 + 1 + 1 (3 décompositions)
5 = 5 = 3 + 1 + 1 = 1 + 3 + 1 = 1 + 1 + 3 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 (5 décompositions)
etc.
est aussi la suite de Fibonacci. Reste à le démontrer, bien sûr. Razz

Fait (avec des séries génératrices, la flemme de traduire).
Solution:

On note u(n) le nombre de décompositions de n, et on prolonge avec u(0) = 0 (ça simplifie la récurrence).
Alors si n>=1, soit le dernier terme est un 1 (et on a alors u(n-1) possibilités, y compris si le reste à partager est 0, car il y a 1 possibilité et on a bien 1 comme seule décomposition),
soit c'est un 3 (et il y a alors u(n-3) possibilités), soit c'est un 5, etc. avec tous les entiers positifs impairs <= n.
On a alors étudiés tous les cas (y compris 1=1, 3=3, 5=5, etc.) et on a obtenu u(n) = sigma (0<=k<=n, k impair) u(k).
On pose alors f(z) = sigma (n dans N) u(n)z^n (ce qu'on appelle la série génératrice de u(n)).
La relation de récurrence donne alors (en séparant le cas de u(0) qui vaut 1): f(z) = 1 + (z+z^3+z^5+…) f(z)
ou autrement dit (en séries formelles, ou si on veut des vraies fonctions, si |z|<1 après avoir prouvé une majoration par récurrence)
f(z) = 1 + zf(z)/(1-z^2).
On résout l'équation d'inconnue f(z), ce qui donne f(z) = (1-z^2)/(1-z-z^2).
On a donc (1-z-z^2) f(z) = 1-z^2.
Si on traduit avec u(n), on a pour n>=3 u(n)-u(n-1)-u(n-2) = 0 (car 1-z^2 n'a pas de coefficient en z^n) CQFD.
Ça change du collège Smile

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« Que dites-vous ?… C’est inutile ?… Je le sais !
Mais on ne se bat pas dans l’espoir du succès !
Non ! non, c’est bien plus beau lorsque c’est inutile ! » (Cyrano de Bergerac)
« Un mathématicien est une machine à transformer le café en théorème. » (Alfréd Rényi)
« C'est l'équation, l'ax+b qui fait tilt » (Mylène Farmer)
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JPhMM
Demi-dieu

Re: Je fais des maths pour le plaisir

par JPhMM le Mer 7 Mar - 21:47
Joli. Very Happy

Oui, ça change des mathématiques de collège.
Même je suis en train de me demander si je ne peux pas faire un petit DM à partir de la version Légos...

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Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
archeboc
Sage

Re: Je fais des maths pour le plaisir

par archeboc le Mer 7 Mar - 22:34
Actuellement, j'essaye de mettre 601 disque de rayon 1 dans un rectangle de côté de côtés 4x600 sans chevauchement entre les disques évidemment. Je tiens le bon bout.

J'essaye aussi de résoudre : soit P, un point extérieur à un cercle C, A et B les points de tangence des deux tangentes au cercle passant par P. Soit P' tel que A soit le milieu de [PP'], et soit K un point sur la droite (AB) et soit T le second point d'intersection entre le cercle C et celui qui passe par B, P et K. Montrez alors que les angles AKP' et PKT sont égaux (en angle de droite, donc à Pi près). Là, je suis vraiment à la ramasse. Tout ce que je réussis à faire, c'est le dessin sous geogebra.

Si vous trouvez, ne dites rien : laissez-moi chercher encore une semaine.
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JPhMM
Demi-dieu

Re: Je fais des maths pour le plaisir

par JPhMM le Jeu 8 Mar - 9:07
@archeboc a écrit:Actuellement, j'essaye de mettre 601 disque de rayon 1 dans un rectangle de côté de côtés 4x600 sans chevauchement entre les disques évidemment. Je tiens le bon bout.
Sympathique petit problème. Very Happy

Piste:

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Mathador
Habitué du forum

Re: Je fais des maths pour le plaisir

par Mathador le Dim 11 Mar - 12:39
@archeboc a écrit:J'essaye aussi de résoudre : soit P, un point extérieur à un cercle C, A et B les points de tangence des deux tangentes au cercle passant par P. Soit P' tel que A soit le milieu de [PP'], et soit K un point sur la droite (AB) et soit T le second point d'intersection entre le cercle C et celui qui passe par B, P et K. Montrez alors que les angles AKP' et PKT sont égaux (en angle de droite, donc à Pi près). Là, je suis vraiment à la ramasse. Tout ce que je réussis à faire, c'est le dessin sous geogebra.

Si vous trouvez, ne dites rien : laissez-moi chercher encore une semaine.

J'ai dépassé les programmes du secondaire en essayant de le résoudre.
Suite à la demande d'@archeboc, je ne donne que les grandes lignes de ce que j'ai trouvé.
Solution partielle:
J'ai trouvé l'équivalence de l'égalité des angles avec un parallélisme de droites, puis ensuite avec un alignement de points sur une nouvelle figure qui est reliée à celle d'origine. Grâce à un tracé sur GeoGebra de la nouvelle figure, cet alignement s'avère être un point qui est l'isobarycentre des deux autres. Je cherche maintenant à démontrer cette nouvelle propriété plus forte.
(edit: non, je n'ai pas encore trouvé; mais je pense que je pourrais bourriner ce qu'il me reste à démontrer à grand coups de calculs algébriques)


Dernière édition par Mathador le Dim 11 Mar - 13:22, édité 1 fois

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JPhMM
Demi-dieu

Re: Je fais des maths pour le plaisir

par JPhMM le Dim 11 Mar - 13:07
J'ai essayé par la puissance des points, ce fut un échec.

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Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
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Oonnay
Habitué du forum

Re: Je fais des maths pour le plaisir

par Oonnay le Mar 1 Mai - 16:13
Quel est la valeur du petit angle formé entre l’aiguille des minutes et l’aiguille des heures à 9h45 sur une montre ?
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Mathador
Habitué du forum

Re: Je fais des maths pour le plaisir

par Mathador le Mar 1 Mai - 16:32
Facile.
Spoiler:
9h00 et les minutes à 45 c'est la même position, on ne compte donc que le décalage de l'aiguille des heures entre 9h et 9h45.
Or 1h=30° (puisque 12h=360°) donc la réponse est 3/4 de 30° c'est à dire 22,5°.

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Oonnay
Habitué du forum

Re: Je fais des maths pour le plaisir

par Oonnay le Mar 1 Mai - 16:42
@Mathador a écrit:Facile.
Spoiler:
9h00 et les minutes à 45 c'est la même position, on ne compte donc que le décalage de l'aiguille des heures entre 9h et 9h45.
Or 1h=30° (puisque 12h=360°) donc la réponse est 3/4 de 30° c'est à dire 22,5°.
Wink
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JPhMM
Demi-dieu

Re: Je fais des maths pour le plaisir

par JPhMM le Mar 1 Mai - 16:44
Sympa  Very Happy

Spoiler:
45/60=22,5/30 donc...

A quelles heures précises petite et grande aiguilles forment-elles un angle absolument nul ?

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Babarette
Doyen

Re: Je fais des maths pour le plaisir

par Babarette le Mar 1 Mai - 16:46
@JPhMM a écrit:Sympa  Very Happy

Spoiler:
45/60=22,5/30 donc...

A quelles heures précises petite et grande aiguilles forment-elles un angle absolument nul ?

Euh... Pas à 1h05, 2h10, 3h15 etc? heu

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elephantrose lecteur
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JPhMM
Demi-dieu

Re: Je fais des maths pour le plaisir

par JPhMM le Mar 1 Mai - 16:51
Bah non.
Puisqu'entre 1h et 1h05 l'aiguille des heures a avancé.

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Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
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Babarette
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Re: Je fais des maths pour le plaisir

par Babarette le Mar 1 Mai - 16:52
Ah, ben oui. Effectivement. Ben alors à midi et minuit seulement, j'imagine.

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elephantrose lecteur
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JPhMM
Demi-dieu

Re: Je fais des maths pour le plaisir

par JPhMM le Mar 1 Mai - 16:54
Non, les aiguilles se croisent bien 24 (23 ? bounce ) fois par jour.

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Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
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Babarette
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Re: Je fais des maths pour le plaisir

par Babarette le Mar 1 Mai - 17:07
Bon, ben j'avoue l'étendue de mon ignorance mathématique. J'attends de voir la solution, en essayant de m'enrichir du savoir matheux que mon cerveau a refusé d'acquérir jusqu'ici. Very Happy

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Oonnay
Habitué du forum

Re: Je fais des maths pour le plaisir

par Oonnay le Mar 1 Mai - 17:13
@JPhMM a écrit:Sympa  Very Happy

Spoiler:
45/60=22,5/30 donc...

A quelles heures précises petite et grande aiguilles forment-elles un angle absolument nul ?

Réponse :

00:00:00
01:05:27
02:10:55
03:16:22
04:21:49
05:27:16
06:32:44
07:38:11
08:43:38
09:49:06
10:54:33
12:00:00
13:05:27
14:10:55
15:16:22
16:21:49
17:27:17
18:32:44
19:38:11
20:43:39
21:49:06
22:54:33
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CortezTheKiller
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Re: Je fais des maths pour le plaisir

par CortezTheKiller le Mar 1 Mai - 17:14
Tous les 12/11 h (un peu plus d' 1h 5min) en démarrant à 0h ?
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Re: Je fais des maths pour le plaisir

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