Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

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Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par ycombe le Lun 13 Juin 2016 - 22:32

Colin Wright a écrit:
Some time ago I was working on a puzzle about incircles, and unexpectedly a proof of Pythagoras' Theorem dropped out! I'm sure it's well known to people who know lots about Pythagoras' Theorem, but I thought I'd share it.



So take a right-angled triangle, and inscribe an incircle. Suppose the circle is of radius rr, and the point of contact with the hypotenuse divides it into lengths aa and b.b. Then we have the shorter sides as a+ra+r and b+r,b+r, as shown.


Lire la suite: http://www.solipsys.co.uk/new/PythagorasByIncircle.html?TW_20160613

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par ben2510 le Lun 13 Juin 2016 - 22:48

Très joli.
La bissectrice est honteusement sous-exploitée en France, de manière générale.

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par freche le Lun 13 Juin 2016 - 23:02

Je n'aimais pas les maths au lycée (à part les études de fonctions et les complexes...), mais j'ai appris à apprécier les démonstrations depuis. Celle-là me plait bien.

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par ben2510 le Lun 13 Juin 2016 - 23:05

On a le même âge.
Du coup, une question : il y avait autre chose que de l'analyse et des complexes au lycée ?
(Bon, un peu de combinatoire et d'espace, mais sinon ?)

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par freche le Lun 13 Juin 2016 - 23:10

De la géométrie, je n'y comprenais rien, je ne voyais jamais par quel sens commencer le problème, les matrices, ça passait à peu près, un peu d'équa diff je crois, en terminale.

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par ben2510 le Lun 13 Juin 2016 - 23:19

Bac C ou bac E ?
En C il n'y avait pas de matrices en terminale ; pour les ED il y avait y'=ay, y''+w² y=0, y''+by'+cy=0, et quelques ED avec second membre à résoudre avec la variation de la constante.
De quoi s'occuper intelligemment, et en lien avec la Physique bien sûr !

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par verdurin le Lun 13 Juin 2016 - 23:32

C'est une jolie démonstration.
Mais il serait intéressant d'expliciter ce qui ne l'est pas.
Par exemple l'existence des bissectrices.

Mettons que je trace un triangle équilatéral trirectangle sur une sphère.
Pourquoi cette démonstration ne fonctionne t-elle pas ?

[edit] les bissectrices sont bien définies dans ce cas.


Dernière édition par verdurin le Lun 13 Juin 2016 - 23:38, édité 1 fois

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par freche le Lun 13 Juin 2016 - 23:33

@ben2510 a écrit:Bac C ou bac E ?
En C il n'y avait pas de matrices en terminale ; pour les ED il y avait y'=ay, y''+w² y=0, y''+by'+cy=0, et quelques ED avec second membre à résoudre avec la variation de la constante.
De quoi s'occuper intelligemment, et en lien avec la Physique bien sûr !

En C. Pour les matrices, j'en suis sûre, c'est la seule fois de ma vie où j'en ai fait.

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par ycombe le Lun 13 Juin 2016 - 23:40

@verdurin a écrit:C'est une jolie démonstration.
Mais il serait intéressant d'expliciter ce qui ne l'est pas.
Par exemple l'existence des bissectrices.

Mettons que je trace un triangle équilatéral trirectangle sur une sphère.
Pourquoi cette démonstration ne fonctionne t-elle pas ?

[edit] les bissectrices sont bien définies dans ce cas.
Parce que l'aire des triangles en géométrie non euclidienne n'est pas donnée par la même formule?


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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par VinZT le Mar 14 Juin 2016 - 0:14

Joli, mais un peu technique au niveau algébrique pour des collégiens, et même des lycéens...
Sauf erreur la preuve utilise sans le dire la notion de triangles semblables qui a disparu des programmes (c'était en seconde il n'y a pas si longtemps).

Cela dit, une preuve supplémentaire du théorème de Pythagore est toujours bonne à prendre.
Merci @ycombe.

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par ycombe le Mar 14 Juin 2016 - 0:21

La similitude des triangles est revenue au collège, dans les programmes de cycle 4.

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par VinZT le Mar 14 Juin 2016 - 0:54

@ycombe a écrit:La similitude des triangles est revenue au collège, dans les programmes de cycle 4.

Au temps pour moi, ça m'avait échappé (pan sur le bec, quoi !).

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par Fibonacci le Mar 14 Juin 2016 - 1:11

Le mathématicien américain Elisha Scott Loomis (1852 - 1940) avait collectionné 344 preuves du théorème pour les rassembler dans un célèbre ouvrage intitulé The pythagorean proposition.

La preuve de Colin Wright est remarquable, d'autant plus qu'elle est survenue tout à fait par hasard, par surprise, alors qu'au départ l'auteur travaillait sur les puzzles, les bissectrices d'un triangle rectangle et le cercle inscrit. En initiant ce travail, il ne s'attendait pas à tomber sur une preuve d'un des théorèmes les plus célèbres des mathématiques.

Mais je me pose la question de savoir si elle figure déjà parmi les 344 preuves collectionnées dans l'ouvrage d'Elisha S. Loomis ou si c'est une preuve toute nouvelle.

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par verdurin le Mar 14 Juin 2016 - 1:40

@ycombe a écrit:
@verdurin a écrit:C'est une jolie démonstration.
Mais il serait intéressant d'expliciter ce qui ne l'est pas.
Par exemple l'existence des bissectrices.

Mettons que je trace un triangle équilatéral trirectangle sur une sphère.
Pourquoi cette démonstration ne fonctionne t-elle pas ?

[edit] les bissectrices sont bien définies dans ce cas.
Parce que l'aire des triangles en géométrie non euclidienne n'est pas donnée par la même formule?

En effet.
Cette « démonstration » est un exemple typique de pseudo démonstration.

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par ben2510 le Mar 14 Juin 2016 - 8:06

@freche a écrit:
@ben2510 a écrit:Bac C ou bac E ?
En C il n'y avait pas de matrices en terminale ; pour les ED il y avait y'=ay, y''+w² y=0, y''+by'+cy=0, et quelques ED avec second membre à résoudre avec la variation de la constante.
De quoi s'occuper intelligemment, et en lien avec la Physique bien sûr !

En C. Pour les matrices, j'en suis sûre, c'est la seule fois de ma vie où j'en ai fait.

Bac en 87 ?
Ma prof nous avait fait un peu de hors-programme (espaces vectoriels, calcul de l'intégrale de Gauss, p.ex) mais pas de matrices pour moi.

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par freche le Mar 14 Juin 2016 - 16:51

@ben2510 a écrit:
@freche a écrit:
@ben2510 a écrit:Bac C ou bac E ?
En C il n'y avait pas de matrices en terminale ; pour les ED il y avait y'=ay, y''+w² y=0, y''+by'+cy=0, et quelques ED avec second membre à résoudre avec la variation de la constante.
De quoi s'occuper intelligemment, et en lien avec la Physique bien sûr !

En C. Pour les matrices, j'en suis sûre, c'est la seule fois de ma vie où j'en ai fait.

Bac en 87 ?
Ma prof nous avait fait un peu de hors-programme (espaces vectoriels, calcul de l'intégrale de Gauss, p.ex) mais pas de matrices pour moi.
en 86. Je ne mettrais pas ma tête à couper, j'y tiens, mais comme je n'ai fait que de la chimie après le bac (et un peu de physique au moment de la préparation du capes), je ne vois pas où j'aurais pu les étudier heu

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par VinZT le Mar 14 Juin 2016 - 18:54

Ah mais il y a eu un changement de programme entre 86 et 87 il me semble.
En 86, espaces vectoriels, matrices étaient encore au programme, en 87 il n'y en avait plus...

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par William Foster le Mar 14 Juin 2016 - 19:02

Je suis un peu perdu dans les dates et dans vos âges canoniques... C'est de 1986 que vous parlez ? Neutral

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par ben2510 le Mar 14 Juin 2016 - 23:28

1786, misérable mortel. diable

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par freche le Mer 15 Juin 2016 - 20:08

@William Foster a écrit:Je suis un peu perdu dans les dates et dans vos âges canoniques... C'est de 1986 que vous parlez ?  Neutral

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par jaybe le Mer 15 Juin 2016 - 23:30

@William Foster a écrit:Je suis un peu perdu dans les dates et dans vos âges canoniques... C'est de 1986 que vous parlez ?  Neutral

Je crois bien qu'en 1886 la notion d'espace vectoriel n'était pas encore définie (ça doit se jouer à pas grand-chose) donc par élimination...

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par leskhal le Jeu 16 Juin 2016 - 11:23

C'est le bac 84 qui a vu arriver la réforme Haby au bac, et donc la disparition, entre autre, de l'arithmétique et des matrices en TC. Je sais, j'en étais et les redoublants s'ennuyaient...

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par ben2510 le Jeu 16 Juin 2016 - 14:24

Bac C 87, j'ai fait de l'arithmétique en terminale, pourtant.

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par VinZT le Jeu 16 Juin 2016 - 15:04

@ben2510 a écrit:Bac C 87, j'ai fait de l'arithmétique en terminale, pourtant.

Ben moi aussi Bac C 87, mais pas d'arithmétique. 
Ma femme qui l'a passé en 86, a fait de l'arithmétique et des espaces vectoriels.

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Re: Preuve du théorème de Pythagore par le cercle inscrit

Message par ben2510 le Jeu 16 Juin 2016 - 15:49

Il va falloir que je retrouve mes cours. C'est pas gagné.
Je sais que ma prof de TC avait fait un peu de hors-programme, ça explique peut-être l'arithmétique ?
De même que ED et ipp sont encore au programme dans certaines classes de TS (la mienne, par exemple).

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