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archeboc
Expert spécialisé

ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par archeboc le Dim 4 Déc 2016 - 7:59

C'est une question très bête, mais je n'ai même pas réussi à la formuler correctement dans google : quel est l'ordre de priorité à l'intérieur les puissances ?

Autrement dit : a^b^c = a^(b^c) ?
ou bien : a^b^c = (a^b)^c ?

Il me semble que c'est le premier cas, pour des raisons d'économie, parce que le second se résout en (a^b)^c = a^(bc)

Mais curieusement, je ne trouve l'information nulle part.

_________________
Pour des raisons de commodité nous utilisons dans nos analyses un classement des élèves en « bons », « moyens » et « faibles » qui n'est valable qu'à l'intérieur de chaque classe ou dans des classes de même type. En fait, les élèves que nous appelons « bons » sont plutôt des élèves moyens, les « moyens » des élèves plutôt faibles et les « faibles » des élèves en grande difficulté.
van Zanten Agnès. Le quartier ou l'école ? Déviance et sociabilité adolescente dans un collège de banlieue . In: Déviance et société. 2000 - Vol. 24 - N°4. Les désordres urbains : regards sociologiques. pp. 377-401. note 3


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dami1kd
Habitué du forum

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par dami1kd le Dim 4 Déc 2016 - 8:47
Bonjour,

Ouvrez un tableur, tapez 2^3^4, il vous donnera 4096 soit 8⁴ (donc votre deuxième proposition). Mais le contexte dans lequel vous effectuez ce calcul doit pouvoir lever l'indétermination. Écrit avec des exposants, ce calcul ne présente plus aucune ambiguïté...
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jaybe
Niveau 7

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par jaybe le Dim 4 Déc 2016 - 11:35
La page wikipedia ordre des opérations présente plus généralement les types d'ambiguïté possibles dans les expressions complexes, avec des précisions historiques intéressantes.

_________________
Wir müssen wissen, wir werden wissen
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fifi51
Habitué du forum

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par fifi51 le Dim 4 Déc 2016 - 12:56
@dami1kd a écrit:Bonjour,

Ouvrez un tableur, tapez 2^3^4, il vous donnera 4096 soit 8⁴ (donc votre deuxième proposition). Mais le contexte dans lequel vous effectuez ce calcul doit pouvoir lever l'indétermination. Écrit avec des exposants, ce calcul ne présente plus aucune ambiguïté...
C'est aussi 2^12.
A froid, je dirais que c'est associatif et commutatif.
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ycombe
Modérateur

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par ycombe le Dim 4 Déc 2016 - 13:02
@dami1kd a écrit:Bonjour,

Ouvrez un tableur, tapez 2^3^4, il vous donnera 4096 soit 8⁴ (donc votre deuxième proposition). Mais le contexte dans lequel vous effectuez ce calcul doit pouvoir lever l'indétermination. Écrit avec des exposants, ce calcul ne présente plus aucune ambiguïté...
Je ferais personnellement plus confiance à maxima qu'à un tableur:
Code:

Maxima 5.38.1 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.12
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
The function bug_report() provides bug reporting information.
(%i1) 2**3;
(%o1)                                  8
(%i2) 2**3**4;
(%o2)                      2417851639229258349412352
(%i3) 2**(3**4);
(%o3)                      2417851639229258349412352
(%i4) (2**3)**4;
(%o4)                                4096
(%i5)
wcalc fait pareil:
Code:

~$ wcalc
Enter an expression to evaluate, q to quit, or ? for help:
-> 2^3^4
 = 2.41785e+24
-> 2^(3^4)
 = 2.41785e+24
-> (2^3)^4
 = 4096
->

Edit: la TI 82 advanced de ma fille fait comme maxima et wcalc.

_________________
Assurbanipal: "Passant, mange, bois, divertis-toi ; tout le reste n’est rien".

Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".
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jonjon71
Habitué du forum

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par jonjon71 le Dim 4 Déc 2016 - 13:30
Et Google fait pareil :

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Balthazaard
Expert spécialisé

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par Balthazaard le Dim 4 Déc 2016 - 13:33
C'est surtout cette écriture avec circonflexe qui est ambiguë... il me semble que 2/3/4 porte pas mal d’ambiguïté, je suppose qu'on l’interprète (2/3)/4 donc à l'opposé de 2^3^4..
Pour ma part je refuse ces écritures sans parenthèses et je vois mal quel argument pourrait les défendre.
Je suppose quand même un peu que la programmation en lisp fait pencher la balance d'un côté quant à l'interprétation.
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ben2510
Neoprof expérimenté

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par ben2510 le Dim 4 Déc 2016 - 13:40
Cette question est une non-question.
Les puissances s'effectuent de droite à gauche, comme il est clairement indiqué dans votre cours de quatrième, les enfants.

Spoiler:
Comme il serait clairement indiqué dans le cours de quatrième si les programmes étaient bien construits, plutôt.
En tout cas c'est dans mon cours de terminale (comme élève et comme prof).
Déjà il serait bon de voir les petites puissances (carré, cube) en sixième afin de pouvoir les inclure en cinquième dans le chapitre "ordre des opérations", cela éviterait peut-être la confusion entre 3x² et (3x)² qu'on traîne de la troisième à la terminale.

_________________
On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré  La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold
Matheod
Niveau 6

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par Matheod le Lun 5 Déc 2016 - 3:25
@dami1kd a écrit:Bonjour,

Ouvrez un tableur, tapez 2^3^4, il vous donnera 4096 soit 8⁴ (donc votre deuxième proposition). Mais le contexte dans lequel vous effectuez ce calcul doit pouvoir lever l'indétermination. Écrit avec des exposants, ce calcul ne présente plus aucune ambiguïté...

Ouvrez un tableur, tapez =-1^2
archeboc
Expert spécialisé

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par archeboc le Lun 5 Déc 2016 - 12:05
@jaybe a écrit:La page wikipedia ordre des opérations présente plus généralement les types d'ambiguïté possibles dans les expressions complexes, avec des précisions historiques intéressantes.

Comme quoi il suffit de savoir lire !

Le cas de la puissance, à cause de sa disposition spatiale, pose un problème légèrement différent : le calcul de (a^b)^c n'a pas même valeur que a^(b^c). La présence d'un délimitant spatial permet en partie de lever l'ambiguïté : l'expression

a b c {\displaystyle a^{b^{c}}} a^{{b^{c}}}

est une traduction sans parenthèses de la seconde expression. La première expression, elle, nécessite la présence des parenthèses ou bien un début de calcul

( a b ) c = a b c {\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{bc}} (a^{b})^{c}=a^{{bc}}

Mais ma question n'a pas servi à rien. Merci pour les différents tests proposés sur ce fil.

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Pour des raisons de commodité nous utilisons dans nos analyses un classement des élèves en « bons », « moyens » et « faibles » qui n'est valable qu'à l'intérieur de chaque classe ou dans des classes de même type. En fait, les élèves que nous appelons « bons » sont plutôt des élèves moyens, les « moyens » des élèves plutôt faibles et les « faibles » des élèves en grande difficulté.
van Zanten Agnès. Le quartier ou l'école ? Déviance et sociabilité adolescente dans un collège de banlieue . In: Déviance et société. 2000 - Vol. 24 - N°4. Les désordres urbains : regards sociologiques. pp. 377-401. note 3


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kioupsPBT
Niveau 9

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par kioupsPBT le Lun 5 Déc 2016 - 13:47
Merci pour le lien wiki, jaybe, très intéressant !
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ben2510
Neoprof expérimenté

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par ben2510 le Lun 5 Déc 2016 - 21:23
Cadeau : (1+9^(-4^(7*6)))^(3^(2^85)), qui s'écrit avec une fois chaque chiffre non nul, est une valeur approchée de e (l'antécédent de 1 par ln).
Quelle est la précision de cette approximation ?

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Bolzano
Niveau 5

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par Bolzano le Lun 5 Déc 2016 - 22:02
Quelle précision extraordinaire ! D'où sort ce truc ?

Demandes-tu une majoration de l'erreur ou un ordre de grandeur ?
archeboc
Expert spécialisé

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par archeboc le Lun 5 Déc 2016 - 23:14
@ben2510 a écrit:Cadeau : (1+9^(-4^(7*6)))^(3^(2^85)), qui s'écrit avec une fois chaque chiffre non nul, est une valeur approchée de e  (l'antécédent de 1 par ln).
Quelle est la précision de cette approximation ?

J'ai passé l'age de faire des développements limités. Greuh. Et puis c'est hors sujet. Il y a un fil pour ce genre de perversité.

Spoiler:
A = (1+9^(-4^(7*6)))^(3^(2^85)) = (1+3^(-2^(85)))^(3^(2^85))

ln(1+1/k)^k ) - ln e
' = k.ln(1+1/k) - 1
' = k ( 1/k -1/2k² + 1/3k^3 - & ) -1
' = -1/2k + 1/3k² - &

précision à 3^(-2^85) / 2 pour le logarithme népérien de A :
ln(A)=1-€, avec 0 < € < 3^(-2^85) / 2

Comme la dérivée en 1 de l’exponentielle vaut e, |e-A| est bornée par 2 * 3^(-2^85)

Spoiler:
2^85 = (2^10)^8 * 2^5 > 32 * 1000^8 = 32 * 10^24

3^16 = 81^4 > 6400² > 36 . 10^6
3^32 > 36². 10^12 > 10^15

3^(2^85) / 2 > 3^(32 * 10^24) / 2 > 10^(15.10^24) / 2

Il y a donc au moins 15.10^24 chiffres exacts.



Dernière édition par archeboc le Lun 5 Déc 2016 - 23:44, édité 1 fois

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ben2510
Neoprof expérimenté

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par ben2510 le Lun 5 Déc 2016 - 23:19
Allons allons, avec la perspective d'avoir Fillon comme président, même les demi-vieux se sentent plus jeunes. (Ça c'était un vrai HS).

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ben2510
Neoprof expérimenté

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par ben2510 le Lun 5 Déc 2016 - 23:20
@Bolzano a écrit:Quelle précision extraordinaire ! D'où sort ce truc ?

Demandes-tu une majoration de l'erreur ou un ordre de grandeur ?

Je ne sais plus où j'ai trouvé ça (sur néoprofs si ça se trouve).

Une majoration de l'erreur me conviendrait bien. (C'est dans ce genre de situation que le mot "zillion" prend tout son sens.)

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fifi51
Habitué du forum

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par fifi51 le Mar 6 Déc 2016 - 0:37
@ben2510 a écrit:Cette question est une non-question.
Les puissances s'effectuent de droite à gauche, comme il est clairement indiqué dans votre cours de quatrième, les enfants.

Spoiler:
Comme il serait clairement indiqué dans le cours de quatrième si les programmes étaient bien construits, plutôt.  
En tout cas c'est dans mon cours de terminale (comme élève et comme prof).
Déjà il serait bon de voir les petites puissances (carré, cube) en sixième afin de pouvoir les inclure en cinquième dans le chapitre "ordre des opérations", cela éviterait peut-être la confusion entre 3x² et (3x)² qu'on traîne de la troisième à la terminale.
Cette réponse me stresse un peu (enfin, pour être plus exact, me turlupine).

On n'a pas x^(z^y^k) = x^(zyk) ?
 Et donc l'ordre importe peu.

Soit je n'ai pas compris la réponse, soit j'écris une énormité mathématique (je préfère la réponse A).
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ben2510
Neoprof expérimenté

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par ben2510 le Mar 6 Déc 2016 - 0:52
On n'a pas.
P.ex 2^(2^2^2)=2^(2^4)=2^16=65536
et 2^(2*2*2)=2^8=256.

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fifi51
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Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par fifi51 le Mar 6 Déc 2016 - 1:04
Cette réponse exacte me déprime !
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ben2510
Neoprof expérimenté

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par ben2510 le Mar 6 Déc 2016 - 12:06
@fifi51 a écrit:Cette réponse exacte me déprime !

Bah pourquoi ?
Quelle importance ça a ?
Il fallait bien une convention...

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fifi51
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Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par fifi51 le Mar 6 Déc 2016 - 14:44
Parce que j'ai écrit une grosse bourde mathématique (et ça me désole No )
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ben2510
Neoprof expérimenté

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par ben2510 le Mar 6 Déc 2016 - 18:27
Les priorités des puissances c'est déjà fort spécifique ; en TD d'analyse de L3 il faut systématiquement rappeler ces conventions.

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ben2510
Neoprof expérimenté

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par ben2510 le Dim 25 Déc 2016 - 11:20
@ben2510 a écrit:
@Bolzano a écrit:Quelle précision extraordinaire ! D'où sort ce truc ?

Demandes-tu une majoration de l'erreur ou un ordre de grandeur ?

Je ne sais plus où j'ai trouvé ça (sur néoprofs si ça se trouve).

Une majoration de l'erreur me conviendrait bien. (C'est dans ce genre de situation que le mot "zillion" prend tout son sens.)

Une source, Numberphile :

Noyeux Joël !

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Rabelais
Vénérable

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par Rabelais le Dim 25 Déc 2016 - 14:29
Comme j'ai honte, comme j'ai honte !
Je ne comprends rien à vos ^ !

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Le temps ne fait rien à l'affaire, quand on est c., on est c.
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Anaxagore
Guide spirituel

Re: ordre de priorité à l'intérieur les puissances

par Anaxagore le Dim 25 Déc 2016 - 14:38
^^

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"De même que notre esprit devient plus fort grâce à la communication avec les esprits vigoureux et raisonnables, de même on ne peut pas dire combien il s'abâtardit par le commerce continuel et la fréquentation que nous avons des esprits bas et maladifs." Montaigne

"Tout ce qui est précieux est aussi difficile que rare." Spinoza
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