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User17706
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par User17706 le Lun 23 Jan 2017 - 15:35
La proposition « La suite de quatre signes "41/0" ne représente pas un nombre » a un sens en français, oui. J'admets cela, naturellement Smile
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Zarathustra
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par Zarathustra le Lun 23 Jan 2017 - 15:43
PauvreYorick a écrit:
Incidemment, vous remarquerez que la forme « bérascoffer » (-er) est de vous. C'est vous qui avez voulu traiter ça comme un verbe du 1er groupe conjugué à la 2e personne du pluriel. Une infinité exactement d'autres interprétations étaient sûrement possibles.

Bien sûr. Manipuler des symboles ne me dérange pas, hors de leur signification, tant que la manipulation ne suppose pas leur interprétation sémantique. C'est le sujet de ce fil ! Je me suis, effectivement, emporté en assumant que, comme syntaxiquement c'était un verbe, le mettre dans le premier groupe. J'aurais dû écrire "infinitif(bérascoffez)", où "infinitif" est une opération formelle (comme la substitution et la réduction) et n'est pas une opération dans le domaine sémantique. Mais c'est parce que les manipulations symboliques sur des éléments de langue sont bien plus tordues que sur des expressions qui apparaissent dans les écritures mathématiques.
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par User17706 le Lun 23 Jan 2017 - 15:48
Bah, ç'aurait pu être une typo un peu bizarre. J'aurais pu écrire par mégarde bérascoffez à la place de "avez un usage quelque peu idiosyncrasique des symboles. La preuve, vous tendez à interpréter comme si ça avait un sens quelque chose qui peut très bien n'être qu'une erreur de", parce que, par exemple, j'aurais porté des gants.
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Zarathustra
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par Zarathustra le Lun 23 Jan 2017 - 15:49
PauvreYorick a écrit:La proposition « La suite de quatre signes "41/0" ne représente pas un nombre » a un sens en français, oui. J'admets cela, naturellement Smile

Eh bien, ça répond correctement à la question, je dirais, car la question était justement, si ça pouvait représenter un nombre ou non. Car si c'était un nombre, ce nombre formerait un couple (6, < nombre >) dans f, et 6 appartenait alors au domaine de f. Comme l'unique façon d'obtenir, éventuellement, un nombre, échoue, il n'existe pas un nombre u, tel que (6,u) appartient à f, et c'est ce qu'on voulait savoir, car s'il n'existe pas un couple (6,u) dans f, alors 6 n'est pas un élément du domaine de f, et c'était la question.

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par User17706 le Lun 23 Jan 2017 - 15:50
Incidemment, rien que votre trouvaille sur Google a quelque chose de savoureux, dans la conversation: vous faites preuve d'une telle générosité herméneutique que, dirait-on, tout ce qu'on peut écrire, y compris si c'est volontairement n'importe quoi, semble être doté d'un sens Wink
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par Zarathustra le Lun 23 Jan 2017 - 15:52
PauvreYorick a écrit:Bah, ç'aurait pu être une typo un peu bizarre. J'aurais pu écrire par mégarde bérascoffez à la place de "avez un usage quelque peu idiosyncrasique des symboles. La preuve, vous tendez à interpréter comme si ça avait un sens quelque chose qui peut très bien n'être qu'une erreur de", parce que, par exemple, j'aurais porté des gants.

Moufles ?
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par User17706 le Lun 23 Jan 2017 - 15:52
Oui, des moufles, par exemple, pourquoi pas Very Happy
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par Zarathustra le Lun 23 Jan 2017 - 15:52
PauvreYorick a écrit:Incidemment, rien que votre trouvaille sur Google a quelque chose de savoureux, dans la conversation: vous faites preuve d'une telle générosité herméneutique que, dirait-on, tout ce qu'on peut écrire, y compris si c'est volontairement n'importe quoi, semble être doté d'un sens Wink

Je suis comblé.
Very Happy
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Zarathustra
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par Zarathustra le Mar 24 Jan 2017 - 20:57
Bon, allez, une question.  Comment faut-il rédiger la démonstration que 6 n'est pas un élément du domaine de la fonction f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) si on veut se tenir aux attentes de ne jamais écrire une expression formelle qui ne correspond pas à un objet mathématique ?

Car, quand on considère la fonction f comme un quotient de deux fonctions, f = u/v, on ne peut pas prendre comme fonction:
v: R -> R: x -> x - 6 avec son domaine égal à R, car alors, l'expression u/v (comme quotient de fonctions) n'est pas autorisée (on ne peut pas avoir un quotient de fonctions dont la deuxième contient 0 dans son image, et v contient bien 0 dans son image, car v(6) = 0).

Il faut donc considérer la fonction w: R -> R: x -> x - 6 avec son domaine égal à R \ {6}.  L'image de w ne contenant pas 0, on peut tout à fait définir une fonction g qui est le quotient de u et de w: g = u/w.  Cette expression est existante.

Mais pourquoi est-ce que g soit égal à f ?  

Idéalement, il faudrait considérer f comme l'expression donnée, et "enlever les points du domaine, là où le dénominateur devient 0".  Mais pour faire cela, il faut considérer une expression qui n'existe pas: f = u/v, pour pouvoir obtenir v et chercher où v devient 0.

Donc, comment fait-on pour rédiger correctement, en respectant les attentes, que 6 ne peut pas être un élément du domaine de f, "car son dénominateur devient zéro" ?  Parce que pour que le dénominateur de f puisse être considéré comme une fonction, il faut qu'il soit le quotient Q dans une expression f = P/Q, et pour que cette expression ait un sens, Q ne peut pas avoir 0 dans son image.  On ne peut donc pas résoudre l'équation Q(x) = 0 pour trouver ces points (enfin, on peut, mais il n'y en a pas).  Et quand on considère une expression R(x) qui peut devenir 0 (et qui contient donc 0 en son image), R ne peut pas être le quotient dans une expression f = P/R, qui est alors l'équivalent fonctionnel de 41/0 pour des réels.

Comment on doit rédiger ça ?

Il est tentant de faire ce que je viens de faire: considérons la fonction v, et enlevons les couples de v qui ont 0 comme deuxième élément.  Le problème que je vois, c'est qu'a aucun moment, on peut considérer v.  v vient de nulle part.
L'expression de f nécessitant une existence, on ne peut pas dire que f "voudrait être" u/v "sauf là où v devient 0".  Ce quotient n'existe pas, on ne peut donc pas l'écrire.  On ne peut pas prendre (x-6) de l'expression de l'énoncé, et dire que c'est le dénominateur de f, et en même temps considérer que c'est la fonction v.  Car si (x-6) est le dénominateur de f, il n'a pas d'image contenant 0 - sinon ce n'est pas le dénominateur de f et on ne saurait pas pourquoi l'étudier.

Est-ce que le "bon prof de maths" enlève une partie ou tous les points, si un élève ose écrire:

f(x) = (x^2 + 5)/(x-6)

le dénominateur de f étant (x-6), on va résoudre l'équation x - 6 = 0.
La solution est 6.  Comme le dénominateur d'une fonction ne peut pas devenir 0, f ne peut pas contenir 6 dans son domaine.


Car l'erreur fatale que commet l'élève, c'est de dire que (x-6) est le dénominateur de f, tout en considérant que c'est une fonction avec comme domaine, tout R.  Il va chercher v(x) = 0, et trouve x = 6.  Mais il a donc considéré que le dénominateur était une fonction qui avait 0 dans son image ; alors ça ne pouvait pas être un dénominateur.

Ou est-ce que je pinaille ?
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par jaybe le Mar 24 Jan 2017 - 21:23
Il y a un point de vue qui consiste à dire : on écrit ce que l'on veut, si à un moment on peut obtenir par déduction(s) une propriété contradictoire, on a prouvé que la théorie est non consistante et on arrête de jouer. Exemple avec 5/0 : par définition c'est un élément x qui vérifie 0x=5, or (si c'est un réel) il vérifie aussi 0x=0 par définition du 0, donc on a prouvé 5=0, etc.  

Incidemment c'est une technique qui permet parfois d'obtenir des résultats bien plus intéressants qu'on pourrait l'imaginer de prime abord, car cela permet de tester les limites d'une théorie (et si 5/0 n'était pas un réel ? Il faudrait construire un ensemble pour lequel 0 n'est pas absorbant, il y a de fortes chances que ça mette par terre d'autres axiomes...) et d'imaginer de nouvelles théories ; un exemple type est l'axiome d'anti-fondation qui autorise les ensembles qui appartiennent à eux-mêmes (que Russell aurait sans doute qualifié d'hérésie !).

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par fifi51 le Mar 24 Jan 2017 - 21:31
@Zarathustra a écrit:



Est-ce que le "bon prof de maths" enlève une partie ou tous les points, si un élève ose écrire:

f(x) = (x^2 + 5)/(x-6)

le dénominateur de f étant (x-6), on va résoudre l'équation x - 6 = 0.
La solution est 6.  Comme le dénominateur d'une fonction ne peut pas devenir 0, f ne peut pas contenir 6 dans son domaine.


Car l'erreur fatale que commet l'élève, c'est de dire que (x-6) est le dénominateur de f, tout en considérant que c'est une fonction avec comme domaine, tout R.  Il va chercher v(x) = 0, et trouve x = 6.  Mais il a donc considéré que le dénominateur était une fonction qui avait 0 dans son image ; alors ça ne pouvait pas être un dénominateur.

Ou est-ce que je pinaille ?

Je ne suis pas professeur de mathématiques, mais j'enlèverais des points pour une telle rédaction (qui ne marcherait pas avec sinx/x).
Je rédigerais un truc du style.
f est un quotient de polynôme, donc continue et dérivable sur Df.
Son dénominateur s'annule en 6 (trivial) et lim f(x) quand x tend vers 6 tend vers l'infini donc f n'est pas continue en 6.

J'espère ne pas avoir écrit d'énormité mathématique.
Balthazaard
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par Balthazaard le Mar 24 Jan 2017 - 21:40
@Zarathustra a écrit:Bon, allez, une question.  Comment faut-il rédiger la démonstration que 6 n'est pas un élément du domaine de la fonction f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) si on veut se tenir aux attentes de ne jamais écrire une expression formelle qui ne correspond pas à un objet mathématique ?

Car, quand on considère la fonction f comme un quotient de deux fonctions, f = u/v, on ne peut pas prendre comme fonction:
v: R -> R: x -> x - 6 avec son domaine égal à R, car alors, l'expression u/v (comme quotient de fonctions) n'est pas autorisée (on ne peut pas avoir un quotient de fonctions dont la deuxième contient 0 dans son image, et v contient bien 0 dans son image, car v(6) = 0).

Il faut donc considérer la fonction w: R -> R: x -> x - 6 avec son domaine égal à R \ {6}.  L'image de w ne contenant pas 0, on peut tout à fait définir une fonction g qui est le quotient de u et de w: g = u/w.  Cette expression est existante.

Mais pourquoi est-ce que g soit égal à f ?  

Idéalement, il faudrait considérer f comme l'expression donnée, et "enlever les points du domaine, là où le dénominateur devient 0".  Mais pour faire cela, il faut considérer une expression qui n'existe pas: f = u/v, pour pouvoir obtenir v et chercher où v devient 0.

Donc, comment fait-on pour rédiger correctement, en respectant les attentes, que 6 ne peut pas être un élément du domaine de f, "car son dénominateur devient zéro" ?  Parce que pour que le dénominateur de f puisse être considéré comme une fonction, il faut qu'il soit le quotient Q dans une expression f = P/Q, et pour que cette expression ait un sens, Q ne peut pas avoir 0 dans son image.  On ne peut donc pas résoudre l'équation Q(x) = 0 pour trouver ces points (enfin, on peut, mais il n'y en a pas).  Et quand on considère une expression R(x) qui peut devenir 0 (et qui contient donc 0 en son image), R ne peut pas être le quotient dans une expression f = P/R, qui est alors l'équivalent fonctionnel de 41/0 pour des réels.

Comment on doit rédiger ça ?

Il est tentant de faire ce que je viens de faire: considérons la fonction v, et enlevons les couples de v qui ont 0 comme deuxième élément.  Le problème que je vois, c'est qu'a aucun moment, on peut considérer v.  v vient de nulle part.
L'expression de f nécessitant une existence, on ne peut pas dire que f "voudrait être" u/v "sauf là où v devient 0".  Ce quotient n'existe pas, on ne peut donc pas l'écrire.  On ne peut pas prendre (x-6) de l'expression de l'énoncé, et dire que c'est le dénominateur de f, et en même temps considérer que c'est la fonction v.  Car si (x-6) est le dénominateur de f, il n'a pas d'image contenant 0 - sinon ce n'est pas le dénominateur de f et on ne saurait pas pourquoi l'étudier.

Est-ce que le "bon prof de maths" enlève une partie ou tous les points, si un élève ose écrire:

f(x) = (x^2 + 5)/(x-6)

le dénominateur de f étant (x-6), on va résoudre l'équation x - 6 = 0.
La solution est 6.  Comme le dénominateur d'une fonction ne peut pas devenir 0, f ne peut pas contenir 6 dans son domaine.


Car l'erreur fatale que commet l'élève, c'est de dire que (x-6) est le dénominateur de f, tout en considérant que c'est une fonction avec comme domaine, tout R.  Il va chercher v(x) = 0, et trouve x = 6.  Mais il a donc considéré que le dénominateur était une fonction qui avait 0 dans son image ; alors ça ne pouvait pas être un dénominateur.

Ou est-ce que je pinaille ?
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question de notation de dérivée. - Page 6 Empty Re: question de notation de dérivée.

par jaybe le Mar 24 Jan 2017 - 21:49
@fifi51, que ce soit sin x/x, x^2/x ou 1/x, cela ne change pas le fait que la fonction n'est pas définie en 0. La propriété intéressante ici qui différencie ces fonctions est d'être (ou non) prolongeable par continuité en 0. Pour ce qui est d'étudier la définition, le numérateur fait sa vie...

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par Moonchild le Mar 24 Jan 2017 - 22:09
@Zarathustra a écrit:Bon, allez, une question.  Comment faut-il rédiger la démonstration que 6 n'est pas un élément du domaine de la fonction f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) si on veut se tenir aux attentes de ne jamais écrire une expression formelle qui ne correspond pas à un objet mathématique ?

J'avais proposé une rédaction dans ce message, mais à ce moment-là, f s'appelait g :
http://www.neoprofs.org/t108354p25-question-de-notation-de-derivee#3954345

Voici l'extrait en question :

@Moonchild a écrit:
@Zarathustra a écrit:Oui, mais c'est cela que j'essaie de faire comprendre que c'est "hypocrite". Pour prendre l'exemple de g(x) = (x^2 + 5) / (x - 6), qui est une expression formelle, il faut bien "mettre 6 dedans" pour VOIR qu'on va diviser par 0. Pour ne pas écrire cette "horreur" de 41/0, alors on fait semblant de ne pas le faire, et on va regarder par quoi on divise, c'est (x-6), et là, on va mettre 6 dedans, et constater que c'est 0. Mais c'est exactement ce qu'on avait dit qu'on pouvait pas faire: "mettre dedans et constater qu'on a un 0 en bas". On prend le "morceau d'en bas, on met dedans, et on voit si ça donne 0", c'est exactement la même chose que "mettre dedans et voir si on a 0 en bas".
J'aurais tendance à dire que c'est une approche de physicien : pour savoir si g(6) existe, on fait l'expérience et comme on observe que l'expérience rate, alors on en conclut que g(6) n'existe pas.
C'est aussi une approche intuitive assez convaincante, mais elle n'est pas correcte en tant que démonstration mathématique car une telle rédaction suppose qu'il existe un objet mathématique noté 41/0 que l'on peut obtenir comme résultat d'un calcul.

Afin que tout soit clair, il faudrait d'abord replacer l'expression formelle dans la phrase qui l'introduit. Prenons par exemple la question :
"Déterminer l'ensemble de définition de la fonction g(x) = (x^2 + 5) / (x - 6)" (avec pour implicite usuel au niveau lycée "fonction de la variable réelle x")
Une rédaction possible est :
Pour tout réel x, g(x) est défini ssi x-6 est différent de 0.

Or, pour tout x réel, x-6=0 ssi x=6.

(donc x-6 est différent de 0 ssi x est différent de 0) souvent cette étape sera implicite

Conclusion, g(x) est défini pour tout réel x différent de 6.
A aucun moment dans cette démonstration il n'a été effectué de division par zéro ; au contraire, la première ligne rappelle que ce n'est pas possible.
fifi51
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question de notation de dérivée. - Page 6 Empty Re: question de notation de dérivée.

par fifi51 le Mar 24 Jan 2017 - 22:10

@jaybe
Merci.
Comme quoi, je confondais allègrement domaine de définition et prolongement par continuité.
Balthazaard
Balthazaard
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question de notation de dérivée. - Page 6 Empty Re: question de notation de dérivée.

par Balthazaard le Mar 24 Jan 2017 - 23:11
@Zarathustra a écrit:Bon, allez, une question.  Comment faut-il rédiger la démonstration que 6 n'est pas un élément du domaine de la fonction f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) si on veut se tenir aux attentes de ne jamais écrire une expression formelle qui ne correspond pas à un objet mathématique ?

Car, quand on considère la fonction f comme un quotient de deux fonctions, f = u/v, on ne peut pas prendre comme fonction:
v: R -> R: x -> x - 6 avec son domaine égal à R, car alors, l'expression u/v (comme quotient de fonctions) n'est pas autorisée (on ne peut pas avoir un quotient de fonctions dont la deuxième contient 0 dans son image, et v contient bien 0 dans son image, car v(6) = 0).

Il faut donc considérer la fonction w: R -> R: x -> x - 6 avec son domaine égal à R \ {6}.  L'image de w ne contenant pas 0, on peut tout à fait définir une fonction g qui est le quotient de u et de w: g = u/w.  Cette expression est existante.

Mais pourquoi est-ce que g soit égal à f ?  

Idéalement, il faudrait considérer f comme l'expression donnée, et "enlever les points du domaine, là où le dénominateur devient 0".  Mais pour faire cela, il faut considérer une expression qui n'existe pas: f = u/v, pour pouvoir obtenir v et chercher où v devient 0.

Donc, comment fait-on pour rédiger correctement, en respectant les attentes, que 6 ne peut pas être un élément du domaine de f, "car son dénominateur devient zéro" ?  Parce que pour que le dénominateur de f puisse être considéré comme une fonction, il faut qu'il soit le quotient Q dans une expression f = P/Q, et pour que cette expression ait un sens, Q ne peut pas avoir 0 dans son image.  On ne peut donc pas résoudre l'équation Q(x) = 0 pour trouver ces points (enfin, on peut, mais il n'y en a pas).  Et quand on considère une expression R(x) qui peut devenir 0 (et qui contient donc 0 en son image), R ne peut pas être le quotient dans une expression f = P/R, qui est alors l'équivalent fonctionnel de 41/0 pour des réels.

Comment on doit rédiger ça ?

Il est tentant de faire ce que je viens de faire: considérons la fonction v, et enlevons les couples de v qui ont 0 comme deuxième élément.  Le problème que je vois, c'est qu'a aucun moment, on peut considérer v.  v vient de nulle part.
L'expression de f nécessitant une existence, on ne peut pas dire que f "voudrait être" u/v "sauf là où v devient 0".  Ce quotient n'existe pas, on ne peut donc pas l'écrire.  On ne peut pas prendre (x-6) de l'expression de l'énoncé, et dire que c'est le dénominateur de f, et en même temps considérer que c'est la fonction v.  Car si (x-6) est le dénominateur de f, il n'a pas d'image contenant 0 - sinon ce n'est pas le dénominateur de f et on ne saurait pas pourquoi l'étudier.

Est-ce que le "bon prof de maths" enlève une partie ou tous les points, si un élève ose écrire:

f(x) = (x^2 + 5)/(x-6)

le dénominateur de f étant (x-6), on va résoudre l'équation x - 6 = 0.
La solution est 6.  Comme le dénominateur d'une fonction ne peut pas devenir 0, f ne peut pas contenir 6 dans son domaine.


Car l'erreur fatale que commet l'élève, c'est de dire que (x-6) est le dénominateur de f, tout en considérant que c'est une fonction avec comme domaine, tout R.  Il va chercher v(x) = 0, et trouve x = 6.  Mais il a donc considéré que le dénominateur était une fonction qui avait 0 dans son image ; alors ça ne pouvait pas être un dénominateur.

Ou est-ce que je pinaille ?

Je crois que vous pinaillez et je ne sais plus qui a cité Bourbaki mais il serait bon de relire le chapitre sur les fractions rationnelles et fonctions rationnelles.
La fraction rationnelle est un objet formel qui est définie (ie existe) quand son dénominateur n'est pas le polynôme nul  (différent  de "s'annuler" ou quoi que ce soit de ce genre, il ne faut pas que ce soit le polynôme nul....)
Du coup on peut parfaitement parler du dénominateur sans commettre d'erreur mathématique.
Si on associe à cette fraction rationnelle une fonction rationnelle , il faut à ce moment que la substitution de x par une valeur dans le polynôme correspondant au dénominateur ne donne pas une valeur nulle (pour la rédaction policée, voir Bourbaki chap IV de la partie algèbre) pour que x appartienne à l'ensemble de définition de cette fonction.

Il n'y a aucune erreur dans la démonstration citée, l'identification de X se fait dans le polynôme formel qui correspond au dénominateur (défini et existant dans le cas de la fraction rationnelle) et dont on peut parler sans erreur mathématique.

Vous confondez (volontairement?) dénominateur de la Fraction rationnelle (parfaitement défini) avec celui de la fonction rationnelle (qui n'est un diviseur permis que quand il est non nul).
La rédaction, même implicite, dans sa forme la plus évidente (c'est à dire hors pinaillage que j'ai la faiblesse mais non l'aveuglement de penser avoir évacuer) évite cet ecueil.

Vous allez encore pinailler en disant que l'exo devrait être rédigé en "on définit la fraction rationnelle...machin à laquelle on associe la fonction rationnelle...etc..etc", et que la rédaction devrait soigneusement distinguer les deux objets  mais quel intérêt dans la mesure où aucune contradiction mathématique, aucun objet indéfinissable (au contraire du sujet primitif) n'intervient là dedans.
Remarquons de plus que Bourbaki lui eux mêmes admettent l'identification dans la notation de l'objet formel avec la fonction associée quand il n'y a pas d’ambiguïté (dirais-je hors pinaillage...)
Balthazaard
Balthazaard
Sage

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par Balthazaard le Mar 24 Jan 2017 - 23:26
Question subsidiaire: Qui connait la nouvelle "Les neuf milliards de noms de Dieu" de Carter Scholz?
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User17706
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question de notation de dérivée. - Page 6 Empty Re: question de notation de dérivée.

par User17706 le Mar 24 Jan 2017 - 23:31
Tiens, de la lecture ?
Balthazaard
Balthazaard
Sage

question de notation de dérivée. - Page 6 Empty Re: question de notation de dérivée.

par Balthazaard le Mar 24 Jan 2017 - 23:47
Ça a un rapport....(en tout cas cela m'y fait penser)
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User17706
Enchanteur

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par User17706 le Mar 24 Jan 2017 - 23:49
Merci du tuyau, je regarderai Smile
Balthazaard
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Sage

question de notation de dérivée. - Page 6 Empty Re: question de notation de dérivée.

par Balthazaard le Mar 24 Jan 2017 - 23:54
Elle est très dure à trouver, je l'ai lue dans un j'ai lu univers 83 ou 84 je crois.
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User17706
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question de notation de dérivée. - Page 6 Empty Re: question de notation de dérivée.

par User17706 le Mar 24 Jan 2017 - 23:57
Apparemment ça se trouve avec Gypsy.
RogerMartin
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question de notation de dérivée. - Page 6 Empty Re: question de notation de dérivée.

par RogerMartin le Mar 24 Jan 2017 - 23:57
Il y a un recueil en anglais de ses nouvelles qui date de 2003, The Amount to Carry -- est-ce qu'on a une idée du titre d'origine de la nouvelle ?

https://en.wikipedia.org/wiki/Carter_Scholz


Dernière édition par RogerMartin le Mar 24 Jan 2017 - 23:59, édité 1 fois

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par User17706 le Mar 24 Jan 2017 - 23:58
The Nine Billion Names of God.
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question de notation de dérivée. - Page 6 Empty Re: question de notation de dérivée.

par RogerMartin le Mer 25 Jan 2017 - 0:01
OK, j'ai regardé les critiques de lecteurs, la nouvelle figure dans The Amount to Carry.

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question de notation de dérivée. - Page 6 Empty Re: question de notation de dérivée.

par jaybe le Mer 25 Jan 2017 - 10:29
Certains ne se sont pas privés de faire dériver le sujet plusieurs fois (vous m'excuserez de cette inflexion critique, si vous n'êtes pas de ceux qu'on vexe).

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