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jaybe
Niveau 7

Re: question de notation de dérivée.

par jaybe le Mer 25 Jan 2017 - 10:29
Certains ne se sont pas privés de faire dériver le sujet plusieurs fois (vous m'excuserez de cette inflexion critique, si vous n'êtes pas de ceux qu'on vexe).
Zarathustra
Niveau 5

Re: question de notation de dérivée.

par Zarathustra le Mer 25 Jan 2017 - 10:38
@jaybe a écrit:Il y a un point de vue qui consiste à dire : on écrit ce que l'on veut, si à un moment on peut obtenir par déduction(s) une propriété contradictoire, on a prouvé que la théorie est non consistante et on arrête de jouer. Exemple avec 5/0 : par définition c'est un élément x qui vérifie 0x=5, or (si c'est un réel) il vérifie aussi 0x=0 par définition du 0, donc on a prouvé 5=0, etc.  

Incidemment c'est une technique qui permet parfois d'obtenir des résultats bien plus intéressants qu'on pourrait l'imaginer de prime abord, car cela permet de tester les limites d'une théorie (et si 5/0 n'était pas un réel ? Il faudrait construire un ensemble pour lequel 0 n'est pas absorbant, il y a de fortes chances que ça mette par terre d'autres axiomes...) et d'imaginer de nouvelles théories ; un exemple type est l'axiome d'anti-fondation qui autorise les ensembles qui appartiennent à eux-mêmes (que Russell aurait sans doute qualifié d'hérésie !).

Voilà.  Je suis 100% dans ce point de vue, et c'est ce que j'essaie de faire passer (sans beaucoup de succès Smile ).

La notation formelle syntaxiquement correcte suggère un objet mathématique.  D'une certaine façon, une notation formelle syntaxiquement correcte qui n'est pas atomique, relève un défi, ou définit un problème, si on veut.  L'ensemble de solutions de ce problème peut:
- être l'ensemble vide, alors le problème relevé n'a pas de solution, et il n'existe donc pas un objet mathématique représenté par l'expression formelle
- être un singleton ; c'est ce qu'on espérait, et alors l'expression formelle symbolise l'élément unique du singleton
- être un ensemble avec plusieurs éléments, alors l'expression formelle sera "ambiguë" car elle ne représente pas un seul, mais plusieurs objets mathématiques.

Ce n'est que quand l'ensemble de solution est un singleton, que l'expression formelle représente "un objet mathématique existant".

48/3 pose le problème : {x de R | 3 x = 48} = {16}, un singleton, donc l'expression "48/3" représente le nombre 16 (atomique).

48/0 pose le problème : {x de R | 0 x = 48} = {}, l'ensemble vide, donc 48/0 ne représente pas un nombre réel.

0/0 pose le problème: {x de R | 0 x = 0} = R, un ensemble avec plusieurs éléments, donc 0/0 est une expression formelle ambiguë.

Notez que sqrt(-4) pose le problème en R: {x de R | x^2 = -4 et x >= 0} = {} et ne représente donc pas un nombre réel.

Par contre, sqrt(-4) pose le problème en C: {x de C | x^2 = -4 et Im(x) > 0 ou Re(x) >= 0} = {2i}, un singleton, et donc sqrt(-4) = 2i (atomique).

L'expression formelle prend son sens (ou son absence de sens) seulement quand on a spécifié la structure dans laquelle on la considère (le champs R, ou le champs C).  Il peut effectivement être judicieux de considérer des structures différentes, et c'est un technique bien connue (souvent explorée par des physiciens Smile ) à travers l'histoire des mathématiques.

C'est comme ça que je n'ai pas seulement appris les choses (en première, surtout, en cours de logique formelle et théorie des ensembles), mais j'ai du mal à les concevoir autrement.  Ça m'a toujours été très net et clair comme ça.


Dernière édition par Zarathustra le Mer 25 Jan 2017 - 11:03, édité 2 fois
Zarathustra
Niveau 5

Re: question de notation de dérivée.

par Zarathustra le Mer 25 Jan 2017 - 10:48
@Moonchild a écrit:
@Zarathustra a écrit:Bon, allez, une question.  Comment faut-il rédiger la démonstration que 6 n'est pas un élément du domaine de la fonction f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) si on veut se tenir aux attentes de ne jamais écrire une expression formelle qui ne correspond pas à un objet mathématique ?

J'avais proposé une rédaction dans ce message, mais à ce moment-là, f s'appelait g :
http://www.neoprofs.org/t108354p25-question-de-notation-de-derivee#3954345

Voici l'extrait en question :

@Moonchild a écrit:
@Zarathustra a écrit:Oui, mais c'est cela que j'essaie de faire comprendre que c'est "hypocrite". Pour prendre l'exemple de g(x) = (x^2 + 5) / (x - 6), qui est une expression formelle, il faut bien "mettre 6 dedans" pour VOIR qu'on va diviser par 0. Pour ne pas écrire cette "horreur" de 41/0, alors on fait semblant de ne pas le faire, et on va regarder par quoi on divise, c'est (x-6), et là, on va mettre 6 dedans, et constater que c'est 0. Mais c'est exactement ce qu'on avait dit qu'on pouvait pas faire: "mettre dedans et constater qu'on a un 0 en bas". On prend le "morceau d'en bas, on met dedans, et on voit si ça donne 0", c'est exactement la même chose que "mettre dedans et voir si on a 0 en bas".
J'aurais tendance à dire que c'est une approche de physicien : pour savoir si g(6) existe, on fait l'expérience et comme on observe que l'expérience rate, alors on en conclut que g(6) n'existe pas.
C'est aussi une approche intuitive assez convaincante, mais elle n'est pas correcte en tant que démonstration mathématique car une telle rédaction suppose qu'il existe un objet mathématique noté 41/0 que l'on peut obtenir comme résultat d'un calcul.

Afin que tout soit clair, il faudrait d'abord replacer l'expression formelle dans la phrase qui l'introduit. Prenons par exemple la question :
"Déterminer l'ensemble de définition de la fonction g(x) = (x^2 + 5) / (x - 6)" (avec pour implicite usuel au niveau lycée "fonction de la variable réelle x")
Une rédaction possible est :
Pour tout réel x, g(x) est défini ssi x-6 est différent de 0.

Or, pour tout x réel, x-6=0 ssi x=6.

(donc x-6 est différent de 0 ssi x est différent de 0) souvent cette étape sera implicite

Conclusion, g(x) est défini pour tout réel x différent de 6.
A aucun moment dans cette démonstration il n'a été effectué de division par zéro ; au contraire, la première ligne rappelle que ce n'est pas possible.

Si, c'est la subtilité que j'essaie de démontrer.
Pour que g soit définie, il faut que son dénominateur soit une fonction qui ne contient pas 0 dans son image.  
Le dénominateur est donc la fonction w, symbolisé par w(x) = x - 6 et comme domaine R \ {6}.  Ce n'est que quand on considère w, qu'on peut envisager que g = u/w.  S'il est interdit d'écrire une relation formelle qui n'est pas un objet mathématique, on ne peut pas écrire g = u/v. (voir plus loin pour v).  v n'est donc pas le dénominateur de g.

Mais après, vous considérez la solution de x - 6 = 0 dans R.  Pourquoi ?  Vous regardez une autre fonction, v, qui est symbolisée par v(x) = x - 6 mais comme domaine R.  v n'a rien à voir avec "le dénominateur de g".    v est une autre fonction.  Alors, ce que v(x) peut faire en 6, ou ce que sin(x) peut faire en 6 pour ma part, n'a rien à voir avec "le dénominateur de g".  

Ce que je veux indiquer, c'est qu'en laissant flou la notation (x-6) sans spécifier le domaine, on a confondu deux fonctions, w et v.  Une qui peut faire office de dénominateur, car ne contenant pas 0 dans son image ; et une autre qui peut nous laisser trouver où se trouvent les points "où ça va foirer".

En n'écrivant que l'expression x - 6, on s'est permis d'indiquer, dans un cas, la fonction w, et dans l'autre cas, la fonction v.

Comme d'autres ont remarqué, effectivement, je crois qu'on peut s'en sortir en considérant la continuation analytique, de prouver son unicité, mais ce n'est pas du niveau d'un lycéen.

Vous avez tacitement fait cela, en considérant que v était la continuation analytique de w, qu'elle était unique, et qu'elle était la seule possible à être représentée par l'expres​sion(x - 6).


Dernière édition par Zarathustra le Mer 25 Jan 2017 - 11:10, édité 3 fois
Zarathustra
Niveau 5

Re: question de notation de dérivée.

par Zarathustra le Mer 25 Jan 2017 - 10:54
@Balthazaard a écrit:
Je crois que vous pinaillez et je ne sais plus qui a cité Bourbaki mais il serait bon de relire le chapitre sur les fractions rationnelles et fonctions rationnelles.
La fraction rationnelle est un objet formel qui est définie (ie existe) quand son dénominateur n'est pas le polynôme nul  (différent  de "s'annuler" ou quoi que ce soit de ce genre, il ne faut pas que ce soit le polynôme nul....)

Vous me chauffez le coeur !

C'est exactement ce que je veux dire dès le départ: une expression FORMELLE qui peut s'avérer de ne pas exister, n'est pas un blasphème !  C'est très utile, et ne nuit pas à la rigueur mathématique du tout, quand on distingue bien les expressions formelles dont on a prouvé qu'ils représentent un objet mathématique, de ceux où ce n'est pas (encore?) le cas, justement, pendant des explorations de la question d'existence.  Mais on m'a bien fait comprendre que cela est contre "les attentes du professeur" et que c'est parfois lourdement sanctionné dans les copies.

Maintenant, il y a une subtilité dans votre réponse, bien sûr, car vous parlez d'un objet mathématique qui est bien représenté par l'expression rationnelle, c.a.d. vous parlez de l'élément dans l'anneau des fractions rationnelles formelles avec les coefficients en R. A partir de cet anneau, on peut effectivement établir une application qui les transforme en élément de l'anneau des fonctions de R -> R, qui va nous donner la fonction qui correspond à l'expression formelle.

Cette structure n'est pas étudiée au lycée, donc on ne peut pas contourner l'affaire comme ça. Et j'aurais pu écrire f(x) = sqrt(x^2 + 9)/(x - 6) et on sort de l'anneau des expressions rationnelles, et il faut en inventer une pour l'occasion. Cette structure d'expressions formelles est exactement à laquelle je fais allusion quand je considère l'existence de l'expression formelle dans un langage formel, et sa sémantique. Mais on peut bien sûr toujours "mettre une couche entre" et déclarer des classes d'expressions comme des objets mathématique.

Et oui, j'ai été formé en Bourbakiste, et le fait de voir qu'il fait maintenant parti des exigences qu'il soit strictement interdit d'écrire une expression formelle qui n'est pas un objet mathématique, me désole quelque part.  Car c'est se compliquer la vie d'une façon monstrueuse.
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neo-fit
Niveau 8

Re: question de notation de dérivée.

par neo-fit le Mer 25 Jan 2017 - 12:12
Problèmes de connexion, je n’ai pas la possibilité de prévisualiser ce que je poste.
Mon message a été rédigé il y a plus de 24h, mais je n’ai pas réussi à l’expédier, j’y ai passé trop  de temps pour le reprendre depuis les nouvelles réponses.
Je compte sur votre indulgence.

@Zarathustra a écrit:
Je n'ai plus la copie exacte sous la main, mais c'était une question du genre:

f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) qui est définie pour x>6.

a) est-ce que la fonction f est dérivable en 7 ?  Si oui, quelle est la valeur du nombre dérivé ?

[…]

La réponse rédigée était:

a) 7 appartient au domaine de f.

f'(7) = lim_{h->0} (f(7 + h) - f(7))/h) = .... calculs .... = "la bonne valeur".

[…]

Le prof a barré le "f'(7)" et le "lim" partout, et a écrit en dessous "... donc ... ".
[…]
Rédiger ainsi la réponse ne répond pas à la 1ère partie de la question : f est-elle dérivable en 7 ? En y rédigeant comme le propose BR dans une page précédente, on prouve proprement l’existence du nombre dérivé et de surcroît on gagne sa valeur.
En rédigeant, comme proposé ci-dessus, je dirais qu’on « tourne en rond ».
En considérant, la série de calculs comme une série d’  « expressions formelles », il me semble que ce n’est pas parce qu’elle arrive à l’objet mathématique attendu, qu’on peut considérer que ça valide l’existence de l’objet qu’on cherchait (cf l’exemple que je propose dans une page précédente mais peut être n’est-il pas pertinent, ce qui explique que personne n’ait réagi, mais alors j’aimerais comprendre ce qui ne va pas).

@Zarathustra a écrit:
Mon gamin s'est gaufré sur un autre exercice du style, même genre de question, mais il avait marre de faire le truc avec le h, et là, il a simplement calculé la dérivée directement en utilisant (u' v - v u') / v^2 et il a tout bonnement eu 0/6 car la question était la même avec une autre fonction rationnelle.  Le calcul était juste, mais en calculant simplement la dérivée avec les règles de calcul le prof a considéré (sans doute, il y a juste une barre rouge à travers toute la réponse) qu'il n'avait pas répondu à la question de la dérivabilité.

Mais là, c'est de ma faute, car j'avais pris de l'avance avec lui, et ils n'avaient pas encore vue la formule en cours de la dérivée de u/v, et le DS portait sur l'utilisation du lim_{h->0} visiblement.

On pourrait même pinailler sur le 0/6 parce qu'on utilise la formule de dérivée, car normalement c'est un théorème qui dit que si (u'v - v'u)/v^2 existe, alors (u/v)' existe aussi, mais comme ce n'était pas encore vu en cours, il n'y a rien à dire.

En calculant (u' v - v u') / v^2 il n’a pas prouvé la dérivabilité, il a sous l’hypothèse que la fonction soit dérivable, calculer la dérivée potentielle.

En fait, si j’ai bien compris ce que vous dites, vous postulez que si le calcul est rendu possible et conduit à un objet mathématique, il prouve a posteriori ce qu’on voulait.

Mais je crois qu’il ne faut pas oublier comment dans le cas général ce calcul a été obtenu. Il découle comme un cadeau du théorème qui justifie la dérivabilité et ce théorème ne dit pas ce que vous dites : « si (u'v - v'u)/v^2 existe, alors (u/v)' existe »
Il produit plutôt : si (u/v)’ existe alors (u/v)’=(u'v - v'u)/v^2

En fait plus précisément, on a :
si u et v sont dérivables sur I et si de plus v ne s’annule pas sur I alors u/v est dérivable sur I et vous savez quoi en plus sur I, (u/v)’=(u’v-uv’)/v^2.

Je ne crois pas que ce soit la possibilité de faire le calcul u’v-uv’/v^2 formellement jusqu’à ce qu’il donne un objet mathématique (de la nature attendue) qui peut justifier la dérivabilité (cf. mon exemple dans une page précédente).

En cherchant à prouver la dérivabilité d’une telle fonction, on récupère en cadeau et seulement sur I le calcul (u/v)’=(u’v-uv’)/v^2.

Donc si votre fils avec l’avance qu’il avait prise voulait se débarrasser de la corvée du h, il me semble qu’il aurait été plus prudent de dire :
f =u/v avec u et v des fonctions dérivables en 7 (et là les attentes sur les justifications pour la dérivabilité de u et v seront peut être différentes d’un prof à l’autre ou selon où on en est dans la maîtrise des connaissances) et v ne s’annule pas en 7 (ou pourquoi pas directement si le cas a été énoncé en classe, f est une fonction rationnelle définie en 7) donc f est dérivable en 7 et f’(7)=(u’(7)v(7)-u(7)v’(7))/(v(7))^2 puis finir le calcul.

Si le raisonnement est irréprochable, même si ces connaissances n’ont pas encore été abordées avec les élèves, il me paraît difficile de sanctionner quelque chose de juste.
Mais si la méthode utilisée par l’élève n’a pas été abordée en classe et qu’il ne la maîtrise pas parfaitement alors qu’une autre déjà étudiée est attendue, il faut s'attendre à une lourde sanction.

@Zarathustra a écrit:
Seulement, je ne comprenais pas ce qu'il y avait de mal à écrire ce qu'il avait écrit.  (surtout qu'en fait, la fonction était dérivable !).
Prouver que la fonction était dérivable était l’objet de la question, la valeur du nombre dérivé n’était qu’un « sous-produit ».
Pour reprendre l’image de PauvreYorick, il ne faut pas s’étonner de trouver au fond du chapeau la dérivabilité que vous avez commencé par y mettre.

@Zarathustra a écrit:
Avec tout ce qui est écrit ci-dessus, je comprends cette réaction, mais je crois que c'est une sorte de rituel, qui n'a pas de fondement profond.  Seulement, il faut qu'il s'y adapte, même si cela manque un fond, si ça fait partie de la culture, c'est comme ça.
Avec toutes les réponses que vous avez obtenues, que comprenez-vous dans la réaction qui ne soit pas suffisant pour vous convaincre qu’il ne s’agit pas d’un rituel pour se donner de l’importance ? Où ne voyez-vous pas de fondement profond ?

@Zarathustra a écrit:
J'avance cette hypothèse, car, tout physicien de mon état, je suis lourdement choqué par le fait qu'on introduise le concept de dérivé, avec la notation de limite, sans avoir même défini le concept de limite.  Je suis aussi, tout physicien mal-propre sur lui, choqué quand on introduit la notion de fonction par des expressions de calcul, et non comme un ensemble de couples.  Ce n'est pas la faute des profs, mais du programme qui quitte ainsi, les mathématiques.

Mais on peut accepter cela, si on considère que la matière qui s'appelle "mathématiques" au lycée, est en fait un "cours de résolution de problèmes", où l'on ne construit plus un système mathématique cohérent, mais où on introduit des OUTILS pour résoudre des problèmes.
Bien d’accord que les actuels programmes sont très inconfortables et puissent conduire l’élève à se dire l’horrible «bon ben c’est comme ça ».

@Zarathustra a écrit:
Mais à ce moment-là, ça devient ridicule d'exiger une "rigueur" dans la rédaction, quand toute la structure rigoureuse est déjà passée à la trappe de façon officielle.  Aller critiquer une écriture de f'(a) = lim.... alors que le symbole "lim" même ne correspond à rien, devient selon moi, ridicule.
Pas ridicule (d’autant moins selon ce qu’a pu enseigner le professeur et comment il l’a fait) mais difficile à négocier, certainement.
On ne peut cependant pas laisser une erreur de raisonnement s’installer même si la justification ne peut venir que plus tard ou alors il faut supprimer ce genre d’exercices.
Et si on lâche sur la rigueur pour tout, il ne va pas rester grand chose ;-)


@Zarathustra a écrit:
Quand je vois cela, je trouve qu'il y a une disparité totale entre la nonchalance totale sur le plan de la rigueur (la vraie rigueur) dans l'enseignement, et un pinaillage sur des dadas formels d'un autre.
Je conçois qu’on puisse ressentir cela, c’est un vrai problème.

@Zarathustra a écrit:
J'ai l'impression que cette phase d'exploration, qui est pourtant l'essentiel dans le métier, est reléguée "au brouillon", pour revenir en suite, avec une solution toute faite, comme si l'essentiel, à savoir, l'exploration, n'a jamais eu lieu, et qu'on connaissait la réponse dès le départ.

Seulement, la partie intéressante dans tout problème, c'est l'exploration, le chemin qui nous a permis de passer de "je ne sais pas" à "Euréka!", et pas la rédaction de la réponse, non ?  La rédaction de la réponse, c'est pour le comptable et le bibliothécaire, mais là où ça fait toute la différence, c'est entre une exploration qui fonctionne, et une qui patauge, non ?
La phase d’exploration est tout aussi intéressante que la rédaction, mais il est vrai qu’elle est occultée dans le produit fini, cela ne veut pas dire pour autant qu’elle ne soit pas abordée en classe.
Ce qui est dommage c’est qu’il devient bien difficile en classe de dédier un temps suffisant à chacune.


Le message étant déjà très long, je passe en spoiler
:

différents extraits

@Zarathustra a écrit: Pour moi, quand on écrit f(x) = x^2, l'expression x^2 n'est pas une fonction
Pour le prof de maths non plus, ni cette égalité ni l’expression   x^2 n’est une fonction.
Et bien que définir « fonction » est bien délicat actuellement, je pense que nous évitons, corrigeons ce type de confusion et insistons lorsque l’occasion se présente – souvent.

@Zarathustra a écrit:
Mais il semble que "les profs de math" confondent la symbolique f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) comme expression formelle (c.a.d. comme élément d'un langage de type L1) et l'objet mathématique qui est suggéré par cette expression, c.a.d. une fonction mathématique de R en R ; puis, ils demandent de déduire des propriétés de l'objet mathématique (la fonction), mais hurlent quand on utilise l'expression formelle et les opérations comme, par exemple, la substitution, pour en extraire ces propriétés !
Je ne crois pas que « les profs de math » font la confusion que vous pensez.

@Zarathustra a écrit:
Quand vous donnez un exercice du genre discuté ci-dessus, "soit la fonction f(x) = (x^2 + 5)/(x-6), quel est son domaine maximal ?", vous pensez que vous posez une question concernant une fonction, mais en réalité vous posez une question concernant une expression formelle.
Je pense que vous ne verrez pas souvent la formulation « soit la fonction f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) »

@Zarathustra a écrit:
Je voyais f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) comme une expression formelle, qui donne lieu à un objet mathématique, mais pour explorer cet objet, il n'y a rien de mal à jouer avec l'expression formelle (qu'elle ait un sens mathématique ou non).

J'ai l'impression que le prof de math considère que (x^2 +5)/(x-6) EST l'objet mathématique, et pas une expression formelle qu'on manipule pour indiquer un objet mathématique implicite.  Je reste sur ma conviction que, surtout en phase d'exploration, il faut distinguer les deux (et je reste aussi sur ma conviction qu'on ne peut que faire cela, et en le contournant avec d'autres symboles, on cache cette distinction mais on ne peut pas s'en affranchir), mais pour éviter des frustrations d'élève, il vaut mieux lui apprendre les formalités requises (bien que je ne peux pas les "expliquer").
C'était conceptuellement bien plus simple avec des ensembles.  Tout le monde voit que (x^2 + 5)/(x - 6) n'est pas "un ensemble de couples" donc cette expression ne peut pas être la fonction, mais seulement une sorte de descriptif, aide formelle, qui implique une fonction qu'on n'a pas explicitée mais qui aura le nom de f. Alors, faire des horreurs avec cette expression n'est pas grave, on sait que ce n'est pas un objet mathématique (ce n'est pas un ensemble, donc ce n'est pas un objet mathématique).   Arriver à un 41/0 formel veut simplement dire qu'on n'aura pas un couple qui contiendra (6, ?).
La phase d’exploration, jouer avec l’expression et la manipuler, quitte à arriver à un résultat « interdit » ne fait pas hurler tant qu’on sait quoi en conclure.
Par ailleurs, il y a un moment où il est plus fastidieux de triturer chaque expression rencontrée que d’utiliser une définition ou un théorème.
L’intérêt c’est d’établir des résultats généraux.
@Moonchild a écrit:
Une rédaction possible est :
Pour tout réel x, g(x) est défini ssi x-6 est différent de 0.

Or, pour tout x réel, x-6=0 ssi x=6.

(donc x-6 est différent de 0 ssi x est différent de 0) souvent cette étape sera implicite

Conclusion, g(x) est défini pour tout réel x différent de 6.
C’est quand même plus économe et exploitable dans d’autres situations que de travailler à chaque fois au cas par cas comme vous le faites dans vos exemples de recherche d’ensemble de définition.

Enfin, si on se permet avec des élèves des choses du genre : je fais ceci et ça donne cela et finalement j’arrive à 41/0 mais comme 41/0 n’est pas un nombre réel donc ……
Il y a un risque de déperdition de l’information : combien d’élèves occulteront « mais comme 41/0 n’est pas un nombre réel donc… », et 41/0 prendra le pouvoir.
Par ailleurs, si on arrive à « devoir » écrire 41/0, il y a fort à parier qu’on pouvait s’arrêter avant, donc autant le faire.

Je n'ai plus le temps mais j'essaierai d'en discuter plus tard, il me semble qu'il y a dans vos messages sur l'utilisation des expressions formelles, deux choses à distinguer, la question de celles qui peuvent conduire à une conclusion sur la non existence et celles pour lesquelles vous trouvez qu'on peut conclure à l'existence.
Juste ça ajouté aujourd’hui :
@Zarathustra a écrit:

C'est exactement ce que je veux dire dès le départ: une expression FORMELLE qui peut s'avérer de ne pas exister, n'est pas un blasphème !  C'est très utile, et ne nuit pas à la rigueur mathématique du tout, quand on distingue bien les expressions formelles dont on a prouvé qu'ils représentent un objet mathématique, de ceux où ce n'est pas (encore?) le cas, justement, pendant des explorations de la question d'existence.  Mais on m'a bien fait comprendre que cela est contre "les attentes du professeur" et que c'est parfois lourdement sanctionné dans les copies.

Et oui, j'ai été formé en Bourbakiste, et le fait de voir qu'il fait maintenant parti des exigences qu'il soit strictement interdit d'écrire une expression formelle qui n'est pas un objet mathématique, me désole quelque part.  Car c'est se compliquer la vie d'une façon monstrueuse.
Pour ce qui concerne votre fils, dans votre question de départ et plus tard, sa succession d’expressions formelles conduit à un objet mathématique unique et de la nature attendue. Mais pourquoi, trouvez-vous que ça justifie ce qui était demandé ?
Dans ces exercices, la conclusion attendue n’est pas la non-existence mais l’existence.
Or si dès le départ, on dit ça existe, il est naturel de trouver à la fin que ça existe et on n’a pas prouvé que ça existe finalement.
Il me semble que c’est différent, si la suite d’expressions formelles conduit à un problème, alors on pourrait conclure à la non-existence.


Dernière édition par neo-fit le Jeu 26 Jan 2017 - 13:42, édité 1 fois
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Anaxagore
Empereur

Re: question de notation de dérivée.

par Anaxagore le Mer 25 Jan 2017 - 12:19
On peut voir cela comme la description d'un projet de composition et la question revient à se demander quel est l'ensemble de définition maximal pour lequel la composition est définie, c'est-à-dire que les inclusions nécessaires sont vraies.

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User17706
Enchanteur

Re: question de notation de dérivée.

par User17706 le Mer 25 Jan 2017 - 12:54
J'avais la discrète impression d'avoir discrètement réglé la question mais apparemment je me trompais au moins en partie. C'est moi, ou bien le fil est inutilement compliqué par rapport à la question de départ ?

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'Tis a blushing, shamefaced spirit that mutinies in a man’s bosom. It fills a man full of obstacles. It made me once restore a purse of gold that by chance I found. It beggars any man that keeps it. It is turned out of towns and cities for a dangerous thing, and every man that means to live well endeavors to trust to himself and live without it.
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Anaxagore
Empereur

Re: question de notation de dérivée.

par Anaxagore le Mer 25 Jan 2017 - 13:01
J'ai appelé ça "tortiller du cul pour chier droit".

Il y a certainement des considérations liées au plaisir dans tout cela.

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VinZT
Grand sage

Re: question de notation de dérivée.

par VinZT le Mer 25 Jan 2017 - 13:44
Une autre expression consacrée possible concerne des diptères auxquels ont fait subir les derniers outrages …
Purée ! Sept pages parce que Chérubin n'a pas eu tous ses points !

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Anaxagore
Empereur

Re: question de notation de dérivée.

par Anaxagore le Mer 25 Jan 2017 - 13:47
J'imagine la discussion pour la première dissertation de philosophie. :chat:

Quant au fait qu'il y a des choses implicites, heureusement pour les élèves.

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Zarathustra
Niveau 5

Re: question de notation de dérivée.

par Zarathustra le Mer 25 Jan 2017 - 14:48
@neo-fit a écrit:Problèmes de connexion, je n’ai pas la possibilité de prévisualiser ce que je poste.

En calculant (u' v - v u') / v^2 il n’a pas prouvé la dérivabilité, il a sous l’hypothèse que la fonction soit dérivable, calculer la dérivée potentielle.

En fait, si j’ai bien compris ce que vous dites, vous postulez que si le calcul est rendu possible et conduit à un objet mathématique, il prouve a posteriori ce qu’on voulait.


Ben, oui.

Regardez bien:


Mais je crois qu’il ne faut pas oublier comment dans le cas général ce calcul a été obtenu. Il découle comme un cadeau du théorème qui justifie la dérivabilité et ce théorème ne dit pas ce que vous dites : « si (u'v - v'u)/v^2 existe, alors (u/v)' existe »
Il produit plutôt : si (u/v)’ existe alors (u/v)’=(u'v - v'u)/v^2

En fait plus précisément, on a :
si u et v sont dérivables sur I et si de plus v ne s’annule pas sur I alors u/v est dérivable sur I et vous savez quoi en plus sur I, (u/v)’=(u’v-uv’)/v^2.

Cela veut exactement dire ce que je dis: si on arrive à calculer u' et v' (ce qui implique, à leur tour, leur existence par des théorèmes similaires) et on arrive à écrire (u' v - v' u) / v^2 (on ne peut pas écrire les résultats de u' et v' s'ils n'existent pas), cela implique bien l'existence de (u/v)' .  Il ne faut même pas vérifier que v ne s'annule pas, car si l'élément a en question fait partie du domaine de f = u/v, alors v ne peut pas s'y annuler.


Je ne crois pas que ce soit la possibilité de faire le calcul u’v-uv’/v^2 formellement jusqu’à ce qu’il donne un objet mathématique (de la nature attendue) qui peut justifier la dérivabilité (cf. mon exemple dans une page précédente).

Ben justement si.  Et j'ai montré que ça marche d'ailleurs très bien...


Donc si votre fils avec l’avance qu’il avait prise voulait se débarrasser de la corvée du h, il me semble qu’il aurait été plus prudent de dire :
f =u/v avec u et v des fonctions dérivables en 7 (et là les attentes sur les justifications pour la dérivabilité de u et v seront peut être différentes d’un prof à l’autre ou selon où on en est dans la maîtrise des connaissances) et v ne s’annule pas en 7 (ou pourquoi pas directement si le cas a été énoncé en classe, f est une fonction rationnelle définie en 7) donc f est dérivable en 7 et f’(7)=(u’(7)v(7)-u(7)v’(7))/(v(7))^2 puis finir le calcul.

Le fait même de "finir le calcul" montre leur existence, je dirai.

On ne peut pas donner le résultat, et avoir un doute qu'il n'existe pas, non ?

Si on pose la question: est-ce que la division de 8 par 2 est un nombre, et je réponds: 8/2 = 4, on peut supposer que j'ai prouvé que 8/2 est bien un nombre.  Si on pose la question: est-ce que f(x) = x^2 + 3 est dérivable en 2, et j'écris: f'(x) = 2x donc f'(2) = 4, je suppose que j'ai prouvé la dérivabilité de f en 2.  

Dans l'exemple de f(x) = x^2/x, si je calcule f'(x) = (2x x - 1.x^2)/x^2, en écrivant 2x, j'ai prouvé que u est dérivable (et donne 2x), et que v est dérivable (et donne 1).  Je peux en plus écrire f'(x) = x^2/x^2.

Maintenant, si on pose la question si f(x) est dérivable en 0, on peut ou bien toute de suite s'arrêter, et constater que 0 ne fait pas parti du domaine de f.  Mais on peut aussi constater que x^2/x^2 n'est pas défini en x = 0, et donc que f'(x) n'existe pas en 0.  On a donc démontré que f n'est pas dérivable en 0, même si u est toujours dérivable (c'est 2x et en 0 c'est 0), et v est toujours dérivable (c'est 1), mais v s'annule en 0 ; mais c'est justement cette annulation qui fait que f ne contenait pas 0 dans son domaine en premier lieu.  Mais aussi, qui ne nous permet pas de mener à bon port, le calcul de la dérivée, ce qui est exactement ce que veut dire "ne pas être dérivable".

Je me demande si vous pouvez me fournir un exemple où on peut calculer, avec la règle de calcul, un f'(x) = (u'v - v'u)/v^2 qui donne un bon résultat en un point a, sans que f ne soit dérivable en a.


Si le raisonnement est irréprochable, même si ces connaissances n’ont pas encore été abordées avec les élèves, il me paraît difficile de sanctionner quelque chose de juste.
Mais si la méthode utilisée par l’élève n’a pas été abordée en classe et qu’il ne la maîtrise pas parfaitement alors qu’une autre déjà étudiée est attendue, il faut s'attendre à une lourde sanction.

Il ne faut donc pas trop tenir compte de ce qui est sanctionné pour apprendre des maths Smile


Avec toutes les réponses que vous avez obtenues, que comprenez-vous dans la réaction qui ne soit pas suffisant pour vous convaincre qu’il ne s’agit pas d’un rituel pour se donner de l’importance ? Où ne voyez-vous pas de fondement profond ?

Je reste convaincu que c'est stérile comme "attente", mais, comme je le disais déjà, il en est une autre chose de développer une stratégie pour avoir de bonnes notes au DS.  Donc, une question a bien été répondue, sur le plan pratique: les attendes des professeurs.  Je l'ignorais.  Et dans la mesure où je veux aider mon gamin, j'essaierai de lui faire comprendre ces attentes.

Mais l'essentiel de la discussion ne tourne pas autour des "réponses et notes de mon gamin".  Ce n'était qu'un prétexte, finalement, pour ouvrir le débat sur le fond des attentes, et là, je reste sur ma faim.  Je ne vois aucune justification intellectuelle d'avoir ces attentes. Je pourrais les comprendre plus sur le plan pédagogique, et je crois que c'est Moonchild qui a relevé cela un peu à un certain moment (si on n'est pas sévère là-dessus, c'est la porte ouverte à du grand n'importe-quoi), mais je reste convaincu que le "dogme" de "on n'écrit pas un truc formel dont on n'est pas sûr qu'il représente un objet mathématique" n'est pas seulement rendre la vie inutilement difficile, mais en plus, est mathématiquement contre-productif, car dans les galeries profondes et obscures des fondements des mathématiques, il y a la relation subtile entre le formel et l'abstrait, et on rend l'accès à cela impossible en "apprenant" cette fausse rigueur aux élèves.


Et si on lâche sur la rigueur pour tout, il ne va pas rester grand chose ;-)

C'est un peu le commentaire de Moonchild et celui-là est parfaitement audible.  Mais, justement, ce n'est pas de la rigueur, c'est ce que je veux dire.  La réflexion mathématique proprement dite, les capacités de raisonnement, les intuitions de comment aborder un problème, ne sont nullement mis en cause en lâchant cette "rigueur" (je dirais, "au contraire").

Pour moi, écrire "41/0 n'est pas un nombre" est parfaitement rigoureux.  Par contre, écrire que f(x) = x/x = 1, donc f(0) = 1, ça, c'est faux et dû à un manque de rigueur.  Au contraire, écrire "f(x) = x/x donc f(0) = 0/0 est indéterminé" montre une parfaite maîtrise des notions en jeu.  Par contre, le couillon qui écrit "f(0) = 0/0 = 1" n'a, justement, rien compris.  La fausse rigueur va mettre les deux expressions au même plan: sanctionné, tandis que la différence entre les deux est le point essentiel à faire comprendre.


Ce qui est dommage c’est qu’il devient bien difficile en classe de dédier un temps suffisant à chacune.

C'est pour cela que je dois me taper de jouer au prof à la maison.  Et il est totalement vrai que je ne connaissais pas l'exigence du prof de ne "pas écrire une expression formelle qui n'existe pas comme objet mathématique".

Mon espoir, c'était d'entendre une bonne raison pour cela, mais il faut dire que je reste un peu sur ma faim.


Je pense que vous ne verrez pas souvent la formulation « soit la fonction f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) »

Oubliez le "soit" Wink


Enfin, si on se permet avec des élèves des choses du genre : je fais ceci et ça donne cela et finalement j’arrive à 41/0 mais comme 41/0 n’est pas un nombre réel donc ……
Il y a un risque de déperdition de l’information : combien d’élèves occulteront « mais comme 41/0 n’est pas un nombre réel donc… », et 41/0 prendra le pouvoir.
Par ailleurs, si on arrive à « devoir » écrire 41/0, il y a fort à parier qu’on pouvait s’arrêter avant, donc autant le faire.

Voila une raison pédagogique audible.


Pour ce qui concerne votre fils, dans votre question de départ et plus tard, sa succession d’expressions formelles conduit à un objet mathématique unique et de la nature attendue. Mais pourquoi, trouvez-vous que ça justifie ce qui était demandé ?
Dans ces exercices, la conclusion attendue n’est pas la non-existence mais l’existence.
Or si dès le départ, on dit ça existe, il est naturel de trouver à la fin que ça existe et on n’a pas prouvé que ça existe finalement.
Il me semble que c’est différent, si la suite d’expressions formelles conduit à un problème, alors on pourrait conclure à la non-existence.

Voir plus haut.

Le théorème n'est pas: si f = u/v et si f est dérivable, alors u et v sont dérivables et le résultat est: (u'v-v'u)/v^2, mais bel et bien comme vous l'avez énoncé:

si f = u/v, et u et v sont dérivables, et v ne s'annule pas, alors f est dérivable, ce qui était la question.

Il SUIT donc, du résultat du calcul (où il est implicitement établi la dérivabilité de u et de v, puisque les expressions de ces dérivés sont utilisés), que la fonction du départ était dérivable, ce qui répond parfaitement à la question.

On ne part pas du tout de l'hypothèse que f soit dérivable.


Dernière édition par Zarathustra le Jeu 26 Jan 2017 - 14:15, édité 3 fois
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Anaxagore
Empereur

Re: question de notation de dérivée.

par Anaxagore le Mer 25 Jan 2017 - 14:57
Vous lui faites utiliser un théorème qu'il n'est pas supposé appliquer au stade du cours auquel il était.

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"De même que notre esprit devient plus fort grâce à la communication avec les esprits vigoureux et raisonnables, de même on ne peut pas dire combien il s'abâtardit par le commerce continuel et la fréquentation que nous avons des esprits bas et maladifs." Montaigne
Zarathustra
Niveau 5

Re: question de notation de dérivée.

par Zarathustra le Mer 25 Jan 2017 - 15:09
@Anaxagore a écrit:Vous lui faites utiliser un théorème qu'il n'est pas supposé appliquer au stade du cours auquel il était.

A ma défense, le problème avec la façon dont le cours de maths est abordé, est que au début de chaque chapitre, ça va très, très lentement, et c'est "facile à suivre".  La semaine du DS, soudain, il y a une accélération et les notions et les problèmes faites en classe deviennent difficiles et il n'y a presque pas de temps pour faire des exos supplémentaires et s'entrainer.  Mon gamin s'est fait avoir quelques fois au début de l'année.  Donc l'astuce c'est de "faire le chapitre" dès le départ, avec les outils du commerce style anabac et prepabac etc... et de s’entraîner pendant que "c'est facile".  Je ne fais pas "le cours".  Il le lit dans les livres d'exos, et si ce n'est pas clair pour lui, on en parle ; il regarde les "techniques de solution", et puis, il aborde les exos pour s'entraîner.  S'il est coincé, j'aide.  (le livre du lycée, pleins de couleurs etc... n'est pas très utilisable).  La plupart du temps, je lui indique simplement ce qu'il faut faire (les pages, les numéros d'exos), et il se débrouille tout seul.  Parfois, il a besoin d'un coup de pouce mais c'est tout.
Mais le "point d'arrêt" pour le DS est difficile à prévoir car la pente est raide juste avant.

Ils avaient, pour ce DS, vu les formules pour (u+v)', pour (a.u)' et pour (u.v)' ( tout ça les deux jours avant le DS, avant, ils jouaient avec des (a+h) ...pendant 3 semaines je crois), mais, justement, le quotient n'a pas été abordé.  Lui, il avait déjà mangé ~40 exos sur le calcul de la dérivée pendant les semaines avant, car on ne peut pas s'entraîner dessus 1 jour avant, hein.   Exercice du dernier jour: une optimisation d'un volume de cylindre dans un cône en utilisant la dérivée. Difficile à doser juste.


Dernière édition par Zarathustra le Mer 25 Jan 2017 - 15:38, édité 2 fois
Zarathustra
Niveau 5

Re: question de notation de dérivée.

par Zarathustra le Mer 25 Jan 2017 - 15:27
@Anaxagore a écrit:J'ai appelé ça "tortiller du cul pour chier droit".

Il y a certainement des considérations liées au plaisir dans tout cela.

Il n'y a QUE des considérations liées au plaisir dans tout ceci. (ou presque ; je voulais comprendre certaines attitudes pour pouvoir aider mon gamin, mais ça, c'est fait depuis la première page...)
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RogerMartin
Empereur

Re: question de notation de dérivée.

par RogerMartin le Mer 25 Jan 2017 - 16:28
@Zarathustra a écrit:
@Anaxagore a écrit:J'ai appelé ça "tortiller du cul pour chier droit".

Il y a certainement des considérations liées au plaisir dans tout cela.

Il n'y a QUE des considérations liées au plaisir dans tout ceci. (ou presque ; je voulais comprendre certaines attitudes pour pouvoir aider mon gamin, mais ça, c'est fait depuis la première page...)

Un minimum d'honneteté intellectuelle aurait donc pu alors vous amener à faire figurer le terme "résolu" dans le titre du sujet -- vous pouvez encore le faire en éditant votre premier message. Mais si vous préférez troller... Cela ne ramènera pas les points de votre fils, et vous devriez plutot lui conseiller de suivre au mieux les indications et les exigences de son enseignant.

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Zarathustra
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Re: question de notation de dérivée.

par Zarathustra le Mer 25 Jan 2017 - 16:38
@RogerMartin a écrit:
@Zarathustra a écrit:
@Anaxagore a écrit:J'ai appelé ça "tortiller du cul pour chier droit".

Il y a certainement des considérations liées au plaisir dans tout cela.

Il n'y a QUE des considérations liées au plaisir dans tout ceci. (ou presque ; je voulais comprendre certaines attitudes pour pouvoir aider mon gamin, mais ça, c'est fait depuis la première page...)

Un minimum d'honneteté intellectuelle aurait donc pu alors vous amener à faire figurer le terme "résolu" dans le titre du sujet

Pas du tout.  Le facteur plaisir reste d'actualité.  Rien n'est résolu là-dedans.

Vous n'êtes pas là pour votre plaisir ?
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Balthazaard
Expert spécialisé

Re: question de notation de dérivée.

par Balthazaard le Mer 25 Jan 2017 - 18:24
@Zarathustra a écrit:
@Balthazaard a écrit:
Je crois que vous pinaillez et je ne sais plus qui a cité Bourbaki mais il serait bon de relire le chapitre sur les fractions rationnelles et fonctions rationnelles.
La fraction rationnelle est un objet formel qui est définie (ie existe) quand son dénominateur n'est pas le polynôme nul  (différent  de "s'annuler" ou quoi que ce soit de ce genre, il ne faut pas que ce soit le polynôme nul....)

Vous me chauffez le coeur !

C'est exactement ce que je veux dire dès le départ: une expression FORMELLE qui peut s'avérer de ne pas exister, n'est pas un blasphème !  C'est très utile, et ne nuit pas à la rigueur mathématique du tout, quand on distingue bien les expressions formelles dont on a prouvé qu'ils représentent un objet mathématique, de ceux où ce n'est pas (encore?) le cas, justement, pendant des explorations de la question d'existence.  Mais on m'a bien fait comprendre que cela est contre "les attentes du professeur" et que c'est parfois lourdement sanctionné dans les copies.

Maintenant, il y a une subtilité dans votre réponse, bien sûr, car vous parlez d'un objet mathématique qui est bien représenté par l'expression rationnelle, c.a.d. vous parlez de l'élément dans l'anneau des fractions rationnelles formelles avec les coefficients en R.  A partir de cet anneau, on peut effectivement établir une application qui les transforme en élément de l'anneau des fonctions de R -> R, qui va nous donner la fonction qui correspond à l'expression formelle.  

Cette structure n'est pas étudiée au lycée, donc on ne peut pas contourner l'affaire comme ça.  Et j'aurais pu écrire f(x) = sqrt(x^2 + 9)/(x - 6) et on sort de l'anneau des expressions rationnelles, et il faut en inventer une pour l'occasion.  Cette structure d'expressions formelles est exactement à laquelle je fais allusion quand je considère l'existence de l'expression formelle dans un langage formel, et sa sémantique.  Mais on peut bien sûr toujours "mettre une couche entre" et déclarer des classes d'expressions comme des objets mathématique.

Et oui, j'ai été formé en Bourbakiste, et le fait de voir qu'il fait maintenant parti des exigences qu'il soit strictement interdit d'écrire une expression formelle qui n'est pas un objet mathématique, me désole quelque part.  Car c'est se compliquer la vie d'une façon monstrueuse.

1) Effrayant!!! votre aveuglement vous pousse à comprendre les arguments à l'encontre de leur signification C Chevalley doit se retourner dans sa tombe!. Ce qui est dit ici c'est que la fraction rationnelle , objet formel, existe  (ie est concevable, est nommable, est inscriptible, a un nom...etc) que si le dénominateur n'est pas le polynôme nul (identifié à l'élément neutre de l'anneau initial). Cela grave dans le marbre une fois pour toute l'inconcevabilité (donc l'impossibilité de l'écrire dans ce que l'on nomme communément "mathématique ") d'une chose telle que P(X)/0.

2) "une expression FORMELLE qui peut s'avérer de ne pas exister, n'est pas un blasphème" Je vous met au défi de trouver dans tout Boubaki quoi que ce soit qui illustre cette affirmation que vous restez désespérément seul à soutenir (à moins que vous ne preniez le sens de "exister" comme "avoir une valeur dans un ensemble" ce qui est un contresens grave)

3) f(x) = sqrt(x^2 + 9)/(x - 6)...et vous n'arrivez dans votre construction (inutile car sans descendance, mais il suffit de comprendre qu'elle est effectivement possible) si elle est correctement faite à des choses telles que vous les décrivez (expressions formelles qui """""n 'existe pas""")

4) Et oui, j'ai été formé en Bourbakiste, et le fait de voir qu'il fait maintenant parti des exigences qu'il soit strictement interdit d'écrire une expression formelle qui n'est pas un objet mathématique, me désole quelque part.  Car c'est se compliquer la vie d'une façon monstrueuse.

Sauf que c’était tout aussi impossible hier que ça ne l'est aujourd'hui et encore une fois je vous défie dans trouver une illustration dans un bouquin de maths bien écrit.

Pour ma part je pense que vous êtes 50% de mauvaise foi et 50% pas tout à fait au point sur les notions que vous manipulez.

Au fait quand j'étais en seconde C en 1975, on voyait la théorie des polynômes formels.
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jaybe
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Re: question de notation de dérivée.

par jaybe le Mer 25 Jan 2017 - 18:51
Ce n'est pas si évident d'anticiper tout ce qui peut se cacher derrière le point 2. Par exemple, on définit x comme le plus petit entier à partir duquel la suite de Syracuse ne boucle pas si un tel entier existe, 0 sinon. A-t-on le droit de diviser par x ? (je pense qu'on doit aussi trouver des choses amusantes en fouillant du côté de la calculabilité)

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Zarathustra
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Re: question de notation de dérivée.

par Zarathustra le Mer 25 Jan 2017 - 19:23
@RogerMartin a écrit:Cela ne ramènera pas les points de votre fils, et vous devriez plutot lui conseiller de suivre au mieux les indications et les exigences de son enseignant.

Il faut se poser la question pourquoi il faudrait qu'il suive mieux ces indications et ces exigences, et c'est l'objet de cette discussion, dans le fond. Il y a deux raisons potentielles pour suivre les indications et les exigences de quelqu'un d'autre:
1) pour des raisons de contrainte, de pouvoir ou de prise de gain, ou de perte de bénéfice, ou de mensonge social...
2) parce qu'on est convaincu que d'une ou autre façon, c'est intellectuellement et/ou moralement la bonne chose à faire, parce qu'on le comprend, ou parce qu'on a confiance (aveugle ?) dans la personne donnant les consignes.

La deuxième raison est importante car ce n'est que quand la deuxième raison y est, qu'on peut adhérer aux indications et exigences. C'est à cette question-là que je n'ai pas eu de réponse pour l'instant. Tout le monde pointe vers la première mais je n'ai pas vu grand-chose sur la deuxième. Je ne peux pas adhérer moi-même à telle consigne ; mais il suffit qu'une personne m'indique une bonne raison intellectuelle, pour me faire comprendre le bien-fondé (auquel je doute à ce point) de la-dite consigne, par un argumentaire convainquant. Cet échange en soi, est un plaisir intellectuel, qui est régulièrement perturbé par des gens qui ne sont pas dans cet argumentaire-là car ils ne conçoivent, je suppose, que la première raison pour se plier aux désirs d'autrui.

Zarathustra
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Re: question de notation de dérivée.

par Zarathustra le Mer 25 Jan 2017 - 20:35
@Balthazaard a écrit:
1) Effrayant!!! votre aveuglement vous pousse à comprendre les arguments à l'encontre de leur signification C Chevalley doit se retourner dans sa tombe!. Ce qui est dit ici c'est que la fraction rationnelle , objet formel, existe  (ie est concevable, est nommable, est inscriptible, a un nom...etc) que si le dénominateur n'est pas le polynôme nul (identifié à l'élément neutre de l'anneau initial). Cela grave dans le marbre une fois pour toute l'inconcevabilité (donc l'impossibilité de l'écrire dans ce que l'on nomme communément "mathématique ") d'une chose telle que P(X)/0.

Je crois que vous ne comprenez pas ce que je dis et je me suis peut-être exprimé maladroitement.
L'objet formel existe, bien sûr, mais comme objet formel, dans une structure de langue de type L1, suite de symboles, et dotée d'une syntaxe suffisante pour décrire *syntaxiquement* les problèmes mathématiques considérés.  Cette structure de langue évolue en fonction des notions mathématiques qu'on veut décrire, et elle est en soi, un système mathématique.  Dans ce cadre-là, l'expression formelle existe donc bel et bien.  Il est effectivement inutile (et donc ça ne dérange pas de l'interdire) d'écrire des expressions formelles syntaxiquement mal-formées.


2) "une expression FORMELLE qui peut s'avérer de ne pas exister, n'est pas un blasphème" Je vous met au défi de trouver dans tout Boubaki quoi que ce soit qui illustre cette affirmation que vous restez désespérément seul à soutenir (à moins que vous ne preniez le sens de "exister" comme "avoir une valeur dans un ensemble" ce qui est un contresens grave)

Mais si.  Toute variable formelle qui s'avère finalement appartenir à l'ensemble vide, est exactement cela.  En fait, toutes les expressions "non existantes" sont précisément ça: des variables formelles non-nommés explicitement (un peu comme dans le lambda-calculus).

Quand on écrit 41/0, on est en fait en train de parler de la variable formelle x appartenant à l'ensemble des réels, ou de ce que vous voulez, tel que 0 x = 41, mais sans donner le nom x.  Quand on écrit ln(-4), on parle en fait de la variable formelle y tel que e^y = -4, mais sans donner le nom.

Exister, je regrette, est exactement cela.  L'expression 41/0 existe dans l'ensemble des expressions formelles avec suffisamment de structure pour exprimer syntaxiquement ce que veut dire, une division, mais n'existe pas dans l'ensemble des réels.


Sauf que c’était tout aussi impossible hier que ça ne l'est aujourd'hui et encore une fois je vous défie dans trouver une illustration dans un bouquin de maths bien écrit.

Ça se fait tout le temps dans les logiciels qui font du calcul formel.  Quand on traite des expressions formelles en calcul formel automatisé, on ne va pas se priver de considérer l'arborescence 41/0.  C'est quand on voit qu'il n'y a plus de règle de transformation de cette arborescence, qu'on sait que l'objet en question ne représente pas un nombre, par exemple.  Quand un ordinateur peut le faire pour résoudre un problème, c'est un peu bizarre d'interdire à un humain d'utiliser les mêmes techniques, non ?


Au fait quand j'étais en seconde C en 1975, on voyait la théorie des polynômes formels.

Oui, tout à fait.  Mais ce n'est pas parce qu'on trouve des structures sur des expressions formelles qui leur donnent du sens dans ces structures, qu'il est avéré qu'on ne peut pas écrire des expressions formelles qui n'ont, potentiellement, pas de sens dans une autre structure.  En fait, ce qui se fait là, c'est de mettre un peu plus de structure mathématique sur l'objet de base qui est l'expression formelle "sans autre sens".

Si vous voulez regarder cela autrement, on peut donc dire qu'au départ, il y a bien des expressions formelles qui sont des objets mathématiques existants, mais seulement dans le langage L1 en question.  Ils existent, mais seulement comme suite de symboles syntaxiquement corrects.  Si vous voulez, ce sont déjà des objets mathématiques.  Mais il n'y a pas beaucoup de structure.  Ainsi, 41/0 existe, dans ce langage, comme objet et donc comme objet mathématique, mais sans interprétation comme nombre réel.

Ce qu'on fait en mathématique, c'est de rajouter de la structure, jusqu'à obtenir des systèmes sophistiqués comme des nombres réels, et des interprétations de certaines structures formelles comme indiquant ces nombres.  Il s'avère que 41/0 n'en fait pas partie, car 41/0 n'est pas réductible à un nombre réel (ce qui est donc la même chose que de dire "existe-t-il un seul x de R tel que 0 x = 41" et la réponse est non).

La structure de l'anneau produit par les nombres réels et un symbole formel X, qui donne l'anneau des polynômes réels formels R[X], est une structure intermédiaire.  Il y a de la structure d'anneau et les coefficients ont toute la structure des réels, mais les éléments sont des expressions formelles qui ne sont pas des fonctions R->R.  Si on veut en faire un champs, il faut bricoler plus de structure, et on arrive aux expressions formelles rationnelles sur R.  Mais ce ne sont pas des fonctions R -> R.  Le fait que le polynôme 0 soit exclu des dénominateurs ne vient pas du fait qu'on ne peut pas diviser par 0 en R, mais plutôt de la structure de champs en R(X) (indirectement, j'avoue, si, ça vient de cela, car la structure de R joue dans le fait que le polynôme 0 soit l'élément absorbant).

Mais si on veut transformer ces expressions formelles en fonctions R -> R, il faut une application, qui est en fait rien d'autre qu'un *interprétation sémantique*, de R(X) en F(R->R), c.a.d. qu'on associe à chaque expression rationnelle en R(X) une fonction réelle R->R.

Ce que je dis, c'est qu'il y a une fonction entre les objets qui sont des expressions formelles et l'ensemble du genre d'objet que syntaxiquement ils peuvent représenter selon la syntaxe en vigueur.  Cette fonction est justement, l'interprétation sémantique" comme objet mathématique.  Et que l'expression formelle "existe" quand elle fait partie du domaine de cette fonction d'interprétation.  Mais si elle n'en fait pas partie, ce n'est pas grave, on peut l'écrire quand-même, mais elle restera une expression et rien d'autre.

En d'autres termes, on peut considérer toutes les expressions (suites de symboles) qui satisfont la syntaxe correcte pour, disons, l'arithmétique en N, y compris, des notations de variables.
Ainsi, (xa+3)/(xbbbs+9*5*s)  est une telle expression bien-formée.  Si vous voulez, comme "objet mathématique" cette expression existe dans la structure de "suite de symboles avec une syntaxe et quelques règles de manipulation, comme la substitution".

Il y a une fonction qui va de cet ensemble dans les nombres (entiers, rationnels, comme vous le voulez).  Cette fonction n'est rien d'autre que la "signification" de l'expression "comme nombre".

Mais pas toutes ces expressions sont dans le domaine de cette fonction.  Ça n'empêche pas de les écrire, car ils existent comme objet formel.

Ainsi, (8+4)/(1+1) est une expression formelle qui fait parti du domaine de cette fonction d'interprétation, et a comme image, le nombre 6.
Et 41/0 ne fait pas parti de ce domaine.  Alors, on dit que l'objet (interprété) "n'existe pas".

La structure que vous mentionnez, R(X), est intermédiaire entre "les expressions formelles syntaxiquement corrects" d'un coté (appelons le L1), et les "fonctions R->R" de l'autre. L'expression "X^3/0" existe dans la structure L1, mais pas dans R(X), ni dans "les fonctions R->R".

De la même façon, sqrt(-3) existe dans L1, mais n'existe pas dans R ; par contre, ça existe dans C.
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Anaxagore
Empereur

Re: question de notation de dérivée.

par Anaxagore le Mer 25 Jan 2017 - 21:32
Sauf qu'en mathématiques, on fait des mathématiques.

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e1654d
Niveau 6

Re: question de notation de dérivée.

par e1654d le Mer 25 Jan 2017 - 22:31
Si vous vous attachez à parler des expressions en tant que telles, je ne comprends pas pourquoi vous avez besoin de tant de paragraphes (TLDR) pour montrer leur existence : il suffit de les avoir écrites. La preuve du pudding, c'est qu'on le mange ; la preuve des expressions, c'est qu'on les écrit.
Call_BB5A
Niveau 4

Re: question de notation de dérivée.

par Call_BB5A le Mer 25 Jan 2017 - 23:16
L'égalité (u/v)' = (u'v-uv')/v² possède une double nature : formelle et fonctionnelle.

Pour que la dérivée (fonction) existe il ne suffit pas que la dérivée formelle existe. Il y a des conditions supplémentaires imposées par le théorème lui même : sur un intervalle, si u et v sont dérivables et que v ne s'annule pas alors u/v est dérivable et (u/v)'=(u'v-uv')/v². La dérivée formelle ne peut correspondre à l'expression de la fonction dérivée que si les conditions sont satisfaites.

Il faut bien distinguer ces deux natures.

A titre d'exemple sur le corps Fp=Z/pZ on peut considérer la fraction formelle 1/(X^p-X) alors que la fonction qui à X associe 1/(X^p-X) n'existe pas, puisqu'elle n'est définie nulle part en vertu du petit théorème de Fermat (X^p-X = 0 modulo p).

Pour revenir à cette histoire de dérivée, on peut considérer la fonction f=u/v partout sauf en zéro où on donne à f(0) une valeur différente de u(0)/v(0). Dans ce cas on peut appliquer la dérivation formelle de u/v partout même en 0 quand bien même f n'est pas dérivable en 0.
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RogerMartin
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Re: question de notation de dérivée.

par RogerMartin le Mer 25 Jan 2017 - 23:17
@Anaxagore a écrit:Sauf qu'en mathématiques, on fait des mathématiques.

Enfin, c'est la toute première fois qu'un illuminatus, fût-il physicien, tente de poser l'égalité "faire des mathématiques" = "mensonge social". Elle a bon dos, l'extension du domaine de lutte sur fond de moraline. Je suis ce fil avec une fascination morbide. Maintenant que j'ai éclusé les copies d'exams du S1, son attrait procrastinatoire risque de décliner.

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Re: question de notation de dérivée.

par User17706 le Mer 25 Jan 2017 - 23:20
La toute première fois, non, quand même ! Very Happy

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Re: question de notation de dérivée.

par Anaxagore le Mer 25 Jan 2017 - 23:20
Oui. Je pense vaquer aussi. Point trop n'en faut, comme disait Giscard.

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Re: question de notation de dérivée.

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