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Anaxagore
Empereur

question de notation de dérivée. - Page 4 Empty Re: question de notation de dérivée.

par Anaxagore le Dim 22 Jan 2017 - 17:18
Zarathustra, si vous voulez un exemple pertinent prenez la distribution de Dirac.
Balthazaard
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Grand sage

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par Balthazaard le Dim 22 Jan 2017 - 17:21
@Zarathustra a écrit:
@vyneil a écrit:
- Le mathématicien découvre des choses qui existeraient sans lui. Son implication dans les résultats trouvés est nulle. Les applications des maths sont nombreuses: physique, stats, informatique etc. Tant mieux si ça peut servir, après tout, mais dans le fond, on s'en fout. En aucun cas le mathématicien ne pense pouvoir expliquer scientifiquement son univers car pour lui, ce qu'il découvre est un jeu. Curieusement lié à l'univers, d'ailleurs ! Ce qui explique pourquoi beaucoup de vrais mathématiciens (pas les profs) finissent leur vie en abordant des questions de théologie auxquelles ils ne croyaient pas nécessairement au début de leur vie.

Ça devient assez philosophique, mais je crois qu'il y autant de "mathématicien" dans les maths qu'il "découvre" (position Platonicienne) qu'il y ait du "physicien" dans les lois qu'il "découvre".  D'ailleurs, si on pose la question à Roger Penrose (est-ce un physicien ou un mathématicien, d'ailleurs ?), on serait étonné des réponses qu'il suggère dans "The Road to Reality" (il y a sans doute une traduction française).

Mais tout le monde semble penser que mon argumentaire va dans le sens de la négligence de l'existence où non d'un objet mathématique.  Ce n'est pas du tout ce que je dis.  Je dis qu'il n'y a rien de choquant à considérer de donner un nom, un symbole, à un hypothétique objet mathématique qui peut très bien finalement, ne pas exister, et que c'est chose naturelle à faire, quand on explore, justement, son existence, ou non.  
Je ne dis pas qu'on peut manipuler des objets formels COMME SI c'était des objets mathématiques existants.  Là, c'est la catastrophe assurée.  Je dis simplement que, pendant la phase d'exploration, il n'y a rien de mal à donner UN NOM, un symbole, au truc dont on est en train de déterminer s'il existe, ou non.   Ce n'est pas un manque de rigueur.  La rigueur consiste en distinguant bien ce dont on a prouvé que ça existe, de ce dont on n'a pas fait cela.  Une façon radicale est bien sûr de jamais parler de celui dont on prononce pas le nom, et de ne jamais donner un nom à un truc qui n'existe pas, mais ça rend la vie plus difficile.

Et je relève des situations dans lesquels les mathématiciens font exactement ce qu'ils prétendent, est interdit.  Et il y a même une notation pour cela: Pour tout x, élément de S partie de R.   L'objet, élément de S, peut très bien ne pas exister si S est l'ensemble vide.  Et il a quand même un nom.

Le "pour tout x élément de {} partie de R, x^2 + 9 = 0"  est l'affirmation qu'un élément, potentiellement un nombre réel, et ayant un nom, x, satisfaisant une contradiction, n'existe pas.  


c'est discutable, je persiste à penser qu'un raisonnement bien construit sur la preuve de l'existence ne doit faire référence au dit objet que dans une conclusion de la forme "il n'existe donc pas de ... tel que...." Sauf bien sur raisonnement par l'absurde.
Anaxagore
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par Anaxagore le Dim 22 Jan 2017 - 18:11
Je n'ai pas relevé ce que Zarathustra a mis en gras. Bien entendu, on peut nommer un objet. Mais on ne notera pas 5/0 ce qui revient à prendre un élément du corps des fractions qui n'est pas défini. On dira: il n'existe pas de x réel tel que 5=x.0.

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"De même que notre esprit devient plus fort grâce à la communication avec les esprits vigoureux et raisonnables, de même on ne peut pas dire combien il s'abâtardit par le commerce continuel et la fréquentation que nous avons des esprits bas et maladifs." Montaigne

"Woland fit un signe de la main, et Jérusalem s'éteignit."

"On déclame contre les passions sans songer que c'est à leur flambeau que la philosophie allume le sien." Sade
Moonchild
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par Moonchild le Dim 22 Jan 2017 - 19:58
@Zarathustra a écrit:Le "pour tout x élément de {} partie de R, x^2 + 9 = 0" est l'affirmation qu'un élément, potentiellement un nombre réel, et ayant un nom, x, satisfaisant une contradiction, n'existe pas.
Non, selon cette interprétation, l'affirmation "pour tout x élément de {} partie de R, 2x-5<0" (qui est vraie) signifierait qu'un élément, potentiellement un nombre réel, ayant un nom, x, et satisfaisant la relation 2x-5<0, n'existe pas.

S'il fallait interpréter une affirmation telle que "pour tout x élément de {} partie de R, x^2 + 9 = 0", j'aurais plutôt été enclin à dire quelque chose du genre :
N'importe quel élément, appelé x, que l'on considèrera potentiellement comme un réel mais qui en fait n'existe pas, vérifie une propriété fausse dans l'ensemble des réels.
On savait déjà, qu'en torturant les chiffres, on pouvait leur faire avouer n'importe quoi ; mais c'est encore plus simple avec des éléments qui n'existent pas.

Et tant que j'y suis, je suis subitement pris d'un doute :
"pour tout x élément de {}, 0x=1" est une affirmation mathématiquement vraie puisque la variable x apparaît dans la seconde partie de la proposition et qu'elle est vérifiée par tout élément de l'ensemble vide,
mais :
"pour tout x élément de {}, 0=1" est-elle vraie ou fausse ? Il me semble que quand on commence un proposition par "pour tout x élément de {}" alors elle est trivialement vraie, mais est-ce encore le cas lorsque la seconde partie de la proposition ne dépend plus de la variable x ?
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Zarathustra
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par Zarathustra le Dim 22 Jan 2017 - 20:07
@Moonchild a écrit:
@Zarathustra a écrit:Finalement, écrire 41/0 n'est rien d'autre qu'une notation pratique pour "division(41,0)", où "division" est une fonction de R x R_0 -> R et que le couple (41,0) ne fait pas parti du domaine (à son tour du fait que division(x,y) = multiplication(x,inverse_m(y)), et que "inverse_m(y)" est une fonction de R_0 ->R_0, et que donc, 0 n'appartient pas au domaine de "inverse_m").
Non, il y a une convention très claire en maths : 41/0 désigne le résultat de cette division. On peut bien sûr remettre en cause cette convention ou n'importe quelle autre, mais il faut que l'ensemble reste cohérent ; et si tout le monde fait ça, il va devenir difficile de se comprendre.

Ah, mais on continue de tourner en rond, hein.  Visiblement, la distinction entre la notation formelle, et l'objet mathématique, confusion dont je parlais au début, nous empêche même d'expliquer la différence entre les deux !  Nos discussions, forts intéressantes pour ma part, semblent avoir le problème de la poule et l'oeuf.

Ce que tu dis là est exactement la même chose que de dire "tout symbole utilisé en maths doit représenter un objet mathématique existant".  Effectivement, dans la mesure où l'image sous la fonction "division" existe, c.a.d. où l'argument fait partie de son domaine, on symbolise par l'écriture de la division, son image, c.a.d. le résultat de la division.  Mais à ce moment-là, cette image sous la division *est déjà* un objet mathématique (dans le cas-ci, un nombre réel).

Ce que moi, je propose, c'est que pendant la phase d'exploration, *on se demande* si l'expression formelle est bien un objet mathématique. Et la façon de faire est très simple, on écrit l'expression formelle, et on regarde si tous les sous-expressions qui figurent dedans sont définies, en appliquant éventuellement une récursion. Si nulle part on constate un "bogue", eh bien, l'expression formelle représente bien un objet mathématique, comme tu le proposes. Si, par contre, quelque part, ça "bogue" (1 seul endroit suffit), eh bien, cette non-existence se propage jusqu'à la racine, et l'objet n'existe pas, et c'est tout.

On ne peut donc pas partir du principe que l'objet, dont on est justement en train de voir s'il existe ou non, c.a.d. s'il appartient finalement à un singleton où à l'ensemble vide, existe et faire comme si !

Toute la question qu'on traite ici, c'est la transition d'une expression purement formelle, mais avec le potentiel de pouvoir désigner éventuellement un objet mathématique, à l'objet mathématique dans le cas où il s'avère exister.  C'est exactement la question qu'on se pose:

"est-ce que l'expression formelle, F(X) = (X^2 + 5)/(X - 6), pour X = 6, une expression qui indique un nombre réel, ou non".

Alors on ne peut pas dire que F(6) indique ce nombre réel, car il ne peut très bien ne pas exister !  (ici, F n'est pas une fonction, mais une expression formelle dans un langage formel, avec une règle de substitution, c.a.d. ce qu'on met à la place de X dans F(X) est un "trouver-remplacer" dans la suite de symboles, de X par ce qu'on y met).

Quand on *écrit* F(6), on obtient (par bête substitution), la suite de symboles: (6^2 + 5) / (6 - 6)
Maintenant, cette suite de symboles est interprété, là où c'est mathématiquement bien défini, comme des opérations, et là, partout où c'est possible, on applique ta règle: l'écriture d'une opération sera remplacée par son résultat, car ce sont bien des objets mathématiques qui existent.  
Ainsi, 6^2 représente bien 36, car l'objet mathématique 6^2 existe.  Quand on fait cela partout, on arrive à une expression formelle réduite:
41 / 0.  Ce n'est pas un objet mathématique.  C'est une suite de symboles qui ne représente pas un objet mathématique.  On peut le dire autrement:

Pour tout y dans S partie de R: y = 41 / 0
Pourquoi ?

Parce que y = 41/0 est équivalent à 0.y = 41, et là, l'ensemble de solutions est {}.

résulte en un ensemble S vide.  Donc l'objet mathématique hypothétique qui pourrait potentiellement exister, doit être un élément de {}.  

Ce n'est que quand l'expression formelle résulte en un singleton, qu'on peut faire ce que tu dis: remplacer l'expression par cet unique élément, et ce n'est qu'à partir de ce moment que l'expression signifie un objet mathématique (l'unique élément du singleton).

D'ailleurs, tout au début de ce fil, je pensais que le problème se trouvait là: que l'expression "lim{h->u} blabla = a"  pouvait, strictement parler, résulter en un ensemble de plus qu'un élément: il peuvent y avoir plusieurs valeurs limites, mais c'est assez exotique: il faut se trouver dans une topologie non-séparable pour cela.  Alors on peut écrire "lim_{h->u} blabla = a" et aussi "lim_{h->u} blabla = b" mais "lim_{h->u} blabla" n'est pas un objet mathématique bien défini, puisqu'il est l'élément d'un ensemble de plusieurs éléments.


@Zarathustra a écrit:C'est exactement ça qu'on veut dire par "formel", non ?  Le formel est l'écriture, le nom, d'un truc dont on ne sait pas encore s'il existe.  Si on appelle l'assassin de Jean-Claude, Jules, on a un nom pour parler du suspect éventuel.  S'il s'avère que Jean-Claude s'était finalement suicidé, ben alors, Jules n'est pas une personne qui existe.
Et pourtant si : dans le cas où Jean-Claude s'est suicidé alors Jules c'est Jean-Claude.

D'accord Smile  J'aurais dû dire "accident de voiture".  Bien vu.


En revanche, si Jean-Claude a fait un AVC en lisant une démonstration mathématique, rien ne permet d'affirmer avec certitude que celui qui l'a rédigée s'appelle Jules.

Very Happy


@Zarathustra a écrit:Je me demande s'il y a un seul cas de figure où considérer une expression formelle d'un objet mathématique qui n'existe pas, peut mener à une réelle erreur.
Par exemple :
Code:
Pour tout x réel,
0x=0 équivaut à x=0/0
et comme, formellement a/a=1
alors 0x=0 équivaut à x=1

Non, parce que a/a n'est que 1, quand a est un nombre différent de 0.  Cette règle ne peut donc pas s'appliquer tant qu'on n'a pas trouvé que a est bien 1) un nombre, et 2) différent de 0.  

On peut considérer l'exemple de f(x) = x^2/x.  On l'a déjà fait.  

je parle seulement de donner un nom symbolique à un objet dont il n'est pas avéré qu'il existe pendant l'exploration de son existence ; pas de faire comme si cet objet existe et de calculer avec ; ça, c'est un manque de rigueur et ça mène, comme le montre ton exemple, à la catastrophe.  

En d'autres termes, je propose de pouvoir écrire f(0) = 0^2/0 pour constater que ce n'est pas un objet mathématique qui existe, et ça s'arrête là.  Pas pour continuer de prétendre qu'il existe et de faire des malheurs avec.  Simplement de ne pas hurler quand on écrit f(0) = 0^2/0, car on vient simplement d'écrire que f(0) est un élément de {}.  On ne hurle pas quand on dit que x est élément de {}.  On ne devrait pas hurler non plus quand on écrit f(0).  Par contre, aller dire que f(0) est un nombre et calculer avec f(0) comme si c'était un nombre, là, oui, on hurle.
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par Zarathustra le Dim 22 Jan 2017 - 20:17
@Moonchild a écrit:
Et tant que j'y suis, je suis subitement pris d'un doute :
"pour tout x élément de {}, 0x=1" est une affirmation mathématiquement vraie puisque la variable x apparaît dans la seconde partie de la proposition et qu'elle est vérifiée par tout élément de l'ensemble vide,
mais :
"pour tout x élément de {}, 0=1" est-elle vraie ou fausse ? Il me semble que quand on commence un proposition par "pour tout x élément de {}" alors elle est trivialement vraie, mais est-ce encore le cas lorsque la seconde partie de la proposition ne dépend plus de la variable x ?

On jouait des jeux comme ça en seconde (premier semestre était de la logique formelle justement, rien d'autre en math), et selon ce que je m'en souviens, il n'y a pas le moindre doute que cette proposition est vraie. Le "pour tout x élément de {}: < tout ce que tu veux > " est toujours vrai. Et le:
"il existe un x de {}, tel que 1 = 1" est faux.

Car la négation du "pour tout .... : P" est "il existe ... : ~P"

Anaxagore
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par Anaxagore le Dim 22 Jan 2017 - 20:21
Ce n'est pas le fait de le nommer d'une manière insensée qui montre qu'il n'existe pas. Appelez le Schopenhauer ou Toto et montrez qu'il n'existe pas.

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Zarathustra
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par Zarathustra le Dim 22 Jan 2017 - 20:22
@Moonchild a écrit:
@Zarathustra a écrit:Le "pour tout x élément de {} partie de R, x^2 + 9 = 0" est l'affirmation qu'un élément, potentiellement un nombre réel, et ayant un nom, x, satisfaisant une contradiction, n'existe pas.
Non, selon cette interprétation, l'affirmation "pour tout x élément de {} partie de R, 2x-5<0" (qui est vraie) signifierait qu'un élément, potentiellement un nombre réel, ayant un nom, x, et satisfaisant la relation 2x-5<0, n'existe pas.

Eh, non. Cette affirmation est vraie, mais elle n'implique pas que 2x - 5 < 0 n'a pas de solution bien sûr. Car pour qu'on ait la solution, il faut que le sous-ensemble de R qu'on considère, soit maximal. (j'avais pourtant pris mes pinces, je m'attendait à un truc tordu du genre).

Tout sous-ensemble de la solution satisfait bien sûr aussi la condition, et l'ensemble vide étant un sous-ensemble de tout ensemble (y compris de la solution), on peut aussi le considérer.

Je voulais simplement dire qu'on utilise parfois des symboles pour indiquer des objets qui n'existent pas. Et que ce n'est pas la fin du monde.

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Zarathustra
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par Zarathustra le Dim 22 Jan 2017 - 20:23
@Anaxagore a écrit:Ce n'est pas le fait de le nommer d'une manière insensée qui montre qu'il n'existe pas. Appelez le Schopenhauer ou Toto et montrez qu'il n'existe pas.

Voila, on arrive finalement à un compromis. On peut donc écrire un objet dont on n'est pas sûr qu'il existe sans faire hurler un prof de math, à condition d'utiliser comme symbole Schopenhauer ou Toto. Ça me va, finalement Very Happy
Anaxagore
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par Anaxagore le Dim 22 Jan 2017 - 20:25
Dans mes bras! cheers

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Zarathustra
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par Zarathustra le Dim 22 Jan 2017 - 20:47
@Anaxagore a écrit:Zarathustra, si vous voulez un exemple pertinent prenez la distribution de Dirac.

Je sais bien que la distribution de Dirac est le genre de chiffon rouge qui fait penser à tout mathématicien qu'un physicien ne peut pas considérer quelque rigueur mathématique, et cette caricature m'a bien desservie dans cette discussion, car quand un mathématicien voit "physicien" et "objet non défini" en une phrase, son lobe frontal se met en mode protection, et c'est le réflexe reptilien pour se protéger contre les horreurs qui vont suivre, qui prend le dessus Smile

Mais justement, je ne parle pas du tout d'utiliser des objets formels dont on n'a pas prouvé leur existence.  On peut seulement faire cela quand on est physicien, et c'est quelque chose qui est totalement fatal pour un mathématicien (d'où le réflexe dont je parle ci-dessus).

N'étant que très faiblement pervers, je ne m'aventurerais jamais dans un sous-forum de mathématiciens pour proposer tel crime, bien que je me trouve sur le banc d'accusés depuis le début.

A aucun moment, je ne parle d'utiliser quelque propriété mathématique de quelque objet qui n'existe pas.

Je parle simplement de ne pas se freiner en phase d'exploration (c.a.d. en essayant de répondre à la question d'existence) par des "notations interdites", pour pouvoir les propager jusqu'au moment où l'on rencontre explicitement une sous-expression qui ne peut clairement pas se réduire à un objet mathématique.  A ce moment-là, on connaît la réponse initiale à la question d'existence, et on s'arrête.

Car c'est exactement que fait le mathématicien quand il démontre l'existence, ou la non-existence du dit objet, sauf qu'il se vrille dans des contours pour ne pas devoir écrire l'horreur d'une expression qui ne représente pas un objet, mais il est totalement GUIDÉ par cette même expression "interdite".

Quand on se pose la question si la fonction, définie par f(x) = ln(1-x) + ln(x-2) possède dans son domaine, le nombre, disons, 3, le mathématicien scrupuleux va:
- se demander si 1 - 3 appartient au domaine de ln
- se demander si 3 - 2 appartient au domaine de ln
- ne pas se demander si la somme existe, car la somme existe toujours en R

Comme il constate que -2 n'appartient pas au domaine de ln, ça s'arrête là.

Moi, je dis que si on utilise l'expression formelle:
f(3) = ln(1 - 3) + ln(3 - 2)
et je la réduis là où les expressions donnent lieu à un objet:
f(3) = ln(-2) + ln(1)
et là je vois que -2 n'appartient pas au domaine de ln,...
ça s'arrête aussi.
On se pose exactement les mêmes questions, et d'ailleurs, le mathématicien scrupuleux s'est posé ces questions justement parce que sur un bout de papier brouillon, il avait vu (pendant que le Dieu Juste mais Sévère regardait une jolie fille qui passait dans la rue) que si jamais f(3) devait exister, ben, il aurait besoin de ln(1-3), mais il fait semblant d'être inspiré par le Saint Esprit pour justement, se poser la question si -2 appartient au domaine de ln.  Il ne s'interroge pas si -24, ou -5 appartient au domaine de ln, non, ça tombe par hasard juste sur la valeur -2 dont on avait besoin. J'exagère seulement un peu.

A aucun moment, je parle d'utiliser f(3) dans un calcul.  Là, je quitterais les maths, j'en conviens.

La distribution de Dirac, par contre, est une "fonction" qui n'en est pas une, car on ne peut pas avoir un ensemble de couples de R -> R, tel que les propriétés assumés ce cette distribution, soient toutes vraies.  C'est quand on se limite à certaines opérations, qu'elle semble se comporter comme une fonction, et alors, c'est un truc de calcul bien pratique.  Après, on a trouvé une façon de rendre mathématiquement rigoureux ce machin, mais aucun physicien s'occupe de cela, et continue gaiement d'utiliser la "fonction" qui n'existe pas.

Mais ça n'a rien a voir avec le sujet de ce fil.  Si je n'avais pas été physicien, on n'aurait pas fait cette remarque.
Anaxagore
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par Anaxagore le Dim 22 Jan 2017 - 20:55
On n'a pas besoin d'utiliser une notation frelatée dans une rédaction mathématique.

Après, au brouillon vous êtes libre d'écrire les choses les plus ignobles.

Je ne rejette d'ailleurs pas les manières des physiciens dans leur domaine. Chacun son job et chacun apporte ce qu'il a à apporter.

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par Zarathustra le Dim 22 Jan 2017 - 21:04
@Anaxagore a écrit:On n'a pas besoin d'utiliser une notation frelatée dans une rédaction mathématique.

Après, au brouillon vous êtes libre d'écrire les choses les plus ignobles.

Je ne rejette d'ailleurs pas les manières des physiciens dans leur domaine. Chacun son job et chacun apporte ce qu'il a à apporter.

Je tiens à m'excuser de ne pas m'être tenu à notre accord.

Je n'aurais pas dû écrire:

f(3) = ln(1-3) + ln(3-2), mais

"appelons l'image de 3 sous f, Toto

Toto = ln(1-3) + ln(3-2)"

Désolé.

Wink
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par Anaxagore le Dim 22 Jan 2017 - 21:17
1-x>0 ssi 1>x et x-2>0 ssi x>2

Il n'existe donc pas de domaine non vide sur lequel x|-> ln(1-x) et x|-> ln (x-2) seraient définies simultanément.

Il n'existe donc pas de domaine de définition non vide pour une fonction f qui serait définie à l'aide de l'expression f (x)=ln(1-x)+ln(x-2).

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Peinard
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par Peinard le Dim 22 Jan 2017 - 21:32
@Zarathustra a écrit:J'ai une question toute simple.  Mon fils en 1S a 2.5 points de moins sur un DS, simplement parce qu'il a écrit: f'(a) = lim_{h-> 0}  ( f(a+h) - f(a) ) / h pour une fonction donnée.  Puis il a fait le calcul, pour arriver au bon résultat.

Le prof a barré le f'(a), et à indiqué en bas: ... et donc ....

Je suppose, mais mon fils ne pouvait pas me le confirmer, qu'il s'agit d'une maniaquerie du genre que l'expression limite va ensemble avec un nombre qui est supposé être la limite
Tout d'abord, on ne sait rien de l'énoncé de l'exercice ni de la copie de l'élève donc difficile de juger... Ceci dit, pour un niveau 1S, ça semble inutile d'approfondir à ce point. Par contre, si le professeur a insisté sur la rédaction et qu'il a expliqué en cours l'importance de démontrer que la limite existe et est finie avant d'écrire f'(a) = lim_{h-> 0}  ( f(a+h) - f(a) ) / h (chaque membre de cette égalité a une signification bien précise) alors l'élève ne devrait pas s'étonner du retrait de points.

D'après les informations fournies sur la rédaction de l'élève et dans le cas général de l'étude de la dérivabilité d'une fonction en un point, je suis du même avis que le professeur en question et je ne pense pas que vous allez aider votre enfant en insistant auprès du professeur à ce sujet...
Anaxagore
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par Anaxagore le Dim 22 Jan 2017 - 21:47
@Zarathustra a écrit:
@Anaxagore a écrit:On n'a pas besoin d'utiliser une notation frelatée dans une rédaction mathématique.

Après, au brouillon vous êtes libre d'écrire les choses les plus ignobles.

Je ne rejette d'ailleurs pas les manières des physiciens dans leur domaine. Chacun son job et chacun apporte ce qu'il a à apporter.

Je tiens à m'excuser de ne pas m'être tenu à notre accord.  

Je n'aurais pas dû écrire:

f(3) = ln(1-3) + ln(3-2), mais

"appelons l'image de 3 sous f, Toto

Toto = ln(1-3) + ln(3-2)"

Désolé.

Wink

Il n'y a pas que Toto là, il y a ses frères aussi!

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par Anaxagore le Dim 22 Jan 2017 - 21:54
Une autre?

Si 3 appartient à l'ensemble de définition d'une fonction f définie à l'aide de l'expression f (x)=ln (1-x)+ln (x-2) alors 1-3>0 et 3-2>0. Ce qui est faux.
Donc 3 n'appartient à aucun domaine de définition d'une telle fonction.

(Je l'ai écrite avec 3 pour vous honorer.)

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par Moonchild le Dim 22 Jan 2017 - 22:53
@Zarathustra a écrit:Ce que tu dis là est exactement la même chose que de dire "tout symbole utilisé en maths doit représenter un objet mathématique existant".
Non, ce n'est pas du tout le sens de mon propos ; ce que je dis c'est que toute notation qui a fait l'objet d'une définition mathématique (par exemple le quotient) ne doit être utilisée qu'en respectant les modalités cette définition.

Sinon, tant qu'à ne pas s'embarrasser des conventions, tu peux très bien écrire 41/0 sans aucun problème à condition de déclarer que pour, a et b réels, la notation a/b désigne le nombre a²+ab+b².

@Zarathustra a écrit:Ce que moi, je propose, c'est que pendant la phase d'exploration, *on se demande* si l'expression formelle est bien un objet mathématique.
Ah, mais pendant la phase d'exploration, on fait ce qu'on veut, même les pires horreurs ; en revanche, dans la phase de rédaction, on se plie aux règles de rédaction d'un texte mathématique et, dans le cas contraire, on ne se plaint pas que le texte soit considéré comme mathématiquement incorrect.

@Zarathustra a écrit:Toute la question qu'on traite ici, c'est la transition d'une expression purement formelle, mais avec le potentiel de pouvoir désigner éventuellement un objet mathématique, à l'objet mathématique dans le cas où il s'avère exister.  C'est exactement la question qu'on se pose:

"est-ce que l'expression formelle, F(X) = (X^2 + 5)/(X - 6), pour X = 6, une expression qui indique un nombre réel, ou non".

Alors on ne peut pas dire que F(6) indique ce nombre réel, car il ne peut très bien ne pas exister !  (ici, F n'est pas une fonction, mais une expression formelle dans un langage formel, avec une règle de substitution, c.a.d. ce qu'on met à la place de X dans F(X) est un "trouver-remplacer" dans la suite de symboles, de X par ce qu'on y met).

Quand on *écrit* F(6), on obtient (par bête substitution), la suite de symboles: (6^2 + 5) / (6 - 6)
Maintenant, cette suite de symboles est interprété, là où c'est mathématiquement bien défini, comme des opérations, et là, partout où c'est possible, on applique ta règle: l'écriture d'une opération sera remplacée par son résultat, car ce sont bien des objets mathématiques qui existent.  
Ainsi, 6^2 représente bien 36, car l'objet mathématique 6^2 existe.  Quand on fait cela partout, on arrive à une expression formelle réduite:
41 / 0.  Ce n'est pas un objet mathématique.  C'est une suite de symboles qui ne représente pas un objet mathématique.
Mais le problème est que toute cette procédure de "transition" qui est assez intuitive, n'a pas du tout été formalisée mathématiquement ; et ça risque d'être difficile de le faire car ici l'expression formelle réduite 41/0 ne donne justement pas un objet mathématique. Les mathématiques doivent être autistes auto-suffisantes (une fois qu'on a posé les axiomes), or dans cette démarche il y a une étape dans laquelle on est obligé de recourir à des considérations extra-mathématiques. En gros, la propriété "ne pas être un objet mathématique" n'a rien à faire dans un raisonnement mathématique.

J'ai un peu l'impression que tu es en train d'inventer une nouvelle discipline, appelons-la la "Symbolique", qui consiste à faire l'étude des symboles. Et parmi tous les symboles étudiés par cette discipline, certains vérifient la propriété d'avoir un sens mathématique et d'autres non ; il faudra évidemment déterminer précisément la règle de décision pour connaître le statut d'un symbole donné (j'ai un peu l'impression que cela revient en définitive à lister toutes les chaînes de caractères que l'on peut potentiellement obtenir dans une formule mathématique tout en respectant les conventions usuelles). La démarche que tu proposes pour démontrer que la fonction décrite par la formule F(X) n'est pas définie en 6 peut éventuellement devenir une démonstration en "Symbolique" une fois que les bases de cette discipline auront été posées, mais ce ne sera jamais une démonstration mathématique : à partir du moment où tu écris 41/0, dont tu dis toi-même que ce n'est pas un objet mathématique, tu as quitté le domaine des maths pour entrer dans le domaine de la "Symbolique" que tu es en train de défricher.

Bien sûr, une telle exploration formelle peut parfois s'avérer très fructueuse (par exemple le cas de la découverte des nombres complexes), mais si ensuite on n'a pas fait tout un travail de construction d'une théorie cohérente permettant de définir les objets qui ont été manipulés formellement, alors la valeur mathématique de cette exploration reste purement spéculative.

@Zarathustra a écrit:je parle seulement de donner un nom symbolique à un objet dont il n'est pas avéré qu'il existe pendant l'exploration de son existence ;
Mais pourquoi vouloir absolument utiliser comme nom une notation qui martyrise les définitions usuelles ?

@Zarathustra a écrit:pas de faire comme si cet objet existe et de calculer avec ; ça, c'est un manque de rigueur et ça mène, comme le montre ton exemple, à la catastrophe.
Pour un mathématicien, le manque de rigueur commence dès qu'on utilise n'importe comment les notations qui ont été standardisées.

@Zarathustra a écrit:D'ailleurs, tout au début de ce fil, je pensais que le problème se trouvait là: que l'expression "lim{h->u} blabla = a"  pouvait, strictement parler, résulter en un ensemble de plus qu'un élément: il peuvent y avoir plusieurs valeurs limites, mais c'est assez exotique: il faut se trouver dans une topologie non-séparable pour cela.  Alors on peut écrire "lim_{h->u} blabla = a" et aussi "lim_{h->u} blabla = b" mais "lim_{h->u} blabla" n'est pas un objet mathématique bien défini, puisqu'il est l'élément d'un ensemble de plusieurs éléments.
Là, il y aurait légitimement des raisons de se plaindre d'un enseignant qui pénaliserait des élèves pour une subtilité qu'il est totalement impossible de faire comprendre au niveau étudié.
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par Anaxagore le Dim 22 Jan 2017 - 23:06
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par RogerMartin le Dim 22 Jan 2017 - 23:11
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par neo-fit le Lun 23 Jan 2017 - 2:28
@BR a écrit:
@Zarathustra a écrit:J'ai une question toute simple.  Mon fils en 1S a 2.5 points de moins sur un DS, simplement parce qu'il a écrit:

f'(a) = lim_{h-> 0}  ( f(a+h) - f(a) ) / h

pour une fonction donnée.  Puis il a fait le calcul, pour arriver au bon résultat.

Le prof a barré le f'(a), et à indiqué en bas: ... et donc ....

[…]

En l'occurrence, j'imagine que ton fils a écrit une suite d'égalité commençant par lim_{h->0}, qui auraient été parfaitement valables sans ajouter lim_{h->0}.
En rédigeant f'(a) = lim_{h-> 0}  ( f(a+h) - f(a) ) / h, votre fils écrit dès le départ que ce qu’il veut prouver exister, existe. Il n’aurait donc plus rien à démontrer et il n’aurait même pas besoin de poursuivre les calculs.
Imaginons, qu’il ait voulu dire :
si la fonction est dérivable en a, alors f'(a) = lim_{h-> 0}  ( f(a+h) - f(a) ) / h= lim_{h-> 0}…= lim_{h-> 0}…=1
Et qu’il ait conclu donc f est dérivable en a et f'(a)=1.
Bien que mieux, ça n'irait pas non plus car il aurait fait l’analyse mais pas la synthèse.
En effet, il resterait à prouver que 1 est bien la limite quand h tend vers 0 de f(a+h) - f(a) ) / h
Parce que sinon, en gardant la même rédaction, il me semble qu’on pourrait prouver la dérivabilité en 0 de la fonction f :
IR—>IR
x |—>|x|
Si f est dérivable en 0, alors f'(0) = lim_{h-> 0} ( |h| / h)= lim_{h-> 0, h>0}(h/h)= 1
et si, comme ci-dessus, on s’arrête là, on dit que f est dérivable en 0 et que f’(0)=1
Sauf que 1 n’est pas la limite de |h| / h quand h tend vers 0
Donc dans le cas où on veut prouver la dérivabilité, autant tout faire d'un coup en adoptant la rédaction de BR qui est sans doute celle proposée par le professeur de votre fils et qui n'est pas une maniaquerie, ni une habitude mais celle qui concilie rigueur et élégance.
Mais il est vrai qu'au niveau 1s, il me semble naturel que cela puisse être éventuellement perçu comme un 49.3 tant les connaissances sur les limites manquent.
Je me demande : est-il honnête d'évaluer sur ce genre d'exercices des élèves de 1s à qui on n'a pas défini la notion de limite, ni énoncé les théorèmes dont on pourrait avoir besoin ici car dès lors ces exercices recellent beaucoup d'implicite.
Maintenant, le professeur a peut être réussi à expliquer suffisamment de choses pour pouvoir l'exiger.

@Zarathustra a écrit:Parce que y = 41/0 est équivalent à 0.y = 41
???


Dernière édition par neo-fit le Jeu 26 Jan 2017 - 13:44, édité 1 fois (Raison : Horrible faute)
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Zarathustra
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question de notation de dérivée. - Page 4 Empty Re: question de notation de dérivée.

par Zarathustra le Lun 23 Jan 2017 - 6:57
@Peinard a écrit:
@Zarathustra a écrit:J'ai une question toute simple.  Mon fils en 1S a 2.5 points de moins sur un DS, simplement parce qu'il a écrit: f'(a) = lim_{h-> 0}  ( f(a+h) - f(a) ) / h pour une fonction donnée.  Puis il a fait le calcul, pour arriver au bon résultat.

Le prof a barré le f'(a), et à indiqué en bas: ... et donc ....

Je suppose, mais mon fils ne pouvait pas me le confirmer, qu'il s'agit d'une maniaquerie du genre que l'expression limite va ensemble avec un nombre qui est supposé être la limite
Tout d'abord, on ne sait rien de l'énoncé de l'exercice ni de la copie de l'élève donc difficile de juger... Ceci dit, pour un niveau 1S, ça semble inutile d'approfondir à ce point. Par contre, si le professeur a insisté sur la rédaction et qu'il a expliqué en cours l'importance de démontrer que la limite existe et est finie avant d'écrire f'(a) = lim_{h-> 0}  ( f(a+h) - f(a) ) / h (chaque membre de cette égalité a une signification bien précise) alors l'élève ne devrait pas s'étonner du retrait de points.

D'après les informations fournies sur la rédaction de l'élève et dans le cas général de l'étude de la dérivabilité d'une fonction en un point, je suis du même avis que le professeur en question et je ne pense pas que vous allez aider votre enfant en insistant auprès du professeur à ce sujet...

Je n'ai plus la copie exacte sous la main, mais c'était une question du genre:

f(x) = (x^2 + 5)/(x-6) qui est définie pour x>6.

a) est-ce que la fonction f est dérivable en 7 ?  Si oui, quelle est la valeur du nombre dérivé ?

b) est-ce que la fonction f est dérivable en -3 ?  Si oui, quelle est la valeur du nombre dérivé ?

La réponse rédigée était:

a) 7 appartient au domaine de f.

f'(7) = lim_{h->0} (f(7 + h) - f(7))/h) = .... calculs .... = "la bonne valeur".

b) -3 n'appartient pas au domaine de f, donc f n'est pas dérivable en -3.

Le prof a barré le "f'(7)" et le "lim" partout, et a écrit en dessous "... donc ... ".
Et il à donné 3.5/6 sur l'exercice.

Mon gamin s'est gaufré sur un autre exercice du style, même genre de question, mais il avait marre de faire le truc avec le h, et là, il a simplement calculé la dérivée directement en utilisant (u' v - v u') / v^2 et il a tout bonnement eu 0/6 car la question était la même avec une autre fonction rationnelle.  Le calcul était juste, mais en calculant simplement la dérivée avec les règles de calcul le prof a considéré (sans doute, il y a juste une barre rouge à travers toute la réponse) qu'il n'avait pas répondu à la question de la dérivabilité.

Mais là, c'est de ma faute, car j'avais pris de l'avance avec lui, et ils n'avaient pas encore vue la formule en cours de la dérivée de u/v, et le DS portait sur l'utilisation du lim_{h->0} visiblement.

C'est un prof qui note très sévèrement et c'est un peu le massacre dans la classe, mais en soi, ça ne me dérange pas.  Chez lui, on ouvre le champagne quand la note dépasse 10/20 (il y en a régulièrement, dont mon fils, qui marquent cette prouesse, d'ailleurs).  Seulement, je ne comprenais pas ce qu'il y avait de mal à écrire ce qu'il avait écrit.  (surtout qu'en fait, la fonction était dérivable !).
J'avoue que le 0/6 me dérange dans le sens suivant: il n'y a alors plus de distinction entre celui qui rédige une réponse, certes, pas tout a fait satisfaisante, et celui qui dessine une fleur à la place. Psychologiquement, ce n'est pas motivant pour l'élève de ne pas distinguer une fleur et un calcul qui n'est pas totalement ridicule, mais bon.

Avec tout ce qui est écrit ci-dessus, je comprends cette réaction, mais je crois que c'est une sorte de rituel, qui n'a pas de fondement profond.  Seulement, il faut qu'il s'y adapte, même si cela manque un fond, si ça fait partie de la culture, c'est comme ça.

On pourrait même pinailler sur le 0/6 parce qu'on utilise la formule de dérivée, car normalement c'est un théorème qui dit que si (u'v - v'u)/v^2 existe, alors (u/v)' existe aussi, mais comme ce n'était pas encore vu en cours, il n'y a rien à dire.


Dernière édition par Zarathustra le Lun 23 Jan 2017 - 7:17, édité 2 fois
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par User17706 le Lun 23 Jan 2017 - 7:08
Ah oui, le gamin a deux profs de maths dont un qui n'est justement pas prof de maths, il va lui falloir du courage.


Dernière édition par PauvreYorick le Lun 23 Jan 2017 - 8:03, édité 1 fois
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Zarathustra
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par Zarathustra le Lun 23 Jan 2017 - 7:22
PauvreYorick a écrit:Ah oui, le gamin a eux profs de maths dont un qui n'est justement pas prof de maths, il va lui falloir du courage.

On fait avec ce qu'on a, hein.   3/4 de la classe ont des cours privés de toute façon.  S'il faut se débrouiller avec ce qui est fait en cours, on ne dépasse pas le 4/20 au DS.  C'est pour comprendre le fonctionnement d'un prof de maths que je viens me renseigner ici, d'ailleurs (qu'après, ça devient une discussion purement intellectuelle, j'ai aussi mes plaisirs Smile ).
J'aurais préféré un enseignement qui marche, mais ça, c'est déjà fini depuis longtemps.
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User17706
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par User17706 le Lun 23 Jan 2017 - 8:03
Mais vous n'aviez pas eu un « problème » comparable avec son prof de physique, déjà ?

(Sinon, si dans une réponse j'avais une expression dépourvue de signification, je serais tenté d'enlever non pas un peu moins de la moitié des points, mais tous les points.)

((Et je pense que si vous lui laissez entendre, à tort, que les exigences formelles dont il est question dans ce fil « n'ont pas de fondement (profond) », vous ne lui rendez pas service, au contraire.))
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Zarathustra
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par Zarathustra le Lun 23 Jan 2017 - 9:35
PauvreYorick a écrit:Mais vous n'aviez pas eu un « problème » comparable avec son prof de physique, déjà ?

(Sinon, si dans une réponse j'avais une expression dépourvue de signification, je serais tenté d'enlever non pas un peu moins de la moitié des points, mais tous les points.)

((Et je pense que si vous lui laissez entendre, à tort, que les exigences formelles dont il est question dans ce fil « n'ont pas de fondement (profond) », vous ne lui rendez pas service, au contraire.))

Dans un milieu avec des petits traits sectaires, il faut effectivement faire très attention aux dadas en vigueur, et surtout, surtout, ne pas avoir une attitude de réflexion autonome critique vis-à-vis de ces règles, qui pourrait mettre les dogmes en doute, je m'en  rends bien compte.  C'est pour en mesurer l'ampleur que je suis venu ici pour en discuter, on va dire, avant d'oser indiquer à mon enfant, soumis à cet arbitraire, les subtilités de la relation entre la notation formelle, et l'objet abstrait, mathématique, suggéré par cette notation.  C'est un peu dommage qu'il est interdit de réfléchir dessus, mais c'est au moins bon de le savoir, pour ne pas heurter des sensibilités de personnes qui ont le pouvoir administratif de jugement.  Autant pour l'esprit autonome, je dirais.

D'un autre coté, on peut facilement comprendre cette démarche à première vue dogmatique, car quand on enseigne, on ne peut pas tout expliquer, et il faut se garder d'admettre des façons de faire qui sont parfaitement justifiées avec le cadre limité et partiellement et inévitablement faux de concepts simplifiés enseignés à un certain niveau, c.a.d. qui n'ont pas d'explication raisonnée de l'interdit à ce niveau.  Mais alors il faudrait qu'il y ait une bonne raison à un niveau qu'on peut pas justifier au niveau de l'enseignement, mais à un niveau supérieur.  J'ai un niveau largement suffisant en mathématiques pour avoir, à ma disposition, tous les outils nécessaires pour pouvoir discuter "entre adultes" sur ces questions ; mais il est vrai que je ne baigne pas dans un milieu de maths pures, et il se peut donc qu'il y ait des éléments culturels dont la sensibilité m'échappe.  Quand je réfléchis à la question de l'interdit de suite de symboles ne représentant pas un objet mathématique, je ne trouve, moi-même, aucune raison impérative de l'interdire.  Mais cette bonne raison existe peut-être.  C'était pour explorer cette raison qui m'échappe, que je voulais creuser la question:

"est-ce qu'il y a une bonne raison pour interdire les expressions formelles qui suggèrent un objet mathématique, qui, après analyse profonde, n'existe, finalement, pas"

A part le "ben, ça ne se fait pas, point" je n'ai pas de réponse à cette question.  Il n'y a donc pas de raison profonde, argumentée, pour imposer cette règle, raison profonde qui serait impossible de justifier au niveau de l'enseignement du secondaire, mais parfaitement justifié au-dessus.  Mais personne n'a pu m'en donner une, sauf peut-être moonchild, qui a bien indiqué qu'il y a, effectivement, confusion entre la notation formelle, et l'objet mathématique même.  Dans la mesure où, effectivement, il y a cette confusion entre une suite de symboles, et un concept abstrait, on peut comprendre qu'on soit choqué par une suite de symboles ne correspondant pas à un tel concept ; mais l'erreur, à ce point, ne réside pas dans l'écriture de la suite de symboles, mais dans la confusion qu'il y a entre la suite de symboles et l'objet même.   On ne semble pas vouloir admettre qu'une suite de symboles n'est pas l'objet, mais un INDICATEUR de cet objet, objet qui ne s'écrit pas, car abstrait.  Le nom n'est pas la chose ; the map is not the territory.  Bien sûr, de façon informelle, on confond les deux souvent, et il est nécessaire de le faire car sinon on avance pas (on ne peut pas être strictement formel de A à Z, il faut "relâcher" le formel à un certain niveau).

Il y a aussi eu un "mais comme tu n'es pas prof de maths, tu n'as pas le droit de mettre en cause nos règles".  Mais cela ne répond toujours pas à la question par un argumentaire convainquant.  Enfin, ça répond à cet question, mais par un argument de pouvoir et d'autorité, et pas par un argument logique.  Je n'accepte pas, intellectuellement, un argument de logique, mais j'en tiens bien compte dans le monde réel de gens qui ont des pouvoirs nuisibles sur d'autres.  Si je n'étais pas biologiquement programmé pour faire cela, ma lignée serait déjà éteinte depuis longtemps Smile

Ce n'est, effectivement, pas propre aux enseignants de maths ; chaque discipline semble se borner à des règles de rédaction et de comportement dont on ne peut pas prononcer le nom, et les physiciens (et surtout, les chimistes) en font aussi des belles.  Mais la question est: est-ce des dadas sans fond, ou est-ce qu'il y a une justification profonde, mais inabordable au niveau d'enseignement en question ?

Ça ne change effectivement rien pour l'élève, qui n'a qu'a s'y plier.  On peut dire que c'est aussi un enseignement, social, cette fois: on se plie au dadas de ceux qui ont le pouvoir Smile, fondé ou non.  Là, on devient, comme je le disais, Darwinien Wink  Donc, finalement, apprendre qu'il faut faire comme dit le pouvoir, même s'il n'y a pas de justification profonde, est bien lui rendre service, sur le plan de la survie dans un milieu de pouvoir, non ? Ne faut-il pas, effectivement, désapprendre à réfléchir logiquement, afin de pouvoir s'insérer socialement ? Est-ce pas un travail difficile mais payant, d'apprendre à faire fi des explications logiques et de se plier aux règles sans réfléchir de façon critique ?
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