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La Yoye
Niveau 2

Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par La Yoye le Mer 5 Juil 2017 - 9:49
http://blog.kwyk.fr/2017/06/quartiles-et-mediane-pourquoi-ma.html

Je me suis souvent demandé pourquoi les calculatrices se trompent parfois lorsqu'il s'agit de calculer les quartiles d'une série statistique. Je me suis longtemps satisfait de cette explication : "C'est comme ça, c'est tout..." Eh bien, je suis content d'être tombé sur ce papier qui explique très clairement l'origine de ce problème ! Peut-être qu'il vous éclairera vous aussi. Wink

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Delia
Fidèle du forum

Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par Delia le Mer 5 Juil 2017 - 10:36
Très clairement, en effet : jusqu'ici, j'ignorais jusqu'à l'existence des médianes et des quartiles et là, j'ai tout compris !

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Paleoprof
Niveau 9

Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par Paleoprof le Mer 5 Juil 2017 - 12:35
Merci beaucoup, cela m'a d'autant plus intéressée que l'année prochaine j'aurai des niveaux où nous travaillerons médiane et quartile.
Mais cette explication est-elle accessible à des élèves de troisième ou de seconde? Comment gérez-vous la différence de résultat "calcul à la main" / "calcul instrumenté"? Considérez-vous comme justes les deux réponses, au risque de perdre les neuf dixièmes de la classe?

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Hélips
Modérateur

Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par Hélips le Mer 5 Juil 2017 - 12:39
En seconde, je donne comme définition :
une valeur telle qu'au moins 50% des valeurs sont supérieures et au moins 50% inférieures, même chose pour les quartiles.
Passé le Madame vois avez mis deux fois au moins et deux exemples, ils digèrent ça très bien.

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VinZT
Grand sage

Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par VinZT le Mer 5 Juil 2017 - 13:27
L'article semble toutefois un peu réducteur, le logiciel R (référence pour ceux qui font des statistiques sérieuses), propose pas moins de 9 algorithmes pour calculer les quantiles. Détail en spoiler (et en anglais).
R:


quantile {stats} R Documentation
Sample Quantiles

Description

The generic function quantile produces sample quantiles corresponding to the given probabilities. The smallest observation corresponds to a probability of 0 and the largest to a probability of 1.

Usage

quantile(x, ...)

## Default S3 method:
quantile(x, probs = seq(0, 1, 0.25), na.rm = FALSE,
        names = TRUE, type = 7, ...)
Arguments

x
numeric vector whose sample quantiles are wanted, or an object of a class for which a method has been defined (see also ‘details’). NA and NaN values are not allowed in numeric vectors unless na.rm is TRUE.
probs
numeric vector of probabilities with values in [0,1]. (Values up to 2e-14 outside that range are accepted and moved to the nearby endpoint.)
na.rm
logical; if true, any NA and NaN's are removed from x before the quantiles are computed.
names
logical; if true, the result has a names attribute. Set to FALSE for speedup with many probs.
type
an integer between 1 and 9 selecting one of the nine quantile algorithms detailed below to be used.
...
further arguments passed to or from other methods.
Details

A vector of length length(probs) is returned; if names = TRUE, it has a names attribute.

NA and NaN values in probs are propagated to the result.

The default method works with classed objects sufficiently like numeric vectors that sort and (not needed by types 1 and 3) addition of elements and multiplication by a number work correctly. Note that as this is in a namespace, the copy of sort in base will be used, not some S4 generic of that name. Also note that that is no check on the ‘correctly’, and so e.g. quantile can be applied to complex vectors which (apart from ties) will be ordered on their real parts.

There is a method for the date-time classes (see "POSIXt"). Types 1 and 3 can be used for class "Date" and for ordered factors.

Types

quantile returns estimates of underlying distribution quantiles based on one or two order statistics from the supplied elements in x at probabilities in probs. One of the nine quantile algorithms discussed in Hyndman and Fan (1996), selected by type, is employed.

All sample quantiles are defined as weighted averages of consecutive order statistics. Sample quantiles of type i are defined by:

Q[i](p) = (1 - γ) x[j] + γ x[j+1],

where 1 ≤ i ≤ 9, (j-m)/n ≤ p < (j-m+1)/n, x[j] is the jth order statistic, n is the sample size, the value of γ is a function of j = floor(np + m) and g = np + m - j, and m is a constant determined by the sample quantile type.

Discontinuous sample quantile types 1, 2, and 3

For types 1, 2 and 3, Q[i](p) is a discontinuous function of p, with m = 0 when i = 1 and i = 2, and m = -1/2 when i = 3.

Type 1
Inverse of empirical distribution function. γ = 0 if g = 0, and 1 otherwise.

Type 2
Similar to type 1 but with averaging at discontinuities. γ = 0.5 if g = 0, and 1 otherwise.

Type 3
SAS definition: nearest even order statistic. γ = 0 if g = 0 and j is even, and 1 otherwise.

Continuous sample quantile types 4 through 9

For types 4 through 9, Q[i](p) is a continuous function of p, with gamma = g and m given below. The sample quantiles can be obtained equivalently by linear interpolation between the points (p[k],x[k]) where x[k] is the kth order statistic. Specific expressions for p[k] are given below.

Type 4
m = 0. p[k] = k / n. That is, linear interpolation of the empirical cdf.

Type 5
m = 1/2. p[k] = (k - 0.5) / n. That is a piecewise linear function where the knots are the values midway through the steps of the empirical cdf. This is popular amongst hydrologists.

Type 6
m = p. p[k] = k / (n + 1). Thus p[k] = E[F(x[k])]. This is used by Minitab and by SPSS.

Type 7
m = 1-p. p[k] = (k - 1) / (n - 1). In this case, p[k] = mode[F(x[k])]. This is used by S.

Type 8
m = (p+1)/3. p[k] = (k - 1/3) / (n + 1/3). Then p[k] =~ median[F(x[k])]. The resulting quantile estimates are approximately median-unbiased regardless of the distribution of x.

Type 9
m = p/4 + 3/8. p[k] = (k - 3/8) / (n + 1/4). The resulting quantile estimates are approximately unbiased for the expected order statistics if x is normally distributed.

Further details are provided in Hyndman and Fan (1996) who recommended type 8. The default method is type 7, as used by S and by R < 2.0.0.

Author(s)

of the version used in R >= 2.0.0, Ivan Frohne and Rob J Hyndman.

References

Becker, R. A., Chambers, J. M. and Wilks, A. R. (1988) The New S Language. Wadsworth & Brooks/Cole.

Hyndman, R. J. and Fan, Y. (1996) Sample quantiles in statistical packages, American Statistician 50, 361–365.

See Also

ecdf for empirical distributions of which quantile is an inverse; boxplot.stats and fivenum for computing other versions of quartiles, etc.

Examples

quantile(x <- rnorm(1001)) # Extremes & Quartiles by default
quantile(x,  probs = c(0.1, 0.5, 1, 2, 5, 10, 50, NA)/100)

### Compare different types
p <- c(0.1, 0.5, 1, 2, 5, 10, 50)/100
res <- matrix(as.numeric(NA), 9, 7)
for(type in 1:9) res[type, ] <- y <- quantile(x,  p, type = type)
dimnames(res) <- list(1:9, names(y))
round(res, 3)
[Package stats version 3.3.2 Index]

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Paleoprof
Niveau 9

Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par Paleoprof le Mer 5 Juil 2017 - 13:56
affraid
La réponse d'Hélips m'allait bien , mais il n'empêche que si la calculatrice-qui-a-forcément-toujours-raison ne mène pas au même résultat que le calcul-à-la-main-que-le-professeur-préfère-mais-ça-veut-dire-qu'il-faut-réfléchir , j'entends déjà les échanges ping-pong avec les élèves....  

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VinZT
Grand sage

Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par VinZT le Mer 5 Juil 2017 - 14:02
Ah, mais il y a mieux, lorsque deux modèles de calculatrice te donnent deux résultats différents pour les mêmes données.

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Paleoprof
Niveau 9

Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par Paleoprof le Mer 5 Juil 2017 - 14:06
Solution pour les évaluations : alterner les élèves Casio et les élèves TI pour repérer les triches entre élèves...
Solution pour le cours et les exercices .... ?

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Call_BB5A
Niveau 4

Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par Call_BB5A le Mer 5 Juil 2017 - 14:11
@La Yoye a écrit:Je me suis souvent demandé pourquoi les calculatrices se trompent parfois lorsqu'il s'agit de calculer les quartiles d'une série statistique.
Si mes souvenirs sont corrects, les CASIO peuvent être paramétrées pour appliquer la définition "française" et obtenir des quartiles appartenant aux données.

Si on regarde les programmes officiels de collège et de lycée, la définition des quartiles n'est jamais donnée. Et comme à l'occasion des examens, les réponses données par les calculatrices sont considérées comme correctes ; on peut donc choisir la définition que l'on souhaite, dès lors qu'on s'y tient (la définition internationale a l'avantage de faire correspondre médiane et second quartile).
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sallyt44
Niveau 10

Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par sallyt44 le Mer 5 Juil 2017 - 15:12
Le pire, c'est que pour commenter une série, peu importe la valeur des quartiles, ça mène à la même conclusion...

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2014 - 2015 : stagiaire 2nde et 1ère S
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hyperbole
Niveau 5

Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par hyperbole le Mer 5 Juil 2017 - 15:13
@Hélips a écrit:En seconde, je donne comme définition :
une valeur telle qu'au moins 50% des valeurs sont supérieures et au moins 50% inférieures, même chose pour les quartiles.
Passé le Madame vois avez mis deux fois au moins et deux exemples, ils digèrent ça très bien.
Pareil en 3e pour moi, en rajoutant une remarque orale sur le fait que plusieurs valeurs sont donc acceptées même si tableur ou calculatrice donnent "la" valeur Wink

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Hélips
Modérateur

Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par Hélips le Mer 5 Juil 2017 - 20:28
@hyperbole a écrit:
@Hélips a écrit:En seconde, je donne comme définition :
une valeur telle qu'au moins 50% des valeurs sont supérieures et au moins 50% inférieures, même chose pour les quartiles.
Passé le Madame vois avez mis deux fois au moins et deux exemples, ils digèrent ça très bien.
Pareil en 3e pour moi, en rajoutant une remarque orale sur le fait que plusieurs valeurs sont donc acceptées même si tableur ou calculatrice donnent "la" valeur Wink

J'aime bien donner comme exemple une classe de 30 élèves, un contrôle, 15 ont en dessous de 5, 15 ont au dessus de 15, que donne le prof pour médiane ?

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William Foster
Neoprof expérimenté

Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par William Foster le Mer 5 Juil 2017 - 20:35
@Hélips a écrit:J'aime bien donner comme exemple une classe de 30 élèves, un contrôle, 15 ont en dessous de 5, 15 ont au dessus de 15, que donne le prof pour médiane ?
Facile : il donne la médiane qui lui permet d'être bien vu de sa direction.

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Hélips
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Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par Hélips le Mer 5 Juil 2017 - 20:43
@William Foster a écrit:
@Hélips a écrit:J'aime bien donner comme exemple une classe de 30 élèves, un contrôle, 15 ont en dessous de 5, 15 ont au dessus de 15, que donne le prof pour médiane ?
Facile : il donne la médiane qui lui permet d'être bien vu de sa direction.
Ah non, mais c'est pas le jeu ! On doit choisir une valeur ! Et expliquer pourquoi on fait ce choix, donc "être bien vu de sa direction" peut être un argument Razz

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William Foster
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Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par William Foster le Mer 5 Juil 2017 - 20:52
C'est trois mathématiciens qui vont passer un entretien d'embauche.
Le premier fait des maths pures...
"Combien font trois fois un tiers ?" demande le DRH.
"Et bien 3 x 1 / 3, je simplifie en haut et en bas par 3, il reste 1. Le résultat est 1."

Le deuxième fait des maths appliquées...
"Combien font trois fois un tiers ?" demande le DRH.
"Et bien 1/3 = 0,3333333333333, donc 3 x 1 / 3 = 0,9999999999999."

Le troisième fait des statistiques...
"Combien font trois fois un tiers ?" demande le DRH.
"Hé ! Combien avez-vous besoin que ça fasse ?"

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Paleoprof
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Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par Paleoprof le Mer 5 Juil 2017 - 21:07
@Hélips a écrit:
@hyperbole a écrit:
@Hélips a écrit:En seconde, je donne comme définition :
une valeur telle qu'au moins 50% des valeurs sont supérieures et au moins 50% inférieures, même chose pour les quartiles.
Passé le Madame vois avez mis deux fois au moins et deux exemples, ils digèrent ça très bien.
Pareil en 3e pour moi, en rajoutant une remarque orale sur le fait que plusieurs valeurs sont donc acceptées même si tableur ou calculatrice donnent "la" valeur Wink

J'aime bien donner comme exemple une classe de 30 élèves, un contrôle, 15 ont en dessous de 5, 15 ont au dessus de 15, que donne le prof pour médiane ?

Et à cet exemple (qui me plait beaucoup, merci, je le ré-utiliserai!) : combien d'élèves répondent une valeur différente de 10? La différence entre la moyenne et une médiane est-elle facile à comprendre pour des élèves de 4ème ou de 3ème?

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William Foster
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Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par William Foster le Mer 5 Juil 2017 - 21:09
@Paleoprof a écrit:La différence entre la moyenne et une médiane est-elle facile à comprendre pour des élèves de 4ème ou de 3ème?
Fait cette année avec les 5èmes... C'est très bien passé

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Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par Paleoprof le Mer 5 Juil 2017 - 21:20
J'ai dû mal m'y prendre avec mes élèves, alors, il faut dire aussi qu'on a abordé ce sujet à la fin juin....
J'avais pris l'exemple d'une entreprise où chacun des 9 employés gagne entre 1600 et 1800 euros et le patron gagne 50 000 euros (OK c'est caricatural!). Je voulais que les élèves s'interrogent sur la pertinence de la moyenne , et ainsi introduire la médiane, mais j'ai eu le sentiment de perdre une grosse partie de la classe! J'avais pourtant tout bien préparé, avec droite graduée, schéma et tout et tout..
Cela me rappelle un gif sur un autre fil , avec la tête désespérée de l'enseignant qui passe des heures à préparer une séance et .... flop complet!

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William Foster
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Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par William Foster le Mer 5 Juil 2017 - 21:33
Je te donne mon approche en spoiler pour ne pas pourrir le fil :

Spoiler:
J'ai crée un script sur Scratch qui permet de choisir au hasard l'élève qui va passer au tableau corriger un exercice. Je m'en sers régulièrement et ça enregistre le nombre de passages au tableau pour chaque élève.
En fin d'année, on récupère la série statistique et les élèves bossent alors sur leur propre cas.
On regroupe par classe : les chanceux qui sont passés 0 ou 1 fois, les moyens chanceux, les poissards, les loosers ultimes...
Puis on cherche qui dans la classe est médian : il faut que la moitié de la classe soit plus chanceuse, et l'autre moins chanceuse.
Comme chacun d'eux sait qui est dans chaque classe et visualise l'élève médian, ils retiennent bien le principe.  Wink

Je pense que ça marcherait avec des quartiles, quitte à regrouper plusieurs divisions d'un même niveau pour jouer sur l'effectif pair/impair/divisible par 4...

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Paleoprof
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Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par Paleoprof le Jeu 6 Juil 2017 - 6:39
Super, merci!
Ce que j'en retiens également, c'est que plus les exemples concernent directement les élèves, mieux ils retiennent. Mon exemple, il était bon pour ma précédente vie professionnelle,  pas trop pour des ados de 13 ans!
Je pourrai le réutiliser pour des 1ES peut-être, mais je retiens aussi le principe du tien!

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Hélips
Modérateur

Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par Hélips le Jeu 6 Juil 2017 - 8:27
@Paleoprof a écrit:
@Hélips a écrit:
@hyperbole a écrit:
@Hélips a écrit:En seconde, je donne comme définition :
une valeur telle qu'au moins 50% des valeurs sont supérieures et au moins 50% inférieures, même chose pour les quartiles.
Passé le Madame vois avez mis deux fois au moins et deux exemples, ils digèrent ça très bien.
Pareil en 3e pour moi, en rajoutant une remarque orale sur le fait que plusieurs valeurs sont donc acceptées même si tableur ou calculatrice donnent "la" valeur Wink

J'aime bien donner comme exemple une classe de 30 élèves, un contrôle, 15 ont en dessous de 5, 15 ont au dessus de 15, que donne le prof pour médiane ?

Et à cet exemple (qui me plait beaucoup, merci, je le ré-utiliserai!) : combien d'élèves répondent une valeur différente de 10?
Cadeau !
Je commence par donner une bête liste de 10 nombres sur laquelle on a bien appliqué la définition et donc repéré qu'on avait un intervalle médian. Du coup, quand je donne cet exemple, ils sont environ 1/3 à me répondre 10, 1/3 à me répondre "5", "15" ou "5 ou 15", 1/6 à ne pas oser répondre, et les autres sont joueurs donc répondent "n'importe quelle valeur entre 5 et 15, par exemple 13,99".
Ensuite, j'annonce "je vous annonce 5 comme médiane, je suis contente ou pas ?", et souvent, je n'ai pas le temps de dire la suite de la phrase : "ah ben non Madame, c'est pas sympa, on va se faire disputer ! Donnez plutôt 15, ça montre que la moitié a très bien réussi". Et là, je les aime.

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La Yoye
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Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par La Yoye le Jeu 6 Juil 2017 - 9:43
@Paleoprof a écrit:Merci beaucoup, cela m'a d'autant plus intéressée que l'année prochaine j'aurai des niveaux où nous travaillerons médiane et quartile.
Mais cette explication est-elle accessible à des élèves de troisième ou de seconde? Comment gérez-vous la différence de résultat "calcul à la main" / "calcul instrumenté"? Considérez-vous comme justes les deux réponses, au risque de perdre les neuf dixièmes de la classe?

Je pense que la première moitié de l'article est suffisante pour que les élèves comprennent, sans avoir à rentrer dans les explications calculatoires qui sont dans la deuxième partie du papier. En gros, je dirais qu'il faut s'arrêter à la phrase « Et les programmes de ces machines sont essentiellement élaborés selon les standards internationaux, faisant ainsi fi de cette exception française ».

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Paleoprof
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Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par Paleoprof le Jeu 6 Juil 2017 - 12:50
Hélips : je remarque que tu parles également d'intervalle médian en plus de médiane. Je pense qu'une grande part de l'explication tient à cette terminologie employée. J'insiste souvent sur la différence entre les articles définis LE/LA et indéfinis UN/UNE, mais je trouve qu'en employant le terme "intervalle médian", il est beaucoup plus simple pour un élève de comprendre qu'il peut y avoir plusieurs médianes là où il n'y a qu'une seule moyenne arithmétique.... Je prends donc la bonne idée aussi, merci! (tu me prêtes aussi tes élèves pour mes jours de grande solitude.... ? Wink . Bon, on va dire que c'est le métier qui rentre!)

La Yoye : pour l'article, je ne pense pas le montrer tel quel aux élèves, mais il présente le grand avantage de m'avoir alertée sur un point que je risque de rencontrer, merci!

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Hélips
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Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par Hélips le Jeu 6 Juil 2017 - 16:05
Tu as raison : les années où je ne parlais pas d'intervalle médian, ça marchait moins bien. Et j'insiste sur le fait que parler de LA médiane est bien un abus de langage malheureux. Quant à mes élèves, ben... je veux bien de te les prêter, mais tout ne rentre pas aussi bien, malheureusement Wink

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verdurin
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Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

par verdurin le Jeu 6 Juil 2017 - 18:57
Il me semble que parler de quantiles pour des séries d’effectifs faible n'a aucun sens.
L'idée de départ est de donner une estimation des quantiles sur une loi continue à partir d'un nombre fini d'observations.
Si le nombre d'observations est petit l'estimation n'a aucun sens.
Et il en est de même si la loi ne prend pas assez de valeurs.

Pour ce que j'en sais le problème provient du désir de donner une culture statistique aux élèves, et de l'incapacité de nos chefs à décider qu'il faut faire de vraies statistiques, peut-être parce qu'ils n'ont pas cette culture.

À mon avis il n'y a aucune définition satisfaisante pour la médiane ou les quartiles.
Surtout si on veut avoir une définition qui puisse concerner une série du genre 1 ; 2 ; 3 ; 4.
Donner trois nombres pour décrire une série statistique qui en comporte quatre est une absurdité.

Et j'ai la nette impression que donner des quantiles pour une série de valeurs trop petite, ou ne comportant pas assez de valeurs relève du délire « éducation nationale ».

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Re: Calcul des quartiles : pourquoi ma calculatrice se trompe ?

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