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NéoTiT
Niveau 5

Rédaction particulière Pythagore

par NéoTiT le Sam 16 Sep 2017 - 16:08
Bonjour à tous,

Voici l'énoncé d'un exercice.
Soit ABC un triangle tel que AB = 3 cm, BC = 4 cm et AC = 6 cm.
Le but est de démontrer que le triangle ABC n'est pas rectangle.

Voici une rédaction qu'il m'est arrivé de retrouver sur une copie d'un élève, rédaction qu'évidemment je n'ai jamais employée en classe.

"Dans le triangle ABC, [AC] est est le côté qui a la plus grande longueur.
On suppose donc que le triangle ABC est rectangle en B, alors, d'après le théorème de Pythagore, on a : AC² = AB² + BC².
AC² = 25 donc AC = 5.
Comme AC n'est pas égale à 6 cm, l'hypothèse formulée au départ est fausse : donc le triangle ABC n'est pas rectangle".

Le raisonnement est faux mais je souhaiterais savoir pourquoi : quel est le véritable problème de ce raisonnement ?
Si vous avez une explication, je suis preneur.
Diriez-vous que l'élève a tenté un raisonnement par l'absurde ?

Merci pour cet échange, que j'espère fructueux.
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fifi51
Habitué du forum

Re: Rédaction particulière Pythagore

par fifi51 le Sam 16 Sep 2017 - 16:25
Le raisonnement me paraît tout à fait correct, mais je préfère qu'un professeur de mathématiques réponde.

_________________
Oui, j'ai un clavier Fisher Price pour l'instant !
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Euthyphron
Niveau 5

Re: Rédaction particulière Pythagore

par Euthyphron le Sam 16 Sep 2017 - 16:27
Je ne comprends pas pourquoi le raisonnement est faux. heu
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William Foster
Neoprof expérimenté

Re: Rédaction particulière Pythagore

par William Foster le Sam 16 Sep 2017 - 16:33
C'est un raisonnement par l'absurde.
L'hypothèse "le triangle est rectangle" aboutit à 5 = 6, ce qui est absurde. Donc l'hypothèse est foireuse.

Je ne vois pas ce qui t'embête dans cette rédaction.

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Tout le monde me dit que je ne peux pas faire l'unanimité.
"Il ne faut pas voir le mal partout où il est." Marie-Martine Schyns, ministre belge de l'enseignement obligatoire
Vérificateur de miroir est un métier que je me verrais bien faire, un jour.
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Aphrodissia
Grand sage

Re: Rédaction particulière Pythagore

par Aphrodissia le Sam 16 Sep 2017 - 16:35
Comment devrait-on faire, autrement, pour prouver que le triangle n'est pas rectangle?

_________________
Et me fault par couverture / Chanter quant mon cuer souspire / Et faire semblant de rire ; / Mais Dieux scet ce que j'endure ; /Je ne sais comment je dure.
wilfried12
Niveau 9

Re: Rédaction particulière Pythagore

par wilfried12 le Sam 16 Sep 2017 - 16:36
En utilisant la contraposée
NéoTiT
Niveau 5

Re: Rédaction particulière Pythagore

par NéoTiT le Sam 16 Sep 2017 - 16:38
Je pensais comme vous que cela était un raisonnement correct mais j'ai trouvé, sur un autre forum, une discussion qui disait que cela ne fonctionnait pas...
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1365472,1365728
chmarmottine
Neoprof expérimenté

Re: Rédaction particulière Pythagore

par chmarmottine le Sam 16 Sep 2017 - 16:39
Je faisais un truc du genre quand j'avais des classes de 4e.

"Dans le triangle ABC, [AC] est le côté le plus long. Donc ABC ne peut être rectangle qu'en B.
S'il l'était, on aurait, d'après le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC².

Or AC² = 36 et AB²+BC²=25. Donc AC² différent de AB²+BC². Contradictoire avec ...

Donc l'hypothèse formulée au départ est fausse : donc le triangle ABC n'est pas rectangle"


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William Foster
Neoprof expérimenté

Re: Rédaction particulière Pythagore

par William Foster le Sam 16 Sep 2017 - 16:42
@Aphrodissia a écrit:Comment devrait-on faire, autrement, pour prouver que le triangle n'est pas rectangle?
Tu mesures l'angle avec un rapporteur, ou bien tu regardes avec une équerre, ou un coin de feuille à défaut. Razz


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William Foster
Neoprof expérimenté

Re: Rédaction particulière Pythagore

par William Foster le Sam 16 Sep 2017 - 16:47
@NéoTiT a écrit:Je pensais comme vous que cela était un raisonnement correct mais j'ai trouvé, sur un autre forum, une discussion qui disait que cela ne fonctionnait pas...
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1365472,1365728
Pour ce que j'en ai compris, ils ne causent pas du même problème que toi.
Toi, tu veux démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle. Et la réponse de ton élève est bonne.

Eux, ils veulent répondre à la question "le triangle est-il rectangle ?"
Auquel cas partir dans la rédaction en supposant le triangle rectangle ne permettrait pas de démontrer qu'il le serait le cas échéant.
C'est d'ailleurs pour ça qu'on fait chercher aux élèves la réponse au brouillon, pour qu'ils puissent choisir entre contraposée (si pas rectangle) et réciproque (si rectangle).

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NéoTiT
Niveau 5

Re: Rédaction particulière Pythagore

par NéoTiT le Sam 16 Sep 2017 - 16:50
Je comprends plus ou moins.
1) Si la question est fermée, l'élève utilise un raisonnement par l'absurde et dans ce cas ça marche, on est d'accord ?
2) Si la question est ouverte, le raisonnement par l'absurde ne tient pas et dans ce cas, ça ne marche, on est d'accord aussi?
3) Alors dans ce cas, c'est moi qui est mal formulé le problème : la question posée aux élèves est ouverte ("le triangle ABC est-il rectangle ?").
Et là, il semblerait qu'il y ait un problème si j'ai bien suivi.
chmarmottine
Neoprof expérimenté

Re: Rédaction particulière Pythagore

par chmarmottine le Sam 16 Sep 2017 - 16:52
Le raisonnement permet bien de prouver qu'il ne l'est pas. Pourquoi y aurait-il un problème ?
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William Foster
Neoprof expérimenté

Re: Rédaction particulière Pythagore

par William Foster le Sam 16 Sep 2017 - 16:58
@NéoTiT a écrit:Je comprends plus ou moins.
1) Si la question est fermée, l'élève utilise un raisonnement par l'absurde et dans ce cas ça marche, on est d'accord ?
2) Si la question est ouverte, le raisonnement par l'absurde ne tient pas et dans ce cas, ça ne marche, on est d'accord aussi?
3) Alors dans ce cas, c'est moi qui est mal formulé le problème : la question posée aux élèves est ouverte ("le triangle ABC est-il rectangle ?").
Et là, il semblerait qu'il y ait un problème si j'ai bien suivi.

1) Non, pas d'accord : si la question est fermée du genre "montrer que le triangle n'est pas rectangle", l'absurde tient.
Si la question est fermée du genre "montrer que le triangle est rectangle", l'absurde capote. Il faut la réciproque.

2) Si la question est ouverte ET que le triangle n'est pas rectangle, tu peux utiliser l'absurde.
Si la question est ouverte ET que le triangle est rectangle, tu ne peux pas utiliser l'absurde. Il faut la réciproque.

3) Il n'y aurait eu un problème que si le triangle avait été rectangle, ce qui n'est pas le cas.

Le choix d'utiliser l'absurde (ou la contraposée) ou bien la réciproque ne dépend pas de la question, mais de la réponse à donner.

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Chomp
Niveau 3

Re: Rédaction particulière Pythagore

par Chomp le Sam 16 Sep 2017 - 17:00
Question ouverte ou non, un raisonnement par l'absurde comme celui de l'élève permet bien de prouver qu'il n'est pas rectangle. De même, pour prouver qu'un triangle est rectangle on peut raisonner par l'absurde avec la contraposée.
J'ai pas touché au raisonnement par l'absurde avec mes secondes, je préfère que pour prouver une égalité ils aient l'habitude de calculer chacun des membres à part.
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Chomp
Niveau 3

Re: Rédaction particulière Pythagore

par Chomp le Sam 16 Sep 2017 - 17:02
@William Foster a écrit:
2) Si la question est ouverte ET que le triangle n'est pas rectangle, tu peux utiliser l'absurde.
Si la question est ouverte ET que le triangle est rectangle, tu ne peux pas utiliser l'absurde. Il faut la réciproque.
Je ne comprends pas pourquoi ? Si on part du principe que le triangle n'est pas rectangle donc AB² =/= AC² + BC² et qu'on trouve après calcul l'égalité, le raisonnement par l'absurde tient tout autant, non ?
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William Foster
Neoprof expérimenté

Re: Rédaction particulière Pythagore

par William Foster le Sam 16 Sep 2017 - 17:09
@Chomp a écrit:
@William Foster a écrit:
2) Si la question est ouverte ET que le triangle n'est pas rectangle, tu peux utiliser l'absurde.
Si la question est ouverte ET que le triangle est rectangle, tu ne peux pas utiliser l'absurde. Il faut la réciproque.
Je ne comprends pas pourquoi ? Si on part du principe que le triangle n'est pas rectangle donc AB² =/= AC² + BC² et qu'on trouve après calcul l'égalité, le raisonnement par l'absurde tient tout autant, non ?
Oui, ce que tu écris est juste (en faisant gaffe aux noms des points).
Si tu pars de ABC pas rectangle et que c'est absurde, c'est qu'il est rectangle.
Si tu pars de ABC rectangle et que c'est absurde, c'est qu'il n'est pas rectangle.
A chaque fois, l'hypothèse que tu rajoutes est contraire à ta conclusion.

Ce qui serait faux, ce serait de partir de "ABC rectangle", ne pas trouver d'absurdité et d'en conclure "ABC rectangle".

Edit : Utiliser la contraposée dans un raisonnement par l'absurde, juste pour un pauvre triangle rectangle, ça me paraît inutilement compliqué Razz

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NéoTiT
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Re: Rédaction particulière Pythagore

par NéoTiT le Sam 16 Sep 2017 - 17:22
@William Foster a écrit:Si la question est fermée du genre "montrer que le triangle est rectangle", l'absurde capote. Il faut la réciproque.
Pourquoi l'absurde capote ?
Cela dépend de ce que l'on suppose.
Si je suppose que le triangle n'est pas rectangle et que j'arrive à une contradiction, cela peut fonctionner aussi, non ?

Pourquoi sur l'autre forum, les intervenants disaient que ce que proposait le gars ne fonctionnait pas ?
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William Foster
Neoprof expérimenté

Re: Rédaction particulière Pythagore

par William Foster le Sam 16 Sep 2017 - 17:30
@NéoTiT a écrit:
@William Foster a écrit:Si la question est fermée du genre "montrer que le triangle est rectangle", l'absurde capote. Il faut la réciproque.
Pourquoi l'absurde capote ?
Cela dépend de ce que l'on suppose.
Si je suppose que le triangle n'est pas rectangle et que j'arrive à une contradiction, cela peut fonctionner aussi, non ?
http://www.neoprofs.org/t113675-redaction-particuliere-pythagore#4208728


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NéoTiT
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Re: Rédaction particulière Pythagore

par NéoTiT le Sam 16 Sep 2017 - 17:35
Désolé, j'ai raté cette réponse ^^

Autres questions :
1) Pourquoi sur l'autre forum, les intervenants disaient que ce que proposait le gars ne fonctionnait pas ?
2) Ca m'intéresse ce que tu dis là :
@William Foster a écrit:Ce qui serait faux, ce serait de partir de "ABC rectangle", ne pas trouver d'absurdité et d'en conclure "ABC rectangle"
Justement, comment justifierais-tu le fait que cela ne fonctionne pas ?
(C'est au cas où, un élève m'écrit cela : mieux vaut prévenir que guérir ^^).
Je partirais sur un raisonnement de "hypothèse faux implique une conclusion qui peut être vraie ou fausse" mais pas sûr que ça parle aux élèves ça.
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William Foster
Neoprof expérimenté

Re: Rédaction particulière Pythagore

par William Foster le Sam 16 Sep 2017 - 17:52
Pour les élèves... ?
Un truc du genre : "Supposons que j'emballe toutes les gonzesses. Alors j'emballerais aussi ma copine actuelle. Or il se trouve que je l'ai emballée ! Donc j'avais raison : j'emballe toutes les gonzesses."  

Supposer A pour démontrer A, c'est de l'ouroboros (et c'est un sacré acte de souplesse !)

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NéoTiT
Niveau 5

Re: Rédaction particulière Pythagore

par NéoTiT le Sam 16 Sep 2017 - 17:57
Les élèves sont prêts à tout pour prouver que leur réponse est juste ! Smile
Donc, en résumé, le raisonnement de l'élève (au début du fil) est bien correct (que la question soit ouverte ou fermée) ?
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William Foster
Neoprof expérimenté

Re: Rédaction particulière Pythagore

par William Foster le Sam 16 Sep 2017 - 18:02
L'élève du début du fil a bien démontré que le triangle n'est pas rectangle.

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e1654d
Niveau 6

Re: Rédaction particulière Pythagore

par e1654d le Sam 16 Sep 2017 - 18:17
La validité logique d'un raisonnement dépend seulement de sa forme, pas de la question en réponse à laquelle il est écrit. Le raisonnement peut éventuellement être correct mais hors sujet s'il établit un résultat différent de celui demandé.

J'essaye de formuler les choses de la façon la moins désagréable possible (tout en sachant que je ne peux l'éviter totalement), ce d'autant plus que les questions que vous avez posées montrent que vous avez à cœur de bien faire, mais pardon, NéoTiT, quel est votre parcours universitaire ?
dasson
Niveau 5

Re: Rédaction particulière Pythagore

par dasson le Sam 16 Sep 2017 - 18:23
Bonjour,
Une présentation classique est proposée ici
https://www.youtube.com/watch?v=be_PXZZAZds&t=26s
Suggestion pour NeoTiT :
Voir jusqu'à la fin...
NéoTiT
Niveau 5

Re: Rédaction particulière Pythagore

par NéoTiT le Sam 16 Sep 2017 - 18:24
Très bien : merci William Foster.

J'ai eu un parcours universitaire classique : le master en 5 ans et le concours.

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Re: Rédaction particulière Pythagore

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