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johndoex3x
Niveau 1

résolution d'équations collège

par johndoex3x le Jeu 23 Nov 2017 - 22:14
Bonjour,
Je me pose la question suivante: quelle progression en 4eme 3eme sur les résolutions d'équations :
comment les amène-t-on à gérer les équations du type :

*  X+3=5        je sais qu'on leur fait enlever 3 des deux côtés mais va-t-on plus loin en collège?  (je passe le 3 de l'autre côté, il change de signe)

* 3x=5/3 j'ai vu 3x/1=5/3 puis produit en croix et on arrive à 9x=5 et enfin x=5/9....ça me semble bien compliqué.

Merci
Pascal (pas profde maths....peut-être un jour...)
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JPhMM
Demi-dieu

Re: résolution d'équations collège

par JPhMM le Jeu 23 Nov 2017 - 22:18
On ne change pas (la validité d') une égalité en ajoutant un même nombre à chaque membre de l'égalité, ou en multipliant par un même nombre non nul chaque membre de l'égalité.

(a=b) <=> (a+x=b+x)
et (a=b) <=> (ka=kb pour k non nul)

Ainsi :

x+3=5
x+3+(-3)=5+(-3)
x=2

etc.

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
johndoex3x
Niveau 1

Re: résolution d'équations collège

par johndoex3x le Jeu 23 Nov 2017 - 22:38
ok ça me semble être le plus simple
On l'introduit comme ça en 4eme et on n'y touche plus c'est ça?
Le produit en croix me gênait car peu explicite : ils galèrent déjà suffisamment sur la proportionnalité !!
Pascal
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ycombe
Modérateur

Re: résolution d'équations collège

par ycombe le Jeu 23 Nov 2017 - 22:48
@johndoex3x a écrit:Bonjour,
Je me pose la question suivante: quelle progression en 4eme 3eme sur les résolutions d'équations :
comment les amène-t-on à gérer les équations du type :

*  X+3=5        je sais qu'on leur fait enlever 3 des deux côtés mais va-t-on plus loin en collège?  (je passe le 3 de l'autre côté, il change de signe)
Cette jolie règle, ainsi édictée, donne ensuite:
3x = 9
x = 9 - 3 (ben quoi? on enlève 3 des deux côtés).



* 3x=5/3         j'ai vu 3x/1=5/3 puis produit en croix et on arrive à 9x=5 et enfin x=5/9....ça me semble bien compliqué.

Merci
Pascal (pas profde maths....peut-être un jour...)
3x c'est 3*x, pour régler le problème du 3 on va diviser par 3: il se simplifie.
3x=5/3
3x \over 3 = 5/3 \over 3
x = 5/3 * 1/3
x = 5/9

_________________
Assurbanipal: "Passant, mange, bois, divertis-toi ; tout le reste n’est rien".

Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".
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Moonchild
Expert spécialisé

Re: résolution d'équations collège

par Moonchild le Jeu 23 Nov 2017 - 23:28
@johndoex3x a écrit:Bonjour,
Je me pose la question suivante: quelle progression en 4eme 3eme sur les résolutions d'équations :
comment les amène-t-on à gérer les équations du type :

*  X+3=5        je sais qu'on leur fait enlever 3 des deux côtés mais va-t-on plus loin en collège?  (je passe le 3 de l'autre côté, il change de signe)
J'abonde dans le sens d'Ycombe, cette règle pose ensuite de gros problèmes car elle s'apparente à un tour de passe-passe et elle génère beaucoup de confusions : quand 3x=9 ne devient pas x=9-3, cela peut engendrer des 3x=9 qui donnent x=9/(-3).
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kioupsPBT
Habitué du forum

Re: résolution d'équations collège

par kioupsPBT le Ven 24 Nov 2017 - 8:29
Ca peut paraître lourd mais j'ai tendance à insister sur les définitions de la différence et du quotient.

x+3=5. x est le nombre qui ajouté à 3 donne 5, donc c'est la différence entre 5 et 3. x=5-3=2

3x=9. x est le nombre qui multiplié par 3 donne 9, donc c'est le quotient de 9 par 3. x=9/3=3.

Les "passages" de gauche à droite, c'est la catastrophe !
Badiste75
Niveau 10

Re: résolution d'équations collège

par Badiste75 le Ven 24 Nov 2017 - 12:04
Je suis d’accord qu’il faille aller dans ce sens dans l’apprentissage des équations. Mais en 1S ou TS je m’autorise quand même parfois des abus de langage puisque les mécanismes sont quand même compris par la majorité. Heureusement, on n’en est plus là!
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fifi51
Habitué du forum

Re: résolution d'équations collège

par fifi51 le Ven 24 Nov 2017 - 12:12
@kioupsPBT a écrit:Ca peut paraître lourd mais j'ai tendance à insister sur les définitions de la différence et du quotient.

x+3=5. x est le nombre qui ajouté à 3 donne 5, donc c'est la différence entre 5 et 3. x=5-3=2

3x=9. x est le nombre qui multiplié par 3 donne 9, donc c'est le quotient de 9 par 3. x=9/3=3.

Les "passages" de gauche à droite, c'est la catastrophe !

Etape suivante: les inéquations Twisted Evil !
johndoex3x
Niveau 1

Re: résolution d'équations collège

par johndoex3x le Ven 24 Nov 2017 - 17:21
@Moonchild a écrit:
@johndoex3x a écrit:Bonjour,
Je me pose la question suivante: quelle progression en 4eme 3eme sur les résolutions d'équations :
comment les amène-t-on à gérer les équations du type :

*  X+3=5        je sais qu'on leur fait enlever 3 des deux côtés mais va-t-on plus loin en collège?  (je passe le 3 de l'autre côté, il change de signe)
J'abonde dans le sens d'Ycombe, cette règle pose ensuite de gros problèmes car elle s'apparente à un tour de passe-passe et elle génère beaucoup de confusions : quand 3x=9 ne devient pas x=9-3, cela peut engendrer des 3x=9 qui donnent x=9/(-3).

C'est vrai que c'est lourd mais si c'est le prix à payer pour qu'ils comprennent.
Merci
Pascal
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Derborence
Modérateur

Re: résolution d'équations collège

par Derborence le Ven 24 Nov 2017 - 17:45
Johndoex3x, merci de bien vouloir te présenter ici :
http://www.neoprofs.org/f26-votre-presentation


_________________
"La volonté permet de grimper sur les cimes ; sans volonté on reste au pied de la montagne." Proverbe chinois

"Derborence, le mot chante triste et doux dans la tête pendant qu’on se penche sur le vide, où il n’y a plus rien, et on voit qu’il n’y a plus rien."
Charles-Ferdinand Ramuz, Derborence
Call_BB5A
Niveau 5

Re: résolution d'équations collège

par Call_BB5A le Ven 24 Nov 2017 - 18:22
@johndoex3x a écrit:C'est vrai que c'est lourd mais si c'est le prix à payer pour qu'ils comprennent.
Comprennent ? C'est une interprétation un peu rapide. Il serait plus juste de dire : que c'est le prix à payer pour qu'ils sachent reproduire une résolution mathématiquement correcte.

Le signe = est plus un séparateur d'écriture, dans la tête des élèves, qu'une relation d'égalité entre deux expressions.

On le voit d'ailleurs très nettement chez des élèves de 1ère S qui remplacent des = par des équivalences et inversement écrivent des = entre deux équations ce qui aboutit généralement à des absurdités dans le style de ce qui suit où il est écrit que 6 = 7 :

Code:
 3 x + 1 = 7
= 3 x = 6

Même chez les collégiens, il n'est pas rare de voir des calculs, normalement distincts, s'écrire les uns à la suite des autres : 4 + 3 = 7 -  1 = 6 + 9 = 15 à la place de :

Code:
4 + 3 = 7
7 - 1 = 6
6 + 9 = 15
c'est à dire :
4 + 3 - 1 + 9 = 15
t3-
Niveau 5

Re: résolution d'équations collège

par t3- le Ven 24 Nov 2017 - 18:56
J'utilise la progression suivante. Je la présente avec des programmes de calcul pour clarifier, mais on peut imaginer n'importe quel résolution de problème qui se ramène à un programme du même type.
- 5e/début de 4e : "Choisis un nombre / Multiplie par 3 / Soustrait 10. Nombre à choisir pour trouver 100 ?" Les élèves peuvent se baser sur le sens des opérations (càd : 100+10 ; puis 110/3). Tâtonner ne permet plus d'avoir une valeur exacte de la solution (non décimale).
- milieu de 4e : "Choisis un nombre / Ajoute 4 / Multiplie par 3 / Soustrait le nombre de départ. Nombre à choisir pour trouver 100 ?". On ne peut plus remonter le programme, il faut utiliser le calcul littéral pour réduire, puis sens des opérations comme précédemment pour finir.
- fin de 4e : je donne un problème qui débouche, après réduction, sur une équation du type ax+b=c, qu'ils peuvent résoudre avec sens des opérations.
Puis, un problème du même type qui débouche sur ax+b=cx+d : les élèves ont alors besoin d'une nouvelle méthode (qu'ils peuvent presque trouver si on laisse du temps à la classe).
On exploite alors uniquement "les solutions d'une équation restent les mêmes si on ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres".
Et la définition du quotient pour terminer (certes, c'est plus délicat que de donner la recette de cuisine de diviser ax=c par a, mais insister sur la déf du quotient me semble tellement plus important. Je trouve qu'on doit exploiter toute les occasions qu'on a pour faire passer la déf du quotient si problématique... C'est mal venu de la passer sous silence.)

En 4e donc, je ne fais jamais résoudre des équations du type a+x=b ou ax=c car il n'y a pas de nécessité. C'est la déf de la soustraction/quotient qu'on mobilise si on croise ce type d'équations. Je suis d'accord avec kioupsPBT.

- en 3e, avant les inéquations, revenir sur ax=c en présentant cette fois les deux méthodes : déf quotient ET diviser par a. En effet, pour les inéquations, on va avoir besoin de la division...
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dami1kd
Habitué du forum

Re: résolution d'équations collège

par dami1kd le Ven 24 Nov 2017 - 19:10
@t3- a écrit:J'utilise la progression suivante. Je la présente avec des programmes de calcul pour clarifier, mais on peut imaginer n'importe quel résolution de problème qui se ramène à un programme du même type.
- 5e/début de 4e : "Choisis un nombre / Ajoute 4 / Multiplie par 3 / Soustrait 10. Nombre à choisir pour trouver 100 ?" Les élèves peuvent se baser sur le sens des opérations. Tâtonner ne permet plus d'avoir une valeur exacte de la solution (non décimale).
- milieu de 4e : "Choisis un nombre / Ajoute 4 / Multiplie par 3 / Soustrait le nombre de départ. Nombre à choisir pour trouver 100 ?". On ne peut plus remonter le programme, il faut utiliser le calcul littéral pour réduire, puis sens des opérations pour finir.
- fin de 4e : je donne un problème qui débouche, après réduction, sur une équation du type ax+b=c, qu'ils peuvent résoudre avec sens des opérations.
Puis, un problème du même type qui débouche sur ax+b=cx+d : les élèves ont alors besoin d'une nouvelle méthode (qu'ils peuvent presque trouver si on laisse du temps à la classe).
On exploite alors uniquement "les solutions d'une équation restent les mêmes si on ajoute ou soustrait un même nombre aux deux membres".
Et la définition du quotient pour terminer (certes, c'est plus délicat que de donner la recette de cuisine de diviser ax=c par a, mais insister sur la déf du quotient me semble tellement plus important. Je trouve qu'on doit exploiter toute les occasions qu'on a pour faire passer la déf du quotient si problématique... C'est mal venu de la passer sous silence.)

En 4e donc, je ne fais jamais résoudre des équations du type a+x=b ou ax=c car il n'y a pas de nécessité. C'est la déf de la soustraction/quotient qu'on mobilise si on croise ce type d'équations. Je suis d'accord avec kioupsPBT.

- en 3e, avant les inéquations, revenir sur ax=c en présentant cette fois les deux méthodes : déf quotient ET diviser par a. En effet, pour les inéquations, on va avoir besoin de la division...

Je fonctionne presque de la même façon, sauf qu'après avoir beaucoup travaillé le ax+b=0 de la même façon qu'on remonte un programme de calcul, je passe à ax+b=cx+d en utilisant le fait que si deux nombres sont égaux alors leur différence est nulle. Du coup, ax+b=cx+d se ramène au cas précédent (Ax+B=0).
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JPhMM
Demi-dieu

Re: résolution d'équations collège

par JPhMM le Ven 24 Nov 2017 - 19:16
Remonter un programme de calcul permet aux élèves d'approcher la notion d' "opération inverse".
C'est peu, très intuitif si cela n'est pas démontré, mais cela permet au moins d'éviter la confusion entre le "-" du nombre négatif et le "-" de la soustraction.

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
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Re: résolution d'équations collège

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