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chmarmottine
Neoprof expérimenté

[Maths] développement illimité d'un réel

par chmarmottine le Jeu 23 Aoû 2018 - 18:08
Ma grande entre en 2de et m'a réclamé de faire des maths avant la rentrée. Je lui ai donné ce livre :

https://www.amazon.fr/gp/product/2340015618/ref=oh_aui_detailpage_o03_s00?ie=UTF8&psc=1

Sa curiosité l'a menée à un paragraphe sur les développements illimités.
Elle a du mal à accepter que 1/4 = 0,25 (ça, pas de souci !) = 0,249999..........

J'avoue aussi avoir du mal avec ça, bien que comprenant la démarche mathématique !

Bref, je n'ai pas réussi à la convaincre !

Une idée ?


Dernière édition par Thalia de G le Jeu 23 Aoû 2018 - 20:48, édité 1 fois (Raison : Titre précisé (ajout discipline))
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Sibylline
Niveau 4

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par Sibylline le Jeu 23 Aoû 2018 - 18:41
100 x 0,2499999... =  24,99999...

et   1000 x 0,24999...  =   249,999...

donc  1000 x 0,24999... - 100 x 0,24999...  =  249,999... - 24,999...  =  225

et hop,   900 x 0,24999...  =  225

             0,249...  =  225/900  =  0,25
L'idée est de retomber sur un entier en "éliminant" les 999...
Normalement c'est assez "convaincant".

Du moment que l'écriture est périodique, on peut écrire le nombre sous forme de fraction (c'est un nombre rationnel).
Cela peut faire un petit exercice sympa.


Dernière édition par Sibylline le Jeu 23 Aoû 2018 - 18:47, édité 1 fois

_________________
1999-2017 : professeur de mathématiques
2018 : inspectrice des Finances publiques stagiaire
chmarmottine
Neoprof expérimenté

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par chmarmottine le Jeu 23 Aoû 2018 - 18:46
OK, merci beaucoup, je vais tenter ça !
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JPhMM
Demi-dieu

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par JPhMM le Jeu 23 Aoû 2018 - 19:52
Plus technique : montrer que la différence 0,250 - 0,2499999... est strictement inférieure à tout nombre réel strictement positif. Donc elle est nulle. D’où l’égalité.

Moins rigoureux : 1 = 3 x 1/3 = 3 x 0,3333... = 0,99999...

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
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fifi51
Habitué du forum

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par fifi51 le Jeu 23 Aoû 2018 - 20:47
Le moins rigoureux est probablement plus intuitif.

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Oui, j'ai un clavier Fisher Price pour l'instant !
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Sibylline
Niveau 4

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par Sibylline le Jeu 23 Aoû 2018 - 21:47
Pour une pitchoune qui entre en seconde, la rigueur peut attendre encore un peu. Neutral

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ycombe
Modérateur

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par ycombe le Jeu 23 Aoû 2018 - 22:53
@Sibylline a écrit:100 x 0,2499999... =  24,99999...

et   1000 x 0,24999...  =   249,999...

donc  1000 x 0,24999... - 100 x 0,24999...  =  249,999... - 24,999...  =  225

et hop,   900 x 0,24999...  =  225

             0,249...  =  225/900  =  0,25
L'idée est de retomber sur un entier en "éliminant" les 999...
Normalement c'est assez "convaincant".

Du moment que l'écriture est périodique, on peut écrire le nombre sous forme de fraction (c'est un nombre rationnel).
Cela peut faire un petit exercice sympa.
On montrait ça aux cinquièmes il y a pas si longtemps.


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Assurbanipal: "Passant, mange, bois, divertis-toi ; tout le reste n’est rien".

Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".
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ben2510
Érudit

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par ben2510 le Jeu 23 Aoû 2018 - 23:14
Je faisais ça avec mes sixièmes il y a dix ans, quand j'étais encore au collège.
Maintenant je fais ça en seconde et en spé maths.

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On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré  La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold
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JPhMM
Demi-dieu

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par JPhMM le Jeu 23 Aoû 2018 - 23:16
Quand on aime, on ne compte pas.
Cela reste très sain de le faire en sixième, sinon 3 x 0,333333... = 1 relève de l’imposture intellectuelle.

Et puis, c’est beau !

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jaybe
Niveau 8

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par jaybe le Ven 24 Aoû 2018 - 9:28
Dans les expressions décimales, les trois petits points, c'est le mal absolu. La façon idéale d'arriver aux pires horreurs très rapidement. Un peu comme 666 dans un autre contexte.

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ben2510
Érudit

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par ben2510 le Ven 24 Aoû 2018 - 10:36
Tu leur reproche quoi aux trois petits points ?

Spoiler:
Je te soupçonne de ne pas aimer la rédaction des récurrences avec le "etc".

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jaybe
Niveau 8

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par jaybe le Ven 24 Aoû 2018 - 11:00
Cela ouvre une porte vers les enfers mathématiques. Un exemple parmi d'autres

0,33... = 0,3...
3,3... = 3,...
(et 33,... = ?)

etc... Smile

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nicole 86
Niveau 7

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par nicole 86 le Ven 24 Aoû 2018 - 11:07
Il me semblait qu'on écrivait  1/3  =  0,3...   pour signifier que le développement a pour période 3
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jaybe
Niveau 8

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par jaybe le Ven 24 Aoû 2018 - 11:10
A ma connaissance, ce n'est pas standardisé. On peut trouver dans des livres une barre au dessus de la période, ou en dessous, dans d'autres encore des parenthèses ou des crochets. Le plus souvent, sans petits points ensuite.

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nicole 86
Niveau 7

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par nicole 86 le Ven 24 Aoû 2018 - 11:18
OK, il y a longtemps que je ne me suis pas penchée sur la question. Par contre il est indispensable de dire qu'il s'agit d'un développement périodique.
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ben2510
Érudit

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par ben2510 le Ven 24 Aoû 2018 - 13:25
Une barre horizontale au dessus des chiffres qui se répètent, et on omet les ...
Ce qui équivaut parfaitement à 123,456767... où il est parfaitement clair que la période est 2 et que les chiffres qui se répètent sont le 6 et le 7.

Dans 0,3... tu n'as pas répété le 3, dans 33,... on ne sait pas ce qu'il y a après la virgule, tes exemples ne sont pas des contre-exemples valables (disons qu'ils ne respectent pas le format que j'ai décrit et que j'ai toujours vu utiliser).

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JPhMM
Demi-dieu

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par JPhMM le Ven 24 Aoû 2018 - 13:51
@jaybe a écrit:Dans les expressions décimales, les trois petits points, c'est le mal absolu. La façon idéale d'arriver aux pires horreurs très rapidement. Un peu comme 666 dans un autre contexte.
Il faut bien écrire les choses. C'est un éternel problème avec les classes de collège : écrire les choses, qui naïvement semblent simples, mais qui, dès que l'on se pose des questions, demandent des développements plus techniques, développements pour lesquels les outils les plus rigoureux (séries ici) ne sont pas accessibles aux classes concernées.
Il est certain que s'il était possible d'utiliser un beau sigma majuscule pour k entier de 0 à plus l'infini (expression déjà contestable si on ne définit pas N union plus l'infini), on l'utiliserait, mais en l'occurrence, en sixième, c'est impossible.

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jaybe
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Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par jaybe le Ven 24 Aoû 2018 - 14:02
Il n'est nullement nécessaire de maîtriser les séries pour utiliser des écritures avec une barre ou des parenthèses, c'est ce que l'on trouve couramment dans les livres pour préparer le CRPE.

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jaybe
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Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par jaybe le Ven 24 Aoû 2018 - 14:03
@ben2510 a écrit:Ce qui équivaut parfaitement à 123,456767... où il est parfaitement clair que la période est 2 et que les chiffres qui se répètent sont le 6 et le 7.

La bonne blague !

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ben2510
Érudit

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par ben2510 le Ven 24 Aoû 2018 - 14:05
?

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jaybe
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Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par jaybe le Ven 24 Aoû 2018 - 14:08
Il est parfaitement clair que 1,414... est un rationnel de période 2 avec le 1 et le 4 qui se répètent.

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JPhMM
Demi-dieu

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par JPhMM le Ven 24 Aoû 2018 - 14:09
@jaybe a écrit:Il n'est nullement nécessaire de maîtriser les séries pour utiliser des écritures avec une barre ou des parenthèses, c'est ce que l'on trouve couramment dans les livres pour préparer le CRPE.
Il y a quand même un bel infini qui se cache.

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VinZT
Expert spécialisé

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par VinZT le Ven 24 Aoû 2018 - 14:33
@ben2510 a écrit:Tu leur reproche quoi aux trois petits points ?

Encore un coup des francs-maçons illuminati qui tirent les ficelles dans l'ombre !

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JPhMM
Demi-dieu

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par JPhMM le Ven 24 Aoû 2018 - 14:41
Razz

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ycombe
Modérateur

Re: [Maths] développement illimité d'un réel

par ycombe le Ven 24 Aoû 2018 - 14:44
@jaybe a écrit:Il est parfaitement clair que 1,414... est un rationnel de période 2 avec le 1 et le 4 qui se répètent.
C'est tout à fait exact et c'est pourquoi il est nécessaire d'avoir une notation particulière pour la période. Le problème est qu'il existe plusieurs notations. J'ai personnellement appris avec une ligne placée au-dessus de la période.

Je trouve la section anglophone de wikipedia bien plus complète que la francophone sur ce point.
https://en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal#Notation
https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal_p%C3%A9riodique#Notations


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Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".
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Re: [Maths] développement illimité d'un réel

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