[Maths] développement illimité d'un réel

jaybe a écrit:Il est parfaitement clair que 1,414... est un rationnel de période 2 avec le 1 et le 4 qui se répètent.

C'est tout à fait exact et c'est pourquoi il est nécessaire d'avoir une notation particulière pour la période. Le problème est qu'il existe plusieurs notations. J'ai personnellement appris avec une ligne placée au-dessus de la période.

Je trouve la section anglophone de wikipedia bien plus complète que la francophone sur ce point.
https://en.wikipedia.org/wiki/Repeating_decimal#Notation
https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal_p%C3%A9riodique#Notations

Je ne connaissais pas la notation avec l'arc ou les points au-dessus. Apparemment il faut répéter trois fois la période, bien que cela ne soit pas explicite (ah si, c'est dans la partie informelle, je n'avais pas lu assez loin).

jaybe a écrit:Il est parfaitement clair que 1,414... est un rationnel de période 2 avec le 1 et le 4 qui se répètent.

La partie décimale écrite étant 414, il n'y a pas de motif se répétant, et ton exemple n'invalide en rien ce que j'ai proposé plus haut.
Mais tu fais bien ce que tu veux, évidemment.

"il est parfaitement clair que 0,866... est un rationnel" : vrai ou faux ? (j'aurais énormément de mal à croire qu'un professeur de mathématiques puisse répondre vrai, mais peut-être c'est trop moderne pour moi...)

Je viens de poser la question à mon globule aîné, entrant en seconde. Il a déroulé presque sans s'arrêter :  

0.99999 = x donc 10x = 9.99999  
10x -x = 9x = 9.99999 - 0.99999 = 9
9x = 9 donc x=1.

- Comment cela se fait-il que tu connaisse cela ?
- On y a réfléchi avec un copain.
- Et pourquoi vous vous êtes posés cette question ?
- On voulait montrer que "zéro virgule zéro" avec une infinité de "zéro" et seulement un "un" à la fin, c'était égal à zéro.

jaybe a écrit:

ben2510 a écrit:Ce qui équivaut parfaitement à 123,456767... où il est parfaitement clair que la période est 2 et que les chiffres qui se répètent sont le 6 et le 7.

La bonne blague !

Le nombre à virgule est suivie de trois points : on a donc affaire à un développement infini. En remontant de la droite vers la gauche, on isole le plus court motif répété deux fois. L'énoncé en gras est déterministe, et constitue donc une définition valide. Je ne suis pas le premier à le constater.

Je me demande juste s'il est possible de construire l'expression régulière qui extrait ce motif. Une idée ?

Pour que ce soit bien clair : je ne conteste pas que l'on puisse donner un sens à cette écriture.

En revanche, compte-tenu du fait que : 1) ce n'est pas standardisé, 2) des conventions différentes peuvent être définies et le sont de façon effective, 3) les gens qui utilisent ces écritures continuent à répéter un nombre de chiffres variable d'une écriture à l'autre (ce qui implicitement montre qu'ils ne respectent pas leurs propres choix, y'a pas besoin d'aller bien loin, cf début du fil), 4) on peut leur associer spontanément d'autres significations (un réel dont on ne connaît qu'un nombre fini de chiffres significatifs, un intervalle) et 5) qu'il existe des écritures qui n'ont aucun de ces défauts, je pense que partir du principe que c'est "clairement défini", c'est juste une vaste blague, et que si certains enseignent ça, c'est déplorable.

Il est très bien ce globule ! Et il aura sans doute compris que sa question de départ n'avait pas de sens.

Filnydar a écrit:Il est très bien ce globule ! Et il aura sans doute compris que sa question de départ n'avait pas de sens.

J'aime beaucoup l'idée d'avoir une infinité de zéros avec un 1 à la fin !

En position ω donc.

Travailler sur l'infini est toujours très intéressant à faire avec des élèves, même si c'est évidemment totalement hors-programme !
L’hôtel de Hilbert, la dénombrabilité des rationnels, le codage des suites finies d'entiers par un entier grâce à la DEFP...

ben2510 a écrit:

Filnydar a écrit:Il est très bien ce globule ! Et il aura sans doute compris que sa question de départ n'avait pas de sens.

J'aime beaucoup l'idée d'avoir une infinité de zéros avec un 1 à la fin !

Ben quoi, c'est :



(il me semble que c'est un bon exemple pour introduire la formalisation mathématique de la notion intuitive de limite.)