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martyj
Niveau 1

Opérateur ensemble décimaux

par martyj le Ven 7 Sep 2018 - 9:38
Bonjour

une petite question pour les purs matheux( j'ai un parcours plus informatique) sur les nombres décimaux.

Quand je prépare mon cours sur open office ou libre office, à propos des nombres et de leur opérateur d'ensemble N, Z, Q R et C pas de problème, par contre pas de D. J'ai donc essayé de comprendre et posé des questions.

Il semblerait que les décimaux n'aient pas "quelque chose" ou qu'il manque "quelque chose" pour être vraiment considérés comme un ensemble, dixit mon collègue Agrégé de fête, mais il ne se souvenait plus trop pour m'en dire plus. Ma pauv'e dame, c'est plus c'que c'était... ;-)

Donc, curieux, j'aimerai bien avoir le fin mot de l'histoire,  si quelqu'un à l'information...

Cordialement
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Mateo_13
Niveau 5

Re: Opérateur ensemble décimaux

par Mateo_13 le Ven 7 Sep 2018 - 10:11
Bonjour,

N est un groupe stable pour l'addition et la multiplication,
qui est complété par Z : anneau stable pour (+ ; x) et la soustraction,
qui est complété par Q : corps stable pour (+ ; x ; -) et la division,
qui est complété par R : corps stable pour (+ ; x ; - ; division) et les racines et d'autres opérations...
qui est complété par C : corps stable pour toutes les opérations et pour l'équation x^2 = - 1.

D n'est qu'une commodité (non stable pour la division) pour les élèves de collège et les physiciens.

Amicalement,

_________________
Mateo.
www.mathemagique.com : Axiomatique de collège.
martyj
Niveau 1

Re: Opérateur ensemble décimaux

par martyj le Ven 7 Sep 2018 - 10:29
Merci pour la  réponse.

Qu'entends tu par stable ?
Harkness
Je viens de m'inscrire !

Re: Opérateur ensemble décimaux

par Harkness le Ven 7 Sep 2018 - 10:39
Plus précisément :
N n'est pas un groupe, (N, +) est un monoïde commutatif, (N, +, x) est un demi-anneau.

(D, +, x) est un anneau, obtenu en complétant Z avec une solution à l'équation 10x = 1. Il est possible de mentionner cette construction familière quand on passe de R à C, ou quand on construit d'autres anneaux comme Z[phi]. D a le bon goût d'être dense dans R, on peut construire R par les suite de Cauchy sur D.
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Mateo_13
Niveau 5

Re: Opérateur ensemble décimaux

par Mateo_13 le Ven 7 Sep 2018 - 10:40
@martyj a écrit:
Qu'entends tu par stable ?

Si on prend deux éléments de l'ensemble et qu'on fait l'opération, le résultat reste dans cet ensemble.

Ex : le produit de deux entiers est un entier.
Contre-ex : le quotient de deux entiers n'est pas toujours un entier.

_________________
Mateo.
www.mathemagique.com : Axiomatique de collège.
martyj
Niveau 1

Re: Opérateur ensemble décimaux

par martyj le Ven 7 Sep 2018 - 10:51
Merci beaucoup pour ces explications qui me donnent encore plus l'envie de me plonger dans un cursus mathématiques, mais d'abord le CAPES...
martyj
Niveau 1

Re: Opérateur ensemble décimaux

par martyj le Ven 7 Sep 2018 - 10:55
@Harkness a écrit:Plus précisément :
N n'est pas un groupe, (N, +) est un monoïde commutatif, (N, +, x) est un demi-anneau.

(D, +, x) est un anneau, obtenu en complétant Z avec une solution à l'équation 10x = 1. Il est possible de mentionner cette construction familière quand on passe de R à C, ou quand on construit d'autres anneaux comme Z[phi]. D a le bon goût d'être dense dans R, on peut construire R par les suite de Cauchy sur D.

Merci pour le complément d'information, même si ça me dépasse un peu puisque n'ayant pas toutes les bases...
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Moonchild
Expert spécialisé

Re: Opérateur ensemble décimaux

par Moonchild le Ven 7 Sep 2018 - 12:00
J'ajouterai que l'ensemble D est en quelque sorte "arbitraire" car la propriété qui distingue ses éléments est directement liée au choix de la base décimale ; dans un autre système de représentation des nombres, par exemple en binaire, cet ensemble perd une grande partie de son intérêt.
Dans le cas des ensembles N, Z , Q, R et C, la nature de leurs éléments est indépendante du choix de système d'écriture des nombres.
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ben2510
Érudit

Re: Opérateur ensemble décimaux

par ben2510 le Ven 7 Sep 2018 - 18:27
L'ensemble des décimaux ne possède cette notation particulière qu'en France, me semble-t-il, pour des raisons liées à l'invention du mètre et du SI pendant la révolution.

martyj, tu passes le CAPES de Maths ou de Maths-Info ?

_________________
On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré  La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold
martyj
Niveau 1

Re: Opérateur ensemble décimaux

par martyj le Ven 7 Sep 2018 - 22:25
Je passe le CAPES Interne MATH
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ben2510
Érudit

Re: Opérateur ensemble décimaux

par ben2510 le Sam 8 Sep 2018 - 0:13
OK !
Du coup ça amène une question : est-ce que Maths-Info ça existe à l'interne ?

_________________
On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré  La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold
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ycombe
Modérateur

Re: Opérateur ensemble décimaux

par ycombe le Sam 8 Sep 2018 - 0:30
@ben2510 a écrit:L'ensemble des décimaux ne possède cette notation particulière qu'en France, me semble-t-il, pour des raisons liées à l'invention du mètre et du SI pendant la révolution.

martyj, tu passes le CAPES de Maths ou de Maths-Info ?
Il ne me semble pas qu'on ait étudié D pendant mes études secondaires. Les autres, oui, on les a même construits.


_________________
Assurbanipal: "Passant, mange, bois, divertis-toi ; tout le reste n’est rien".

Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".
martyj
Niveau 1

Re: Opérateur ensemble décimaux

par martyj le Sam 8 Sep 2018 - 10:10
@ben2510 a écrit:OK !
Du coup ça amène une question : est-ce que Maths-Info ça existe à l'interne ?

Bonne question. Il n'existe pas de CAPES informatique il me semble car pas une matière à part entière.

En interne, tu dois rendre un dossier RAEP où il faut aborder une séance , donc tu peux parler d'une séance algo ou tableur par exemple.
A l'oral, ce sera sur les maths donc sur les algo/statistiques, donc tu peux aussi utiliser scratch/Python et tableur. Mais l'oral c'est un tirage au sort....
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Voltaire
Niveau 6

Re: Opérateur ensemble décimaux

par Voltaire le Sam 8 Sep 2018 - 13:36
Je viens de faire avec mes 2ndes les "ensembles de nombres", en fait ce qu'on faisait en 5° à mes débuts de prof (au siècle précédent). Définir, expliquer, faire accepter racine(2) m'a pris un bon quart d'heure (par la diagonale du carré de côté un). Le concept de nombre entier, de quotient, est une nouveauté. Et la "quatrième proportionnelle" du collège (j'ai l'impression de parler de mon grand-père, là) a supprimé le "produit en croix" pourtant bien pratique pour les égalités de fractions, la proportionnalité, les équations ... pour les remplacer par un calcul "magique" et (mais ?) peu maitrisé. L'année va être longue ...
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JPhMM
Demi-dieu

Re: Opérateur ensemble décimaux

par JPhMM le Sam 8 Sep 2018 - 13:51
Quelque lecture.

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JPhMM
Demi-dieu

Re: Opérateur ensemble décimaux

par JPhMM le Sam 8 Sep 2018 - 14:07
@Voltaire a écrit:Le concept de nombre entier, de quotient, est une nouveauté. Et la "quatrième proportionnelle" du collège (j'ai l'impression de parler de mon grand-père, là) a supprimé le "produit en croix" pourtant bien pratique pour les égalités de fractions, la proportionnalité, les équations ... pour les remplacer par un calcul "magique" et (mais ?) peu maitrisé.
Ah ???

Il faut aussi se méfier des affirmations des élèves.
J'ai connu des élèves qui m'affirmaient n'avoir pas vu telle notion l'année précédente, alors que c'était moi leur prof de maths durant cette année-là. J'ai pu leur prouver que leur affirmation était fausse (l'un des avantages des tableaux numériques : ça garde tout).

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
martyj
Niveau 1

Re: Opérateur ensemble décimaux

par martyj le Sam 8 Sep 2018 - 15:17
@Voltaire a écrit:[...]. Et la "quatrième proportionnelle" du collège (j'ai l'impression de parler de mon grand-père, là) a supprimé le "produit en croix" pourtant bien pratique pour les égalités de fractions, la proportionnalité, les équations ... pour les remplacer par un calcul "magique" et (mais ?) peu maitrisé. L'année va être longue ...

Il y a la quatrième de proportionnelle et le produit en croix au collège, deux choses différentes mais étroitement liées si je ne me trompe pas.

# a/b = c/d <=> ad = bc c'est le produit en croix

# 3/4 = x/10 <=> x = (3 * 10)/ 4 c'est le calcul de la quatrième de proportionnelle

Et les waters mon cher Manson !
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Voltaire
Niveau 6

Re: Opérateur ensemble décimaux

par Voltaire le Sam 8 Sep 2018 - 15:35
Eh bien, aux miens on a présenté la quatrième proportionnelle comme étant le produit en croix, et donc devant a/b = c/d ils se trouvent fort démunis. Je ne parle même pas de a/b = c, hein !
Bien sûr, ce n'est pas le cas de tous mes élèves (ce serait inquiétant) mais d'un nombre quand même assez significatif, suffisamment pour être gênant.
dasson
Niveau 5

Re: Opérateur ensemble décimaux

par dasson le Sam 8 Sep 2018 - 16:06
Bonjour,
@Voltaire
Pour les ensembles de nombres en seconde, des présentations peut-être encore utilisables
https://www.youtube.com/watch?v=0hIX6rdm_P8&t=8s
https://www.youtube.com/watch?v=XKGbbmVMNsQ&t=9s

Pour les "produits en croix"
A éviter ! Un avis qui semble majoritaire ?
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Pèp
Niveau 4

Re: Opérateur ensemble décimaux

par Pèp le Sam 8 Sep 2018 - 19:52
@dasson a écrit:
Pour les "produits en croix"
A éviter ! Un avis qui semble majoritaire ?

Pas unanime en tous cas...résoudre (-5x+2)/3=(2x+1)/7...on peut faire autrement que "produit en croix" mais bon...
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Mateo_13
Niveau 5

Re: Opérateur ensemble décimaux

par Mateo_13 le Sam 8 Sep 2018 - 20:30
Bonjour Pèp,

@Pèp a écrit:
Pas unanime en tous cas...résoudre (-5x+2)/3=(2x+1)/7...on peut faire autrement que "produit en croix" mais bon...

d'accord en 4ème et 3ème pour résoudre quelques équations ou faire de la trigonométrie,
si l'autre méthode ne passe pas,
mais les produits en croix sont à éviter si possible en 6ème-5ème pour les problèmes de proportionnalité,
car ils ressemblent alors à une recette de cuisine, vide de sens, qui peut être mal employée,
http://mathemagique-com.blogspot.com/2014/03/ensuite-je-ne-fais-pas-le-produit-en.html

Amicalement,

_________________
Mateo.
www.mathemagique.com : Axiomatique de collège.
Golden
Niveau 2

Re: Opérateur ensemble décimaux

par Golden le Sam 8 Sep 2018 - 20:36
@martyj a écrit:
@Voltaire a écrit:[...]. Et la "quatrième proportionnelle" du collège (j'ai l'impression de parler de mon grand-père, là) a supprimé le "produit en croix" pourtant bien pratique pour les égalités de fractions, la proportionnalité, les équations ... pour les remplacer par un calcul "magique" et (mais ?) peu maitrisé. L'année va être longue ...

Il y a la quatrième de proportionnelle et le produit en croix au collège, deux choses différentes mais étroitement liées si je ne me trompe pas.

# a/b = c/d <=> ad = bc c'est le produit en croix

# 3/4 = x/10 <=> x = (3 * 10)/ 4 c'est le calcul de la quatrième de proportionnelle

Et les waters mon cher Manson !
Pour moi c'est la règle de trois. Mais je suis d'accord qu'on les confond tous les deux.
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JPhMM
Demi-dieu

Re: Opérateur ensemble décimaux

par JPhMM le Sam 8 Sep 2018 - 20:39
Le produit en croix permet tout de même de construire formellement l’ensemble des nombres rationnels, il n’est pas une hérésie mathématique.

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
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VinZT
Expert spécialisé

Re: Opérateur ensemble décimaux

par VinZT le Sam 8 Sep 2018 - 21:21
C'est pas pour faire mon ipéhère (que Toutatis me préserve d'une telle déchéance), mais les « ensembles de nombres », ce n'est plus au programme de seconde depuis 2009, non ?
Pas plus qu'au programme de première ou de terminale.
On doit rencontrer ça en prépa ou à la fac.
En d'autres termes, à part R, C, N (et Z pour ceux qui arithmétisent en spé-maths) les élèves sont supposés ignorer tout le reste.
Me trompè-je ?

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Badiste75
Niveau 10

Re: Opérateur ensemble décimaux

par Badiste75 le Sam 8 Sep 2018 - 21:22
Depuis les aménagements de l’an dernier il est précisé qu’on peut les présenter sans s’attarder.
Contenu sponsorisé

Re: Opérateur ensemble décimaux

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