Partagez
Voir le sujet précédentAller en basVoir le sujet suivant
ben2510
Expert

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par ben2510 le Jeu 18 Oct 2018 - 0:10
Cadeau : https://framadrop.org/r/f85WO261_Q#y5Q9Doc/UH3mUL8jrkl5kk5+TkMcNX4fB6kWWskTDwE=
En début de seconde.
JPhMM
JPhMM
Demi-dieu

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par JPhMM le Jeu 18 Oct 2018 - 0:16
Joli !
J’adore le 19. Laughing

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
ben2510
ben2510
Expert

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par ben2510 le Jeu 18 Oct 2018 - 0:26
Faux Faux Faux
Mais quand même ça aide bien :-)

_________________
On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré  La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold
Mathador
Mathador
Expert spécialisé

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par Mathador le Jeu 18 Oct 2018 - 4:02
@Manu7 a écrit:D'ailleurs maintenant, les élèves aimeraient bien ajouter un signe entre deux équations et comme ils ne connaissent pas le <=> et bien ils écrivent =, et même si je leur explique que ce n'est pas correct, je me dis qu'ils sont intelligents, car ils savent bien qu'il manque un lien...

A une époque on commençait une résolution d'équation par la phrase : "Les équations suivantes sont équivalentes :"

Le <=> c'est bien pratique mais pour un raisonnement par équivalence c'est techniquement faux.
De façon plus détaillée, voici la table de vérité de A<=>B:
ABA<=>B
001
010
110
101
dont on déduit celle de (A<=>B)<=>C, que je n'écrirai pas en entier: cette expression est vraie si et seulement si il y un nombre impair de propositions vraies parmi A, B et C.
On peut aussi le montrer en remarquant que (A<=>B) ≡ A+B+1 [2], ce qui donne (A<=>B)<=>C ≡ A+B+C [2].
C'est pourquoi je privilégie le ssi au <=>.

@Prezbo a écrit:C'est amusant, parce que plusieurs de mes profs de lycée et de prépa étaient très fortement opposés à l'emploi abusif du raisonnement par l'absurde, qu'ils préconisaient de remplacer partout où c'était possible par un raisonnement par contraposée.

A titre personnel, j'ai toujours trouvé cette position d'un purisme excessif, puisque l'équivalence entre une proposition et sa contraposée se démontre de toute façon par un raisonnement par l'absurde.

Et l'équivalence proposition-contraposée est même en réalité équivalente au raisonnement par l'absurde: partons de (¬Q ⇒ ¬P) ⇒ (P ⇒ Q) (si on code ¬A comme synonyme de A ⇒ ⊥, le sens contraire est un modus ponens). Prenons pour P une tautologie, on obtient alors (¬Q ⇒ ⊥) ⇒ Q, ou encore ¬¬Q ⇒ Q, ce qui est connu comme étant équivalent au raisonnement par l'absurde.

_________________
« Se qualche notte tu sogni che,
Sei tra le braccia di un Mathador,
Non indagare la colpa è del flamenco » (Dalida, Flamenco)
Manu7
Manu7
Niveau 10

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par Manu7 le Jeu 18 Oct 2018 - 17:25
@ Mathador : Je ne savais pas que ssi était différent de <=> quelle est la table de vérité de A ssi B, alors ?
Mathador
Mathador
Expert spécialisé

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par Mathador le Jeu 18 Oct 2018 - 17:51
@Manu7 a écrit:@ Mathador : Je ne savais pas que ssi était différent de <=> quelle est la table de vérité de A ssi B, alors ?

La table de vérité comme opérateur binaire est la même. Par contre j'interprète A ssi B ssi C différemment de A <=> B <=> C, avec comme motif que « ssi » est un connecteur logique en français, alors que <=> est un opérateur logique mathématique. Ce qui fait que (A ssi B) ssi C n'a pas de sens (le parenthésage étant ici celui de la typographie française), alors que (A <=> B) <=> C est une interprétation attendue de A <=> B <=> C (de même que x-y-z se calcule comme (x-y)-z).

_________________
« Se qualche notte tu sogni che,
Sei tra le braccia di un Mathador,
Non indagare la colpa è del flamenco » (Dalida, Flamenco)
Moonchild
Moonchild
Expert spécialisé

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par Moonchild le Jeu 18 Oct 2018 - 17:59
@Mathador a écrit:
@Manu7 a écrit:@ Mathador : Je ne savais pas que ssi était différent de <=> quelle est la table de vérité de A ssi B, alors ?

La table de vérité comme opérateur binaire est la même. Par contre j'interprète A ssi B ssi C différemment de A <=> B <=> C, avec comme motif que « ssi » est un connecteur logique en français, alors que <=> est un opérateur logique mathématique. Ce qui fait que (A ssi B) ssi C n'a pas de sens (le parenthésage étant ici celui de la typographie française), alors que (A <=> B) <=> C est une interprétation attendue de A <=> B <=> C (de même que x-y-z se calcule comme (x-y)-z).

C'est marrant parce que moi je ne vois aucune différence fondamentale ; les deux me semblent (tenter d')exprimer la même chose et être tout aussi incorrects l'un que l'autre.
Mathador
Mathador
Expert spécialisé

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par Mathador le Jeu 18 Oct 2018 - 18:20
@Moonchild a écrit:C'est marrant parce que moi je ne vois aucune différence fondamentale ; les deux me semblent (tenter d')exprimer la même chose et être tout aussi incorrects l'un que l'autre.

Dans ce cas, comment demandes-tu à tes élèves de rédiger un raisonnement par équivalence (autre qu'une résolution d'équation) ?

_________________
« Se qualche notte tu sogni che,
Sei tra le braccia di un Mathador,
Non indagare la colpa è del flamenco » (Dalida, Flamenco)
avatar
User20827
Niveau 8

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par User20827 le Jeu 18 Oct 2018 - 18:43
J'avoue que je dirais "P équivalent à Q et Q équivalent à R" plutôt que "P équivalent à Q équivalent à R" qui pourrait laisser croire que la proposition "P est équivalent à Q" est équivalente à R.

Ou bien j'ai compris de travers?
Mathador
Mathador
Expert spécialisé

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par Mathador le Jeu 18 Oct 2018 - 18:48
Non, tu as bien compris la problématique que j'ai soulevée.

_________________
« Se qualche notte tu sogni che,
Sei tra le braccia di un Mathador,
Non indagare la colpa è del flamenco » (Dalida, Flamenco)
Moonchild
Moonchild
Expert spécialisé

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par Moonchild le Jeu 18 Oct 2018 - 18:56
@Mathador a écrit:
@Moonchild a écrit:C'est marrant parce que moi je ne vois aucune différence fondamentale ; les deux me semblent (tenter d')exprimer la même chose et être tout aussi incorrects l'un que l'autre.

Dans ce cas, comment demandes-tu à tes élèves de rédiger un raisonnement par équivalence (autre qu'une résolution d'équation) ?

A vrai dire, les raisonnements par équivalence autres que les résolutions d'équation/inéquation sont désormais devenus assez rares au lycée (sauf peut-être en spé TS, mais ce n'est pas moi qui en ai la charge) et, pour ceux qui restent, je me débrouille avec des artifices de rédaction/présentation avec passage à la ligne et indentation du genre :

le point M(x;y) appartient à la droite (AB) ssi les vec(AM) et vec(AB) sont colinéaires
                                                             ssi det(AM,AB)=0
                                                             ...
                                                             ssi 3x-5y+6=0


la proposition "le point M(x;y) appartient à la droite (AB)" étant sous-entendue par l'espace vide avant les "ssi" à partir de la deuxième ligne.

Si vraiment il faut enchaîner des phrases les unes après les autres (mais je n'ai pas d'exemple qui me viennent immédiatement à l'esprit), j'articule les étapes avec "ce qui équivaut à" ou "ce qui revient à" ; mais le "A ssi B ssi C" sur la même ligne me pose quand même problème.
Là où je manque de cohérence c'est que je ne suis pas choqué les enchaînements d'inégalités du genre
f(x)-g(x)=2x-3-(5x-10)=2x-3-5x+10=-3x+7
sans passage à la ligne.
Mathador
Mathador
Expert spécialisé

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par Mathador le Jeu 18 Oct 2018 - 20:43
@Moonchild a écrit:A vrai dire, les raisonnements par équivalence autres que les résolutions d'équation/inéquation sont désormais devenus assez rares au lycée (sauf peut-être en spé TS, mais ce n'est pas moi qui en ai la charge) et, pour ceux qui restent, je me débrouille avec des artifices de rédaction/présentation avec passage à la ligne et indentation du genre :

le point M(x;y) appartient à la droite (AB) ssi les vec(AM) et vec(AB) sont colinéaires
                                                             ssi det(AM,AB)=0
                                                             ...
                                                             ssi 3x-5y+6=0


la proposition "le point M(x;y) appartient à la droite (AB)" étant sous-entendue par l'espace vide avant les "ssi" à partir de la deuxième ligne.
Oui je ne l'avais pas dit, mais si je fais un raisonnement en « ssi » il est naturel pour moi de revenir à la ligne. La répétition implicite de la proposition de départ est une façon intéressante de voir les choses, et sans doute plus claire que ce que je disais plus haut.

@Moonchild a écrit:Là où je manque de cohérence c'est que je ne suis pas choqué les enchaînements d'inégalités du genre
f(x)-g(x)=2x-3-(5x-10)=2x-3-5x+10=-3x+7
sans passage à la ligne.
a=b est à valeur logique, (a=b)=c n'a donc pas de sens, contrairement à (A<=>B)<=>C.

_________________
« Se qualche notte tu sogni che,
Sei tra le braccia di un Mathador,
Non indagare la colpa è del flamenco » (Dalida, Flamenco)
Pèp
Pèp
Niveau 6

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par Pèp le Ven 19 Oct 2018 - 16:42
Ok, je vous suggère de demander aux élèves ce que signifie "si et seulement si"...et là...
Proton
Proton
Niveau 9

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par Proton le Ven 19 Oct 2018 - 17:19
@Pèp a écrit:Ok, je vous suggère de demander aux élèves ce que signifie "si et seulement si"...et là...

... c'est le drame. abi
Pèp
Pèp
Niveau 6

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par Pèp le Ven 19 Oct 2018 - 18:31
Pour la géométrie au collège... - Page 4 2781221108 Pour la géométrie au collège... - Page 4 3007565502 pompom
Moonchild
Moonchild
Expert spécialisé

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par Moonchild le Sam 20 Oct 2018 - 0:10
@Pèp a écrit:Ok, je vous suggère de demander aux élèves ce que signifie "si et seulement si"...et là...

Je suppose qu'il faudrait raisonnablement s'attendre à obtenir une réponse dans le genre :
"c'est un truc que le prof de maths écrit tout le temps et il veut absolument qu'on l'écrive aussi dans les réponses en contrôle sinon il ne donne pas tous les points, mais parfois il enlève quand même des points parce qu'on l'a écrit là où ça lui plaisait pas et, alors là, moi j'ai grave le seum ; de toute façon, le prof de maths il est trop chelou".

Je suis assez enclin à croire que se focaliser sur l'exactitude de la rédaction d'une démonstration restera une préoccupation vaine tant que les élèves n'auront pas acquis un degré minimum de technicité et d'automatismes. Après, en tant que prof de maths, il faut réussir à ménager sa mauvaise conscience et donc trouver des moyens de ne pas écrire d'horreurs flagrantes sans trop se compliquer la tâche.
Manu7
Manu7
Niveau 10

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par Manu7 le Sam 20 Oct 2018 - 3:06
Franchement je ne comprends pas bien le problème ou alors je ne veux pas le comprendre, je ne sais pas ???

Pour moi quand on écrit A <=> B <=> C on n'écrit pas (A <=> B) <=> C
Mathador
Mathador
Expert spécialisé

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par Mathador le Sam 20 Oct 2018 - 3:42
@Manu7 a écrit:Franchement je ne comprends pas bien le problème ou alors je ne veux pas le comprendre, je ne sais pas ???

Pour moi quand on écrit A <=> B <=> C on n'écrit pas (A <=> B) <=> C

<=> est un opérateur infixe binaire associatif sur des valeurs logiques, tout comme + est un opérateur infixe binaire associatif sur des valeurs numériques. Il me semble donc délicat de faire une distinction syntaxique de traitement entre ces opérateurs, alors qu'entre + et ssi il y a un opérateur en langage mathématique et l'autre en français.
Étant donné que l'on calcule a+b+c comme (a+b)+c, la similarité syntaxique sus-mentionnée conduit à interpréter A<=>B<=>C comme (A<=>B)<=>C. Ce genre d'écriture est d'ailleurs plus fréquent avec les autres opérateurs logiques courants, commutatifs et associatifs: le ET (qui se note aussi multiplicativement, et qui correspond au produit dans Z/2Z), le OU (qui se note aussi additivement, et qui correspond au max sur {0,1}) ou encore le OU exclusif (qui correspond à l'addition dans Z/2Z, et qui est la négation logique de <=>).

_________________
« Se qualche notte tu sogni che,
Sei tra le braccia di un Mathador,
Non indagare la colpa è del flamenco » (Dalida, Flamenco)
avatar
User20827
Niveau 8

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par User20827 le Sam 20 Oct 2018 - 7:25
@Moonchild a écrit:Je suis assez enclin à croire que se focaliser sur l'exactitude de la rédaction d'une démonstration restera une préoccupation vaine tant que les élèves n'auront pas acquis un degré minimum de technicité et d'automatismes. Après, en tant que prof de maths, il faut réussir à ménager sa mauvaise conscience et donc trouver des moyens de ne pas écrire d'horreurs flagrantes sans trop se compliquer la tâche.
Je pense qu'hier mes 1èreS ont touché un peu du doigt cette histoire en 1ère S, en résolvant une inéquation entre deux expressions avec des valeurs absolues. 


Équivalences jusqu'à l'inéquation 10>0. 

Et là on a bien dû parler de vrai plutôt que de solutions et conclure qu'alors la première inéquation, équivalente à celle-ci, est vraie quel que soit x (dans l'intervalle sur lequel on s'était placés pour enlever les valeurs absolues). 

Tout en sachant qu'à chaque fois je crains de leur dire des conneries... Mais je pense que je me trompe moins qu'ils ne se tromperaient en étant seuls.  abi
avatar
dasson
Niveau 5

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par dasson le Sam 20 Oct 2018 - 10:24
Bonjour Flaure,
Une inéquation, comme une équation, est une question comme "quels x tels que ...>..."
La lettre x ne peut pas "disparaitre" !
La dernière inéquation équivalente à celle donnée peut-être 10>0x.
Et c'est moins mystérieux ?
avatar
User20827
Niveau 8

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par User20827 le Sam 20 Oct 2018 - 10:58
@dasson a écrit:Bonjour Flaure,
Une inéquation, comme une équation, est une question comme "quels x tels que ...>..."
La lettre x ne peut pas "disparaitre" !
La dernière inéquation équivalente à celle donnée peut-être 10>0x.
Et c'est moins mystérieux ?
Ah ben je leur ai bien dit une connerie alors, mince  humhum

Je ne sais pas si je dois revenir dessus, déjà qu'ils sont tendus (sur leurs résultats) et à l'affût d'un éventuel faux pas. 
J'en ai deux qui veulent recopier le cours du manuel parce qu'il est mieux déjà. 

Merci pour l'information qui servira à ma culture personnelle du coup  fleurs
JPhMM
JPhMM
Demi-dieu

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par JPhMM le Sam 20 Oct 2018 - 11:03
Mais une inéquation peut être équivalente à une inégalité.

(x +2 > x +3) <=> (2 > 3)

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
avatar
User20827
Niveau 8

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par User20827 le Sam 20 Oct 2018 - 11:11
@JPhMM a écrit:Mais une inéquation peut être équivalente à une inégalité.

(x +2 > x +3) <=> (2 > 3)
Ah, c'est donc un problème de vocabulaire (et en effet, une inéquation sans x c'était idiot). 
Bon, comme j'ai dit que l'inéquation du départ était équivalente à ce 0<10 sans le nommer, l'honneur est sauf.

Et j'ai apprécié qu'ils aient une équivalence de l'inéquation avec une inégalité (donc Wink ) vraie.
Pat B
Pat B
Habitué du forum

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par Pat B le Sam 20 Oct 2018 - 11:23
Comme Flaure et JPhMM : le x peut très bien disparaitre par manipulation d'inégalités (ou d'égalités).
L'inéquation de départ est équivalente à une inégalité fausse, donc il n'existe pas de valeur de x qui la vérifie. Ça ne me choque pas que les x disparaissent:
on cherche tous les x vérifiant x + 2> x + 3 ; or cette inégalité est équivalente à 2>3, qui est faux, donc l'inégalité de départ est fausse quelle que soit la valeur de x.
Pire, j'insiste là-dessus, en disant à mes élèves que oui, le x peut disparaitre (ça les perturbe, c'est voulu). Comme le dit Flaure, ça permet bien de travailler sur la notion d'équivalence (et j'ai appris comme ça il y a 30 ans il me semble... mais c'est loin).
JPhMM
JPhMM
Demi-dieu

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par JPhMM le Sam 20 Oct 2018 - 11:33
Oui.
Les élèves confondent volontiers l'inégalité 2<3 avec la proposition (2<3). Mais sont-ils responsables ?

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
lecteur
lecteur
Niveau 1

Pour la géométrie au collège... - Page 4 Empty Re: Pour la géométrie au collège...

par lecteur le Sam 20 Oct 2018 - 12:23
@Mathador a écrit:
@Manu7 a écrit:Franchement je ne comprends pas bien le problème ou alors je ne veux pas le comprendre, je ne sais pas ???

Pour moi quand on écrit A <=> B <=> C on n'écrit pas (A <=> B) <=> C

<=> est un opérateur infixe binaire associatif sur des valeurs logiques, tout comme + est un opérateur infixe binaire associatif sur des valeurs numériques. Il me semble donc délicat de faire une distinction syntaxique de traitement entre ces opérateurs, alors qu'entre + et ssi il y a un opérateur en langage mathématique et l'autre en français.
Étant donné que l'on calcule a+b+c comme (a+b)+c, la similarité syntaxique sus-mentionnée conduit à interpréter A<=>B<=>C comme (A<=>B)<=>C. Ce genre d'écriture est d'ailleurs plus fréquent avec les autres opérateurs logiques courants, commutatifs et associatifs: le ET (qui se note aussi multiplicativement, et qui correspond au produit dans Z/2Z), le OU (qui se note aussi additivement, et qui correspond au max sur {0,1}) ou encore le OU exclusif (qui correspond à l'addition dans Z/2Z, et qui est la négation logique de <=>).

nuance entre équivalence logique comme élément de langage d'un discours reliant les propositions et l'équivalence opérateur cf équivalence matérielle (terme rencontré par ex. là page9 en bas noté là un peu différemment <->)
que je perçois comme étant cet opérateur (mais je n'y connais pas grand chose )

en collège dans les 70's on écrivait bien des (A )<=>( B )<=> (C) qui étaient décodés A équivaut à B qui est elle même équivalente à C sans plus d'ambiguité dans le discours qu'un ce qui signifie que :(qui est le "ce" il commence ou ) par exemple.
et c'était bien pratique pour inéquations, les systèmes d'équations etc..
mais à l'époque parenthèses obligatoires de chaque coté de <=> au collège ! sinon on se faisait allumer par le prof

on écrivait ((x-2)(y-3)=0 ) <=> ( x-2=0 ou x-3=0 ) <=> (x=2 ou x=3)

et on ne laissait pas de vide en cas de retour à la ligne sans un mot ou un symbole de liaison entre elles non plus!
Voir le sujet précédentRevenir en hautVoir le sujet suivant
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum