Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

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Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par John le Mar 24 Aoû 2010 - 2:47

Soit le problème suivant :

Un herboriste se sert d'une balance pour peser les différents sachets d'infusion qu'il vend à ses clients. Ses sachets pèsent entre 1 et 40 grammes. Il dispose pour les peser d'une balance à plateaux et de quatre poids. Il place toujours les sachets d'herbes sur un plateau de la balance, et les poids sur l'autre plateau. Quels sont les quatre poids qu'il lui faut posséder pour pouvoir peser toutes les combinaisons de masses, de 1 à 40 grammes ?

La réponse est : 1, 3, 9 et 27 grammes, qui permettent effectivement par l'addition et la soustraction d'obtenir tous les nombres de 1 à 40.

Ma question à moi est la suivante : est-il possible de répondre à cette question par un raisonnement, et non à tâtons et de manière empirique ?

Soit l'autre problème suivant :

Un employé a obtenu une prime de 200 euros. Il achète x objets coûtant x euros, y objets coûtant y euros, et z objets coûtant z euros.

Ce qui équivaut à : x²+y²+z² = 200.

La solution est : x = 6 ; y = 8 ; z = 10. Là encore, y-t-il un moyen de résoudre le problème par un raisonnement mathématique, et non en essayant successivement les diverses combinaisons avec des chiffres au hasard ?

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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par John le Mar 24 Aoû 2010 - 12:53

Eh, les scientifiques, m'oubliez pas, hein Very Happy

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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par Pierre_au_carré le Mar 24 Aoû 2010 - 13:31

@John a écrit:Soit le problème suivant :

Un herboriste se sert d'une balance pour peser les différents sachets d'infusion qu'il vend à ses clients. Ses sachets pèsent entre 1 et 40 grammes. Il dispose pour les peser d'une balance à plateaux et de quatre poids. Il place toujours les sachets d'herbes sur un plateau de la balance, et les poids sur l'autre plateau. Quels sont les quatre poids qu'il lui faut posséder pour pouvoir peser toutes les combinaisons de masses, de 1 à 40 grammes ?

La réponse est : 1, 3, 9 et 27 grammes, qui permettent effectivement par l'addition et la soustraction d'obtenir tous les nombres de 1 à 40.

Ma question à moi est la suivante : est-il possible de répondre à cette question par un raisonnement, et non à tâtons et de manière empirique ?

Je m'étais posé ce type de question en essayant de chercher les scores qui n'étaient pas possible au rugby (2, 3 et 5 points) et je ne pense pas qu'il y ait de théorie (simple ou sans programme informatique) quand il y a trop de paramètres (4 poids inconnus)...

Soit l'autre problème suivant :

Un employé a obtenu une prime de 200 euros. Il achète x objets coûtant x euros, y objets coûtant y euros, et z objets coûtant z euros.

Ce qui équivaut à : x²+y²+z² = 200.

La solution est : x = 6 ; y = 8 ; z = 10. Là encore, y-t-il un moyen de résoudre le problème par un raisonnement mathématique, et non en essayant successivement les diverses combinaisons avec des chiffres au hasard ?

En maîtrise, je m'étais fait une disquette de petits programmes utiles (que je n'ai jamais utilisés Rolling Eyes) de théorie des nombres et ce que tu demandes doit exister. Mais je ne sais pas à partir de quoi...
Demande à Finrod, peut-être qu'il a fait de la recherche en théorie des nombres.

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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par Pierre_au_carré le Mar 24 Aoû 2010 - 13:34

@John a écrit:

Ce qui équivaut à : x²+y²+z² = 200.


Avec 200, ça reste relativement facile : x, y, et z < 15 et par exemple si x dépasse 10, y et z soit nécessairement très petit...
Donc c'est vite fait.

Il faut se dire que pour le concepteur, qui part dans l'autre sens, c'est beaucoup plus facile (!!), ici si tu recherches comme les Bogdanov la main de dieu dans cet ex. Laughing

Pierre_au_carré
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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par John le Mar 24 Aoû 2010 - 13:37

Avec, ça reste relativement facile : x, y, et z < 15 et par exemple si x dépasse 10, y et z soit nécessairement très petit...
Donc c'est vite fait.

Il faudrait rajouter dans le problème, x<15 ; y<15 et z<15 et x "supérieur ou égal" à 10 ?

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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par sand le Mar 24 Aoû 2010 - 13:38

Oh my god...

sand
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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par jon le Mar 24 Aoû 2010 - 14:04

@John a écrit:
Avec, ça reste relativement facile : x, y, et z < 15 et par exemple si x dépasse 10, y et z soit nécessairement très petit...
Donc c'est vite fait.

Il faudrait rajouter dans le problème, x<15 ; y<15 et z<15 et x "supérieur ou égal" à 10 ?

Non, ce que Pierre veut dire c'est que 15²=225 est déjà supérieur à 200, donc ça restreint tout de suite.

Pour le problème de l'herboriste, c'est issus d'un bouquin de Bachet http://fr.wikipedia.org/wiki/Claude-Gaspard_Bachet_de_M%C3%A9ziriac

Voici un solutions moderne. Notons a, b, c, d les 4 poids, ce sont des entiers supérieurs ou égaux à 1. On peut sans perte de généralité supposer que l'on appelle a le plus léger, b le second, c le troisième et d le plus lourd. Il y a un peu de liberté dans l'interprétation de l'énoncé, alors je vais supposer que les 4 poids sont tous différents (d e toutes façons avec de poids égaux on voir vite que ça marche pas). Mathématiquement ça se traduit par des inégalités : 1 <= a < b < c < d.

Ensuite, l'énoncé peut se reformuler en disant que l'on veut que les sommes de la forme S= A.a + B.b + C.c +D.d couvrent tous les entiers de 1 à 40, où les lettres A,B,C,D représentent soit un signe +, soit un signe -, soit 0. Autrement dit on travaille en base 3, d'où immédiatement a=3^0=1, b=3^1=3, c=3^2=9 et d=3^3=27. La limite étant a+b+c+d=40.

Pour une solution moins formelle voir ici: http://www.indispensables.over-blog.com/article-24670903.html




Dernière édition par jon le Mar 24 Aoû 2010 - 14:08, édité 1 fois

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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par JPhMM le Mar 24 Aoû 2010 - 14:06

@John a écrit:Soit le problème suivant :

Un herboriste se sert d'une balance pour peser les différents sachets d'infusion qu'il vend à ses clients. Ses sachets pèsent entre 1 et 40 grammes. Il dispose pour les peser d'une balance à plateaux et de quatre poids. Il place toujours les sachets d'herbes sur un plateau de la balance, et les poids sur l'autre plateau. Quels sont les quatre poids qu'il lui faut posséder pour pouvoir peser toutes les combinaisons de masses, de 1 à 40 grammes ?

La réponse est : 1, 3, 9 et 27 grammes, qui permettent effectivement par l'addition et la soustraction d'obtenir tous les nombres de 1 à 40.

Ma question à moi est la suivante : est-il possible de répondre à cette question par un raisonnement, et non à tâtons et de manière empirique ?

1. Il y a un problème dans l'énoncé car tu dis : "Il place toujours les sachets d'herbes sur un plateau de la balance, et les poids sur l'autre plateau". Si tel était vraiment le cas, tu ne pourrais pas faire de soustraction, tu n'aurais que deux cas possibles : soit le poids est sur le plateau qui lui est dédié (cas 1), soit il n'y est pas (cas 0). Alors avec 4 poids tu peux faire 2^4 (c'est-à-dire 2 puissance 4) combinaisons, c'est-à-dire 16 combinaisons. Les poids seraient : 1=2^0, 2=2^1, 4=2^2 g et 8=2^3 g, et tu mesurerais des masses allant de 0 à 17 g. En somme tu as deux signes (1 et 0) pour coder un nombre, en utilisant tes masses tu comptes en base binaire.

2. Supposons que tu puisses mettre les poids sur l'une ou l'autre des balances. Tu as maintenant trois cas : le poids est sur le plateau où est le sachet (cas -1), le poids n'est sur aucun plateau (cas 0), le poids est sur le plateau autre que celui du sachet (cas 1). Tu as 3^4 combinaisons, c'est-à-dire 81 combinaisons possibles. Mais comme ces combinaisons sont faites aussi avec "-1" cela signifie que tu peux compter de -40 à 40 (ne pas oublier le 0 au milieu !). Entendu que tu utilises 3 signes, tu utilises donc une base trinaire, appelée trinaire balancée car tu utilises les signes -1, 0 et 1, et les poids sont 1=3^0, 3=3^1, 9=3^2 et 27=3^3.

Ai-je répondu à ta question ?

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Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par John le Mar 24 Aoû 2010 - 14:20

Autrement dit on travaille en base 3

Bon sang mais c'est bien sûr ! Merci Jon Smile

JphMM, tu as raison : il faut dire qu'il peut placer ses poids sur les deux plateaux, tandis que les herbes doivent rester sur le plateau de gauche.

Pour les objets achetés par l'employé, on sait que tous les nombres sont inférieurs à 15 puisque 15² > 200, mais comment sait-on qu'il y en a un qui est supérieur à 10 ?

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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par DH le Mar 24 Aoû 2010 - 14:25

C'est une autre langue. Je pige rien... scratch

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Et surtout mon corps aussi bien que mon âme, gardez-vous de vous croiser les bras en l'attitude stérile du spectateur, car la vie n'est pas un spectacle, car une mer de douleurs n'est pas un proscenium, car un homme qui crie n'est pas un ours qui danse...

DH
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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par Violet le Mar 24 Aoû 2010 - 14:44

+ 1

Violet
Bon génie


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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par JPhMM le Mar 24 Aoû 2010 - 14:47

@John a écrit:Soit l'autre problème suivant :

Un employé a obtenu une prime de 200 euros. Il achète x objets coûtant x euros, y objets coûtant y euros, et z objets coûtant z euros.

Ce qui équivaut à : x²+y²+z² = 200.

La solution est : x = 6 ; y = 8 ; z = 10. Là encore, y-t-il un moyen de résoudre le problème par un raisonnement mathématique, et non en essayant successivement les diverses combinaisons avec des chiffres au hasard ?

Attention, il existe une autre solution (sans parler des solutions par permutation des symboles) : x=10, y=10, z=0
En fait une telle équation s'appelle équation diophantienne (une équation où les solutions sont des entiers).

La solution que tu as donnée est celle issue du triplet pythagoricien bien connu : 3²+4²=5² (Te souviens-tu du théorème 3,4, 5 ? "un triangle dont les côtés sont de mesures respectives 3, 4 et 5 est rectangle" (remarque que l'unité de mesure n'a aucune importance)", qui nous vient des Egyptiens de l'Antiquité, qui utilisaient une corde à 13 noeuds pour faire des angles droits). Donc 3²+4²+5²=50. D'où 6²+8²+10²=50*2²=200. Peut-être as-tu pensé au triangle rectangle pour résoudre cette équation, ce qui pourrait expliquer l'oubli de l'autre solution (bien plus facile)

De façon plus générale : tout nombre entier peut s'écrire comme somme de quatre carrés parfaits (démontré par Lagrange).
Et ce qui nous intéresse ici : tout nombre qui n'est pas de la forme (4^n)*(8m+7) avec n et m entiers peut s'écrire comme somme de trois carrés parfaits (démontré par Gauss me semble-t-il).

Ainsi 4^1*(8*5+7)=188 ne peut pas s'écrire comme somme de trois carrés !

Résolvons notre problème.
x²+y²+z²=200
Nous savons que l'une au moins des inconnues est <9 (sinon x², y² et z² sont toutes supérieures ou égales à 81, donc leur somme à 243, ce qui est impossible). Supposons donc que x<9. Nous avons 9 cas y²+z²=200-x² à traiter, quand x va de 0 à 8 (dans les entiers) : y²+z²=200, y²+z²=199, y²+z²=196, y²+z²=191, y²+z²=184, etc...

Bien sûr on pourrait utiliser un théorème de Fermat "Un nombre est la somme de deux carrés parfaits si chacun de ses facteurs multiplicatifs premiers pouvant s'écrire 4k+3 est élevé à une puissance paire", mais là on irait trop loin sans doute pour un mathématicien néophyte.

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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par Celeborn le Mar 24 Aoû 2010 - 14:49

@JPhMM a écrit:
Attention, il existe une autre solution (sans parler des solutions par permutation des symboles) : x=10, y=10, z=0

J'imagine qu'à partir du moment où l'on parle d'achat d'objets, x, y et z sont non nuls Wink

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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par olivier-np30 le Mar 24 Aoû 2010 - 14:50

Salut,

Pour le premier je ne vois pas : hormis remarquer qu'avec les poids 1, 3 et 9 on va jusqu'à peser des sachets de 13 kg puis on remarque que 13 + 27 = 40 mais on est obligé de justifier la suite et en examinant les cas.

Pour le second, si on prend la valeur entière de racine(200) on trouve 14 ou méthode citée plus haut (un au moins est plus petit que 9):

Ensuite il n'y a pas de recette miracle : on dresse un tableau de 1 à 14 pour x, y et z et on fait les calculs.

Je ne vois pas d'autre moyen...

A+

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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par JPhMM le Mar 24 Aoû 2010 - 14:54

@Celeborn a écrit:
@JPhMM a écrit:
Attention, il existe une autre solution (sans parler des solutions par permutation des symboles) : x=10, y=10, z=0

J'imagine qu'à partir du moment où l'on parle d'achat d'objets, x, y et z sont non nuls Wink

Certes, mais si c'est un problème mathématique, on peut dire j'achète 0 objet. C'est une proposition acceptable. Il faudrait donc rajouter au début, pour éviter toute confusion que chacun des x, y et z n'est nul.

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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par John le Mar 24 Aoû 2010 - 14:54

Supposons donc que x<9. Nous avons 9 cas y²+z²=200-x² à traiter, quand x va de 0 à 8 (dans les entiers) : y²+z²=200, y²+z²=199, y²+z²=196, y²+z²=191, y²+z²=184, etc...

Mais ensuite...? Je ne sais pas comment résoudre x²+z²=184, par exemple.

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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par Celeborn le Mar 24 Aoû 2010 - 14:55

@JPhMM a écrit:
Certes, mais si c'est un problème mathématique, on peut dire j'achète 0 objet. C'est une proposition acceptable.

Je voulais dire qu'on ne peut pas acheter pour zéro euro Wink

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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par JPhMM le Mar 24 Aoû 2010 - 15:20

@John a écrit:
Supposons donc que x<9. Nous avons 9 cas y²+z²=200-x² à traiter, quand x va de 0 à 8 (dans les entiers) : y²+z²=200, y²+z²=199, y²+z²=196, y²+z²=191, y²+z²=184, etc...

Mais ensuite...? Je ne sais pas comment résoudre x²+z²=184, par exemple.

D'accord.
Tu es d'accord que la méthode sera la même dans les 9 cas. Il faut trouver pour y²+z² les valeurs : 200, 199, 196, 191, 184, 175, 164, 151, 136 (petit truc marrant : pour les calculer il suffit de faire 200, le résultat précédent -1, le résultat précédent -3, le résultat précédent -5, etc. Wink )

Je fais un tableau avec mon tableur préféré. En colonne, je mets y va de 0 à 14 et z va de 0 à 14. La cellule calcule y²+z². A chaque fois que l'une des 9 valeurs précédentes apparait, c'est que tu as une solution.

Je sais c'est long.

Une autre méthode utilise la géométrie de façon surprenante (il faut une grande feuille à carreau, mais c'est faisable avec un logiciel de géométrie), mais c'est tellement plus simple et plus joli : on trace le repère cartésien pour y en abscisse va de 0 à 15 (échelle 1 carreau = 1 unité) et z en ordonnée va de 0 à 15. Et on trace dans ce quart de plan les quarts de cercles de centre l'origine et de rayons respectifs R=racine de 200, racine de 199, racine de 196, etc... A chaque fois qu'un quart de cercle passe exactement par une ligne horizontale et une ligne verticale du quadrillage, tu as une solution. En effet, dans ces cas-là, y et z sont entiers, d'autre part R²=y²+z² par le théorème de Pythagore.

Une méthode moins systématique demanderait des outils plus puissants en arithmétique (modulaire).


Dernière édition par JPhMM le Mar 24 Aoû 2010 - 15:29, édité 1 fois

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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par JPhMM le Mar 24 Aoû 2010 - 15:26

Si tu veux faire quelques petits problèmes mathématiques sympathiques, il existe un fameux concours de mathématiques, pour tous niveaux : Kangourou

http://www.mathkang.org/

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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par frankenstein le Mar 24 Aoû 2010 - 15:27

Fascinant ! ça devient marrant les maths avec tes explications ! On va te demander des leçons ! veneration

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Mettez des pouces verts sur : http://www.youtube.com/user/Choristenimes/videos

Si les élections pouvaient changer la société, elles seraient interdites.

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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par JPhMM le Mar 24 Aoû 2010 - 16:10

A propos de géométrie, x²+y²+z²=200 est l'équation de la sphère de rayon R=racine de 200, et de centre l'origine. Donc les solutions entières de cette équation sont les points de coordonnées entières (les lignes du quadrillage) de la sphère, en géométrie dans l'espace. Avec certains logiciels de géométrie 3d tu peux avoir l'ensemble des solutions directement en traçant la sphère et le quadrillage (mais il faut sans doute avoir une bonne vue Wink ). Tu vois que parfois il est plus facile de dessiner les solutions (surtout à l'aide d'une ordinateur) que de les calculer.

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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par Pierre_au_carré le Mar 24 Aoû 2010 - 16:56

@John a écrit:
Avec, ça reste relativement facile : x, y, et z < 15 et par exemple si x dépasse 10, y et z soit nécessairement très petit...
Donc c'est vite fait.

Il faudrait rajouter dans le problème, x<15 ; y<15 et z<15 et x "supérieur ou égal" à 10 ?

Tout a été très bien détaillé. cheers

Mais pour revenir à ta question, de façon intuitive je voulais dire que si x > 10, il ne restait pas grand chose pour y et z (pour compléter 200, donc peu de cas à faire).
Et JPhMM a ensuite démontré ce que je disais "vite fait" : on peut supposer que au moins x < 9.

Pierre_au_carré
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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par Pierre_au_carré le Mar 24 Aoû 2010 - 17:03

@JPhMM a écrit:
x²+y²+z²=200
Nous savons que l'une au moins des inconnues est <9 (sinon x², y² et z² sont toutes supérieures ou égales à 81, donc leur somme à 243, ce qui est impossible). Supposons donc que x<9. Nous avons 9 cas y²+z²=200-x² à traiter, quand x va de 0 à 8 (dans les entiers) : y²+z²=200, y²+z²=199, y²+z²=196, y²+z²=191, y²+z²=184, etc...

Tu t'intéresses aux problèmes d'arithmétique ?
Car tu as de bons réflexes...

Pierre_au_carré
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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par JPhMM le Mar 24 Aoû 2010 - 17:24

Préparant l'agrégation, je suis bien obligé de m'y intéresser, mais je dois avouer que j'apprécie ça.

En plus je viens juste de sortir de la rédaction d'une proposition de solution d'un problème d'arithmétique posé par l'APMEP. Ca aide...

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

JPhMM
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Re: Deux questions de mathématiques (raisonnement, logique)

Message par JPhMM le Mar 24 Aoû 2010 - 17:29

Le problème en question : "Pour n entier naturel non nul, on note sigma (n) la somme des diviseurs (parmi les entiers naturels non nuls) de n. Si n est divisible par 24, en est-il de même de sigma(n-1) ?" (source : Bulletin 489 de l'APMEP).

J'adore Smile

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