L'Antinomie de Russell

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L'Antinomie de Russell

Message par JPhMM le Jeu 14 Oct 2010 - 18:32

Pour le plaisir de la réflexion, une petite description de l'un des paradoxes les plus importants des mathématiques : l'Antinomie de Russell.

L'Antinomie de Russell (1902)


Dans une lettre qu'il adressa à Frege en 1902, Russell révéla ce qui est peut-être le paradoxe le plus précieux des mathématiques, connu sous le nom de Paradoxe des Classes ou Antinomie de Russell, dont voici un énoncé de Russell :

« La classe de toutes les classes qui ne sont pas éléments d'elles-mêmes est-elle élément d'elle-même ? »

Le paradoxe réside en ce que quelque soit la réponse supposée, elle conduit à une contradiction. Si en effet, elle l'est, alors elle a la propriété de ses éléments qui est de ne pas être éléments d'eux-mêmes. Sinon, elle n'a pas cette propriété et est donc élément d'elle-même.

Ce paradoxe tendait donc à montrer que la classe de toutes les classes qui ne sont pas éléments d'elles-mêmes n'existe pas dans la théorie frégéenne. Mais cette théorie ayant été construite de façon strictement déductive, une classe ne pouvait être écartée sans que les bases mêmes de cette théorie ne soient remises en question.

Plus grave encore, la théorie cantorienne aussi tombait sous le coup de cette antinomie et était incapable de la résoudre.

Pour Russell, la solution tenait de ce qu'il appelait « le Principe du Cercle Vicieux » :

« Ce qui contient une variable liée ne doit pas être une valeur possible pour cette variable. »

La fonction "ne pas être élément de soi-même" devenait ce qu'il appelait une fonction d'énoncé non prédicative, c'est-à-dire ne pouvant pas définir de classe. Cette notion rejoignait en effet l'idée cantorienne de « multitudes inconsistantes ».

Précisant la pensée de Russell, le mathématicien Poincaré écrivit :

« Les définitions qui doivent être regardées comme non prédicatives sont celles qui entraînent un cercle vicieux. » (Revue de Métaphysique et de Morale).



La théorie des ensembles retenue à notre époque par la plupart des mathématiciens considère pour résoudre ce type de paradoxes qu'un ensemble ne peut pas se contenir lui-même. C'est ce que dit l'Axiome de Fondation.

Ainsi, au sens ensembliste actuel, l'Antinomie de Russell est résolue : dans tous les cas, la classe de toutes les classes qui ne sont pas éléments d'elles-même n'est pas un ensemble. Elle n'entre ainsi pas dans le cas d'étude de la théorie des ensembles.



En 1919, Bertrand Russell donna une version populaire de son antinomie sous le nom de Paradoxe du Barbier, en les termes suivants :

« Le barbier d'un certain village rase exactement toutes les personnes du village qui ne se rasent pas elles-mêmes. Question : ce barbier se rase-t-il lui-même ? »

Il mit ainsi en évidence une version de l'Antinomie dans la théorie des relations. Choisissons-nous en effet une relation quelconque et construisons alors un élément en le définissant comme en relation avec strictement tous les éléments qui ne sont pas en relation avec eux-mêmes ? Est-il alors en relation avec lui-même ?

On voit qu'à partir de cette antinomie plus générale, il est possible de retrouver celle originale (en choisissant pour relation : « être élément de ») ou d'en construire une infinité d'autres.
http://calculi.over-blog.com/article-l-antinomie-de-russell-1902-58908170.html

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par thrasybule le Jeu 14 Oct 2010 - 18:39

Ca m'a l'air vraiment interessant mais il faudra que je le relise plusieurs fois; je crois que je suis un peu neuneu!

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par Iphigénie le Jeu 14 Oct 2010 - 18:47

Je n'ai pas tout compris non plus mais c'est l'histoire de tous les Crétois qui sont menteurs ,non?(les matheux,faut toujours qu'ils compliquent Very Happy )
Enfin je suis peut-être totalement à l'Ouest avec mes Crétois(en perdant le nord?)

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par thrasybule le Jeu 14 Oct 2010 - 18:48

@iphigénie a écrit:Je n'ai pas tout compris non plus mais c'est l'histoire de tous les Crétois qui sont menteurs ,non?(les matheux,faut toujours qu'ils compliquent Very Happy )
Enfin je suis peut-être totalement à l'Ouest avec mes Crétois(en perdant le nord?)
Tu crois que c'est comme l'histoire du faux syllogisme?

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par thrasybule le Jeu 14 Oct 2010 - 18:52

C'est quoi la théorie frégéenne; un cours JPhmm; j'adorais les maths, je ne demande qu'à sortir de mon ignorance crasse!

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par Iphigénie le Jeu 14 Oct 2010 - 18:53

ben j'ai l'impression que c'est l'histoire des apories en logique,non?on remplace les Crétois par les barbiers,et le tour est joué?
ps:qu'advient-il des barbiers Crétois,ça c'est coton.... scratch yesyes

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par Iphigénie le Jeu 14 Oct 2010 - 18:55

bon je n'aurais jamais dû intervenir sur un topic matheux(vieille haine ancestrale et tribale avec mon X de frangin....) pingouin

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par thrasybule le Jeu 14 Oct 2010 - 18:59

@iphigénie a écrit:ben j'ai l'impression que c'est l'histoire des apories en logique,non?on remplace les Crétois par les barbiers,et le tour est joué?
ps:qu'advient-il des barbiers Crétois,ça c'est coton.... scratch yesyes
Et les barbiers crétois qui veulent vendre des chevaux bon marché: c'est rare ou non? Ca dépend si c'est Minos qui le dit ou non: mais peut-etre est-il une vieillle bourrique! Ah le roi se meurt!

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par JPhMM le Jeu 14 Oct 2010 - 19:01

Frege est à l'origine du calcul des prédicats. En utilisant une version simplifiée et "non symbolique" du calcul des prédicats on pourrait exprimer l'énoncé de l'Antinomie de Russell sous cette forme :

Soit R = {x tels que x n'est pas élément de x}

Si R est élément de R alors R vérifie "x n'est pas élément de x", donc R n'est pas élément de R. D'où contradiction.

Si R n'est pas élément de R alors R ne vérifie pas "x n'est pas élément de x", c'est-à-dire R vérifie non-"x n'est pas élément de x" qui est équivalent à "x est élément de x" donc R est élément de R. Contradiction.

Effectivement, le paradoxe du menteur (ou du Crétois) est une forme de l'Antinomie de Russell.

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par thrasybule le Jeu 14 Oct 2010 - 19:02

J'ai compris!

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par Iphigénie le Jeu 14 Oct 2010 - 19:06

yaou!
pour une fois,ce que j'ai dit n'est pas totalement idiot en math:champagne Very Happy (suis contente de ma journée:merci JPhMM!

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par thrasybule le Jeu 14 Oct 2010 - 19:08

Oui merci!!C'est bien d'avoir des matheux!

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par JPhMM le Jeu 14 Oct 2010 - 19:11

@thrasybule a écrit:J'ai compris!
Wink

Il va me falloir augmenter la difficulté la prochaine fois. Very Happy

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par JPhMM le Jeu 14 Oct 2010 - 19:11

@iphigénie a écrit:yaou!
pour une fois,ce que j'ai dit n'est pas totalement idiot en math:champagne Very Happy (suis contente de ma journée:merci JPhMM!
De rien Iphigénie Razz

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par thrasybule le Jeu 14 Oct 2010 - 19:12

@JPhMM a écrit:
@thrasybule a écrit:J'ai compris!
Wink

Il va me falloir augmenter la difficulté la prochaine fois. Very Happy
Oui mais festina lente alors!

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par JPhMM le Jeu 14 Oct 2010 - 20:56

@iphigénie a écrit:Je n'ai pas tout compris non plus mais c'est l'histoire de tous les Crétois qui sont menteurs ,non?(les matheux,faut toujours qu'ils compliquent Very Happy )
Enfin je suis peut-être totalement à l'Ouest avec mes Crétois(en perdant le nord?)
Oui, d'ailleurs, merci, cela m'oblige à faire le lien entre les deux dès aujourd'hui !

Du coup, je viens de poster cela dans le blog :
http://calculi.over-blog.com/article-le-paradoxe-du-menteur-58917621.html

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par Iphigénie le Jeu 14 Oct 2010 - 21:07

lu avec intérêt Very Happy
suis super fière de participer à l'avancée de la science Very Happy

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par JPhMM le Jeu 14 Oct 2010 - 22:02

@iphigénie a écrit:lu avec intérêt Very Happy
suis super fière de participer à l'avancée de la science Very Happy
A sa diffusion au moins.
topela

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par Iphigénie le Jeu 14 Oct 2010 - 22:17

oh rabat-joie Very Happy

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par JPhMM le Jeu 14 Oct 2010 - 22:20

@iphigénie a écrit:oh rabat-joie Very Happy
Ce n'était pas du tout mon intention.
Simplement, je n'invente rien de scientifiquement nouveau. Au mieux, je le diffuse un peu.

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par JPhMM le Ven 15 Oct 2010 - 14:01

Celui-ci, très simple, plaît beaucoup en général :


Le Paradoxe de G.W. Berry (1906)

Bien que beaucoup plus simple et plus parlant, le Paradoxe de G.W. Berry n'en est pas moins analogue au Paradoxe de Richard. Il se rattache aussi au Paradoxe du Menteur.

Soit l'expression « le plus petit nombre naturel qu'on ne peut pas désigner en moins de vingt-cinq syllabes".

Elle désigne un entier bien déterminé. Par définition, cet entier ne peut pas être désigné par une expression de moins de vingt-cinq syllabes. Or elle possède elle-même vingt-quatre syllabes !

http://calculi.over-blog.com/article-le-paradoxe-de-g-w-berry-1906-58955887.html

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par Ruthven le Ven 15 Oct 2010 - 20:02

Pour ceux qui trouveraient la théorie des types un peu austère, il y a Logicomix de Doxiadis, un roman graphique sur la vie de Russell et la question de la recherche de la vérité (parfois un peu caricatural dans les rapports entre logique et folie, mais agréable à lire).

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par thrasybule le Ven 15 Oct 2010 - 20:05

@Ruthven a écrit:Pour ceux qui trouveraient la théorie des types un peu austère, il y a Logicomix de Doxiadis, un roman graphique sur la vie de Russell et la question de la recherche de la vérité (parfois un peu caricatural dans les rapports entre logique et folie, mais agréable à lire).
C'est dur à lire pour un néophyte comme moi?

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par JPhMM le Ven 15 Oct 2010 - 20:31

@Ruthven a écrit:Pour ceux qui trouveraient la théorie des types un peu austère, il y a Logicomix de Doxiadis, un roman graphique sur la vie de Russell et la question de la recherche de la vérité (parfois un peu caricatural dans les rapports entre logique et folie, mais agréable à lire).

Ça a l'air intéressant.

Il existe une série de BD de mathématiques et de sciences particulièrement remarquable, Les Aventures d'Anselme Lanturlu, par le grand Jean-Pierre Petit.

Les BD ne sont plus éditées, mais elles sont gratuitement téléchargeables ici :
http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/free_downloads.htm

N'hésitez pas, c'est un vrai bonheur !

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Re: L'Antinomie de Russell

Message par Ruthven le Ven 15 Oct 2010 - 20:42

@thrasybule a écrit:
@Ruthven a écrit:Pour ceux qui trouveraient la théorie des types un peu austère, il y a Logicomix de Doxiadis, un roman graphique sur la vie de Russell et la question de la recherche de la vérité (parfois un peu caricatural dans les rapports entre logique et folie, mais agréable à lire).
C'est dur à lire pour un néophyte comme moi?

Non, c'est très romancé, il n'y a pas de formalisation mais beaucoup d'anecdotes ; on y croise tous les grands de la philo. des maths du début du siècle : Frege, Whitehead, Russell, Wittgenstein et ils sont tous plus ou moins jetés... Je ne sais pas ce que Lene en pense, elle qui est spécialiste de philo des sciences.

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