Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

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Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par JPhMM le Sam 4 Déc 2010 - 20:48

Succession de nombres non premiers

QUELQUES DÉFINITIONS PRÉALABLES

Nombre premier :
Tout nombre entier naturel admettant exactement deux diviseurs distincts (qui sont alors 1 et lui-même) est appelé nombre premier.
Ainsi :
1 admet un seul diviseur (1) donc 1 n'est pas un nombre premier.
En revanche, 5 admet exactement deux diviseurs distincts (1 et 5) donc 5 est un nombre premier.

Successeur d'un nombre entier naturel :
Pour tout nombre entier naturel n, n + 1 est appelé le successeur de n et est noté S(n)
Ainsi :
S(16) = 16 + 1 = 17 est le successeur de 16.
Remarquons que le seul nombre entier naturel n'étant le successeur d'aucun autre est 0.

Succession de nombres entiers naturels :

Soit U un ensemble de nombres entiers naturels. Si un et un seul élément de U n'a pas de successeur dans U, alors U est dite succession de nombres entiers naturels.
Ainsi :
A = {3, 4, 5, 6, 7} est une succession de nombres entiers naturels car un et un seul élément de A, en l'occurrence 7, n'a pas de successeur dans A.
En revanche B = {11, 12, 14, 15} n'est pas une succession de nombres entiers naturels car deux éléments de B, à savoir 12 et 15, n'ont pas successeur dans B.

PROBLÈME

Pouvez-vous énoncer une succession de 1000 nombres entiers naturels non premiers ?
http://calculi.over-blog.com/article-succession-de-nombres-non-premiers-62347868.html

N'hésitez pas poster vos propositions et remarques !
yesyes

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par Nestya le Sam 4 Déc 2010 - 20:50

J'ai rien compris! scratch J'étais déjà larguée dès la première phrase Laughing .

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Nestya
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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par Pierre_au_carré le Sam 4 Déc 2010 - 22:26

@JPhMM a écrit:
Succession de nombres non premiers

QUELQUES DÉFINITIONS PRÉALABLES

Nombre premier :
Tout nombre entier naturel admettant exactement deux diviseurs distincts (qui sont alors 1 et lui-même) est appelé nombre premier.
Ainsi :
1 admet un seul diviseur (1) donc 1 n'est pas un nombre premier.
En revanche, 5 admet exactement deux diviseurs distincts (1 et 5) donc 5 est un nombre premier.

Successeur d'un nombre entier naturel :
Pour tout nombre entier naturel n, n + 1 est appelé le successeur de n et est noté S(n)
Ainsi :
S(16) = 16 + 1 = 17 est le successeur de 16.
Remarquons que le seul nombre entier naturel n'étant le successeur d'aucun autre est 0.

Succession de nombres entiers naturels :

Soit U un ensemble de nombres entiers naturels. Si un et un seul élément de U n'a pas de successeur dans U, alors U est dite succession de nombres entiers naturels.
Ainsi :
A = {3, 4, 5, 6, 7} est une succession de nombres entiers naturels car un et un seul élément de A, en l'occurrence 7, n'a pas de successeur dans A.
En revanche B = {11, 12, 14, 15} n'est pas une succession de nombres entiers naturels car deux éléments de B, à savoir 12 et 15, n'ont pas successeur dans B.

PROBLÈME

Pouvez-vous énoncer une succession de 1000 nombres entiers naturels non premiers ?
http://calculi.over-blog.com/article-succession-de-nombres-non-premiers-62347868.html

N'hésitez pas poster vos propositions et remarques !
yesyes

Je dis une grosse bêtise ou clairement , non :
Si on considère des nombres supérieurs ou égaux à 4, même une succession de 3 nombres aura forcément l'un des trois (différent de 3) divisible par 3.
(parmi n, S(n) et S(S(n)) pour faire plus compliqué)
Alors, pour une succession de 1 000 entiers, il y aura 333 ou 334 divisibles par 3.

Edit : j'ai répondu à "1000 nombres entiers naturels non premiers"
la réponse doit être oui car la densité des nombres premiers diminue quand on tend + 00, il me semble, donc il y avoir un moment où l'écart entre deux nombres premiers "successifs" est supérieur à 1 000.
Mais comment le montrer... heu


Dernière édition par Pierre_au_carré le Sam 4 Déc 2010 - 22:33, édité 1 fois

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par Frisouille le Sam 4 Déc 2010 - 22:28

@Nestya a écrit:J'ai rien compris! scratch J'étais déjà larguée dès la première phrase Laughing .



What a shame... les pures littéraires ... synonyme de grosses nases...? Laughing

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par Celeborn le Sam 4 Déc 2010 - 22:28

Pierre, on demande une succession de nombre NON premiers ^^

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par Pierre_au_carré le Sam 4 Déc 2010 - 22:34

@Celeborn a écrit:Pierre, on demande une succession de nombre NON premiers ^^

oui, what a shame, justement ... Laughing
J'ai édité.

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par Igniatius le Sam 4 Déc 2010 - 22:55

Pensez aux factorielles...

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par Celeborn le Sam 4 Déc 2010 - 23:03

@Igniatius a écrit:Pensez aux factorielles...

genre si on prend 1000! comme nombre de départ, alors 1000! + 2 est divisible par 2, 1000!+ 3 est divisible par 3… Faudrait vérifier pour 1000! + 1, en revanche, non ?

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par Celeborn le Sam 4 Déc 2010 - 23:05

Ah ben non, ça va, car 1000! + 1000 est divisible par 1000 (et par plein d'autres trucs, d'ailleurs)

Donc la succession de nombres qui va de 1000! +1 à 1000! + 1000 est une succession de 1000 nombres entiers naturels non premiers

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par Pierre_au_carré le Sam 4 Déc 2010 - 23:16

@Celeborn a écrit:Faudrait vérifier pour 1000! + 1, en revanche, non ?

Euh, 1000 ! + 1 est premier, non ?
Par l'absurde, s'il ne l'était pas on pourrait lui trouver un diviseur qui serait aussi diviseur de 1 000 !, donc de 1.

Donc 1001! + 2, 1001! + 3, ..., 1001 ! + 1001 ?

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par harry james le Sam 4 Déc 2010 - 23:17

114 115 116 117 118 119 120 121 122 123

_________________
Merdre lachez tout! Partez sur les routes!


Out of sorrow entire worlds have been built
Out of longing great wonders have been willed
[...]
Outside my window, the world has gone to war
Are you the one that I've been waiting for?

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par Celeborn le Sam 4 Déc 2010 - 23:20

@Pierre_au_carré a écrit:
@Celeborn a écrit:Faudrait vérifier pour 1000! + 1, en revanche, non ?

Euh, 1000 ! + 1 est premier, non ?
Par l'absurde, s'il ne l'était pas on pourrait lui trouver un diviseur qui serait aussi diviseur de 1 000 !, donc de 1.

Donc 1001! + 2, 1001! + 3, ..., 1001 ! + 1001 ?

Oui, au temps pour moi, j'ai voulu commencer trop tôt. 1001!+2 jusqu'à 1001! + 1001, c'est nettement mieux !
Mais sinon, mon raisonnement, ça va, donc ?

_________________
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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par harry james le Sam 4 Déc 2010 - 23:25

@harry james a écrit:114 115 116 117 118 119 120 121 122 123


j'avais lu 10....quelle honte...je vais me coucher Embarassed Embarassed Embarassed Embarassed boulet boulet boulet boulet

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par Pierre_au_carré le Sam 4 Déc 2010 - 23:27

@Celeborn a écrit:
@Pierre_au_carré a écrit:
@Celeborn a écrit:Faudrait vérifier pour 1000! + 1, en revanche, non ?

Euh, 1000 ! + 1 est premier, non ?
Par l'absurde, s'il ne l'était pas on pourrait lui trouver un diviseur qui serait aussi diviseur de 1 000 !, donc de 1.

Donc 1001! + 2, 1001! + 3, ..., 1001 ! + 1001 ?

Oui, au temps pour moi, j'ai voulu commencer trop tôt. 1001!+2 jusqu'à 1001! + 1001, c'est nettement mieux !
Mais sinon, mon raisonnement, ça va, donc ?

Pour quelqu'un toujours en retard... Razz
Pour le raisonnement, oui, je pense.

Edit : une erreur dans ce que je disais ici.


Dernière édition par Pierre_au_carré le Dim 5 Déc 2010 - 6:25, édité 1 fois

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par queen le Sam 4 Déc 2010 - 23:28

J ai l impression que j ai été propulsée dans un monde parallèle où tout le monde parle un langage que je ne comprends pas.No Rolling Eyes Gné
Bon dis moi, il est de quel niveau ton problème. Soit ça va me rassurer, soit ça va m achever Descartes

queen
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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par Frisouille le Sam 4 Déc 2010 - 23:32

Cherche pas, Queen, c'est la cour des grands ici... Razz

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par JPhMM le Sam 4 Déc 2010 - 23:54

@Igniatius a écrit:Pensez aux factorielles...

Wink

Oui bravo à tous, c'est cela, bien sûr.
Pour tout k élément de [[2; 1001]], 1001! + k est divisible par k, d'où la solution.

yesyes yesyes yesyes

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par JPhMM le Sam 4 Déc 2010 - 23:57

@Pierre_au_carré a écrit:
@Celeborn a écrit:Faudrait vérifier pour 1000! + 1, en revanche, non ?

Euh, 1000 ! + 1 est premier, non ?
Par l'absurde, s'il ne l'était pas on pourrait lui trouver un diviseur qui serait aussi diviseur de 1 000 !, donc de 1.

Pas nécessairement.
Il peut être divisible par un nombre compris entre 1001 et racine carrée de 1000!

Un exemple simple : 4!+1=2*3*4+1=25 est divisible par 5.

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par JPhMM le Sam 4 Déc 2010 - 23:58

@queen a écrit: J ai l impression que j ai été propulsée dans un monde parallèle où tout le monde parle un langage que je ne comprends pas.No Rolling Eyes Gné
Bon dis moi, il est de quel niveau ton problème. Soit ça va me rassurer, soit ça va m achever Descartes
Le problème peut être compris par un élève de Troisième. Quant à la solution...

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par liliepingouin le Dim 5 Déc 2010 - 0:01

Bon, j'ai réussi à comprendre le problème ce soir.
Je repasserai demain pour comprendre la solution... Very Happy

euh... ça veut dire quoi le ! que vous mettez après vos 1000 et cie? Embarassed

(vais me coucher pour cacher ma honte Very Happy )

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"Laissons glouglouter les égouts." (J.Ferrat)
"Est-ce qu'on convainc jamais personne?" (R.Badinter)
Même si c'est un combat perdu d'avance, crier est important.

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par JPhMM le Dim 5 Déc 2010 - 0:07

@liliepingouin a écrit:Bon, j'ai réussi à comprendre le problème ce soir.
Je repasserai demain pour comprendre la solution... Very Happy

euh... ça veut dire quoi le ! que vous mettez après vos 1000 et cie? Embarassed

(vais me coucher pour cacher ma honte Very Happy )
n! signifie 1x2x3x...xn

Ainsi :
1001!=1x2x3x4x...x998x999x1000x1001 (inutile d'essayer de le calculer, c'est un nombre comportant 2571 chiffres !)

Donc
1001!+2 =
2x3x...x1000x1001+2 =
(je mets 2 en facteur)
2x(3x...x1000x1001+1) donc est divisible par 2 donc 1001!+2 n'est pas premier

Même chose pour tout nombre entier k compris entre 2 et 1001 inclus.
2x3x...x(k-1)xkx(k+1)x...x1001+k=
kx(2x3x...x(k-1)x(k+1)x...x1001+1) donc est divisible par k, donc 1001!+k n'est pas premier.

Les 1000 nombres 1001!+2; 1001!+3;...;1001!+1001 ne sont pas premiers.

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par Celeborn le Dim 5 Déc 2010 - 0:16

Chuis content d'avoir trouvé le bon raisonnement, une fois fermement mis sur la voie par Igniatius ! Very Happy

Merci de m'avoir fait faire des maths, JPhMM !

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par JPhMM le Dim 5 Déc 2010 - 0:28

@Celeborn a écrit:Chuis content d'avoir trouvé le bon raisonnement, une fois fermement mis sur la voie par Igniatius ! Very Happy

Merci de m'avoir fait faire des maths, JPhMM !
Bravo, en effet, c'était loin d'être évident.
Et de rien, c'est toujours un plaisir de faire faire des maths à ceux qui n'en ont pas l'habitude (et aux autres, bien sûr). Je pense que je vais essayer de proposer d'autres problèmes de ce type (ie dont l'énoncé est relativement simple).

La morale de l'histoire est que pour tout n entier naturel (sous-entendu aussi grand que l'on veut), il existe toujours une succession de n nombres entiers naturels non premiers.

Je viens de me demander ce qu'il se passe lorsque n est un hypernaturel, c'est-à-dire un élément de *N, c'est-à-dire un entier idéalement grand... je pense que je vais faire un tour de ce côté-là...

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par JPhMM le Dim 5 Déc 2010 - 0:37

@harry james a écrit:114 115 116 117 118 119 120 121 122 123
D'ailleurs le premier nombre premier supérieur à 114 est 127.
Ce qui signifie 13 nombres non premiers à la suite. Et 114 est très inférieur à 14!+2. Ce qui montre bien que la solution proposée 1001!+2 à 1001!+1001 n'est pas sans doute pas la première (dans l'ordre croissant des entiers naturels).

Tu as fait comment ? tu as consulté une table des nombres premiers ?

PS : d'autre part je viens de réaliser que je devrais modifier ma définition de succession de nombres entiers naturels, car celle que je propose impose que cette succession soit finie, ce qui n'est pas gênant dans le problème proposé, mais qui ne me satisfait guère dans l'absolu.

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Re: Petit problème de mathématiques pour faire chauffer les neurones ;)

Message par frankenstein le Dim 5 Déc 2010 - 1:09

[quote="JPhMMLe problème peut être compris par un élève de Troisième. Quant à la solution...[/quote]
Ils peuvent comprendre ce qu'on leur demande, soit, mais s'ils ne peuvent le résoudre... heu
Bon, je n'avais pas trouvé même en connaissant les !


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