Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par John le Lun 27 Déc 2010 - 1:20

Avatar des Abysses, je t'ai vu connecté : tu as intérêt à donner la solution Very Happy

John
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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par Avatar des Abysses le Lun 27 Déc 2010 - 1:35

Bon effectivement à rédiger correctement c'est un peu pénible, je vais essayer d'expliquer clairement les points essentiels de la solution.

2 petits constats :
- Il semble simple ( mais pas évident ) que pour que le trajet soit optimisé, il faut que le chameau porte le maximum d'eau possible quand il se dirige vers le désert soit 100L.
- Si la quantité d'eau de départ est de 100L, alors la distance maximale sera de 100km

Nous allons maintenant essayer de nous ramener au cas précédemment résolu quand la quantité d'eau est supérieure à 100L.
Tout d'abord quand elle est entre 101 et 200L ( J'expliquerai pourquoi 200L et pas 201L ou 199L ):

Nous avons une quantité initiale Q entre 101 et 200L, nous allons faire une réserve d'eau à une distance D, la quantité d'eau R dans la réserve créé sera R = Q - 3 x D
Comme nous savons résoudre le problème pour 100L il nous suffit de prendre R = 100L et pour une quantité initiale par exemple de 200 L, on trouve D = 100/3 soit 33,333km.

La question est pourquoi 200L et non pas 201 L. Il faut constater que le nombre d'aller-retour augmente en fonction de la quantité d'eau et nous allons nous intéressé particulièrement pour quelles valeurs seuil on passe de 3 voyages ( 2 allers 1 retour ) à 5 voyages pour constitué cette nouvelle réserve ( 3 allers et 2 retours ). Ces valeurs se trouvent aisément ( il faut raisonner un peu certes mais on en vient à bout quand même ). On trouve 100L 200L 300L 400L etc .

(Pour les matheux, on pourrait définir des classes d'équivalence de quantité d'eau par la relation du nombre de trajets ( allers-retour ) nécessaire pour créé une nouvelle réserve. 170L et 200L seraient alors équivalent.On le constate lorsque l'on suppose que l'on a 200L d'eau initialement que l'on fait 10km. On créé alors une réserve de 170L. Ainsi si l'on sait résoudre le problème pour 170L, on sait également le faire pour 200L et ce avec 3 trajets.)

Pour 300L, il faut se ramener à une réserve de 200L. L'équation devient alors ( vu que l'on a 5 trajets aller-retour ) 200L = 300L - 5 x D soit D = 100/5 km

En répétant le processus, le nombre de trajet augmentant on passe à 7 puis 9, jusqu'à 19

La solution globale est donc : 100 + 100/3 + 100/5 + ... + 100/19 = 213,326 km environ ( GG ingniatus )

En espérant avoir un peu éclairé la lanterne de ceux qui ont cherché.

PS pour les non matheux : quand il y a marqué ouvert dans un problème mef !

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par frankenstein le Lun 27 Déc 2010 - 1:45

@Igniatius a écrit:Alors là, ce pb est vraiment chié : je viens de constater qu'il y a une infinité de façons de parcourir 133,333...km si l'on part de 200l (au lieu de 1000l).
Par exemple, on peut faire 10 points d'eau, tous distincts de 10/3km exactement, effectuer les aller-retours, eh bien on aura consommé exactement 100l au 10è point, et il nous restera 100l : on pourra donc parcourir 10*10/3+100=133,33...km !
Ce qui signifie que le nb de points d'eau n'est pas important, du moment qu'au dernier, on ait exactement 100l d'eau.
La distance entre tous ces points n'a même pas besoin d'être égale : il suffit que leur somme vale 100/3km.

Et là, je crois avoir réussi à démontrer l'essentiel : la démo globale demandera une page bien tassée pour être claire et rigoureuse, donc je crois que je vais m'arrêter là !

Avatar des Abysses, si tu as une version rigoureuse, et peut-être simple, n'hésite pas à la transmettre !

Super pb en tous cas, ça fait même parler des récalcitrants...

scratch S'il va de 5km en 5km , il parcourt plus...
point 5 km
10 allers 9 retours soit 19x5=95L consommés. Il lui reste 905 L .On décide de n'en transporter que 900L au point 10km.

point 10km
9 A 8 R soit 17x5= 85 L consommés. Il lui reste 815 litres. On décide de tous les transporter au point 15 km.

point 15 km
9 A 8 R soit 17x5= 85 L consommés.Il lui reste 730 litres. On décide de tous les transporter au point 20 km.

point 20 km
8 A 7 R soit 15x5=75L consommés. Il lui reste 655 litres. On décide de tous les transporter au point 25 km.

point 25 km
7 A 6 R soit 13x5=65 L consommés. Il lui reste 590 litres. On décide de tous les transporter au point 30 km.

point 30 km
6A 5R soit 11x5=55 L consommés.Il lui reste 535 litres. On décide de tous les transporter au point 35 km.

et ainsi de suite ...Je reprendrai les calculs demain !!! En tout cas, il dépasse 133 km... Very Happy

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frankenstein
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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par John le Lun 27 Déc 2010 - 1:54

Frankenstein, non, la solution c'est 213,326km

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par frankenstein le Lun 27 Déc 2010 - 2:06

@John a écrit:Frankenstein, non, la solution c'est 213,326km
J'y suis (presque) arrivé !! 208,333..33 km J'ai un doute pour le début et la fin de cette méthode ! Twisted Evil
Allez je mets la fin des calculs !

point 5 km
10 allers 9 retours soit 19x5=95L consommés. Il lui reste 905 L .On décide de n'en transporter que 900L au point 10km.

point 10km
9 A 8 R soit 17x5= 85 L consommés. Il lui reste 815 litres. On décide de tous les transporter au point 15 km.

point 15 km
9 A 8 R soit 17x5= 85 L consommés.Il lui reste 730 litres. On décide de tous les transporter au point 20 km.

point 20 km
8 A 7 R soit 15x5=75L consommés. Il lui reste 655 litres. On décide de tous les transporter au point 25 km.

point 25 km
7 A 6 R soit 13x5=65 L consommés. Il lui reste 590 litres. On décide de tous les transporter au point 30 km.

point 30 km
6A 5R soit 11x5=55 L consommés.Il lui reste 535 litres. On décide de tous les transporter au point 35 km.

P35
6A 5R 55 L 480L

P40
5A 4R 45 L 435L

P45
5A4R 45L 390L

P50
4A3R 35L 355L

P55
4A3R 35L 320L

P60
4A3R 35L 285L

P65
3A2R 25L 260L

P70
3A2R 25L 235L

P75
3A2R 25L 210L

P80
3A2R 25L 185L

P85
2A1R 15L 170L

P90
2A1R 15L 155L

P95
2A1R 15L 140L

P100
2A1R 15L 125L

P105
2A1R 15L 110L

Il lui reste donc 110 litres au point 105 km...Il peut faire 2A 1R jusqu'au point 108,333 km et faire un dernier de 100 km soit 208,333..33 km. Bon, je n'arrive pas à plus. Laughing


Et mon chameau aura marché 985km en tout pour atteindre ces 208,333..33 km aax injuste (Ah, les 5 litres jetés au départ...peut être, à refaire !Lool )
Rolling Eyes lol!


Dernière édition par frankenstein le Lun 27 Déc 2010 - 3:58, édité 2 fois

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par Iphigénie le Lun 27 Déc 2010 - 9:48

je suis déçue,je pensais qu'il y aurait des solutions plus spectaculaires....
Là c'est vraiment besogneux comme itinéraire:décidément,le chameau n'est plus rentable.
Déjà qu'Achille à grands pas faisait du sur place....a
vec les maths on n'avance pas! Very Happy
sorciere2

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par nhebbek le Lun 27 Déc 2010 - 10:02

On ne se déplace pas en chameau en Picardie. ET puis on ne boit pas que de l'eau.
J'ai rien compris, à part que le pauvre chameau va être bien fatigué.
Avatar, ça veut dire quoi "mef"? Embarassed

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par invitéW le Lun 27 Déc 2010 - 10:03

méf = méfiance

invitéW
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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par Iphigénie le Lun 27 Déc 2010 - 10:03

meuf=meufiance

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par invitéW le Lun 27 Déc 2010 - 10:05

eh bien !!! pour parodier un proverbe, il est plus facile pour le chameau de passer par le chas d'une aiguille...

invitéW
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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par Igniatius le Lun 27 Déc 2010 - 10:43

@frankenstein a écrit:
@John a écrit:Frankenstein, non, la solution c'est 213,326km
J'y suis (presque) arrivé !! 208,333..33 km J'ai un doute pour le début et la fin de cette méthode ! Twisted Evil
Allez je mets la fin des calculs !

point 5 km
10 allers 9 retours soit 19x5=95L consommés. Il lui reste 905 L .On décide de n'en transporter que 900L au point 10km.

point 10km
9 A 8 R soit 17x5= 85 L consommés. Il lui reste 815 litres. On décide de tous les transporter au point 15 km.

point 15 km
9 A 8 R soit 17x5= 85 L consommés.Il lui reste 730 litres. On décide de tous les transporter au point 20 km.

point 20 km
8 A 7 R soit 15x5=75L consommés. Il lui reste 655 litres. On décide de tous les transporter au point 25 km.

point 25 km
7 A 6 R soit 13x5=65 L consommés. Il lui reste 590 litres. On décide de tous les transporter au point 30 km.

point 30 km
6A 5R soit 11x5=55 L consommés.Il lui reste 535 litres. On décide de tous les transporter au point 35 km.

P35
6A 5R 55 L 480L

P40
5A 4R 45 L 435L

P45
5A4R 45L 390L

P50
4A3R 35L 355L

P55
4A3R 35L 320L

P60
4A3R 35L 285L

P65
3A2R 25L 260L

P70
3A2R 25L 235L

P75
3A2R 25L 210L

P80
3A2R 25L 185L

P85
2A1R 15L 170L

P90
2A1R 15L 155L

P95
2A1R 15L 140L

P100
2A1R 15L 125L

P105
2A1R 15L 110L

Il lui reste donc 110 litres au point 105 km...Il peut faire 2A 1R jusqu'au point 108,333 km et faire un dernier de 100 km soit 208,333..33 km. Bon, je n'arrive pas à plus. Laughing


Et mon chameau aura marché 985km en tout pour atteindre ces 208,333..33 km aax injuste (Ah, les 5 litres jetés au départ...peut être, à refaire !Lool )
Rolling Eyes lol!



Désolé, ça ne fonctionne pas : la réponse n'est pas 208,333+5.
Il faut vraiment que tu raisonnes de façon à ce que tes (9 AR +1 Aller) de départ te permettent de repartir avec EXACTEMENT 900l : pour cela, tu verras qu'il te faut te déplacer de 100/19 km exactement.

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par nhebbek le Lun 27 Déc 2010 - 11:03

Ah, les profs de maths, qu'est-ce que vos conversations sont sexy! ça berce, en plus... coeurs

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par Igniatius le Lun 27 Déc 2010 - 11:22

@Avatar des Abysses a écrit:Bon effectivement à rédiger correctement c'est un peu pénible, je vais essayer d'expliquer clairement les points essentiels de la solution.

2 petits constats :
- Il semble simple ( mais pas évident ) que pour que le trajet soit optimisé, il faut que le chameau porte le maximum d'eau possible quand il se dirige vers le désert soit 100L.
- Si la quantité d'eau de départ est de 100L, alors la distance maximale sera de 100km

Nous allons maintenant essayer de nous ramener au cas précédemment résolu quand la quantité d'eau est supérieure à 100L.
Tout d'abord quand elle est entre 101 et 200L ( J'expliquerai pourquoi 200L et pas 201L ou 199L ):

Nous avons une quantité initiale Q entre 101 et 200L, nous allons faire une réserve d'eau à une distance D, la quantité d'eau R dans la réserve créé sera R = Q - 3 x D
Comme nous savons résoudre le problème pour 100L il nous suffit de prendre R = 100L et pour une quantité initiale par exemple de 200 L, on trouve D = 100/3 soit 33,333km.

La question est pourquoi 200L et non pas 201 L. Il faut constater que le nombre d'aller-retour augmente en fonction de la quantité d'eau et nous allons nous intéressé particulièrement pour quelles valeurs seuil on passe de 3 voyages ( 2 allers 1 retour ) à 5 voyages pour constitué cette nouvelle réserve ( 3 allers et 2 retours ). Ces valeurs se trouvent aisément ( il faut raisonner un peu certes mais on en vient à bout quand même ). On trouve 100L 200L 300L 400L etc .

(Pour les matheux, on pourrait définir des classes d'équivalence de quantité d'eau par la relation du nombre de trajets ( allers-retour ) nécessaire pour créé une nouvelle réserve. 170L et 200L seraient alors équivalent.On le constate lorsque l'on suppose que l'on a 200L d'eau initialement que l'on fait 10km. On créé alors une réserve de 170L. Ainsi si l'on sait résoudre le problème pour 170L, on sait également le faire pour 200L et ce avec 3 trajets.)

Pour 300L, il faut se ramener à une réserve de 200L. L'équation devient alors ( vu que l'on a 5 trajets aller-retour ) 200L = 300L - 5 x D soit D = 100/5 km

En répétant le processus, le nombre de trajet augmentant on passe à 7 puis 9, jusqu'à 19

La solution globale est donc : 100 + 100/3 + 100/5 + ... + 100/19 = 213,326 km environ ( GG ingniatus )

En espérant avoir un peu éclairé la lanterne de ceux qui ont cherché.

PS pour les non matheux : quand il y a marqué ouvert dans un problème mef !

Bon, je vois que nous avons raisonné de la même façon, mais que tu ne résous pas les nombreux pbs de rigueur toi non plus. topela
Si tu relis un post que j'ai écrit plus haut, tu verras que pour 200l, il y a une infinité de possibilités dans le nombre de créations de points d'eau intermédiaires, donnant exactement la distance 133,33...km, donc la "nécessité" de notre raisonnement n'est pas limpide.
Ceci étant, avec 200l au départ, je crois avoir trouvé une preuve quasi-rigoureuse :
1°) On suppose le pb résolu, et donc que le chameau crée n points d'eau à partir du point de départ, et que la distance obtenue est maximale.
La quantité d'eau disponible au (n-1)ième pt, que je note Q, est nécessairement strictement supérieure à 100 (sinon, puisqu'il peut transporter toute qté inférieure ou égale à 100l, créer un nième point d'eau serait absurde... ou alors c'est l'infernal couple Iphigénie-John qui conduit, ce sont des poètes...).
La qté au nième pt ne doit pas être supérieure strictement à 100l, sinon on voit bien que le parcours n'est pas maximal.
Notons alors x la distance entre les (n-1)ème et nième pts. Il restera au nième pt la quantité (Q-3x) (car 2 AR suffiront).
Et la distance parcourue depuis le (n-1)è pt sera x+Q-3x=Q-2x.
Supposons Q-3x<100, soit x>(Q-100)/3, alors Q-2x<(Q+200)/3.
Or, nous sommes capable d'effectuer la distance (Q+200)/3 : il suffit de "s'arranger" pour obtenir exactement 100l au nième pt (prendre x=(Q-100)/3).
Conclusion : la qté au dernier pt doit obligatoirement être 100l, sinon la distance parcourue entre le (n-1)ième et la fin ne sera pas maximale (quoi qu'il se soit passé avant le (n-1)ième pt).
C'est déjà un 1er résultat intéressant.

2°)C'est assuré par le 1°) : la quantité disponible au dernier point d'eau est 100l.
Notons alors 1;2;3;...;n-1 les autres points d'eau intermédiaires créés par le chameau : j'appelle x1 la distance entre le départ et le pt 1, x2 la distance entre les pts 1 et 2, ... xi la distance entre les pts (i-1) et i.
La qté d'eau consommée par le chameau entre 0 et 1 est 3*x1 (car 2 AR sont nécessaires), entre 1 et 2, c'est 2*x2, etc... Il faut bien noter qu'il faudra TJRS 2AR car la qté est TJRS supérieure strictement à 100.
La qté consommée entre le départ et le dernier pt d'eau (où je rappelle qu'il y aura 100l) est donc 3*x1+3*x2+...+3*xn=3*(x1+x2+...+xn).
Or, cette qté vaut exactement 100l, puisqu'il restera 100l à la fin (à moins que Iphigénie et John ne se soient lancés des verres d'eau à la figure, excédés de la promiscuité créee par le peu de place entre les deux bosses du chameau).
Donc 3*(x1+x2+...+xn)=100, d'où x1+x2+...+xn=100/3.
Et alors, la distance parcourue par le chameau sera exactement x1+x2+...+xn+100=400/3=133,33...km !!!!

Ce qui est fabuleux, c'est que peu importe le nob de pts d'eau entre le départ et le dernier pt, du moment que celui-ci contienne exactement 100l !
Ainsi, Iphigénie et John peuvent choisir de s'arrêter 30 fois s'ils le veulent : ça fera des petits trajets de 10/9 km, mais je sens que s'ils peuvent emmerder ce pauvre chameau, ils le feront. Very Happy



D'autres pbs de rigueur se posent lorsque l'on veut prouver que pour 300l, il faut obligatoirement qu'il y ait un pt d'eau à exactement 200l (etse ramener ainsi au cas précédent), mais le raisonnement reste le même (enfin quand même...).
Ceci dit, je m'arrêterai là car il faut que je corrige des copies de TS avant d'aller faire la fête du réveillon !

Super pb, créature des profondeurs !


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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par frankenstein le Lun 27 Déc 2010 - 12:29

Il faut vraiment que tu raisonnes de façon à ce que la distance de départ te permette de repartir avec EXACTEMENT 900l : pour cela, tu verras qu'il te faut te déplacer de 100/19 km exactement.
idee
Ouais, ta démonstration est la bonne ! Ma "démarche laborieuse" peut fonctionner sans chercher à obtenir des résultats entiers d'entrée et sans envisager de ne pas utiliser toute l'eau (pas évident dans la pratique !). Mon avant-dernier voyage est faux de tte façon puisqu'il transporte plus de 100l) Smile

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par Iphigénie le Lun 27 Déc 2010 - 13:02

Soyons sérieux un instant:
il me semble que le problème est absurde si vous ne prévoyez pas la distance retour du chameau:enfin,moi qui ne suis que pôvre littéraire,je le lis comme ça.....

Sinon,pour être bêtement réaliste,il y a aussi le pb de l'évaporation de vos réserves d'eau en plein désert...
Bref,pour voyager,je me fierai plus à un géographe qui connaît les oasis qu'à un matheux le nez dans sa calculette....
Enfin j'dis ça en passant....j'aime bien l'esprit de géométrie en fait,mais quand il est logique jusqu'au bout lol!

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par frankenstein le Lun 27 Déc 2010 - 13:09

@iphigénie a écrit:Soyons sérieux un instant:
il me semble que le problème est absurde si vous ne prévoyez pas la distance retour du chameau:enfin,moi qui ne suis que pôvre littéraire,je le lis comme ça.....

Sinon,pour être bêtement réaliste,il y a aussi le pb de l'évaporation de vos réserves d'eau en plein désert...
Bref,pour voyager,je me fierai plus à un géographe qui connaît les oasis qu'à un matheux le nez dans sa calculette....
Enfin j'dis ça en passant....j'aime bien l'esprit de géométrie en fait,mais quand il est logique jusqu'au bout lol!
Ah ben, si on est logique, ce pb n'a pas de sens (pas pour le retour, on peut imaginer qu'il y a une réserve de 1000 l à l'arrivée) mais parce qu'ici le chameau n'a pas d'estomac, rien dans ses bosses et qu'il est tout sec au moment de partir !lol!
On aurait pu prendre une voiture à réservoir vidangeable d'une capacité de 100 litres max... elephantrose malmaisbien

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par Igniatius le Lun 27 Déc 2010 - 15:49

@frankenstein a écrit:
@iphigénie a écrit:Soyons sérieux un instant:
il me semble que le problème est absurde si vous ne prévoyez pas la distance retour du chameau:enfin,moi qui ne suis que pôvre littéraire,je le lis comme ça.....

Sinon,pour être bêtement réaliste,il y a aussi le pb de l'évaporation de vos réserves d'eau en plein désert...
Bref,pour voyager,je me fierai plus à un géographe qui connaît les oasis qu'à un matheux le nez dans sa calculette....
Enfin j'dis ça en passant....j'aime bien l'esprit de géométrie en fait,mais quand il est logique jusqu'au bout lol!
Ah ben, si on est logique, ce pb n'a pas de sens (pas pour le retour, on peut imaginer qu'il y a une réserve de 1000 l à l'arrivée) mais parce qu'ici le chameau n'a pas d'estomac, rien dans ses bosses et qu'il est tout sec au moment de partir !lol!
On aurait pu prendre une voiture à réservoir vidangeable d'une capacité de 100 litres max... elephantrose malmaisbien


Si on a confié la mission de la placer au point d'arrivée maximal à Iphigénie, le chameau est foutu.

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par Iphigénie le Lun 27 Déc 2010 - 16:25

variante:

Deux oasis A et B sont distantes de 1000 km.

En A, on dispose de 3000 bananes que l'on cherche à transporter au point B à dos de chameau.

Le chameau a deux particularités :
- il ne peut pas porter plus de 1000 bananes à la fois ;
- pour faire 1 km, il doit manger 1 banane.

Combien de bananes au maximum pourra-t-on transporter en B ? (il y a un seul chameau, bien sûr)

C'est un problème d'optimisation. De nombreuses solutions sont possibles, mais on cherche la meilleure.

Iphigénie
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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par Avatar des Abysses le Lun 27 Déc 2010 - 21:16

Je n'ai effectivement pas traité soigneusement le problème des arrêts "inutiles". Comme nous ne sommes ni limité par le temps ni par la quantité de voyages aller-retour, on pourrait faire tendre le nombre de point d'arrêts vers l'infini avec des trajets infinitésimaux, qui tous sommés donneraient le même résultat. Je me suis soudain posé la question alors, pour ajouter un nombre infini de longueur nulle les intégrales ( de lebesgue ? acl ) sont souvent les biens venues. Les arrêts pourrait être vu comme des découpages d'intégrales, type relation de Chasles, ce qui résoudrait notre problème d'arrêts définitivement.
Mais bon ca fait un gros attirail pour un simple problème de chameau non ?

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par frankenstein le Lun 27 Déc 2010 - 22:06

@Avatar des Abysses a écrit:Je n'ai effectivement pas traité soigneusement le problème des arrêts "inutiles". Comme nous ne sommes ni limité par le temps ni par la quantité de voyages aller-retour, on pourrait faire tendre le nombre de point d'arrêts vers l'infini avec des trajets infinitésimaux, qui tous sommés donneraient le même résultat. Je me suis soudain posé la question alors, pour ajouter un nombre infini de longueur nulle les intégrales ( de lebesgue ? acl ) sont souvent les biens venues. Les arrêts pourrait être vu comme des découpages d'intégrales, type relation de Chasles, ce qui résoudrait notre problème d'arrêts définitivement.
Mais bon ca fait un gros attirail pour un simple problème de chameau non ?
J'essaie kilomètre par kilomètre mais ça ne convient pas non plus...Au point 15 km, il ne lui reste que 724 litres soit moins qu'en avançant 5 km par 5 km (730 litres en ayant sacrifié 5 litres...).La distance de départ "idéale" est bien celle donnée par Ignatus 100/19= 5,263157895.....La deuxième 100/17 Troisième 100/15 jusqu'à 100/1...


Dernière édition par frankenstein le Mar 28 Déc 2010 - 2:34, édité 1 fois

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par Igniatius le Mar 28 Déc 2010 - 1:10

@Avatar des Abysses a écrit:Je n'ai effectivement pas traité soigneusement le problème des arrêts "inutiles". Comme nous ne sommes ni limité par le temps ni par la quantité de voyages aller-retour, on pourrait faire tendre le nombre de point d'arrêts vers l'infini avec des trajets infinitésimaux, qui tous sommés donneraient le même résultat. Je me suis soudain posé la question alors, pour ajouter un nombre infini de longueur nulle les intégrales ( de lebesgue ? acl ) sont souvent les biens venues. Les arrêts pourrait être vu comme des découpages d'intégrales, type relation de Chasles, ce qui résoudrait notre problème d'arrêts définitivement.
Mais bon ca fait un gros attirail pour un simple problème de chameau non ?


Il me semble que les séries suffisent, le pb restant discret, puisque le nb d'arrêts est dénombrable.
Au-delà, l'indexation devient ennuyeuse.
L'intégrale de Lebesgue n'est nécessaire que pour des sommations sur des ensembles particulièrement exotiques.

Sinon, je pense que ce n'est pas un pb à négliger : prouver que le "meilleur" trajet pour 300l est de se ramener à 200l n'est pas trivial car ce n'est pas tout à fait le même raisonnement que celui que j'ai utilisé pour 200l.
Je suppose quand même que lorsque celui-là sera résolu, les autres deviendront répétitifs.

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par frankenstein le Mar 28 Déc 2010 - 2:25

@iphigénie a écrit:variante:

Deux oasis A et B sont distantes de 1000 km.

En A, on dispose de 3000 bananes que l'on cherche à transporter au point B à dos de chameau.

Le chameau a deux particularités :
- il ne peut pas porter plus de 1000 bananes à la fois ;
- pour faire 1 km, il doit manger 1 banane.

Combien de bananes au maximum pourra-t-on transporter en B ? (il y a un seul chameau, bien sûr)

C'est un problème d'optimisation. De nombreuses solutions sont possibles, mais on cherche la meilleure.



533 1/3 bananes

Explication: Comme il y a 3000 bananes et le chameau ne peut transporter que 1000 au maximum en une fois, il faut au moins cinq trajets pour enlever toutes les bananes de la plantation (3 trajets à partir de la plantation et deux retours):

===avance===>
<===retour===
P (plantation) ===avance===> A
<===retour===
===avance===>
Le point A ne peut être le marché, car le chameau a seulement la possibilité d'avancer 500 km dans le désert s'il veut retourner vers la plantation (le chameau dévore une banane par kilomètre de trajet!!). Le point est donc situé quelque part entre la plantation et le marché. Du point A vers le prochain point, moins de cinq trajets sont nécessaires pour transporter les bananes vers ce nouveau point. Ainsi une solution globale se présente comme suit:
P (plantation) ===avance===>
<===retour===

===avance===>

<===retour===

===avance===>

A ===avance===>
<===retour===

===avance===>

B ===avance===> M (marché)Remarquez que le segment PA doit être plus petit que PM, mais AB ou bien BM pourrait avoir la longueur 0. Voyons les coûts de chaque partie de la route. Un kilomètre de PA coûte 5 bananes. Un kilomètre de AB coûte 3 bananes. Un kilomètre de BM coûte 1 banane. Pour économiser des bananes, la longueur PA devrait être inférieure que la longueur AB et AB devrait être inférieure à la longueur BM. Si PA est plus grand que 0, nous concluons que AB est plus grand que 0 et BM est plus grand que 0.
Le chameau peut enlever au maximum 2000 bananes du point A. Cela veut dire que la distance entre P et A doit être choisie à ce que exactement 2000 bananes arrivent au point A. Si PA était plus petit, plus de 2000 bananes arriveraient en A. Or le surplus ne pourrait être enlevé de A. Si PA était plus grand, moins de 2000 bananes ne seraient disponibles en A. Maintenant nous pouvons calculer la longueur de PA: 3000-5*PA=2000, donc PA=200km. Remarquez que la distance est inférieure à 500 km, ce qui veut dire qu'effectivement le chameau peut retourner de A vers P.

La situation au point B est similaire. Le chameau ne peut transporter plus que 1000 bananes du point B vers le marché M. Par conséquent, la distance entre A et B doit être choisie de la sorte à ce qu'exactement 1000 arrivent au point B. Maintenant nous pouvons calculer AB: 2000-3*AB=1000, donc AB=333 1/3. Remarquez que la distance est encore inférieure à 500 km. Il s'en suit que BM=1000-200-333 1/3=466 2/3. Comme résultat, le chameau arrive au marché avec 1000-466 2/3=533 1/3 bananes.

Le scénario entier se présente comme suit:

Le chameau part avec 1000 bananes de P vers A
Au point A il laisse 600 bananes et retourne avec 200 bananes
Répéter encore 1 fois les point 1. et 2., pui encore une fois le point 1.
Maintenant il y a exactement 600+600+800=2000 bananes au point A
Le chameau part avec 1000 bananes du point A vers le point B
Au point B il laisse 333 1/3 bananes et retourne avec 333 1/3 bananes.
Répéter le point 5.
Maintenant il y a exactement 333 1/3+666 2/3=1000 bananes au point B
Le chameau part avec 1000 bananes vers le marché.
Il arrive avec 533 1/3 bananes au point M.


Et je comprends pourquoi certains ont trouvé avec la flotte !! lol! lol! lol! injuste aax

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par Igniatius le Mar 28 Déc 2010 - 10:55

Salut FRankenstein,

Je n'ai pas lu en détail ta solution, car j'avais commencé à chercher rapidement : j'étais juste arrivé à la conclusion qu'il y aurait moins de 1000 bananes à l'arrivée.
Les points intermédiaires restent à déterminer.

En revanche, je tiens à t'assurer que je ne suis jamais allé faire un tour sur google pour trouver la solution : je n'y ai même pas pensé !
Regarder la solution ne me pose pas de pb, mais la présenter après comme si elle émanait de moi n'est pas mon style. professeur

Bon, je me repencherai plus tard sur ce pb, je n'ai pas le tps en ce moment.

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Message par Pierre_au_carré le Mar 28 Déc 2010 - 11:26

@Igniatius a écrit:
En revanche, je tiens à t'assurer que je ne suis jamais allé faire un tour sur google pour trouver la solution : je n'y ai même pas pensé !
Regarder la solution ne me pose pas de pb, mais la présenter après comme si elle émanait de moi n'est pas mon style. professeur

Un matheux ne peut pas être un tricheur car ce qui l'intéresse c'est pas de trouver la solution, mais de trouver le raisonnement. Very Happy

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Re: Le problème du chameau (ouvert à tous bien sur ^^ )

Message par Igniatius le Mar 28 Déc 2010 - 11:29

@Pierre_au_carré a écrit:
@Igniatius a écrit:
En revanche, je tiens à t'assurer que je ne suis jamais allé faire un tour sur google pour trouver la solution : je n'y ai même pas pensé !
Regarder la solution ne me pose pas de pb, mais la présenter après comme si elle émanait de moi n'est pas mon style. professeur

Un matheux ne peut pas être un tricheur car ce qui l'intéresse c'est pas de trouver la solution, mais de trouver le raisonnement. Very Happy
yesyes


C'est bien le pb dans cette histoire de chameau : la démo n'est pas évidente !

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Message par frankenstein le Mar 28 Déc 2010 - 13:59

topela

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