Problème de probabilité

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Problème de probabilité

Message par JPhMM le Jeu 17 Mar 2011 - 20:01

Je vous propose un problème de probabilité, très simple à énoncer, mais assez résistant, je pense.

Prenez un livre "à nombres de toutes natures", comme le Quid ou le Livre des Records.
Ouvrez une page au hasard.
Prenez une ligne au hasard, d'une colonne prise au hasard.
Suivez les lignes jusqu'à rencontrer un nombre.
Quelle est la probabilité que le premier nombre rencontré commence par un "1" ?


Spoiler:
La résolution de ce problème vous permettra de faire des paris gagnants en moyenne Razz

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

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Re: Problème de probabilité

Message par liliepingouin le Jeu 17 Mar 2011 - 20:55

@JPhMM a écrit:Je vous propose un problème de probabilité, très simple à énoncer, mais assez résistant, je pense.

Prenez un livre "à nombres de toutes natures", comme le Quid ou le Livre des Records.
Ouvrez une page au hasard.
Prenez une ligne au hasard, d'une colonne prise au hasard.
Suivez les lignes jusqu'à rencontrer un nombre.
Quelle est la probabilité que le premier nombre rencontré commence par un "1" ?


Spoiler:
La résolution de ce problème vous permettra de faire des paris gagnants en moyenne Razz

ça peut se résoudre pour de vrai un problème pareil?

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"Laissons glouglouter les égouts." (J.Ferrat)
"Est-ce qu'on convainc jamais personne?" (R.Badinter)
Même si c'est un combat perdu d'avance, crier est important.

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Re: Problème de probabilité

Message par Derborence le Jeu 17 Mar 2011 - 20:58

scratch Je hais les probas ! heu

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Charles-Ferdinand Ramuz, Derborence

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Re: Problème de probabilité

Message par pg73 le Jeu 17 Mar 2011 - 21:04

Largement supérieure à 10 %, mais je sais plus quelle est la proba exacte...
je dirais au moins 25 % ? Si mes souvenirs sont bons la proba décroit ensuite pour les autres chiffres jusqu'à celle du chiffre 9 qui est largement inférieure à 10 %. Et il me semble que c'est valable si on prend le premier chiffre du nombre, parce que sinon si on prend un chiffre totalement au hasard dans un page de données sans s'occuper de la position avant ou après la virgule la proba devrait être de 10 %, non ?

De plus si je fais ça par exemple sur un tas de données (par exemple sur la liste des surfaces en km^2 de tous les lacs du globes), ça ne dépend absolument pas de l'unité choisie pour la surface, même si je compte en trucmuche avec 1km^2=0,745 trucmuche...

Tu peux redonner le probas exactes ?

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Re: Problème de probabilité

Message par JPhMM le Jeu 17 Mar 2011 - 22:25

@liliepingouin a écrit:
@JPhMM a écrit:Je vous propose un problème de probabilité, très simple à énoncer, mais assez résistant, je pense.

Prenez un livre "à nombres de toutes natures", comme le Quid ou le Livre des Records.
Ouvrez une page au hasard.
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ça peut se résoudre pour de vrai un problème pareil?

Oui. La solution est dans la modélisation. Et les vrais difficultés commencent aussi dans la modélisation.

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Re: Problème de probabilité

Message par JPhMM le Jeu 17 Mar 2011 - 22:30

@pg73 a écrit:Tu peux redonner le probas exactes ?
Demain Very Happy le temps de laisser chercher quelque éventuel/lle courageux/se.

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Re: Problème de probabilité

Message par JPhMM le Ven 18 Mar 2011 - 22:25

Je serai bref, puisque le sujet n'intéresse pas grand monde.
Tout dépend de la modélisation du problème. La modélisation qui a le plus grand crédit actuellement est celle de Benford — ceux que ça intéresse trouveront sans difficulté des références — qui dit que le logarithme des nombres est uniformément distribué. Cette modélisation est acceptée car elle correspond aux observations de la nature, mais pas seulement (elle est utilisée pour détecter les fraudes fiscales Razz ).

La loi de Benford dit que la probabilité pour le premier chiffre d'un nombre quelconque soit d, est :

f(d) = log10(1+1/d)

(La démonstration n'est pas très compliquée)

Et on calcule que f(1) = 30% environ.

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Re: Problème de probabilité

Message par invitéW le Ven 18 Mar 2011 - 22:29

sans réfléchir plus que ça j'aurais dit que chaque chiffre est équiprobable.
J'ai un peu de mal à comprendre comment on peut savoir que le 1 sort plus que le 5 par exemple !

invitéW
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Re: Problème de probabilité

Message par Evariste le Ven 18 Mar 2011 - 22:35

@JPhMM a écrit:Je serai bref, puisque le sujet n'intéresse pas grand monde.
Tout dépend de la modélisation du problème. La modélisation qui a le plus grand crédit actuellement est celle de Benford — ceux que ça intéresse trouveront sans difficulté des références — qui dit que le logarithme des nombres est uniformément distribué. Cette modélisation est acceptée car elle correspond aux observations de la nature, mais pas seulement (elle est utilisée pour détecter les fraudes fiscales Razz ).

La loi de Benford dit que la probabilité pour le premier chiffre d'un nombre quelconque soit d, est :

f(d) = log10(1+1/d)

(La démonstration n'est pas très compliquée)

Et on calcule que f(1) = 30% environ.

Peut-on vraiment parler de démonstration alors qu'elle s'appuie sur une modélisation (incontestée peut-être mais contestable par essence)?
La réponse "1 chance sur 9" est tout autant démontrable, ce n'est que le modèle utilisé qui peut être critiqué puisqu'il ne semble pas correspondre à la réalité.

_________________
Quand on ne sait pas où on va il faut y aller.... et le plus vite possible

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Re: Problème de probabilité

Message par Pierre_au_carré le Ven 18 Mar 2011 - 22:50

philip a écrit:sans réfléchir plus que ça j'aurais dit que chaque chiffre est équiprobable.
J'ai un peu de mal à comprendre comment on peut savoir que le 1 sort plus que le 5 par exemple !

Dans la vie réelle, le 11-12-... est plus utilisé que le 51-52-etc.
Mais comme le dit Evariste, la probabilité ne peut être issue que d'une modélisation ... qui marche si on est d'accord pour qu'elle marche.

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Re: Problème de probabilité

Message par JPhMM le Ven 18 Mar 2011 - 23:02

C'est déductif.
Une fois la modélisation posée, la démonstration n'est pas très compliquée.
Mais le problème, comme annoncé, relève effectivement de la modélisation. D'ailleurs j'ai dit que c'est celle qui a le plus grand crédit. Ce n'est pas la seule modélisation possible, et certains mathématiciens espèrent bien la détrôner.

Si la modélisation semble correspondre aux observations, c'est aussi qu'elle ne correspond pas à la situation "prendre un nombre quelconque dans R". C'est simplement que ces nombres-là, observés, correspondent à des mesures (physiques ou autres). S'ils étaient pris dans l'ensemble uniformément distribué des réels, un nombre à 1500000000015000000000 de chiffres serait aussi probable qu'un nombre à 1 chiffre.

Le principe de la modélisation est simple.

Je vais essayer d'en donner l'idée :
Dans [1;20] il y a 11 nombres commençant par 1.
Dans [1;200], il y en a 111.
Dans [1;2000], il y en a 1111.
Etc.

On devine (je ne crois pas que votre question soit de le démontrer) que le logarithme de ces nombres est uniformément distribué.


Dernière édition par JPhMM le Ven 18 Mar 2011 - 23:08, édité 1 fois

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Re: Problème de probabilité

Message par JPhMM le Ven 18 Mar 2011 - 23:07

philip a écrit:sans réfléchir plus que ça j'aurais dit que chaque chiffre est équiprobable.
J'ai un peu de mal à comprendre comment on peut savoir que le 1 sort plus que le 5 par exemple !
Parce qu'en somme, pour le dire vite, plus un nombre est petit plus il a des chances de "sortir".
D'ailleurs ce n'est pas pour rien si "un" est un article, et pas "deux" (sauf dans les langues à "dual"), "trois", "quatre", etc.

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Re: Problème de probabilité

Message par Cassandra le Ven 18 Mar 2011 - 23:27

@JPhMM a écrit:

Si la modélisation semble correspondre aux observations, c'est aussi qu'elle ne correspond pas à la situation "prendre un nombre quelconque dans R". C'est simplement que ces nombres-là, observés, correspondent à des mesures (physiques ou autres). S'ils étaient pris dans l'ensemble uniformément distribué des réels, un nombre à 1500000000015000000000 de chiffres serait aussi probable qu'un nombre à 1 chiffre.


L'ensemble des réels n'est-il pas infini indénombrable ?


Dernière édition par Cassandra le Dim 18 Mar 2012 - 12:52, édité 1 fois

Cassandra
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Re: Problème de probabilité

Message par JPhMM le Ven 18 Mar 2011 - 23:44

@Cassandra a écrit:
@JPhMM a écrit:

Si la modélisation semble correspondre aux observations, c'est aussi qu'elle ne correspond pas à la situation "prendre un nombre quelconque dans R". C'est simplement que ces nombres-là, observés, correspondent à des mesures (physiques ou autres). S'ils étaient pris dans l'ensemble uniformément distribué des réels, un nombre à 1500000000015000000000 de chiffres serait aussi probable qu'un nombre à 1 chiffre.


L'ensemble des réels n'est-il pas infini indénombrable ? et dans ce cas P{x=lambda} = 0 si lambda appartient à IR.

Bien sûr, mais en prenant une distribution uniforme, il suffirait de considérer un intervalle "représentatif" et de conclure par translation. Si la probabilité de chaque nombre est nulle, il n'en reste pas moins qu'un nombre tombe de fait.

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Re: Problème de probabilité

Message par Cassandra le Ven 18 Mar 2011 - 23:53

@JPhMM a écrit:

Bien sûr, mais en prenant une distribution uniforme, il suffirait de considérer un intervalle "représentatif" et de conclure par translation. Si la probabilité de chaque nombre est nulle, il n'en reste pas moins qu'un nombre tombe de fait.

Bon alors, si je prends une distribution uniforme sur l'intervalle [0,10], la médiane n'est-elle pas égale à 5 ?

Cassandra
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