Re: ln(a+b)

par olivier-np30 le Dim 29 Jan 2012 - 14:27

C'est quand même une belle formule (même si l'esthétisme est plus grand que son utilité) : elle a un petit nom ?

par FD le Dim 29 Jan 2012 - 14:45

C’est forcément pour a et b réels strictement positifs puisque de toute façon il n’y a pas d’ordre donc pas de sup sur C.

par olivier-np30 le Dim 29 Jan 2012 - 14:49

Oui je pense aussi même si on peut tolérer 0 en prolongeant la fonction mais de toute façon a et b nuls ont un intérêt limité.

Je trouve que la formule peut donner à matière :

par exemple:

-la vérifier pour a = b (avant de chercher à la démontrer).

Tiens je vais d'ailleurs regarder si sur les TI actuelles ont peut programmer x ln(x) avec x=0 sans aménagement Laughing

par linkus le Jeu 2 Fév 2012 - 8:51

Filnydar a écrit:
Dedale a écrit:
Je confirme, mais est-il possible de la montrer avec des outils de terminale?

Avec uniquement des outils de terminale, on doit regarder le signe de la dérivée.

Avec des outils Bac+1, on gagne un peu de temps : la fonction de alpha qui apparaît dans la formule se prolongeant en une fonction continue sur le segment [0,1], elle atteint un minimum global et un maximum global, et ce en 0, 1 ou en l'élément de ]0,1[ en lequel sa dérivée s'annule.

La fonction doit-être convexe ou concave pour pouvoir utiliser l'annulation de la dérivée en un point. Pense à la fonction cube.
Il est vrai que la formule est fausse lorsque a ou b est nul.

par Filnydar le Jeu 2 Fév 2012 - 10:24

linkus a écrit:La fonction doit-être convexe ou concave pour pouvoir utiliser l'annulation de la dérivée en un point. Pense à la fonction cube.

A aucun moment, on n'a besoin de passer de "f' s'annule en c" à "f atteint un extremum en c", ce qui serait effectivement une grosse bêtise.

Le raisonnement est :
1) f est continue sur le segment (donc compact) [0,1], à valeurs réelles, donc elle atteint un maximum global et un minimum global.
2) ces deux extrema globaux peuvent être atteints aux bornes de l'intervalle, ou à l'intérieur. Mais, quand une fonction est dérivable sur un intervalle ouvert I et atteint un extremum global en un élément c de I, forcément f'(c)=0.

Les extrema globaux de f sont donc forcément atteints en 0 ou 1 ou un élément de ]0,1[ en lequel f' s'annule.

Je reprends la fonction x->2x^3. Je note f sa restriction à [-1,1]. De la même façon, [-1,1] est compact et f y est continue, donc elle atteint un minimum et un maximum global. Ceux-ci peuvent être atteints en -1, ou 1, ou le point d'annulation de f' : 0. Mais f(-1)=-2, f(0)=0, f(1)=2, donc le minimum global de f est -2, son maximum est 2. (J'ai multiplié par 2 pour qu'extrema et points où ils sont atteints soient différents)

par verdurin le Jeu 2 Fév 2012 - 19:55

Pour une démonstration de la formule niveau STI :
a et b étant des réels strictement positifs

on pose f(x)=x lna + (1-x) lnb - x lnx - (1-x)ln(1-x) pour x dans ]0;1[
on calcule la dérivée : f'(x)=...
on étudie le signe de la dérivée et on donne le tableau de variation de f ( on peut faire l'étude des limites, mais ce n'est pas indispensable).
Et on conclu sur le maximum.

C'est faisable avec une bonne classe : je l'ai fait faire à mes élèves.

par linkus le Jeu 2 Fév 2012 - 20:22

Filnydar a écrit:
linkus a écrit:La fonction doit-être convexe ou concave pour pouvoir utiliser l'annulation de la dérivée en un point. Pense à la fonction cube.

A aucun moment, on n'a besoin de passer de "f' s'annule en c" à "f atteint un extremum en c", ce qui serait effectivement une grosse bêtise.

Le raisonnement est :
1) f est continue sur le segment (donc compact) [0,1], à valeurs réelles, donc elle atteint un maximum global et un minimum global.
2) ces deux extrema globaux peuvent être atteints aux bornes de l'intervalle, ou à l'intérieur. Mais, quand une fonction est dérivable sur un intervalle ouvert I et atteint un extremum global en un élément c de I, forcément f'(c)=0.

Les extrema globaux de f sont donc forcément atteints en 0 ou 1 ou un élément de ]0,1[ en lequel f' s'annule.

Je reprends la fonction x->2x^3. Je note f sa restriction à [-1,1]. De la même façon, [-1,1] est compact et f y est continue, donc elle atteint un minimum et un maximum global. Ceux-ci peuvent être atteints en -1, ou 1, ou le point d'annulation de f' : 0. Mais f(-1)=-2, f(0)=0, f(1)=2, donc le minimum global de f est -2, son maximum est 2. (J'ai multiplié par 2 pour qu'extrema et points où ils sont atteints soient différents)

Au temps pour moi. J'ai du lire trop vite. Effectivement, tu as raison. Je ne sais pas pourquoi j'avais compris l'autre sens.