Question aux profs de maths sur l'apprentissage initial de la multiplication

Iota a écrit:

Evariste a écrit:

Clarinette a écrit:Peut-être peux-tu utiliser le tableau de numération pour faire "circuler" les nombres : les zéros apparaissent ou disparaissent ainsi naturellement.
Au CM2, j'utilise encore beaucoup le tableau de numération. Ca évite qu'ils retiennent des astuces en ayant oublié le cheminement qui y a conduit.
Quant aux décimaux, c'est sûr que c'est un sacré changement de paradigme, comme y disent les chercheurs. Les fractions, qui précèdent les nombres décimaux, sont encore plus difficiles à avaler, pour certains...

Juste une question sur ce sujet:
L'écriture décimale est une écriture fractionnaire, l'argument est mathématiquement imparable.. Mais il me semble que vouloir imposer cet ordre est un non sens: ils savent parfaitement manipuler l'argent et cela bien avant de manipuler les fractions. Et si on construisait du simple vers le compliqué?


Tout cela me rappelle l'époque des "maths modernes au collège": idéologiquement incontestable mais hors de toute réalité dans les faits. Maintenant je parle de ce que je ne connais pas.... doit bien y avoir des PE par ici

Je suis PE en CM1 et vis dans une contrée où l'argent n'a pas de virgule (les poids et mesures oui, mais ils sont moins manipulés), alors, pas de questionnement jusque là, je passe par les fractions avant, et ça se passe très bien. Le parcours balisé, c'est multiplication-multiples-division-fractions-décimaux.
A vrai dire, je ne vois pas trop comment classer ou comparer les décimaux sans avoir compris les concepts de "dixièmes, centièmes..." ou de fractions d'unité. Je ne suis pas une fanatique du sens, mais là, pour moi, la logique prend le pas sur "allons du connu à l'inconnu".

Je me souviens que durant ma formation, les fractions n'étaient pas à la mode, et on abordait les décimaux en passant par les bases. Une horreur absolue (je n'ai toujours pas compris...).
Dans "Activités mathématiques CM1" chez Nathan de 1978, on passe ainsi par la base 4 pour basculer ensuite sur les décimaux. J'ai le souvenir d'une telle leçon menée de façon expérimentale dans un CM1 par un groupe de normaliens; il fallait passer de la base 7 aux décimaux. Le plantage avait été flagrant, la critique professorale acerbe, et ledit prof avait refusé de nous dire comment il fallait s'y prendre (forcément), avant de nous coller un devoir sur le sujet...

Donc, on a dû chercher d'autres façons de faire, mais visiblement aujourd'hui, on en est revenu aux fractions puis décimaux (et ça me soulage !). Mais si quelqu'un a d'autres pistes ...

C'est drôle, moi, c'est cette histoire de fractions décimales qui me paraît compliquée pour les élèves.
Là, au CE2, ils digèrent sans aucun problème "1 mètre et 25 centimètres = 1,25 m", "3 € et 5 c = 3,05 €" parce qu'ils le voient autour d'eux sur leurs carnets de santé, sur les dépliants publicitaires.
Je suppose qu'ils digéreront tout aussi bien "1 kg et 555 g = 1,555 kg" parce qu'ils ont compris la logique du truc : comme le centimètre est cent fois plus petit que le mètre, il se retrouve deux chiffres après la virgule, exactement comme le nombre 100 qui a deux zéros parce qu'il est cent fois plus grand que l'unité ; du coup, pour le gramme et le kilogramme, c'est trois chiffres après la virgule ou trois zéros, puis qu'ils sont l'un mille fois plus grand et l'autre mille fois plus petit.

En revanche, quand j'avais des CM, les fractions décimales, je trouvais que ça passais bien en soi, de même que les nombres décimaux, mais que le lien entre les deux, et le passage de l'un à l'autre était toujours un peu "fabriqué" chez certains élèves qui ne faisaient le rapport entre les deux que parce qu'on leur disait qu'ils devaient le faire. C'est même l'une des raisons pour lesquelles, quand nous avons gagné la troisième classe, j'ai choisi de garder les petits de l'élémentaire : ces leçons de maths pendant lesquelles les tracteurs passaient en rangs serrés dans certains regards, ça me minait le moral !

Ce qui fait que j'adhère parfaitement à l'argument d'Evariste.
Pour les décimaux, on commence par ce qu'ils connaissent, les mesures et la monnaie. Ils apprennent à les manipuler, additions, soustractions, multiplications et divisions par un entier. C'est tout bête, les euros sont des euros, les centimes sont des centimes : quand on partage un euro en quatre ou obtient forcément des centimes, quand on multiplie des centimes et que l'on dépasse 100, cela s'appelle des euros. N'importe quel élève de CE2 peut y arriver.
Parallèlement à cela, on commence à visualiser les fractions, avec l'heure, les parts de tarte, les carreaux de chocolat... et les unités de mesures. Un dixième de mètre, c'est un décimètre, un centième, c'est un centimètre, un millième, c'est un millimètre... Du coup lorsqu'on a 15 dm, on a 15 dixièmes de mètres qui peut s'écrire 15/10, mais comme on sait que 10 dm = 1 m, on peut aussi écrire que 15/10 m = 1 m + 5/10 m, et ainsi de suite.

Ce n'est qu'ensuite, lorsque le concret des nombres décimaux est bien installé, que l'abstrait des écritures fractionnaires est devenu banal, qu'on va pouvoir faire le lien entre les deux.
15 dm = 1,5 m ; 15 dm = 15/10 m = 1 m + 5/10 m... Bon sang, mais c'est bien sûr !
1,5 = 1 + 5/10...
Le premier chiffre après la virgule représente un dixième de l'unité, le deuxième, un centième, le troisième, un millième !... Ça repart "à l'envers" !... Grandiose !

doublecasquette a écrit:
Parallèlement à cela, on commence à visualiser les fractions, avec l'heure, les parts de tarte, les carreaux de chocolat... et les unités de mesures. Un dixième de mètre, c'est un décimètre, un centième, c'est un centimètre, un millième, c'est un millimètre... Du coup lorsqu'on a 15 dm, on a 15 dixièmes de mètres qui peut s'écrire 15/10, mais comme on sait que 10 dm = 1 m, on peut aussi écrire que 15/10 m = 1 m + 5/10 m, et ainsi de suite.

Oui, on monte les deux piliers en même temps à partir de l'usage courant :
- pour les décimaux : monnaie, mesures, poids ...
- pour les fractions : demi-pomme, quart de pomme, tiers de tarte, demi-baguette, demi-litre ... (et aussi : double/moitié ; triple/tiers, quadruple/quart ...)
on attaque la courbure avec l'écriture fractionnaire (0,1 c'est 1/10 ; un demi c'est1/2 ...) et on pose la clef de voûte qui permet de relier les deux piliers. Et si tout s'écroule, on recommence à zéro.

Padre P. Lucas a écrit:

doublecasquette a écrit:
Parallèlement à cela, on commence à visualiser les fractions, avec l'heure, les parts de tarte, les carreaux de chocolat... et les unités de mesures. Un dixième de mètre, c'est un décimètre, un centième, c'est un centimètre, un millième, c'est un millimètre... Du coup lorsqu'on a 15 dm, on a 15 dixièmes de mètres qui peut s'écrire 15/10, mais comme on sait que 10 dm = 1 m, on peut aussi écrire que 15/10 m = 1 m + 5/10 m, et ainsi de suite.

Oui, on monte les deux piliers en même temps à partir de l'usage courant :
- pour les décimaux : monnaie, mesures, poids ...
- pour les fractions : demi-pomme, quart de pomme, tiers de tarte, demi-baguette, demi-litre ... (et aussi : double/moitié ; triple/tiers, quadruple/quart ...)
on attaque la courbure avec l'écriture fractionnaire (0,1 c'est 1/10 ; un demi c'est1/2 ...) et on pose la clef de voûte qui permet de relier les deux piliers. Et si tout s'écroule, on recommence à zéro.

Meuh non, ça ne s'écroulera pas !

Parce qui dit piliers dit socle et chez nous le socle est sous les piliers et non au-dessus comme chez certains et c'est un socle solide et des piliers néo-classiques, pas de la daube en plâtre moulé pour faire joli !

Quand on les mesure, tes élèves, on n'écrit pas 1,42 m ? Tu crois qu'ils ne seraient pas capables de comprendre tout seuls que c'est 1 mètre et 42 centimètres ? Et donc 1 mètre et 42 centièmes de mètre ?

Je reprenais la réflexion d'Evariste qui se demandait si l'école primaire ne ferait pas mieux de construire sur le concret pour qu'après les élèves sachent à quoi se raccrocher pour raisonner dans l'abstrait.
Les centièmes de mètres ne suffisent pas, mais quand on y ajoute les centièmes d'euros, les centièmes de litres, les centièmes de grammes, et le système entier des centaines de milliards aux cent milliardièmes, même sans les écrire, la traduction fractionnaire devient évidente.
Et tous les élèves, même les moins matheux, sont capables de passer des décimaux aux fractions et des fractions aux décimaux parce qu'ils ont compris ce qu'ils font.

Clarinette a écrit:

phi a écrit:Moi on m' a dit de mettre un zéro pointe alors c'est ce que je faisais car je suis (bête et) disciplinée

Spoiler:

Les IEN passent, et toi tu restes, alors, fais surtout ce qui te convainc le plus.

Ça ne me parait pas si idiot que ça... L'an dernier je débutais dans le métier avec 0 formation, donc je suivais les conseils qu'on me donnait, quitte à faire à mon idée ensuite si je m'apercevais que ça ne collait pas
Donc cette histoire de zéro pointé (un zéro avec un point dedans) ça permettait de faire le lien avec l'année précédente (ils faisaient comme ça en ce2 alors pourquoi les perturber) et de reexpliquer ce que c'était que ce "zéro spécial" qui rappelle qu'en réalité à la deuxième ligne on multiple des dizaines à la troisième des centaines etc...
Pour les fractions et les décimaux je m'apercois que faisais aussi pas mal de choses sur les unités de mesure, au début je n'insistais pas assez sur le "cent"'de
Centième, de centimètres , le mille de milligramme etc mais au fur et à mesure je le suis aperçue de la nécessite d'insister lourdement dessus...
Je ne suis sans doute pas très claire, depuis hier je passe par l'iPhone et ce n'est pas l'idéal...

Iota a écrit:Votre méthode me surprend aussi,

On maîtrise bien les nombres décimaux quand on maîtrise également les fractions décimales.

Le problème soulevé est extrêmement complexe — si complexe que certains éléments semblent avoir échappé à l'IEN en question.

Permettez-moi quelques rappels.

Il faut d'abord distinguer l'opération (ou loi, si vous préférez) de multiplication sur les entiers et les algorithmes de multiplication sur la représentation des nombres entiers. Souvent passée à la trappe, cette distinction (au moins dans l'esprit de l'enseignant) est primordiale, tout simplement parce que l'écriture positionnelle en base dix dépend de l'opération de multiplication. En d'autres termes, quand on écrit 153, on utilise déjà implicitement (mais massivement) toutes les propriétés de la loi multiplication.

En effet, écrire en positionnelle base dix 33+28=61 c'est déjà utiliser implicitement 33+28=3*10+3+2*10+8=(3+2)*10+(3+8)=(3+2)*10+11=(3+2)*10+10+1=(3+2)*10+1*10+1=(3+2+1)*10+1=6*10+1=60+1=61
Notez que sans le dire, on utilise déjà la distributivité (dans les deux sens) et l'élément neutre de la multiplication.
L'addition étant définie (et sans nul doute ayant été inventée) en écriture unaire (où la même opération s'écrit : |||||||||||||||||||||||||||||||||+||||||||||||||||||||||||||||=|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||), on voit déjà qu'il faut distinguer l'addition des entiers et les algorithmes qui permettent d'obtenir l'écriture de la somme de deux nombres entiers (algorithmes qui diffèrent pour chaque système d'écriture des nombres).
Je me permets d'ailleurs de rappeler que la commutativité de l'addition sur les entiers (rarement démontrée durant toute une scolaire) a été démontrée très tardivement à l'aide de l'écriture unaire (par Hilbert, si ma mémoire est bonne).

Bien évidemment, l'opération de multiplication sur les entiers est définie par l'addition (dire autre chose est un mensonge) (attention, je parle bien de l'opération ici, et non de la loi). Mais il faut encore distinguer les écritures. On comprend bien que :
|||*|||||=|||||+|||||+|||||=||||||||||||| (on fait la somme du second facteur avec lui-même autant de fois (moins un, puisqu'on ne peut faire la somme que d'au moins deux termes) qu'il y a de | dans le premier facteur).
Cette définition ne permet pas de multiplier par 1 ni par 0 (voilà pourquoi dans de nombreux ouvrages, il est de bon gout de rajouter une proposition pour la multiplication par 1 et une pour la multiplication par 0).
Inutile de dire que démontrer que a*b=b*a avec une telle définition est un véritable tour de force, mais le problème principal n'est pas là, même si certains élèves ne comprennent pas pourquoi 13*25=25*13 (ils ont d'ailleurs raison de ne pas comprendre, si on ne leur a jamais démontré).

Le problème principal surgit dès qu'on veut utiliser l'écriture positionnelle (à base dix, mais pas uniquement).
En effet, déjà dans cette écriture, multiplier un chiffre par dix est équivalent à augmenter son rang d'un. Première difficulté, on rencontre une propriété de la multiplication, valable uniquement à cause du choix de l'écriture, qu'on a en plus utilisée depuis longtemps sans "connaître" la multiplication (mais tout le monde sait qu'on a fait semblant de ne pas la connaître).
Bref 6*10=10+10+10+10+10+10 par définition de la multiplication.
Et 6*10=60 par propriété de la multiplication sur l'écriture positionnelle en base dix (à moins que ce ne soit l'inverse... )

Les choses se corsent encore quand on désire multiplier deux nombres entiers quelconques.

Restons simples.
23*10 = ?
Déjà nous avons besoin d'associativité et distributivité (a+b)*c=a*c+b*c (propriété de l'opération sur les entiers, propriété que nous sommes sensés ignorer), pour pouvoir obtenir calculer le produit (algorithme sur l'écriture des entiers).
En effet :
23*10=(20+3)*10=20*10+3*10=2*10*10+3*10=2*100+3*10=200+30=230.
Dès lors, oui, multiplier par dix, c'est bien ajouter un zéro, par définition même de l'écriture positionnelle en base dix.

Plus complexe.
23*15 = (20+3)*15=20*15+3*15= (en utilisant le principe précédent) = 300+45=345.
Cela peut vous sembler stupide, mais comment justifier la validité de l'algorithme de "poser une multiplication" sans faire usage de la distributivité ? D'ailleurs, peut-être certains élèves s'étonnent-ils que systématiquement, en posant une opération, la commutativité "marche" (moi, cela m'étonnait vraiment).
Je m'explique :
Poser 23*15 revient à faire : 23*5+23*10=115+230=345.
Et poser 15*23 revient à faire : 15*3+15*20=45+300=345.
Comment est-il possible de comprendre qu'en commutant on arrive à faire une addition dont les termes sont respectivement toujours différents mais dont la somme est toujours égale ? Ici 115+230=45+300. Quand on y réfléchit une seconde, si on ne connait pas la distributivité, cela peut dérouter (et cela déroute).
Et au risque de sembler radoter, cette difficulté n'a rien à voir avec l'opération-loi de multiplication, mais bien avec notre façon d'écrire les nombres entiers.

Nous pourrions, bien sûr, parler aussi du zéro, qui, dans l'algorithme, passe plusieurs fois du statut d'élément absorbant de la loi de multiplication à celui de chiffre signifiant le cardinal de l'ensemble (vide) d'un rang (par exemple : "aucune dizaine", et non "zéro dizaine", pour le dire (trop) simplement)

J'ai déjà été trop long.
Je pourrai plus tard évoquer les conséquences de cette distinction opération/algorithme sur les nombres décimaux (et leurs écritures), mais vous comprenez déjà sans doute qu'enseigner (les règles) de multiplication en base dix, c'est déjà faire un choix didactique, qui est imposé par le fait que ces règles-là ne peuvent pas se justifier mathématiquement sans une connaissance poussée des mécanismes de l'écriture positionnelle en base dix, et une connaissance poussée des propriétés de la loi de multiplication. Et si les enfants ont le plus souvent cette première connaissance à un degré qui nous échappe parfois en secondaire, on ne peut/doit pas attendre d'eux d'avoir la seconde.

Je rappelle en guide de première conclusion, que tous ces problèmes proviennent du fait que la multiplication est une loi sans doute connue depuis au minimum 20 000 avant JC (cf le merveilleux bâton d'Ishango pour s'en convaincre ), et que Stevin a inventé l'écriture décimale en 1586, dans un court texte (La Disme), que tout enseignant devrait lire pour comprendre à quel point cette écriture est une conséquence des lois de la multiplication et de l'addition. Toute personne qui demanderait d'enseigner rigoureusement (en toute connaissance mathématique de cause, pour ainsi dire), demanderait donc qu'on enseignât d'abord les lois et leurs propriétés (et idéalement sur des écritures unaires), avant même de commencer à apprendre l'écriture décimale.