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JPhMM
Demi-dieu

Ces citations qu'il faut résoudre...

par JPhMM le Mar 6 Mar 2012 - 18:18
Pour le plaisir de toutes et tous, je vous propose de construire lentement une liste de citations littéraires, philosophiques, etc... qui demandent une explication mathématique.

Puisque nous sommes si nombreux à goûter la beauté des mathématiques d'une part et les textes de Kant d'autre part, je commencerai par une pièce de choix.

De fait, on est surpris et émerveillé à juste raison d'un accord si régulier du divers, selon des lois si fécondes, dans une figure aussi commune, et en apparence si simple. La nature ne présente aucun phénomène prodigieux susceptible, par la beauté et l'ordre qui y règne, de justifier davantage l'étonnement, à moins de penser que ce phénomène est prodigieux du fait qu'on ne peut pas en découvrir la cause, et que l'admiration est fille de l'ignorance.
Le champ dans lequel je cueillis ces merveilles en est si rempli qu'ici même, à la place où nous sommes, sans avoir à faire un pas de plus, s'offrent à nous d'innombrables beautés. Il y a en géométrie des solutions où ce qui semble ne pouvoir être résolu que par de nombreux préparatifs s'offre de soi-même, dans la chose elle-même, sans avoir besoin de recourir à aucun artifice. Chacun trouve ces solutions élégantes, et cela d'autant plus qu'on à moins d'opérations à y accomplir, alors que la solution paraissait devoir être bien plus compliquée. La couronne comprise entre deux cercles concentriques a une forme très différente de celle du cercle, et il paraît à chacun difficile et artificiel de la convertir en cette seconde figure. Mais, aussitôt que je m'aperçois que la tangente du cercle intérieur, prolongée jusqu'à ce qu'elle coupe des deux côtés la circonférence du cercle le plus grand, est le diamètre d'un cercle dont la surface équivaut exactement à celle de la couronne, je ne puis m'empêcher de manifester une certaine admiration pour la manière simple avec laquelle la solution cherchée se présente si facilement dans la nature de la chose même, et sans exiger d'effort de ma part.

Emmanuel Kant, L'unique fondement possible d'une démonstration de l'existence de dieu, IIe partie, Ire considération,
traduction de Sylvain Zac.



Il s'agit donc de démontrer que la couronne bleue a la même aire que le disque vert.
Saurez-vous trouver une solution élégante, de celles qui sont tant appréciées par Kant ?

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
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Patissot
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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par Patissot le Mar 6 Mar 2012 - 19:01
Pythagore tout simplement ?

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JPhMM
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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par JPhMM le Mar 6 Mar 2012 - 20:11
Oui, bien sûr.



Le triangle ABC est rectangle en C donc (2R)² = a²+b²
Le triangle ACH est rectangle en H donc a² = (R-r)² + h²
Le triangle BCH est rectangle en H donc b² = (R+r)² + h²

On a donc (2R)² = (R-r)² + h² + (R+r)² + h²
En développant et simplifiant, il vient 4R² = 2h² + 2R² + 2r²
D'où 2h² = 2R² - 2r²
h² = R² - r²
πh² = π(R² - r²)
CQFD.

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Patissot
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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par Patissot le Mar 6 Mar 2012 - 21:37
On peut utiliser le triangle OHC où O désigne le centre du cercle de rayon r ou R, c'est plus direct.

Le but du topic est de partager des problèmes trouvés dans la littérature "extra-mathématiques" ?

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JPhMM
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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par JPhMM le Mar 6 Mar 2012 - 21:43
@Patissot a écrit:On peut utiliser le triangle OHC où O désigne le centre du cercle de rayon r ou R, c'est plus direct.
Oui, merci. veneration
Kant devait penser à celle-ci, c'est effectivement infiniment plus simple.

@Patissot a écrit:Le but du topic est de partager des problèmes trouvés dans la littérature "extra-mathématiques" ?
Oui.

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freche
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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par freche le Mar 6 Mar 2012 - 21:46
quel logiciel utilises-tu pour la figure ? géogébra ? il est facile à utiliser ?
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Pluiedetoiles
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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par Pluiedetoiles le Mar 6 Mar 2012 - 21:47
Oups.
C'est pire que du chinois pour moi ...
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JPhMM
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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par JPhMM le Mar 6 Mar 2012 - 21:49
@freche a écrit:quel logiciel utilises-tu pour la figure ? géogébra ? il est facile à utiliser ?
GeoGebra, et il est extrêmement intuitif, oui.

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freche
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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par freche le Mar 6 Mar 2012 - 21:49
en tout cas, ça a un rendu très propre
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Patissot
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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par Patissot le Mar 6 Mar 2012 - 21:55
Je préfère ta solution un plus tortueuse. Razz

Malheureusement je n'ai pas d'idée pour alimenter le topic.

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JPhMM
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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par JPhMM le Mar 6 Mar 2012 - 21:58
@Patissot a écrit:On peut utiliser le triangle OHC où O désigne le centre du cercle de rayon r ou R, c'est plus direct.
Merci.
Si tu me le permets, je vais développer la démonstration que tu as trouvée, pour nos lecteurs qui ne sont pas professeurs de maths.



(HC) étant tangente en H au cercle intérieur, OHC est un triangle rectangle en H. Ainsi R² = r² + h². D'où h² = R² - r² et πh² = π(R² - r²).
CQDF.

PS : il est très probable que Kant avait cette démonstration si élégante en tête.

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JPhMM
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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par JPhMM le Mar 6 Mar 2012 - 22:00
@freche a écrit:en tout cas, ça a un rendu très propre
En effet. D'ailleurs, il est très facile à prendre en main (des collégiens s'en emparent en quelques minutes), et commence à s'imposer, au détriment de ses concurrents. Ce que, personnellement, je trouve tout à fait justifié.

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JPhMM
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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par JPhMM le Mar 6 Mar 2012 - 22:01
@freche a écrit:quel logiciel utilises-tu pour la figure ? géogébra ? il est facile à utiliser ?
Pour t'entraîner Wink

http://www.neoprofs.org/t34616p45-activite-mathematique-de-semaine-eclatee-herbier-de-courbes-mathematiques#871392

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Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par JPhMM le Mar 6 Mar 2012 - 22:08
@Patissot a écrit:Je préfère ta solution un plus tortueuse. Razz
Avec le recul je me demande si les lunules ne m'ont pas inspiré cette solution si tortueuse. Laughing

@Patissot a écrit:Malheureusement je n'ai pas d'idée pour alimenter le topic.
Au détour d'une lecture peut-être un jour... Wink

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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par freche le Mar 6 Mar 2012 - 22:09
@JPhMM a écrit:
@freche a écrit:quel logiciel utilises-tu pour la figure ? géogébra ? il est facile à utiliser ?
Pour t'entraîner Wink

http://www.neoprofs.org/t34616p45-activite-mathematique-de-semaine-eclatee-herbier-de-courbes-mathematiques#871392

merci, je vais tester
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JPhMM
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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par JPhMM le Mar 6 Mar 2012 - 22:20
@freche a écrit:
@JPhMM a écrit:
@freche a écrit:quel logiciel utilises-tu pour la figure ? géogébra ? il est facile à utiliser ?
Pour t'entraîner Wink

http://www.neoprofs.org/t34616p45-activite-mathematique-de-semaine-eclatee-herbier-de-courbes-mathematiques#871392

merci, je vais tester
C'est là pour ça. Wink

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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par Patissot le Mar 6 Mar 2012 - 22:25
@JPhMM a écrit:
@Patissot a écrit:Je préfère ta solution un plus tortueuse. Razz
Avec le recul je me demande si les lunules ne m'ont pas inspiré cette solution si tortueuse. Laughing

@Patissot a écrit:Malheureusement je n'ai pas d'idée pour alimenter le topic.
Au détour d'une lecture peut-être un jour... Wink

En dehors des ouvrages de vulgarisation et des enquêtes policières il semble assez rare de trouver des références à des problèmes précis, même chez des auteurs ayant quelques familiarités avec l'activité mathématique (Quenau, Roubaud, Musil à tout hasard).
En tout cas vu l'orientation de mes lectures en ce moment c'est peu probable.

Sinon pour des exemples de problèmes exposé en langue courante il y a diophante, un site que tu dois sans doute connaitre.

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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par freche le Mar 6 Mar 2012 - 22:28
Effectivement, il est très simple à utiliser, je l'ai fait en ligne, sans installer le logiciel, et c'est nickel. Bon, en physique chimie, je n'en ai pas trop l’intérêt, mais ça devrait plaire à mon fiston.
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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par JPhMM le Mar 6 Mar 2012 - 22:38
@freche a écrit:Effectivement, il est très simple à utiliser, je l'ai fait en ligne, sans installer le logiciel, et c'est nickel. Bon, en physique chimie, je n'en ai pas trop l’intérêt, mais ça devrait plaire à mon fiston.
Regarde ce qu'en font certains enseignants de maths-sciences : http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Sciencephy.htm

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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par freche le Mar 6 Mar 2012 - 22:44
c'est pas mal, mais il existe des animations plus "léchées" pour le collège, en flash notamment.
pour le lycée, en revanche, c'est plus intéressant (mais je suis au collège)
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JPhMM
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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par JPhMM le Mar 6 Mar 2012 - 22:49
@Patissot a écrit:
@JPhMM a écrit:
@Patissot a écrit:Je préfère ta solution un plus tortueuse. Razz
Avec le recul je me demande si les lunules ne m'ont pas inspiré cette solution si tortueuse. Laughing

@Patissot a écrit:Malheureusement je n'ai pas d'idée pour alimenter le topic.
Au détour d'une lecture peut-être un jour... Wink

En dehors des ouvrages de vulgarisation et des enquêtes policières il semble assez rare de trouver des références à des problèmes précis, même chez des auteurs ayant quelques familiarités avec l'activité mathématique (Quenau, Roubaud, Musil à tout hasard).
En tout cas vu l'orientation de mes lectures en ce moment c'est peu probable.

Sinon pour des exemples de problèmes exposé en langue courante il y a diophante, un site que tu dois sans doute connaitre.
Ce n'est pas grave, je complèterai quand je trouverai.
Oui je connais le site diophante.
D'ailleurs, cela me fait penser à l'épitaphe de Diophante...

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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par JPhMM le Mar 6 Mar 2012 - 22:54
Une deuxième citation.
N'étant pas sans mauvais esprit, j'ai décidé de l'intituler:

De la nouveauté pédagogique du programme de calcul.



BACHET, Claude-Gaspar, sieur de Méziriac, Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres, 1612
cinquième édition revue, simplifiée et augmentée par A. Labosne, 1884.

Version intégrale de l'ouvrage, en pdf : http://cnum.cnam.fr/PDF/cnum_8PY45.pdf
(Ce livre est un joyau.)

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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par Patissot le Mer 7 Mar 2012 - 14:05
Ce n'est pas vraiment extrait d'un livre mais je ne peux m'empêcher de vous faire part du problème suivant : " Quelle est la longueur moyenne reliant deux points d'une sphère ?" Twisted Evil

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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par Le grincheux le Mer 7 Mar 2012 - 14:07
@Patissot a écrit:Ce n'est pas vraiment extrait d'un livre mais je ne peux m'empêcher de vous faire part du problème suivant : " Quelle est la longueur moyenne reliant deux points d'une sphère ?" Twisted Evil
Sur la sphère ou sur la corde ?

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Le carnet du Grincheux, Chroniques de misanthropie ordinaire
http://grincheux.de-charybde-en-scylla.fr/
Ma vie, mon œuvre
http://www.systella.fr/
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Re: Ces citations qu'il faut résoudre...

par Patissot le Mer 7 Mar 2012 - 14:28
De la droite reliant les deux points, effectivement mon énoncé prêtait à confusion.

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