Dérivées sans limites

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Dérivées sans limites

Message par mathmax le Ven 30 Mar 2012 - 15:06

Comment gérez-vous, en 1ère S, ES ou STG ? Vous trichez en définissant quand même rapidement les limites?
Ou bien vous faites passer le message subliminal : "c'est rien, juste des mots appliquez les recettes et tout ira bien" ?

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Re: Dérivées sans limites

Message par Patissot le Ven 30 Mar 2012 - 15:49

bah on fait ça avec les mains... comme tout le reste.

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Re: Dérivées sans limites

Message par JPhMM le Ven 30 Mar 2012 - 16:46

Sujet très intéressant. Oui, moi qui ne suis pas en Lycée, je me demande comment vous faites maintenant ?
Approche de la notion par les tangentes, mais ensuite ?
Par continuité pour certaines fonctions [f(x+h)-f(x)]/h ? (mais beurk, oui en effet)

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Re: Dérivées sans limites

Message par mathmax le Ven 30 Mar 2012 - 17:00

Oui, c'est ce qu'on fait, et pouf ! on peut simplifier par h, et alors là on peut calculer l'expression pour h=0, et on tient le nombre dérivé. C'est franchement insatisfaisant. La notion de limite et de continuité n'est au programme qu'en terminale. Je trouve, comme beaucoup de collègues, que ces programmes ont été faits en dépit du bon sens.

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Re: Dérivées sans limites

Message par JPhMM le Ven 30 Mar 2012 - 17:57

Un article sur le sujet serait le bienvenu.
Je rappelle que ni Newton ni Leibnitz ne faisaient de limites...

(Quand je vous disais qu'un jour on enseignerait la dérivation à la Robinson... (ANS) )

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Re: Dérivées sans limites

Message par mathmax le Ven 30 Mar 2012 - 18:02

Le problème, c'est que la définition préconisée par le programme de 1ère fait bel et bien appel à la notion de limite, qui est au programme seulement en terminale.
C'est quoi, la dérivation à la Robinson ?

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Re: Dérivées sans limites

Message par Pierre_au_carré le Ven 30 Mar 2012 - 18:53

D'après les programmes, il me semble qu'il faut présenter rapidement le principe de la limite en 0 avant de définir le nombre dérivé.
Je crois qu'en 1ière STI et ES, ils ne présentaient que la limite en 0...

Pour avoir travaillé dessus (en avance), le programme de TS manque de cohérence et de pertinence, peut-être plus que celui de 1ière.

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Re: Dérivées sans limites

Message par Patissot le Ven 30 Mar 2012 - 18:53

Dans le secondaire les fonctions ne sont étudiés que d'un point de vue "global", essentiellement algébrique. Les notions locales (limite, voisinage,...) ne sont pas vraiment abordées si ce n'est de manière intuitive.
La plupart des définitions que l'on propose aux élèves sont floues, informelles et sont peu opératoires (définition d'un vecteur en seconde, de la dérivée en 1ere, etc...). Elle n'ont pour autres fins que de figurer dans le cours des élèves, donner une apparence de rigueur. Il n'y a pas de différences pour un élève entre définition, proposition et théorème.

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Re: Dérivées sans limites

Message par Cath le Ven 30 Mar 2012 - 19:04

Rien à dire, j'ai juste trouvé que le titre faisait rêver...

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Re: Dérivées sans limites

Message par mathmax le Ven 30 Mar 2012 - 19:08

C'était en partie le but, à vrai dire. Nous pouvons être poétiques aussi, nous autres les matheux.

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Re: Dérivées sans limites

Message par JPhMM le Ven 30 Mar 2012 - 19:57

@mathmax a écrit:C'est quoi, la dérivation à la Robinson ?
L'histoire est longue, l'objet complexe, je vais rester très superficiel, désolé par avance.

Robinson reprend en 1961 les travaux de Leibniz sur les infinitésimaux. De Leibniz jusqu'à la fin du XIXème siècle, les infinitésimaux étaient très utilisés en lieu et place de la notion de limite, mais sans fondement logique. Logisticien brillant, Robinson désire revenir à la notion d'infinitésimal, bien plus aisée à utiliser que celle de limite.
Grâce à la théorie des modèles, et en se limitant à un langage de premier ordre, il démontre qu'il existe une constante ω plus grande que tout entier particulier, et en déduit l'existence d'une constante infinitésimale strictement positive 1/ω plus petite que tout réel strictement positif particulier. Il en déduit la construction de l'ensemble des hyperréels.
Se limiter à un langage de premier ordre étant très contraignant, les travaux de Robinson sont restés, pendant 15 ans, une curiosité de logisticiens. Mais une construction axiomatique de l'ensemble des hyperréels est faite au milieu des années 70 sous le nom de IST (Internal Set Theory), par adjonction d'un axiome sur ω (axiome dit "L", pour Leibniz) au langage ZF (Zermelo-Fraenkel).
Une autre construction axiomatique, remarquable à plus d'un titre, fut faite récemment, et fut appelée alpha-theory : http://www.dm.unipi.it/~dinasso/papers/14.pdf

Dans cette analyse non standard, on démontre que pour tout hyperréel "limité" x (c'est-à-dire tel qu'il existe un réel M avec |x| < M), il existe un unique réel (standard) °x, appelé ombre de x, tel que x – °x est infinitésimal.
Dès lors, si °( [f(x+ε)-f(x)]/ε ) est une ombre indépendante de ε, f est dérivable en x, et f'(x) = °( [f(x+ε)-f(x)]/ε ).

Par exemple, pour tout x réel :
°( [(x+ε)²-x²]/ε ) = °(2x + ε) = 2x ne dépend pas de ε et est la dérivée de x².

Edit : orthographe


Dernière édition par JPhMM le Ven 30 Mar 2012 - 23:36, édité 1 fois

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Re: Dérivées sans limites

Message par Filnydar le Ven 30 Mar 2012 - 20:16

Il faut un gros paquet de retour aux fondements pour faire de l'analyse non-standard !

Je voudrais bien que la dérivabilité soit définie à l'aide du développement limité d'ordre 1 : cela facilite la preuve de la formule de dérivation des fonctions composées, et prépare le terrain pour la différentiabilité bien plus tard.

Bon, c'est mon avis après avoir infligé quinze jours de calcul différentiel à mes étudiants...

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Re: Dérivées sans limites

Message par JPhMM le Ven 30 Mar 2012 - 20:21

@Filnydar a écrit: Il faut un gros paquet de retour aux fondements pour faire de l'analyse non-standard !
En effet.
Cela dit, à quel moment les lycéens voient-ils la construction de l'ensemble des réels ? Rolling Eyes

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Re: Dérivées sans limites

Message par Filnydar le Ven 30 Mar 2012 - 20:24

@JPhMM a écrit:En effet.
Cela dit, à quel moment les lycéens voient-ils la construction de l'ensemble des réels ? Rolling Eyes

En L3 de maths au plus tôt ! Cela dit, la construction de Dedekind pourrait être présentée dans le cadre d'un club de maths : les idées ne sont pas si compliquées.

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Re: Dérivées sans limites

Message par mathmax le Ven 30 Mar 2012 - 20:27

Les lycéens ne le voient pas. Je te remercie pour ta réponse sur Robinson, encore un sujet à explorer lorsque j'aurai le temps !

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Re: Dérivées sans limites

Message par JPhMM le Ven 30 Mar 2012 - 20:30

@Filnydar a écrit:En L3 de maths au plus tôt ! Cela dit, la construction de Dedekind pourrait être présentée dans le cadre d'un club de maths : les idées ne sont pas si compliquées.
Clairement. La coupure ne demande que de se poser cinq secondes.
Si la construction des hyperréels est difficile — et d'ailleurs pas accessible à un lycéen — leur usage facilite de nombreuses choses. Au fond, rien n'empêche de dire "cela existe" (ce qu'on fait pour les réels, d'ailleurs, sans jamais le dire vraiment), maintenant voilà comment on utilise nos ε et nos ω. Après tout, la notion d'infinitésimal est extrêmement intuitive. Au passage, l'ANS entre peu à peu dans l'enseignement aux États-Unis et en Asie, par expérimentations et par ouvrages faisant le pari du calcul infinitésimal.

Nota : http://www.apmep.asso.fr/ANALYSE-EN-TERMES-D-ORDRES-DE Wink

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Re: Dérivées sans limites

Message par JPhMM le Ven 30 Mar 2012 - 21:25

En clair on nous demande de traiter les dérivées comme des dérivées (algébriques) formelles ?

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