[Maths] Question sur le théorème de Thalès en 3ème

Question : avez-vous idée de la proportion réelle de professeurs qui, au collège, démontrent le théorème de Thalès ?

wanax a écrit:Question : avez-vous idée de la proportion réelle de professeurs qui, au collège, démontrent le théorème de Thalès ?

Au doigt mouillé, je dirais moins de 10%.

Je le démontrais pour des rapports rationnels. Je n'ai jamais rencontré personne d'autre qui le faisait.

Merci.

*Hildegarde* a écrit:C'est quoi la "contraposée"?
J'imagine que c'est différent de la réciproque?

Le syllogisme classique est :
* Socrate est un homme,
* les hommes sont mortels,
* donc Socrate est mortel.

La prémisse majeure est "les hommes sont mortels", qu'on pourrait écrire "si x est un homme, alors x est mortel".
La réciproque de cette majeure est "les mortels sont humains", ce qui n'est pas vrai (pensons avec émotion à la fin tragique de Mimi la fourmi).
De manière générale, la réciproque d'une proposition vraie peut elle aussi être vraie, mais peut tout autant être fausse.
La contraposée de "les hommes sont mortels" est "les immortels sont inhumains".
Une proposition et sa contraposée ont la même valeur de vérité.

Ainsi on peut écrire :
* Zeus est immortel
* les humains sont mortels
* donc Zeus est inhumain

C'est un raisonnement par l'absurde (qui s'appuie sur le principe de non contradiction : "une proposition ne peut être simultanément vraie et fausse"), qu'on pourrait rédiger de manière plus complète ainsi :
* Zeus est immortel
* Supposons que Zeus soit humain
* Les humains étant mortels,
* Zeus est donc mortel
* Or Zeus ne peut être simultanément mortel et immortel
* Par conséquent la supposition selon laquelle Zeus est humain amène à une contradiction
* Donc Zeus n'est pas humain

Certaines personnes distinguent raisonnement par l'absurde et raisonnement par contraposée,
mais personnellement je n'ai jamais compris leurs arguments pour ce faire.

(Excuse-moi JPhMM d'avoir surenchéri sur ton message, mais la question venant d'un collègue de LC, je n'ai pu résister à la perspective de mettre mon exemple fétiche)

ben2510 a écrit:Certaines personnes distinguent raisonnement par l'absurde et raisonnement par contraposée, mais personnellement je n'ai jamais compris leurs arguments pour ce faire.

On raisonne par contraposée lorsque, pour démontrer qu'une hypothèse entraine une conclusion, on démontre la contraposée : lorsque la conclusion est fausse, alors l'hypothèse est fausse.

On raisonne par l'absurde lorsque, pour démontrer une conclusion, on démontre qu'en supposant la conclusion fausse, elle aboutit à une contradiction.

Par exemple, dans la preuve classique de l'irrationalité de racine(2), on suppose que racine(2)=p/q où on peut choisir p et q premiers entre eux et on démontre que p et q sont deux nombres pairs, ce qui est impossible s'ils sont premiers entre eux. On conclut par l'absurde que l'hypothèse : «racine(2) est rationnel» est impossible...

Un raisonnement par contraposée peut se reformuler comme un raisonnement par l'absurde... mais la réciproque est elle vraie ?

Exercice laissé au lecteur : la preuve de l'irrationalité de racine(2) peut elle se reformuler comme raisonnement par contraposée ?

BR a écrit:
On raisonne par contraposée lorsque, pour démontrer qu'une hypothèse entraine une conclusion, on démontre la contraposée : lorsque la conclusion est fausse, alors l'hypothèse est fausse.

Le raisonnement par contraposée consiste à utiliser une règle de type A => B en sachant que B est faux.
L'idée est que "A => B" est la même chose que  "B faux => A faux", le modus ponens

Code:

B faux => A faux, B faux

permet de conclure que A est faux.

La règle directe, résumée du raisonnement précédent:

Code:

"A => B, B faux" donne pour conclusion "A faux"

s'appelle modus tollens si mes souvenirs sont exacts. C'est cette forme là qui est appelée "contraposition".

ben2510 a écrit:
Certaines personnes distinguent raisonnement par l'absurde et raisonnement par contraposée,
mais personnellement je n'ai jamais compris leurs arguments pour ce faire.

Le raisonnement par l'absurde peut utiliser un grand nombre de propositions. Pour montrer qu'une proposition A est conséquence de cet ensemble de propositions E (supposées toutes vraies), on peut essayer d'y arriver en partant de l'ensemble E et en arrivant à la proposition A directement. C'est le raisonnement direct.

Mais il est parfois plus simple de montrer que la proposition opposée (NON A) n'est pas compatible avec E, c'est à dire qu'en supposant que les propositions de E et NON A sont toutes vraies on arrive à une contradiction quelque part. Cela signifie que NON A ne peut pas être vrai, et donc que A l'est obligatoirement (C'est la règle du tiers exclu: une proposition logique est vraie ou fausse, il n'y a pas d'autre alternative).

C'est à peu près comme cela que marchent les programmes de raisonnement logique comme PROLOG.

Le raisonnement sur la racine carrée est de ce type là.  On n'utilise pas une seule proposition pour arriver à l'absurdité, ce qui rend ce raisonnement sensiblement difficile à remettre à l'endroit sous forme d'un raisonnement par contraposée. La contraposée ne concerne qu'une seule proposition et pas un ensemble.

ycombe a écrit:

ben2510 a écrit:
Certaines personnes distinguent raisonnement par l'absurde et raisonnement par contraposée,
mais personnellement je n'ai jamais compris leurs arguments pour ce faire.

Le raisonnement par l'absurde peut utiliser un grand nombre de propositions. Pour montrer qu'une proposition A est conséquence de cet ensemble de propositions E (supposées toutes vraies), on peut essayer d'y arriver en partant de l'ensemble E et en arrivant à la proposition A directement. C'est le raisonnement direct.

Mais il est parfois plus simple de montrer que la proposition opposée (NON A) n'est pas compatible avec E, c'est à dire qu'en supposant que les propositions de E et NON A sont toutes vraies on arrive à une contradiction quelque part. Cela signifie que NON A ne peut pas être vrai, et donc que A l'est obligatoirement (C'est la règle du tiers exclu: une proposition logique est vraie ou fausse, il n'y a pas d'autre alternative).

C'est à peu près comme cela que marchent les programmes de raisonnement logique comme PROLOG.

Le raisonnement sur la racine carrée est de ce type là.  On n'utilise pas une seule proposition pour arriver à l'absurdité, ce qui rend ce raisonnement sensiblement difficile à remettre à l'endroit sous forme d'un raisonnement par contraposée. La contraposée ne concerne qu'une seule proposition et pas un ensemble.

Ca y est j'ai compris

Modus tollens oui. (C'est essentiellement la même chose que la contraposition.)

La même chose, dite autrement : on dérive de façon constructive la contraposée (¬ψ→¬φ) de (φ→ψ). Un raisonnement par l'absurde proprement dit fait en revanche toujours intervenir la loi du tiers exclu ou la loi de la double négation (ce qui au fond revient au même).

Mais c'est vrai que, couramment, on appelle très souvent « raisonnements par l'absurde » des raisonnements qui sont en fait de simples raisonnements par contraposition.

Et on peut remarquer que la logique intuitionniste rejette le raisonnement par l'absurde, mais accepte le raisonnement par contra-position.

Je relance le sujet pour faire appel à ceux qui démontrent le théorème en classe. Quelle preuve faites-vous à vos élèves ?

La petite video sur le site du Kangourou :
http://www.mathkang.org
rubrique "Les animations du Kangourou".

Ombredeloup a écrit:Je relance le sujet pour faire appel à ceux qui démontrent le théorème en classe. Quelle preuve faites-vous à vos élèves ?

La preuve est surtout en 4e. En 3e on étend à d'autres situations et on démontre la "réciproque partielle". On peut faire construire des contre-exemples pour la réciproque rêvée.

Anaxagore a écrit:

Ombredeloup a écrit:Je relance le sujet pour faire appel à ceux qui démontrent le théorème en classe. Quelle preuve faites-vous à vos élèves ?

La preuve est surtout en 4e. En 3e on étend à d'autres situations et on démontre la "réciproque partielle". On peut faire construire des contre-exemples pour la réciproque rêvée.

Oui Anaxagore, je parlais bien de la preuve en 4e.

On en a parlé récemment.

https://www.neoprofs.org/t93135p20-questions-pratiques-point-de-cours-4eme#3213933

ben2510 a écrit:La petite video sur le site du Kangourou :
http://www.mathkang.org
rubrique "Les animations du Kangourou".

Merci Ben, je vais m'en servir.