Le mot unité a-t-il deux sens ?

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Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Spinoza1670 le Lun 15 Oct 2012 - 17:43

Je crée ici un topic qui est issu du topic "Manuel Compter calculer au CE1" et qui porte sur le concept d'unité en arithmétique élémentaire. Le point de départ est un texte critique de Michel Delord visant à poser le problème à partir d'un recueil d'opinions contradictoires sur le sujet.

Michel Delord a écrit:
Certains expliquent que le mot unité a deux sens en mathématiques, qu'il désigne deux choses différentes : par exemple 3 dans 543 et cm dans 7 cm. Sous des formes plus ou moins proches, cette affirmation est très répandue.

Le fond de mon opinion est le suivant : le mot unité n'a qu'un seul sens.

Le fait de lui attribuer deux sens vient d'une autre erreur en général implicite : celle qui consiste à oublier que ce n'est pas unité qui a deux sens, mais 1 qui représente simultanément deux choses, l'unité et le premier nombre.

Cet oubli remonte en fait à ce qui est une des positions cardinales des « maths modernes », position qui été défendue comme telle par les partisans de cette réforme, qui a perduré plusieurs dizaines d'années et qui perdure encore.

La permanence de ce grave oubli prouve bien que la critique de ce mouvement faite depuis les années 75 jusqu'à maintenant, notamment par les spécialistes de la didactique des mathématiques et de la psychologie cognitive, est une fausse critique.

Vous trouverez plus d'éléments logiques et historiques sur ces questions - et une proposition d'ouverture de débat - dans le texte « Le mot unité a-t-il deux sens ? »


Télécharger le texte pdf (clic droit enregistrer sous)

Sujets en lien avec ce texte :
- sujet sur le forum Neoprofs : Compter calculer au CE1.
- sujet sur le forum EDP : http://forums-enseignants-du-primaire.com/topic/288593-unites-et-nombres/
- Sujet sur le groupe de discussion http://fr.groups.yahoo.com/group/maths-college/ (membres seulement)

Images du manuel Delfaut et Millet CM mises en ligne par Catherine Huby (voir ici) :








Dernière édition par Spinoza1670 le Mar 16 Oct 2012 - 7:09, édité 3 fois

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par yphrog le Lun 15 Oct 2012 - 19:13

Je ne sais pas, mais il est traduit en anglais par deux mots distincts qui n'ont pas le même sens: "unit" / "unity"

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Mareuil le Lun 15 Oct 2012 - 20:17

xphrog a écrit:Je ne sais pas, mais il est traduit en anglais par deux mots distincts qui n'ont pas le même sens: "unit" / "unity"
est de nature à décourager MarcoPaulo de nous parler de produits scalaires et de tenseurs vectoriels ?
Au fait, où il est passé, ce Marco ?

Mareuil
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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par MarcoPaulo le Lun 15 Oct 2012 - 23:58

Monsieur Mareuil
Je vous ai répondu ce matin sur l'autre fil . Ma reponse a disparu toute une partie de la journée et vient de reparaitre. Vous pouvez donc vous y reporter.
http://www.neoprofs.org/t50630p100-compter-calculer-au-ce1-par-catherine-huby-et-pascal-dupre#1669516

MH

Elle vient certes de reparaitre mais modifiée sans que l'on me demande mon avis.

MarcoPaulo
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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par John le Mar 16 Oct 2012 - 0:01

Dites donc, MarcoPaulo, je vous fais remarquer que vous n'avez pas non plus demandé l'avis des gens avant de faire du name dropping...

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par verdurin le Mar 16 Oct 2012 - 1:25

@Spinoza1670 a écrit:
Certains expliquent que le mot unité a deux sens en mathématiques, qu'il désigne deux choses différentes : par exemple 3 dans 543 et cm dans 7 cm. Sous des formes plus ou moins proches, cette affirmation est très répandue.

Le fond de mon opinion est le suivant : le mot unité n'a qu'un seul sens.

Le fait de lui attribuer deux sens vient d'une autre erreur en général implicite : celle qui consiste à oublier que ce n'est pas unité qui a deux sens, mais 1 qui représente simultanément deux choses, l'unité et le premier nombre.

Cet oubli remonte en fait à ce qui est une des positions cardinales des « maths modernes », position qui été défendue comme telle par les partisans de cette réforme, qui a perduré plusieurs dizaines d'années et qui perdure encore.

La permanence de ce grave oubli prouve bien que la critique de ce mouvement faite depuis les années 75 jusqu'à maintenant, notamment par les spécialistes de la didactique des mathématiques et de la psychologie cognitive, est une fausse critique.

Vous trouverez plus d'éléments logiques et historiques sur ces questions - et une proposition d'ouverture de débat - dans le texte « Le mot unité a-t-il deux sens ? »
Bonsoir Spinoza1670.
Il me semble que tu confonds mathématiques et physique.
On peut critiquer les «maths modernes».
Mais confondre 1 et un centimètre ou un Joule me semble relever du délire. Il n'y a pas de débats possibles dans ce cadre.
Après tu peux produire des affirmations sans preuves. L'ignorance te sert de manteau.
Quand à dire que 1 est le premier nombre, je suis en complet désaccord. Pour moi c'est 0.
On peut discuter à l'infini sur ce thème.

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Contre la bêtise, les dieux eux mêmes luttent en vain.
Ni centidieux, ni centimètres.

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Spinoza1670 le Mar 16 Oct 2012 - 6:56

@Verdurin a écrit:Bonsoir Spinoza1670.
Il me semble que tu confonds mathématiques et physique.
On peut critiquer les «maths modernes».
Mais confondre 1 et un centimètre ou un Joule me semble relever du délire. Il n'y a pas de débats possibles dans ce cadre.
Après tu peux produire des affirmations sans preuves. L'ignorance te sert de manteau.
Quand à dire que 1 est le premier nombre, je suis en complet désaccord. Pour moi c'est 0.
On peut discuter à l'infini sur ce thème.

Bonjour Verdurin,

j'ai modifié la présentation du sujet pour que ce soit plus clair : ce qui est de Delord et ce qui est de moi. J'ai créé ce sujet à cette place pour qu'il n'encombre pas le topic d'origine qui portait sur l'utilisation quotidienne d'un manuel au CE1 ( http://www.neoprofs.org/t50630-compter-calculer-au-ce1-par-catherine-huby-et-pascal-dupre ). En effet, c'est plutôt un débat de fond en arithmétique élémentaire qui ne concerne pas seulement les instits en tant que tels, mais tous les mathématiciens (être l'un n'empêche pas d'être l'autre).

La thèse de Delord et la progression de son argumentation ne sont pas du tout claires.
Je n'aime pas la façon un peu trop osée dont il interprète les mots de Catherine Huby et Pascal Dupré, alors que lui et eux ont une position très proche dans le fond.
Mais ces défauts sont, - mais je peux me tromper - , inhérents au caractère encore inabouti de sa recherche.
L'enjeu est effectivement de ne pas séparer le calcul sur les nombres (ce que tu appelles mathématiques) du calcul sur les objets et les mesures (ce que tu appelles physique).
Pour MD en effet, qui renoue en cela avec une vieille distinction, il y a les nombres abstraits et les nombres concrets, ce qui permet d'intégrer à l'arithmétique tout le système métrique.
Le choix de l'unité est vu comme une cinquième opération (une opération mentale fondamentale qui doit être effectuée avant toute opération dans toute résolution de problèmes).

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par JPhMM le Mar 16 Oct 2012 - 7:08

A la limite, il aurait mieux valu exhiber les sens :
* Chiffre le plus à droite dans un nombre entier.
* Cardinal d'un ensemble d'un élément, comme dans la phrase : "14 unités sont égales à 1 douzaine et 2 unités".
* Unité d'un anneau unitaire.

Évidemment, l'erreur très classique des élèves qui écrivent "7 dizaines + 23 unités = 723" n'est pas sans rapport avec la confusion des deux premières notions citées.

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Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Spinoza1670 le Mar 16 Oct 2012 - 7:56

La première partie du texte est critique, elle vise à discuter certaines positions sur la question de l'unité ; la deuxième partie est une invitation à la discussion sur ce thème en citant deux positions antinomiques :

Michel Delord a écrit:Pour aborder ces questions, je propose de confronter deux problématiques cardinales - qui s’opposent explicitement puisque la position des maths modernes propose de « rompre avec les instructions de 1945 » qui sur ce point ne diffèrent en rien des précédentes - :
- celle présente dans une présentation classique de la numération et du calcul d’un manuel de CM d’avant la première guerre mondiale, reproduite en A).
- celle des maths modernes que je reproduis infra en B)

Biblio MD:
i) MD, De la didactique et des grandeurs : le contrat didactique ou comment éliminer les mathématiques, partie D de l'exposé Sur l'enseignement primaire en France (Université Bocconi, Milan, Avril 2002)
ii) MD, Michèle Artigue et l'âge du capitaine
iii) MD, A propos des nombres concrets et abstraits : Un témoignage historique sur l'école primaire française,
iv) MD, A propos de la multiplication
v) MD, Résumé sur la notation « de la multiplication de base »

A) Brouet et Haudricourt Frères, Arithmétique et système métrique, Cours Moyen, Paris, 1907. Première leçon
ARITHMÉTIQUE - NOTIONS PRÉLIMINAIRES

1. - On appelle quantité tout ce qui peut être augmenté ou diminué, comme une somme d'argent, un nombre d'arbres, la hauteur d'un mur.
2. - L'unité est une quantité connue qui sert à mesurer à évaluer toutes les quantités de la même espèce qu'elle.
Ex. : Si l'on compte les tables de la classe, les arbres de la cour, l'unité est une table, un arbre.
3. - Un nombre est le résultat obtenu en comparant une quantité à son unité. Il est concret s'il désigne l'espèce d'unité, comme 12 litres; il est abstrait s'il ne désigne pas l'espèce d'unité, comme 12.
4. - Il y a trois espèces de nombres :
1° Le nombre entier, qui ne contient que des unités entières : quatre francs : 4 fr.
2° La fraction, qui ne contient que des parties de l'unité : vingt-cinq centimètres : 0m,25; - deux tiers : 2/3.
3° Le nombre fractionnaire, qui est un nombre entier accompagné d'une fraction : trois francs quarante centimes : 3fr. 40 - deux unités un tiers : 2 1/3
5. - L'arithmétique est la science des nombres et du calcul.
6. - Le calcul est l'art de combiner les nombres.

B) Extraits de : La mathématique à l’école élémentaire, Paris, Supplément au bulletin APMEP n° 282, 1972, 502 pages.
I) En fait, c'est bien là qu'est demandée aux maîtres une mutation radicale, qui exigera d'eux de grands efforts de vigilance, de surveillance d'eux-mêmes, une véritable conversion intellectuelle.
Car les naturels ne sont plus liés à la mesure des objets du monde physique et, surtout, les opérations sur les naturels ne sont plus tirées des opérations sur les "grandeurs" du monde physique ou de l'univers quotidien telles que longueurs, poids, prix, capacités. L'abandon des "opérations sur les grandeurs" est bien la mutation fondamentale apportée par les programmes transitoires, c'est lui qui transforme profondément les démarches de la pensée dans l'enseignement élémentaire.

Marguerite Robert, Un nouvel état d’esprit

II) Le nombre naturel

C'est le nombre entier, positif ou nul, de notre enfance. Il résulte de la considération des ensembles, disons, sans inconvénient, des collections d'objets ; c'est par là qu'il faut commencer. Une telle affirmation peut paraître banale. Il faut la répéter. Elle implique une séparation nette entre le nombre utilisé comme cardinal d'un ensemble et le nombre utilisé pour exprimer une mesure ; une séparation, nette et honnête entre : "Il y a 6 crayons sur cette table" et "Ce crayon mesure 6 centimètres".
Rupture avec les Instructions de 1945, qui déclaraient : "On enseignera le décimètre en même temps que la dizaine". On s'interdit d'enseigner le décimètre tant que les enfants risquent de ne pas appréhender les dix segments d'un centimètre, voire de les confondre avec les traits de division qui les limitent (et qui sont 11), et surtout tant qu'ils voient mal le rôle de ces traits lors d'une mesure.
Il faut en outre laisser intacte chez l'enfant l'idée qu'une mesure a bien des chances de ne pouvoir se traduire par un nombre naturel, et qu'il est plus honnête de parler d'encadrements.
Le maître écrit 7cm + 2cm ; il demande de traduire le signe + par ceci : dessiner un segment de 2cm dans le prolongement d'un segment de 7cm qu'il vient de dessiner. C'est beaucoup demander au signe + . Les enfants de Cours Préparatoire, en ce mois de Janvier, ne répondent pas, évidemment, puis docilement disent oui quand le maître termine le dessin. Additionner deux longueurs est une opération mentale plus complexe qu'additionner les cardinaux de deux collections. Les difficultés des enfants viennent de là et un retour aux bûchettes ou aux jetons ne saurait les aider.
Il y a un abîme entre le discret et le continu. Le continu est remis à plus tard : la mesure a disparu du Cours Préparatoire.

P. Jacquemier, Promenade au long du programme du 2/01/1970 et des commentaires qui les accompagnent

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par doublecasquette le Mar 16 Oct 2012 - 11:41

Petit grain de sel: (je ne sais si ça vous sera d'une quelconque utilité mais bon ...)

on dit une unité internationale, par exemple d'insuline. Puis deux unités puis trois unités.

c'est un système de mesure où on emploie le mot "unité" pour désigner une certaine quantité prédéfinie par son activité biologique de matière active.



Exemples:



Les équivalents en masse d'une UI pour des substances données sont les suivants :


  • 1 UI d'Insuline : l'équivalent biologique d'environ 45,5 microgrammes (unité notée μg) d'insuline cristalline pure (1/22 milligrammes exactement)
  • 1 UI de Vitamine A : l'équivalent biologique de 0,3 μg de rétinol, ou de 0,6 μg de β-carotène
  • 1 UI de Vitamine C : est de 50 μg d'acide ascorbique lévogyre
  • 1 UI de Vitamine D : l'équivalent biologique de 0,025 μg de cholécalciférol / ergocalciférol
  • 1 UI de Vitamine E : l'équivalent biologique d'environ 0,667 milligrammes de d-alpha-tocophérol (2/3 mg exactement), ou de 1 mg de dl-alpha-tocophérol acétate






C'est donc une quantité d'activité et non une quantité de masse, puisque plusieurs molécules de poids différents ont la même quantité d'activité. Ça simplifie.



DC véto

_________________
Pardon pour vous, pardon pour eux, pour le silence
Et les mots inconsidérés,
Pour les phrases venant de lèvres inconnues
Qui vous touchent de loin comme balles perdues,
Et pardon pour les fronts qui semblent oublieux.



Papote aussi par là : http://salledesmaitres.forumactif.org/
et là : http://www.slecc.fr/forum_0910/index.php

Et puis par là : http://doublecasquette3.eklablog.com/

doublecasquette
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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Spinoza1670 le Mar 16 Oct 2012 - 12:23

@doublecasquette a écrit:Petit grain de sel: (je ne sais si ça vous sera d'une quelconque utilité mais bon ...)
on dit une unité internationale, par exemple d'insuline. Puis deux unités puis trois unités.
c'est un système de mesure où on emploie le mot "unité" pour désigner une certaine quantité prédéfinie par son activité biologique de matière active.

Exemples:
Les équivalents en masse d'une UI pour des substances données sont les suivants :
  • 1 UI d'Insuline : l'équivalent biologique d'environ 45,5 microgrammes (unité notée μg) d'insuline cristalline pure (1/22 milligrammes exactement)
  • 1 UI de Vitamine A : l'équivalent biologique de 0,3 μg de rétinol, ou de 0,6 μg de β-carotène
  • 1 UI de Vitamine C : est de 50 μg d'acide ascorbique lévogyre
  • 1 UI de Vitamine D : l'équivalent biologique de 0,025 μg de cholécalciférol / ergocalciférol
  • 1 UI de Vitamine E : l'équivalent biologique d'environ 0,667 milligrammes de d-alpha-tocophérol (2/3 mg exactement), ou de 1 mg de dl-alpha-tocophérol acétate
C'est donc une quantité d'activité et non une quantité de masse, puisque plusieurs molécules de poids différents ont la même quantité d'activité. Ça simplifie.

DC véto

Selon moi, c'est un exemple parfait de la notion d'unité telle que le définissent tout à la fois
- le manuel de 1907 cité par MD, et en général les manuels d'avant les programmes de 1970 (voir http://manuelsanciens.blogspot.com/p/mathematiques.html ).
- Michel Delord dans ses articles
- et les auteurs du GRIP dans leurs manuels de maths (voir http://www.slecc.fr/ )qui reprennent d'une certaine façon les progressions des manuels antérieurs à 1970.

Les élèves du primaire qui seront passés par ce type de progression depuis la gs (voir le plus qu'excellent manuel de Cath. Huby pour la gs Se repérer, compter, calculer) n'auront pas de peine ou beaucoup moins de peine à s'approprier ces notions de chimie plus tard, en tout cas pour la partie purement arithmétique des calculs et conversions.

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par yphrog le Mar 16 Oct 2012 - 15:50

@Mareuil a écrit:
xphrog a écrit:Je ne sais pas, mais il est traduit en anglais par deux mots distincts qui n'ont pas le même sens: "unit" / "unity"
est de nature à décourager MarcoPaulo de nous parler de produits scalaires et de tenseurs vectoriels ?
Au fait, où il est passé, ce Marco ?

Tout cela me dépasse, et je reviens en partie sur ce que j'ai dit, parce qu'il est éventuellement trompeur: dans ce champ lexical très précis, on dit "units" pour 3 dans 783 et "units of measurement / unit of measure" pour cm dans 7cm. C'est évident, mais au cas où j'aurais donné une fausse impression, je voulais corriger le tir. Néanmoins, je crois que la bifurcation en deux mots n'est pas complètement à côté de la question non plus, d'après ce que j'ai pu comprendre en lisant en diagonale le texte, et en regardant l'exemple donné par doublecasquette. Embarassed

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Spinoza1670 le Mer 17 Oct 2012 - 8:53

xphrog a écrit:
xphrog a écrit:Je ne sais pas, mais il est traduit en anglais par deux mots distincts qui n'ont pas le même sens: "unit" / "unity"
je reviens en partie sur ce que j'ai dit, parce qu'il est éventuellement trompeur: dans ce champ lexical très précis, on dit "units" pour 3 dans 783 et "units of measurement / unit of measure" pour cm dans 7cm. C'est évident, mais au cas où j'aurais donné une fausse impression, je voulais corriger le tir. Néanmoins, je crois que la bifurcation en deux mots n'est pas complètement à côté de la question non plus, d'après ce que j'ai pu comprendre en lisant en diagonale le texte, et en regardant l'exemple donné par doublecasquette. Embarassed
Je comprends ta deuxième intervention, mais dans ce cas, il n'y a plus qu'un mot pour unité : unit.

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Spinoza1670 le Mer 17 Oct 2012 - 9:00

@verdurin a écrit:Bonsoir Spinoza1670.
Il me semble que tu confonds mathématiques et physique.
On peut critiquer les «maths modernes».
Mais confondre 1 et un centimètre ou un Joule me semble relever du délire. Il n'y a pas de débats possibles dans ce cadre.
Après tu peux produire des affirmations sans preuves. L'ignorance te sert de manteau.
Quand à dire que 1 est le premier nombre, je suis en complet désaccord. Pour moi c'est 0.
On peut discuter à l'infini sur ce thème.

Réponse point par point de MD ici : http://michel.delord.free.fr/neoprofs-verdurin.pdf

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par JPhMM le Mer 17 Oct 2012 - 10:00

Suspect

Je ne comprends pas comment on peut nier à 0 le statut de premier nombre naturel, même (et surtout) en primaire. Cela doit poser des problèmes considérables.

Si en primaire, on ne commence pas à compter à partir de zéro, alors effectivement, 0 n'est pas dans le cadre de ce décompte le premier nombre. Mais comme 0 n'est pas un nombre qui suit 1, ni 2, etc., s'il n'est pas le premier nombre, il n'est pas non plus un nombre autre que le premier. N'étant ni le premier nombre, ni un autre, il n'est pas un nombre.
Dès lors, dans le cadre de cette conception des nombres naturels, si j'ai un tas de quatre billes et que je tire à ce tas quatre billes, combien ai-je de billes ? Doit-on comprendre qu'on aurait vide de billes, qui ne serait pas zéro bille, puisque zéro n'est pas un nombre ? scratch

Mais si nous acceptons que dans l'expression "zéro bille", zéro est un nombre, l'expression en question désigne bien une quantité de billes inférieure à l'expression "une bille", ainsi donc zéro serait un nombre naturel inférieur à un, que vous désignez comme premier nombre. Contradiction.

Sans en être sûr, il me semble qu'il y a confusion entre cardinaux et ordinaux. 0 est bien le premier des nombres naturels cardinaux. Par contre, le concept ordinal de zéroième est, en effet, savant.

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Padre P. Lucas le Mer 17 Oct 2012 - 10:19

@JPhMM a écrit: Suspect

Mais si nous acceptons que dans l'expression "zéro bille", zéro est un nombre, l'expression en question désigne bien une quantité de billes inférieure à l'expression "une bille", ainsi donc zéro serait un nombre naturel inférieur à un, que vous désignez comme premier nombre. Contradiction.

Sans en être sûr, il me semble qu'il y a confusion entre cardinaux et ordinaux. 0 est bien le premier des nombres naturels cardinaux. Par contre, le concept ordinal de zéroième est, en effet, savant.

Quand il n'y a plus rien à compter, on note 0.
0 c'est l'absence de quantité donc l'absence de nombre. L'abstraction du 0 est difficile à saisir pour les jeunes enfants, elle l'est beaucoup plus si on associe 0 à la notion de nombre. Je pense même qu'on devrait noter 5 billes - 5 billes = 0 et non pas 5 billes - 5 billes = 0 billes.
Mais c'est un avis personnel qui n'engage que moi Wink

Padre P. Lucas
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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par JPhMM le Mer 17 Oct 2012 - 10:23

A mon sens, l'unité est à rapprocher de la notion de vecteur unité (ou unitaire). Evidemment, on ne peut pas parler ici d'espace vectoriel ni de module, l'expression vecteur unitaire est donc, strictement, impropre, mais je vais la garder par commodité (à défaut, on pourrait inventer une autre expression, "objet unité" quand on est plongé dans N, par exemple.)

On comprend alors la notion d'unité (physique ou autre) sans quitter les mathématiques. Ainsi, soit le vecteur unité u = "bille" et soit k un entier, on a bien 1 x u = "une bille" où 1 est le nombre unité, et où u est (objet-) unité. En effet.

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Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par JPhMM le Mer 17 Oct 2012 - 10:24

@Padre P. Lucas a écrit:
@JPhMM a écrit: Suspect

Mais si nous acceptons que dans l'expression "zéro bille", zéro est un nombre, l'expression en question désigne bien une quantité de billes inférieure à l'expression "une bille", ainsi donc zéro serait un nombre naturel inférieur à un, que vous désignez comme premier nombre. Contradiction.

Sans en être sûr, il me semble qu'il y a confusion entre cardinaux et ordinaux. 0 est bien le premier des nombres naturels cardinaux. Par contre, le concept ordinal de zéroième est, en effet, savant.

Quand il n'y a plus rien à compter, on note 0.
0 c'est l'absence de quantité donc l'absence de nombre. L'abstraction du 0 est difficile à saisir pour les jeunes enfants, elle l'est beaucoup plus si on associe 0 à la notion de nombre. Je pense même qu'on devrait noter 5 billes - 5 billes = 0 et non pas 5 billes - 5 billes = 0 billes.
Mais c'est un avis personnel qui n'engage que moi Wink
Je comprends. Tout dépend de l'âge des jeunes enfants, à mon avis, précisément. D'autant plus que cette question est débattue depuis plus d'un demi millénaire. Wink

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par JPhMM le Mer 17 Oct 2012 - 10:33

De plus, je rappelle que 1 (comme entier) est appelé traditionnellement l'unité non pas parce qu'il serait le premier nombre, mais parce qu'il est indivisible, ce qui, pour les Anciens, signifiait qu'il n'est divisible par aucun autre nombre que lui-même. A la différence de 2, par exemple, qui peut être divisé par 1 (qui n'est pas lui-même). Ce qui d'ailleurs, chez certains mathématiciens et philosophes grecs, retirait à 1 le statut de nombre. Mais ça, c'est une autre histoire, même si M. Delord l'évoque dans son texte.


Dernière édition par JPhMM le Mer 17 Oct 2012 - 10:40, édité 1 fois

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par doctor who le Mer 17 Oct 2012 - 10:36

@JPhMM a écrit: Suspect

Je ne comprends pas comment on peut nier à 0 le statut de premier nombre naturel, même (et surtout) en primaire. Cela doit poser des problèmes considérables.

Si en primaire, on ne commence pas à compter à partir de zéro, alors effectivement, 0 n'est pas dans le cadre de ce décompte le premier nombre. Mais comme 0 n'est pas un nombre qui suit 1, ni 2, etc., s'il n'est pas le premier nombre, il n'est pas non plus un nombre autre que le premier. N'étant ni le premier nombre, ni un autre, il n'est pas un nombre.
Dès lors, dans le cadre de cette conception des nombres naturels, si j'ai un tas de quatre billes et que je tire à ce tas quatre billes, combien ai-je de billes ? Doit-on comprendre qu'on aurait vide de billes, qui ne serait pas zéro bille, puisque zéro n'est pas un nombre ? scratch

Mais si nous acceptons que dans l'expression "zéro bille", zéro est un nombre, l'expression en question désigne bien une quantité de billes inférieure à l'expression "une bille", ainsi donc zéro serait un nombre naturel inférieur à un, que vous désignez comme premier nombre. Contradiction.

Sans en être sûr, il me semble qu'il y a confusion entre cardinaux et ordinaux. 0 est bien le premier des nombres naturels cardinaux. Par contre, le concept ordinal de zéroième est, en effet, savant.

Le Padre a répondu. Mais on peut aussi te rétorquer que si "l'expression 'zéro bille' désigne une quantité de billes inférieure à l'expression 'une bille'", et que donc "zéro serait un nombre naturel inférieur à un", on peut aussi dire que l'expression "'moins une bille' désigne une quantité de billes inférieure à l'expression 'une bille'".
Pour autant, il serait absurde de commencer par les nombres négatifs en primaire.

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par JPhMM le Mer 17 Oct 2012 - 10:42

@doctor who a écrit:
@JPhMM a écrit: Suspect

Je ne comprends pas comment on peut nier à 0 le statut de premier nombre naturel, même (et surtout) en primaire. Cela doit poser des problèmes considérables.

Si en primaire, on ne commence pas à compter à partir de zéro, alors effectivement, 0 n'est pas dans le cadre de ce décompte le premier nombre. Mais comme 0 n'est pas un nombre qui suit 1, ni 2, etc., s'il n'est pas le premier nombre, il n'est pas non plus un nombre autre que le premier. N'étant ni le premier nombre, ni un autre, il n'est pas un nombre.
Dès lors, dans le cadre de cette conception des nombres naturels, si j'ai un tas de quatre billes et que je tire à ce tas quatre billes, combien ai-je de billes ? Doit-on comprendre qu'on aurait vide de billes, qui ne serait pas zéro bille, puisque zéro n'est pas un nombre ? scratch

Mais si nous acceptons que dans l'expression "zéro bille", zéro est un nombre, l'expression en question désigne bien une quantité de billes inférieure à l'expression "une bille", ainsi donc zéro serait un nombre naturel inférieur à un, que vous désignez comme premier nombre. Contradiction.

Sans en être sûr, il me semble qu'il y a confusion entre cardinaux et ordinaux. 0 est bien le premier des nombres naturels cardinaux. Par contre, le concept ordinal de zéroième est, en effet, savant.

Le Padre a répondu. Mais on peut aussi te rétorquer que si "l'expression 'zéro bille' désigne une quantité de billes inférieure à l'expression 'une bille'", et que donc "zéro serait un nombre naturel inférieur à un", on peut aussi dire que l'expression "'moins une bille' désigne une quantité de billes inférieure à l'expression 'une bille'".
Pour autant, il serait absurde de commencer par les nombres négatifs en primaire.
Pas tout à fait, puisque nous considérions les nombres naturels. La distinction n'est pas qu'abstraite. Je peux avoir 0 bille dans un sac (et je peux produire cette quantité en enlevant toutes les billes), et distinguer cette quantité de 1 bille, mais j'ignore (comme décompteur) ce que signifie -1 bille dans un sac.

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par JPhMM le Mer 17 Oct 2012 - 11:02

Enfin, Michel Delord met en exergue un problème de didactique crucial quand il évoque la différence entre les nombres entiers naturels pour compter, et les fractions (et donc corollairement les décimaux) pour mesurer.

Les opérations (mentales) associées à ces deux notions sont très différentes et il me semble en effet impropre d'illustrer la somme d'entiers par des mesures de grandeurs et non des collections d'objets.

Pour le dire simplement, l'opération 5 billes + 3 billes = 8 billes a bien lieu dans les entiers, mais l'opération 5 m + 3 m = 8 m a lieu dans les rationnels. Évidemment, on pourra me rétorquer que le 5 de 5 m est aussi un nombre naturel (sous entendu un nombre pour compter), mais il s'agit ici d'un accident sur la valeur de la mesure, et en rien du sens de l'opération d'addition de mesures (ici de longueurs). La distinction est si importante, qu'elle induit des erreurs chez des élèves jusqu'en sixième, et parfois cinquième.

Par exemple, certains élèves, au lieu de mesurer à l'aide d'une graduation, comptent les graduations. On voit fréquemment des élèves qui repèrent la graduation notée 12 et comptent les trois graduations qui suivent pour compter 15, faisant fi du fait que ces trois graduations désignaient des dixièmes. Ils auraient du mesurer 12,3.

Soyons catégorique Razz Les entiers ne servent pas à mesurer, mais seulement à compter. Pire, il est impossible de mesurer avec (seulement) les nombres entiers. professeur

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par JPhMM le Mer 17 Oct 2012 - 11:20

@Padre P. Lucas a écrit:Quand il n'y a plus rien à compter, on note 0.
0 c'est l'absence de quantité donc l'absence de nombre. L'abstraction du 0 est difficile à saisir pour les jeunes enfants, elle l'est beaucoup plus si on associe 0 à la notion de nombre.
De tout façon le problème surgira quand il s'agira de faire des opérations. Si 0 n'est pas un nombre, comment comprendre 5 + 0 = 5, et 5 x 0 = 0, comment comprendre une opération d'addition entre un nombre et un non-nombre (pour la multiplication, la chose serait un peu moins difficile à envisager, par contresens. En effet 5 x bille = 5 billes et bille n'est pas un nombre. Ce n'est pas ici une loi de composition interne. Problème : la multiplication dans les entiers est une loi de composition interne.) ?

@Padre P. Lucas a écrit:Je pense même qu'on devrait noter 5 billes - 5 billes = 0 et non pas 5 billes - 5 billes = 0 billes.
Je suis d'accord, mais c'est bien que l'objet est absent, non son nombre. Pour beaucoup, il est difficile d'accepter que 5 billes - 5 billes = 3 éléphants - 3 éléphants, pourtant... sur mon clavier il y a autant de billes que d'éléphants, c'est-à-dire même nombre de billes que d'éléphants. Laughing

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Spinoza1670 le Mer 17 Oct 2012 - 11:29



Dernière édition par Spinoza1670 le Mer 17 Oct 2012 - 12:21, édité 1 fois

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par JPhMM le Mer 17 Oct 2012 - 11:40

@Spinoza1670 a écrit:Des arguments intéressants aussi sur edp :http://forums-enseignants-du-primaire.com/topic/288593-unites-et-nombres/
Merci. Very Happy

Comme tu l'auras compris en lisant mon message relatif au rapprochement, par exemple, de 7 billes avec le produit du scalaire 7 et de l'objet unité "bille" (qui est une loi de composition externe à gauche, comme la multiplication par un scalaire des espaces vectoriels), je ne suis pas d'accord avec Caliban (très joli pseudo shakespearien Very Happy ) quand il évoque l'impertinence du produit 7 x m.

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