Le mot unité a-t-il deux sens ?

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par JPhMM le Mer 17 Oct 2012 - 11:40

@Spinoza1670 a écrit:Des arguments intéressants aussi sur edp :http://forums-enseignants-du-primaire.com/topic/288593-unites-et-nombres/
Merci. Very Happy

Comme tu l'auras compris en lisant mon message relatif au rapprochement, par exemple, de 7 billes avec le produit du scalaire 7 et de l'objet unité "bille" (qui est une loi de composition externe à gauche, comme la multiplication par un scalaire des espaces vectoriels), je ne suis pas d'accord avec Caliban (très joli pseudo shakespearien Very Happy ) quand il évoque l'impertinence du produit 7 x m.

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Spinoza1670 le Mer 17 Oct 2012 - 12:29

Désolé mais je ne peux pas suivre : 1) je n'ai pas le niveau ; 2) je n'ai même pas le temps de lire vraiment, je survole. Je me contenterai de transmettre la réponse de MD, s'il y en a une.

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« Let not any one pacify his conscience by the delusion that he can do no harm if he takes no part, and forms no opinion. Bad men need nothing more to compass their ends, than that good men should look on and do nothing. » (John Stuart Mill)
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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par JPhMM le Mer 17 Oct 2012 - 12:35

Aucun problème. Wink

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Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Padre P. Lucas le Mer 17 Oct 2012 - 15:35

@JPhMM a écrit:Enfin, Michel Delord met en exergue un problème de didactique crucial quand il évoque la différence entre les nombres entiers naturels pour compter, et les fractions (et donc corollairement les décimaux) pour mesurer.

Les opérations (mentales) associées à ces deux notions sont très différentes et il me semble en effet impropre d'illustrer la somme d'entiers par des mesures de grandeurs et non des collections d'objets.

Pour le dire simplement, l'opération 5 billes + 3 billes = 8 billes a bien lieu dans les entiers, mais l'opération 5 m + 3 m = 8 m a lieu dans les rationnels. Évidemment, on pourra me rétorquer que le 5 de 5 m est aussi un nombre naturel (sous entendu un nombre pour compter), mais il s'agit ici d'un accident sur la valeur de la mesure, et en rien du sens de l'opération d'addition de mesures (ici de longueurs). La distinction est si importante, qu'elle induit des erreurs chez des élèves jusqu'en sixième, et parfois cinquième.

Par exemple, certains élèves, au lieu de mesurer à l'aide d'une graduation, comptent les graduations. On voit fréquemment des élèves qui repèrent la graduation notée 12 et comptent les trois graduations qui suivent pour compter 15, faisant fi du fait que ces trois graduations désignaient des dixièmes. Ils auraient du mesurer 12,3.

Soyons catégorique Razz Les entiers ne servent pas à mesurer, mais seulement à compter. Pire, il est impossible de mesurer avec (seulement) les nombres entiers. professeur

Je pense que ce type d'erreur n'est pas dû à l'utilisation des entiers pour mesurer, mais, au contraire, à l'absence d'une approche intuitive de la distinction entiers/rationnels, et ce, dès le début des apprentissages. L'élève qui a utilisé, dès la maternelle, les baguettes Cuisenaire (1 cm, 2 cm .... 10 cm) pour mesurer son cahier, le mètre en bois pour mesurer sa classe, le mètre et les centimètres pour mesurer sa taille ... constate dès le début qu'on a souvent besoin d'un encadrement pour exprimer une mesure et que plus l'unité choisie sera petite, plus on approchera la réalité. Sans cette approche intuitive, je doute de l'efficacité de l'enseignement des rationnels au collège.



Padre P. Lucas
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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par JPhMM le Mer 17 Oct 2012 - 16:45

Les baguettes Cuisenaire sont un cas très particulier, en effet : 1. elles sont pas sécables, 2. l'ensemble des baguettes est partitionnable selon les longueurs et couleurs des baguettes, 3. on peut réaliser physique que trois baguettes d'une certaine couleur "recouvrent" une baguette d'une autre couleur (et de fait, on aborde la longueur selon l'approche adéquat : la relation d'équivalence, le "compas" si vous préférez).
Je suis bien d'accord avec vous, mais encadrer une longueur par deux entiers, c'est précisément le lieu du glissement vers la mesure.

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Spinoza1670 le Jeu 18 Oct 2012 - 10:53

Je transmets une réponse de Delord sur un point particulier. J'ai largement abrégé son message pour qu'il ne soit pas trop long. Vous le trouverez en intégralité dans le pdf.
MD à Spinoza1670 a écrit:Salut Spinoza,

Suite à la proposition de JPhMM, je te propose de faire passer sur Neoprofs la contribution suivante qui est d’abord destinée à EdP mais qui donne des éléments qui ne sont pas particuliers à ce forum.
Ceci dit, je prépare une réponse à ce qu’ont dit JPhMM, doctorwho … qui n’est pas facile si on la veut précise.
J’essaierai aussi de repréciser ce que j’avais principalement voulu dire dans le texte « Le mot unité a-t-il deux sens ?» dont le titre était peut-être mal choisi si on le prenait dans le sens le plus général et si l’on ne regardait pas dans le texte - ce qui devait être le cas de xphrog - quel étaient les deux sens principaux dont il était question.
Bonne lecture

MD

Verdurin a disparu ?

* * *
Cher caliban

Merci de votre réponse.
Je n’aborde en retour qu’un point (parce que dans l’immédiat, j’ai quelques travaux manuels mais soyez sûr que j’y reviendrai), mais il est fondamental. Et vaut donc qu’on s’y arrête.

Vous dites - et dites-moi si je déforme votre pensée - : « Mais les références [que MD] donne sont limpides : ce qu'il veut dire, c'est qu'on peut considérer 7 m comme le produit d'un nombre et d'une unité, 7×m . » Et vous n’êtes manifestement pas d’accord avec cette référence. Je ne déforme pas votre pensée ?

En fait ce qui est important n’est pas que vous soyez en désaccord avec moi mais avec le BIPM lorsqu’il écrit [1] :

«La valeur d'une grandeur s'exprime comme le produit d'un nombre par une unité ; le nombre qui multiplie l'unité est la valeur numérique de la grandeur exprimée au moyen de cette unité.»
Brochure sur le SI, huitième édition, section 5.3
http://www.bipm.org/fr/si/si_brochure/chapter5/5-3.html

Et je rappelle l’origine de la formulation, qui était citée par l’AFNOR :

« L’expression d’une grandeur est le produit de deux facteurs dont l’un, qui est une grandeur de même nature prise comme repère, s’appelle son unité, et dont l’autre, qui est le nombre de fois que l’unité est contenue dans la grandeur, s’appelle sa valeur numérique »
James Clerck Maxwel, A treatise on electricity and magnetism, Oxford, 1873, page 1.

Vous n’êtes pas d’accord avec cette définition. Je ne déforme toujours pas votre pensée ?

Si c’est le cas, je vois au moins deux conséquences :

Lire la suite sur http://michel.delord.free.fr/neoprofs-caliban+.pdf


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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par MarcoPaulo le Jeu 18 Oct 2012 - 14:38

Michel Delord me demande de vous informer du fait que le fichier
Neoprofs-caliban+ été modifié.
MH

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par JPhMM le Jeu 18 Oct 2012 - 21:59

@Spinoza1670 a écrit:Je transmets une réponse de Delord sur un point particulier. J'ai largement abrégé son message pour qu'il ne soit pas trop long. Vous le trouverez en intégralité dans le pdf.
Merci. Very Happy

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par JPhMM le Jeu 18 Oct 2012 - 22:43

Je prends quelques secondes pour rebondir sur un argument très intéressant lu sur http://forums-enseignants-du-primaire.com/topic/288593-unites-et-nombres/page__st__10

@Caliban a écrit:Un exemple trivial : au sens usuel et dans des espaces bien élevés, la multiplication est commutative :
7 x 2 = 2 x 7 = 14. C'est une propriété essentielle, dont l'appropriation est un enjeu de l'enseignement
des maths à l'école élémentaire. Mais ce n'est pas le cas du "produit" que vous semblez tenir à reconnaître
dans l'expression "7 m" : il n'aurait strictement aucun sens d'écrire 7 m = m 7.
Ou encore : il y a un mètre-étalon, mais pas de double- ou triple-mètre étalon.

Je crois qu'il y a confusion entre deux lois.
Démêler cette confusion demande de mettre les mains dans le cambouis. Notons donc différemment les deux lois :

[1] Notons x la multiplication des scalaires, loi de composition interne dans les nombres (dans K = N (dans le cas d'objets) ou R+ (dans le cas de longueurs)). Elle est bien sûr commutative : 3 x 5 = 5 x 3

[2] Notons • la multiplication du scalaire par l'unité, comme loi de composition externe à gauche, notée scalaire à gauche donc. Par exemple 5 • m pour "5 mètres"

Évidemment, tout cela fonctionne exactement comme du calcul vectoriel. Notons par exemple, que comme dans les espaces vectoriels à gauche sur K, la loi de composition externe à gauche est associative à droite par rapport à la multiplication dans K :
3 • (5 • m) = (3 x 5) • m

C'est d'ailleurs précisément ce que font les physiciens, séparer le calcul sur les scalaires (à gauche donc) du calcul sur les unités (à droite).

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Spinoza1670 le Ven 19 Oct 2012 - 22:12

aai J'applaudis la forme du propos même si je n'en comprends pas le fond.

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par verdurin le Lun 22 Oct 2012 - 22:40

Je m'excuse de ne pas avoir répondu.
J'émerge d'un rhume qui m'a contraint à me limiter à mon travail.

Pour préciser mon histoire, les maths modernes ont été pour moi un soulagement, quand j'étais élève.
Enfin on pouvais raisonner au lieu de se contenter de sodomiser les diptères.

À l'intention de Michel Delord : je trouve méprisable de répondre sur un forum extérieur à un message poster ici.

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Contre la bêtise, les dieux eux mêmes luttent en vain.
Ni centidieux, ni centimètres.

verdurin
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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par verdurin le Mar 23 Oct 2012 - 0:12

Il semble difficile de se connecter aux endroits où répond Michel Delord.
Voici donc la réponse, un peu légère , d'un certain verdurin à quelqu'un qui a poussé la lâcheté assez loin.

Mais c'est un pédagogue, et un spécialiste des «sciences de l'éducation».
Après 40 ans d'expériences, je ne pense guère de bien des gens de cette sorte.

On peut trouver ici une expression de sa «pensée».
Et le message au quel je réponds.

Bonsoir,
un certain verdurin se permet de regretter que tu ne lui ais pas répondu directement.

1. Il y a certes des gens pour dire « Les mathématiques font partie de la physique. La physique est une science expérimentale, une des sciences naturelles.» Mais ce n'est pas, pour autant que je sache, la majorité des mathématiciens. Et ce n'est pas la mienne.
Il est clair que ma conception ne se résume pas aux quelques lignes que vous avez citées, pas plus que la vôtre ne se résume, du moins je l'espère, à deux citations.
Je ne pense pas que les mathématiques soient une science au sens de la physique, de la chimie ou de la sociologie.
En mathématique il n'y a pas de démonstration par induction, au mieux elle permet de formuler des conjectures. Et les mathématiques ne reposent pas sur l'autorité de Bourbaki, de Gauss, ou de quiconque, mais sur des démonstrations.
J'admets volontiers qu'il y a un défaut dans l'idée même de démonstration, on peut lire Lakatos sur ce thème.

En ce qui concerne la différence entre mathématique et physique, on peut essayer de réfléchir à la différence entre les théories de Ptolémée et celle de Newton.
Mathématiquement on peut calculer des épicycles ad nauseam pour rendre la théorie de Ptolémée aussi précise que l'on veut. Mais les physiciens, à ma connaissance, ne font pas ce genre de raisonnement.

Vous dites : «en parlant de physique et de maths sans autres précisions, vous faites comme si votre conception était la seule valable en considérant les autres interprétations au mieux comme fausses.»
Je n'ai pas l'impression que vous agissiez différemment.

2. Je ne sais pas, à part un certain nombre de mes élèves, qui confond 1 et 1cm. Mais j'ai la vague, et peut-être fausse, impression que vous encouragez ce genre de confusion.

Quand à lire le fichier entier, il s'agit d'une référence que je ne possède pas.
À quel fichier faites vous allusion ?

Je ne doute en aucun de vos capacités hors du commun, mais je pense encore qu'une citation n'est pas une preuve.

Et je lirais volontiers votre «texte», si je savais où le trouver.

Je reconnais que je n'ai pas la science infuse, mais votre réponse me semble effectivement relever des affirmations sans preuves.

Ps
Il y a une chose qui m'a toujours étonné : on peut reconnaitre les spécialistes des sciences de l'éducation au style d'argumentation.
Deux citations, un mépris total pour qui ne pense pas comme eux, et une totale incompétence.











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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Spinoza1670 le Mar 23 Oct 2012 - 23:45

@verdurin a écrit:Je m'excuse de ne pas avoir répondu.
J'émerge d'un rhume qui m'a contraint à me limiter à mon travail.

Pour préciser mon histoire, les maths modernes ont été pour moi un soulagement, quand j'étais élève.
Enfin on pouvais raisonner au lieu de se contenter de sodomiser les diptères.

À l'intention de Michel Delord : je trouve méprisable de répondre sur un forum extérieur à un message poster ici.

je te réponds à la place de MD qui ne le peut pas (exclu pour l'instant du forum Neoprofs) :
par Spinoza1670 le Mer 17 Oct 2012, 11:00 am sur Neoprofs référence exacte de ma citation : http://www.neoprofs.org/t53846-le-mot-unite-a-t-il-deux-sens#1672541 a écrit:
Réponse point par point de MD ici : http://michel.delord.free.fr/neoprofs-verdurin.pdf


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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par MarcoPaulo le Mer 24 Oct 2012 - 6:30

De la part de Michel Delord
Suite débat EdP
Le BIPM et les UNS
http://michel.delord.free.fr/edp_bipm-uns.pdf

MH

MarcoPaulo
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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par MarcoPaulo le Mer 24 Oct 2012 - 6:54

Toujours de la part de Michel Delord

Pour verdurin qui écrit :
"Quand à lire le fichier entier, il s'agit d'une référence que je ne possède pas.
À quel fichier faites vous allusion ? ...
Et je lirais volontiers votre «texte», si je savais où le trouver."

"Le fichier entier" - de dix pages - est celui qui est le sujet de ce fil , cad
"Le mot unité a-t-il deux sens ?"
http://michel.delord.free.fr//neoprofs-unites01.pdf
Je pense donc que vous avez répondu à la présentation qu'en fait Spinoza - et qui est reprise mot pour mot de la présentation http://micheldelord.blogspot.fr/2012/10/unites-et-nombres.html - sans lire le "fichier entier".
Cordialement
MD

Marco Hernandez


MarcoPaulo
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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par MarcoPaulo le Jeu 25 Oct 2012 - 14:47

De la part de Michel Delord

a)Un complément de réponse à Verdurin : http://michel.delord.free.fr/verdurin.html#Verdurin_II
b) Je prépare une réponse notamment à JPhMM sur
- la question de la mesure ( En fait je pense que" l'on peut faire de la mesure en primaire" en utilisant les fractions mais pas les nombres rationnels qui, à mon sens, ne doivent pas être au programme du primaire)
- la question du "zéro" , du "un"
c) Personne ne se lance sur le débat que je propose à la fin de mon texte http://michel.delord.free.fr/neoprofs-unites01.pdf ? La problématique vous semble fausse ?

MD

MH


Dernière édition par MarcoPaulo le Ven 26 Oct 2012 - 12:59, édité 1 fois

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par JPhMM le Jeu 25 Oct 2012 - 15:22

Merci.

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Mareuil le Jeu 25 Oct 2012 - 17:18

@MarcoPaulo a écrit:De la part de Michel Delord

a)Un complément de réponse à Verdurin : http://michel.delord.free.fr/verdurin.html#Verdurin_II
b) Je prépare une réponse notamment à JPhMM sur
- la question de la mesure ( En fait je pense que" l'on peut faire de la mesure en primaire" en utilisant les fractions mais pas les nombres rationnels qui, à mon sens, ne doivent pas être au programme du primaire)
- la question du "zéro" , du "un"
c) Personne ne se lance sur le débat que je propose à la fin de mon texte [url] http://michel.delord.free.fr/neoprofs-unites01.pdf[/url] ? La problématique vous semble fausse ?

MD

MH
Ce serait tellement plus simple, si MD pouvait poster ici.

Mareuil
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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par MarcoPaulo le Ven 26 Oct 2012 - 12:45

Bonjour, c'est MarcoPaulo, le facteur de MD


Bonjour

Verdurin nous parle des maths modernes et nous dit successivement que" l'on peut critiquer les maths modernes " mais il rajoute "Pour préciser mon histoire, les maths modernes ont été pour moi un soulagement, quand j'étais élève. Enfin on pouvais raisonner au lieu de se contenter de sodomiser les diptères." Je le laisse expliciter sa position ultérieurement mais il me semble bien qu'une bonne partie de l'enseignement primaire des maths modernes en primaire, et jusqu'en troisième, consistait justement à développer cette "activité agressive contre contre le fondement de cet ordre précis de la classe des ptérygotes". Je ne citerai que les discussions sur le fait qu'il fallait absolument écrire "La mesure du segment AB en centimètres est 3" et pas , scandale, "AB mesure 3 cm" pour le primaire et pour le collège la fameuse définition de la droite en quatrième [...]
A ce propos je reproduis infra, en anonymisant ce qui est nécessaire, une discussion sur les maths modernes, discussion qui s'est déroulée récemment sur une liste de profs de mathématiques de collège.
Et je renvoie aussi, pour diverses raisons au texte "Exclu de la liste Freinet ..." et en particulier à son annexe " Fonctionnement de secte" .
Texte complet, Verdurin III, ICI, http://michel.delord.free.fr/verdurin.html#Verdurin_III
Plus un nouveau cours sur ma page "Cours de maths :Définition du mètre "
26/10/2012
Michel Delord
MH

MarcoPaulo
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Changements d'unités et mesure

Message par MarcoPaulo le Sam 27 Oct 2012 - 8:33

MH, mis en facteur de MD

Bonjour

Pour la discussion sur la mesure - en particulier pour JPhMM-, je propose de commencer par discuter d'un vieux memo de 2004 : "Trois méthodes pour les changements d'unités" http://michel.delord.free.fr/unites.pdf, dont je ferai ultérieurement une présentation développée pour ma "Page de cours" . En fait une des raisons qui font que les changements d'unités sont mal compris, c'est qu'il s'agit aussi d'une question de proportionnalité inverse, question qui n'était déjà presque plus enseignée quand j'étais en primaire.

[Petit supplément pour les non-matheux 12/11/2012

On dit que deux grandeurs sont proportionnelles - ou directement proportionnelles - si leur quotient est constant. Dans ce cas, si l'une des grandeurs est multipliée par 2, 3, 4 , 5 etc. , l'autre grandeur est multipliée par le même nombre.
Par exemple, si l'on vend de la viande à 12€/kg, le quotient du prix à payer par la quantité achetée ne varie pas ( et vaut ici 10€/kg) et si l'on achète deux fois plus de viande, on paie deux fois plus cher

On dit que deux grandeurs sont inversement proportionnelles si leur produit est constant. Dans ce cas, si l'une est multipliée par 2, 3, 4 , 5 etc. , l'autre grandeur est divisée par le même nombre.

Si l'aire A d'un rectangle ne varie pas et vaut 10 m², sa longueur L et sa largueur l sont inversement proportionnelles, puisque justement L×l= 10 m². Et si la longueur est deux fois plus grande, la largeur sera deux fois plus petite.

Pour l’exemple qui nous intéresse, la mesure d'une plongeur est inversement proportionnelle à l'unité dans laquelle elle est mesurée. Supposons qu'une longueur mesure 7 m, elle mesure aussi 700 cm, et dans ce cas, l'unité a été divisée par 100 et la mesure a été multipliée par 100.

La proportionnalité inverse a été définitivement supprimée des programmes au moment des maths modernes. La proportionnalité directe ne disparaissait pas mais on en rognait tout ce qui dépassait pour la réduire à la notion de fonction linéaire. Mais comme il n'y avait pas dans "l'attirail de base des structures" quelque chose qui aurait pu s'appeler "fonction inversement linéaire", c'est toute la proportionnalité inverse qui a été rognée et qui a passé intégralement à la trappe]
Bonne soirée

MD

Marco


Dernière édition par MarcoPaulo le Lun 12 Nov 2012 - 22:20, édité 1 fois

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par JPhMM le Sam 27 Oct 2012 - 10:10

Merci.
En collège, j'utilise aussi le sens des préfixes, en application des puissances de dix.

Ainsi : 5 hm = 5 x 10² x m = 5 x 10² x 10^3 x 10^(-3) m = 5 x 10^5 mm = 500 000 mm

Cela n'est pas sans intérêt pour la conversation d'unités d'aires et de volumes, par exemple.
Ainsi : 5 hm² = 5 (hm)² = 5 x (10² m)² = 5 x 10^4 m² = 50 000 m²

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Spinoza1670 le Dim 28 Oct 2012 - 8:43

Deux textes sur la notion d'unité :

* Ron Aharoni, What I learnt in elementary schools, paragraphe intitulé "What arithmetic should be covered in elementary schools ?"
http://www.aft.org/newspubs/periodicals/ae/fall2005/aharoni.cfm

Spoiler:
What Arithmetic Should Be Covered in Elementary School?

The embarrassingly simple answer is: the four basic operations—addition, subtraction, multiplication, and division.

Yet, this seemingly simple answer is deceptive in two ways. One is that there are actually five operations. In addition to the four classical operations, there is a fifth one that is even more fundamental and important. That is, forming a unit, taking a part of the world and declaring it to be the "whole." This operation is at the base of much of the mathematics of elementary school. First of all, in counting, when you have another such unit you say you have "two," and so on. The operation of multiplication is based on taking a set, declaring that this is the unit, and repeating it. The concept of a fraction starts from having a whole, from which parts are taken. The decimal system is based on gathering tens of objects into one unit called a "10," then recursively repeating it.

The forming of a unit, and the assigning of a name to it, is something that has to be learned and stressed explicitly. I met children who, in fifth grade, knew how to find a quarter of a class of 20, but had difficulty understanding how to find "three-quarters" of the class, having missed the stage of the corresponding process of repeating a unit in multiplication.

But there is another reason [...]

* Ch.-A. Laisant, Initiation mathématique de C.-A. Laisant, Chapitre 15 : Comptes ; mesures ; rapports.
Le chapitre 15 : http://ecolereferences.blogspot.com/2011/11/la-cinquieme-operation-le-rapport.html
Les chapitres 1 à 17, 27 à 29, intro et discours final : http://michel.delord.free.fr/lais-init1.pdf

Spoiler:
Comptes ; mesures ; rapports.
Chapitre 15 de l'Initiation mathématique de C.-A. Laisant

Nous avons vu, depuis le début, que ce que nous nous proposons constamment, c’est de compter et de mesurer. Si nous avons devant nous un tas de grains de blé, et si nous trouvons, en les comptant, qu’il y en ait 157, ce nombre, comme nous l’avons fait remarquer déjà, pourra aussi bien nous servir à représenter une collection de jetons, d’allumettes, d’arbres, de moutons ou de n’importe quoi. Si pour déterminer une longueur nous avons pris des bâtonnets tous pareils les uns au bout des autres et si nous en avons trouvé 157 pour mesurer cette longueur, nous disons qu’elle est de 157 bâtonnets. Dans tous ces divers cas, nous ne pourrions rien évaluer si nous n’avions pas l’idée d’un grain de blé, d’un jeton, d’un arbre, d’un mouton, d’un bâtonnet.

Le nombre n’a de raison d’être que par la comparaison qu’il amène avec l’objet unique (grain de blé, jeton, etc.) sans lequel on ne pourrait le former, et cet objet unique est appelé unité. Cette comparaison est ce qu’on appelle un rapport, et cette idée de rapport conduit à dire qu’un nombre est simplement le rapport de la collection avec l’unité.

Il est d’autant plus nécessaire de bien se mettre dans la tête cette notion-là, que l’unité n’est pas toujours la même. Ainsi, ayant formé des paquets de bâtonnets, prenons-en un tas et comptons-les ; nous en trouvons sept ; sept est le rapport de notre collection de bâtonnets à un paquet, qui est l’unité. Maintenant, éparpillons nos bâtonnets en défaisant les liens des paquets, et comptons ; c’est le bâtonnet qui va devenir l’unité, et nous en compterons septante ; ce nombre sera le rapport de la même collection à un bâtonnet.

De même, prenons trois fagots de bâtonnets ; si nous comptons par paquets, nous trouverons trente paquets ; et par bâtonnets, trois cents.
Trois sera le rapport de tout le tas de bâtonnets à un fagot ; trente, le rapport du même tas à un paquet ; trois cents, le rapport à un bâtonnet.

On peut produire tant qu’on en voudra des exemples semblables, en les variant à l’infini, de manière à bien familiariser l’élève avec cette notion de rapport, qui est à la base même de tout compte et de toute mesure, et qu’on rejette cependant à la fin de l’Arithmétique, dans l’enseignement classique, par on ne sait quelle aberration. Il n’est pas possible de compter deux haricots sans avoir la notion du rapport de deux à un ; de mesurer une longueur de trois mètres, sans comparer cette longueur à celle d’un seul mètre (rapport de trois à un) et ainsi de suite.

Ce sera ici l’occasion de montrer à l’élève, sans aucune explication théorique, sans aucune définition, sans aucun appel à sa mémoire, les objets les plus vulgaires du système métrique que l’on aura sous la main ; mètres, litres, pièces de monnaie, poids, etc. On l’exercera à en faire usage, à s’en servir pour mesurer ou compter, et l’idée de rapport s’incrustera dans son esprit, s’y associera indissolublement avec celle de nombre, ce qui est essentiel pour une saine compréhension, le jour où, dans l’avenir, il devra passer de l’amusement à l’étude. Et cette étude alors pourra devenir elle-même intéressante et amusante, au lieu d’avoir le caractère d’une ennuyeuse corvée, pour ne pas dire d’une torture.

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« Let not any one pacify his conscience by the delusion that he can do no harm if he takes no part, and forms no opinion. Bad men need nothing more to compass their ends, than that good men should look on and do nothing. » (John Stuart Mill)
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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Spinoza1670 le Dim 28 Oct 2012 - 9:25

Traduction en amateur du texte de Ron Aharoni (texte anglais cité en spoiler plus haut) : "Qu'est-ce qui doit être appris à l'école élémentaire en arithmétique ?

La réponse, si simple que c'en est embarrassant, est : les quatre opérations.

Mais cette réponse apparemment simple est trompeuse, de deux façons. Une première raison est qu'il y a en fait cinq opérations. A côté des quatre opérations classiques, il y en a une cinquième, plus basique et plus importante : celle qui consiste à former une unité. Prendre une partie du monde et déclarer que c'est le "tout" (the "whole"). Cette opération est à la base d'une grande partie des mathématiques de l'école élémentaire. Tout d'abord, dans l'action de compter : quand on a une autre unité de même espèce, on dit qu'on en a "deux", et ainsi de suite. L'opération de multiplication est basée sur le fait de prendre un ensemble (a set), de déclarer que c'est l'unité, et de le répéter. Le concept de fraction prend son origine dans le fait d'avoir un tout, duquel des parties sont prises. Le système décimal est basé sur le rassemblement de dizaines d'objets en une unité appelée une "dizaine", et puis sur la répétition récursive de cette action.

La formation d'une unité et le fait de lui donner un nom est quelque chose qui doit s'apprendre et sur laquelle il faut insister énergiquement. J'ai rencontré des enfants en 5th grade (équivalent du cm2) qui savaient comment trouver un quart d'une classe de 20, mais avaient des difficultés à comprendre ce qu'étaient "trois quarts" de la classe, ayant manqué l'étape du processus correspondant de répétition de l'unité dans la multiplication.

Mais il y a une autre raison ...."

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Spinoza1670 le Dim 28 Oct 2012 - 11:05

Un texte de Jean Macé sur les proportions permettant d'approfondir ce que dit Laisant :
http://ecolereferences.blogspot.com/2012/10/les-proportions.html

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par Mareuil le Dim 28 Oct 2012 - 11:23

@Spinoza1670 a écrit:Un texte de Jean Macé sur les proportions permettant d'approfondir ce que dit Laisant :
http://ecolereferences.blogspot.com/2012/10/les-proportions.html

Merci Spino, pour ces textes remarquables.
Une remarque acide : quelle personnalité, en charge aujourd'hui d'une de ces associations "partenaires" de l'Ed.nat qui occupent le terrain rue de Grenelle, est capable d'en produire de semblables ?

Pour mémoire, la bio de Jean Macé :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Jean_Macé

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Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

Message par MarcoPaulo le Jeu 8 Nov 2012 - 8:01

MC, MD's postman

Bonjour
On avait parlé de la nature de "un" et je vais y revenir.

En attendant, des extraits de ce qui est à mon sens le meilleur article sur la question, "Un" est-il un nombre ? de Maryvonne Hallez et Nicole Nordon, ( In Si le nombre m'était conté, Elipses , 2000)

http://michel.delord.free.fr/un-est-il-un-nombre.pdf

MD

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