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MarcoPaulo
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Le mot unité a-t-il deux sens ?  - Page 3 Empty Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

par MarcoPaulo le Jeu 25 Oct 2012 - 14:47
De la part de Michel Delord

a)Un complément de réponse à Verdurin : http://michel.delord.free.fr/verdurin.html#Verdurin_II
b) Je prépare une réponse notamment à JPhMM sur
- la question de la mesure ( En fait je pense que" l'on peut faire de la mesure en primaire" en utilisant les fractions mais pas les nombres rationnels qui, à mon sens, ne doivent pas être au programme du primaire)
- la question du "zéro" , du "un"
c) Personne ne se lance sur le débat que je propose à la fin de mon texte http://michel.delord.free.fr/neoprofs-unites01.pdf ? La problématique vous semble fausse ?

MD

MH


Dernière édition par MarcoPaulo le Ven 26 Oct 2012 - 12:59, édité 1 fois
JPhMM
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Le mot unité a-t-il deux sens ?  - Page 3 Empty Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

par JPhMM le Jeu 25 Oct 2012 - 15:22
Merci.

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
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Mareuil
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Le mot unité a-t-il deux sens ?  - Page 3 Empty Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

par Mareuil le Jeu 25 Oct 2012 - 17:18
@MarcoPaulo a écrit:De la part de Michel Delord

a)Un complément de réponse à Verdurin : http://michel.delord.free.fr/verdurin.html#Verdurin_II
b) Je prépare une réponse notamment à JPhMM sur
- la question de la mesure ( En fait je pense que" l'on peut faire de la mesure en primaire" en utilisant les fractions mais pas les nombres rationnels qui, à mon sens, ne doivent pas être au programme du primaire)
- la question du "zéro" , du "un"
c) Personne ne se lance sur le débat que je propose à la fin de mon texte [url] http://michel.delord.free.fr/neoprofs-unites01.pdf[/url] ? La problématique vous semble fausse ?

MD

MH
Ce serait tellement plus simple, si MD pouvait poster ici.
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MarcoPaulo
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Le mot unité a-t-il deux sens ?  - Page 3 Empty Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

par MarcoPaulo le Ven 26 Oct 2012 - 12:45
Bonjour, c'est MarcoPaulo, le facteur de MD


Bonjour

Verdurin nous parle des maths modernes et nous dit successivement que" l'on peut critiquer les maths modernes " mais il rajoute "Pour préciser mon histoire, les maths modernes ont été pour moi un soulagement, quand j'étais élève. Enfin on pouvais raisonner au lieu de se contenter de sodomiser les diptères." Je le laisse expliciter sa position ultérieurement mais il me semble bien qu'une bonne partie de l'enseignement primaire des maths modernes en primaire, et jusqu'en troisième, consistait justement à développer cette "activité agressive contre contre le fondement de cet ordre précis de la classe des ptérygotes". Je ne citerai que les discussions sur le fait qu'il fallait absolument écrire "La mesure du segment AB en centimètres est 3" et pas , scandale, "AB mesure 3 cm" pour le primaire et pour le collège la fameuse définition de la droite en quatrième [...]
A ce propos je reproduis infra, en anonymisant ce qui est nécessaire, une discussion sur les maths modernes, discussion qui s'est déroulée récemment sur une liste de profs de mathématiques de collège.
Et je renvoie aussi, pour diverses raisons au texte "Exclu de la liste Freinet ..." et en particulier à son annexe " Fonctionnement de secte" .
Texte complet, Verdurin III, ICI, http://michel.delord.free.fr/verdurin.html#Verdurin_III
Plus un nouveau cours sur ma page "Cours de maths :Définition du mètre "
26/10/2012
Michel Delord
MH
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MarcoPaulo
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Le mot unité a-t-il deux sens ?  - Page 3 Empty Changements d'unités et mesure

par MarcoPaulo le Sam 27 Oct 2012 - 8:33
MH, mis en facteur de MD

Bonjour

Pour la discussion sur la mesure - en particulier pour JPhMM-, je propose de commencer par discuter d'un vieux memo de 2004 : "Trois méthodes pour les changements d'unités" http://michel.delord.free.fr/unites.pdf, dont je ferai ultérieurement une présentation développée pour ma "Page de cours" . En fait une des raisons qui font que les changements d'unités sont mal compris, c'est qu'il s'agit aussi d'une question de proportionnalité inverse, question qui n'était déjà presque plus enseignée quand j'étais en primaire.

[Petit supplément pour les non-matheux 12/11/2012

On dit que deux grandeurs sont proportionnelles - ou directement proportionnelles - si leur quotient est constant. Dans ce cas, si l'une des grandeurs est multipliée par 2, 3, 4 , 5 etc. , l'autre grandeur est multipliée par le même nombre.
Par exemple, si l'on vend de la viande à 12€/kg, le quotient du prix à payer par la quantité achetée ne varie pas ( et vaut ici 10€/kg) et si l'on achète deux fois plus de viande, on paie deux fois plus cher

On dit que deux grandeurs sont inversement proportionnelles si leur produit est constant. Dans ce cas, si l'une est multipliée par 2, 3, 4 , 5 etc. , l'autre grandeur est divisée par le même nombre.

Si l'aire A d'un rectangle ne varie pas et vaut 10 m², sa longueur L et sa largueur l sont inversement proportionnelles, puisque justement L×l= 10 m². Et si la longueur est deux fois plus grande, la largeur sera deux fois plus petite.

Pour l’exemple qui nous intéresse, la mesure d'une plongeur est inversement proportionnelle à l'unité dans laquelle elle est mesurée. Supposons qu'une longueur mesure 7 m, elle mesure aussi 700 cm, et dans ce cas, l'unité a été divisée par 100 et la mesure a été multipliée par 100.

La proportionnalité inverse a été définitivement supprimée des programmes au moment des maths modernes. La proportionnalité directe ne disparaissait pas mais on en rognait tout ce qui dépassait pour la réduire à la notion de fonction linéaire. Mais comme il n'y avait pas dans "l'attirail de base des structures" quelque chose qui aurait pu s'appeler "fonction inversement linéaire", c'est toute la proportionnalité inverse qui a été rognée et qui a passé intégralement à la trappe]
Bonne soirée

MD

Marco


Dernière édition par MarcoPaulo le Lun 12 Nov 2012 - 22:20, édité 1 fois
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Le mot unité a-t-il deux sens ?  - Page 3 Empty Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

par JPhMM le Sam 27 Oct 2012 - 10:10
Merci.
En collège, j'utilise aussi le sens des préfixes, en application des puissances de dix.

Ainsi : 5 hm = 5 x 10² x m = 5 x 10² x 10^3 x 10^(-3) m = 5 x 10^5 mm = 500 000 mm

Cela n'est pas sans intérêt pour la conversation d'unités d'aires et de volumes, par exemple.
Ainsi : 5 hm² = 5 (hm)² = 5 x (10² m)² = 5 x 10^4 m² = 50 000 m²

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
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Le mot unité a-t-il deux sens ?  - Page 3 Empty Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

par Spinoza1670 le Dim 28 Oct 2012 - 8:43
Deux textes sur la notion d'unité :

* Ron Aharoni, What I learnt in elementary schools, paragraphe intitulé "What arithmetic should be covered in elementary schools ?"
http://www.aft.org/newspubs/periodicals/ae/fall2005/aharoni.cfm

Spoiler:
What Arithmetic Should Be Covered in Elementary School?

The embarrassingly simple answer is: the four basic operations—addition, subtraction, multiplication, and division.

Yet, this seemingly simple answer is deceptive in two ways. One is that there are actually five operations. In addition to the four classical operations, there is a fifth one that is even more fundamental and important. That is, forming a unit, taking a part of the world and declaring it to be the "whole." This operation is at the base of much of the mathematics of elementary school. First of all, in counting, when you have another such unit you say you have "two," and so on. The operation of multiplication is based on taking a set, declaring that this is the unit, and repeating it. The concept of a fraction starts from having a whole, from which parts are taken. The decimal system is based on gathering tens of objects into one unit called a "10," then recursively repeating it.

The forming of a unit, and the assigning of a name to it, is something that has to be learned and stressed explicitly. I met children who, in fifth grade, knew how to find a quarter of a class of 20, but had difficulty understanding how to find "three-quarters" of the class, having missed the stage of the corresponding process of repeating a unit in multiplication.

But there is another reason [...]

* Ch.-A. Laisant, Initiation mathématique de C.-A. Laisant, Chapitre 15 : Comptes ; mesures ; rapports.
Le chapitre 15 : http://ecolereferences.blogspot.com/2011/11/la-cinquieme-operation-le-rapport.html
Les chapitres 1 à 17, 27 à 29, intro et discours final : http://michel.delord.free.fr/lais-init1.pdf

Spoiler:
Comptes ; mesures ; rapports.
Chapitre 15 de l'Initiation mathématique de C.-A. Laisant

Nous avons vu, depuis le début, que ce que nous nous proposons constamment, c’est de compter et de mesurer. Si nous avons devant nous un tas de grains de blé, et si nous trouvons, en les comptant, qu’il y en ait 157, ce nombre, comme nous l’avons fait remarquer déjà, pourra aussi bien nous servir à représenter une collection de jetons, d’allumettes, d’arbres, de moutons ou de n’importe quoi. Si pour déterminer une longueur nous avons pris des bâtonnets tous pareils les uns au bout des autres et si nous en avons trouvé 157 pour mesurer cette longueur, nous disons qu’elle est de 157 bâtonnets. Dans tous ces divers cas, nous ne pourrions rien évaluer si nous n’avions pas l’idée d’un grain de blé, d’un jeton, d’un arbre, d’un mouton, d’un bâtonnet.

Le nombre n’a de raison d’être que par la comparaison qu’il amène avec l’objet unique (grain de blé, jeton, etc.) sans lequel on ne pourrait le former, et cet objet unique est appelé unité. Cette comparaison est ce qu’on appelle un rapport, et cette idée de rapport conduit à dire qu’un nombre est simplement le rapport de la collection avec l’unité.

Il est d’autant plus nécessaire de bien se mettre dans la tête cette notion-là, que l’unité n’est pas toujours la même. Ainsi, ayant formé des paquets de bâtonnets, prenons-en un tas et comptons-les ; nous en trouvons sept ; sept est le rapport de notre collection de bâtonnets à un paquet, qui est l’unité. Maintenant, éparpillons nos bâtonnets en défaisant les liens des paquets, et comptons ; c’est le bâtonnet qui va devenir l’unité, et nous en compterons septante ; ce nombre sera le rapport de la même collection à un bâtonnet.

De même, prenons trois fagots de bâtonnets ; si nous comptons par paquets, nous trouverons trente paquets ; et par bâtonnets, trois cents.
Trois sera le rapport de tout le tas de bâtonnets à un fagot ; trente, le rapport du même tas à un paquet ; trois cents, le rapport à un bâtonnet.

On peut produire tant qu’on en voudra des exemples semblables, en les variant à l’infini, de manière à bien familiariser l’élève avec cette notion de rapport, qui est à la base même de tout compte et de toute mesure, et qu’on rejette cependant à la fin de l’Arithmétique, dans l’enseignement classique, par on ne sait quelle aberration. Il n’est pas possible de compter deux haricots sans avoir la notion du rapport de deux à un ; de mesurer une longueur de trois mètres, sans comparer cette longueur à celle d’un seul mètre (rapport de trois à un) et ainsi de suite.

Ce sera ici l’occasion de montrer à l’élève, sans aucune explication théorique, sans aucune définition, sans aucun appel à sa mémoire, les objets les plus vulgaires du système métrique que l’on aura sous la main ; mètres, litres, pièces de monnaie, poids, etc. On l’exercera à en faire usage, à s’en servir pour mesurer ou compter, et l’idée de rapport s’incrustera dans son esprit, s’y associera indissolublement avec celle de nombre, ce qui est essentiel pour une saine compréhension, le jour où, dans l’avenir, il devra passer de l’amusement à l’étude. Et cette étude alors pourra devenir elle-même intéressante et amusante, au lieu d’avoir le caractère d’une ennuyeuse corvée, pour ne pas dire d’une torture.

_________________
« Let not any one pacify his conscience by the delusion that he can do no harm if he takes no part, and forms no opinion. Bad men need nothing more to compass their ends, than that good men should look on and do nothing. » (John Stuart Mill)

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Le mot unité a-t-il deux sens ?  - Page 3 Empty Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

par Spinoza1670 le Dim 28 Oct 2012 - 9:25
Traduction en amateur du texte de Ron Aharoni (texte anglais cité en spoiler plus haut) : "Qu'est-ce qui doit être appris à l'école élémentaire en arithmétique ?

La réponse, si simple que c'en est embarrassant, est : les quatre opérations.

Mais cette réponse apparemment simple est trompeuse, de deux façons. Une première raison est qu'il y a en fait cinq opérations. A côté des quatre opérations classiques, il y en a une cinquième, plus basique et plus importante : celle qui consiste à former une unité. Prendre une partie du monde et déclarer que c'est le "tout" (the "whole"). Cette opération est à la base d'une grande partie des mathématiques de l'école élémentaire. Tout d'abord, dans l'action de compter : quand on a une autre unité de même espèce, on dit qu'on en a "deux", et ainsi de suite. L'opération de multiplication est basée sur le fait de prendre un ensemble (a set), de déclarer que c'est l'unité, et de le répéter. Le concept de fraction prend son origine dans le fait d'avoir un tout, duquel des parties sont prises. Le système décimal est basé sur le rassemblement de dizaines d'objets en une unité appelée une "dizaine", et puis sur la répétition récursive de cette action.

La formation d'une unité et le fait de lui donner un nom est quelque chose qui doit s'apprendre et sur laquelle il faut insister énergiquement. J'ai rencontré des enfants en 5th grade (équivalent du cm2) qui savaient comment trouver un quart d'une classe de 20, mais avaient des difficultés à comprendre ce qu'étaient "trois quarts" de la classe, ayant manqué l'étape du processus correspondant de répétition de l'unité dans la multiplication.

Mais il y a une autre raison ...."

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par Spinoza1670 le Dim 28 Oct 2012 - 11:05
Un texte de Jean Macé sur les proportions permettant d'approfondir ce que dit Laisant :
http://ecolereferences.blogspot.com/2012/10/les-proportions.html

_________________
« Let not any one pacify his conscience by the delusion that he can do no harm if he takes no part, and forms no opinion. Bad men need nothing more to compass their ends, than that good men should look on and do nothing. » (John Stuart Mill)

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Mareuil
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Le mot unité a-t-il deux sens ?  - Page 3 Empty Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

par Mareuil le Dim 28 Oct 2012 - 11:23
@Spinoza1670 a écrit:Un texte de Jean Macé sur les proportions permettant d'approfondir ce que dit Laisant :
http://ecolereferences.blogspot.com/2012/10/les-proportions.html

Merci Spino, pour ces textes remarquables.
Une remarque acide : quelle personnalité, en charge aujourd'hui d'une de ces associations "partenaires" de l'Ed.nat qui occupent le terrain rue de Grenelle, est capable d'en produire de semblables ?

Pour mémoire, la bio de Jean Macé :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Jean_Macé
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MarcoPaulo
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Le mot unité a-t-il deux sens ?  - Page 3 Empty Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

par MarcoPaulo le Jeu 8 Nov 2012 - 8:01
MC, MD's postman

Bonjour
On avait parlé de la nature de "un" et je vais y revenir.

En attendant, des extraits de ce qui est à mon sens le meilleur article sur la question, "Un" est-il un nombre ? de Maryvonne Hallez et Nicole Nordon, ( In Si le nombre m'était conté, Elipses , 2000)

http://michel.delord.free.fr/un-est-il-un-nombre.pdf

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Anaxagore
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Le mot unité a-t-il deux sens ?  - Page 3 Empty Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

par Anaxagore le Jeu 8 Nov 2012 - 8:40
Bien documenté.

:aau:
verdurin
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Le mot unité a-t-il deux sens ?  - Page 3 Empty Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

par verdurin le Jeu 8 Nov 2012 - 22:11
Je ne prétend pas avoir le niveau mathématique de M. Michel Delord.
Je ne suis certainement pas un bon prof.
Mais j'aurai honte d'écrire des choses comme ça :
Michel Delord a écrit:Pour montrer ce qu’est l’aspect logique des mathématiques, prenons pour exemple les axiomes
de la numération, c’est-à-dire ceux qui permettent de définir la suite des nombres entiers :
Axiome 1 : A chaque nombre a succède un nombre entier a’ différent de a
Axiome 2 : Seul le nombre 1 ne succède à aucun nombre
Axiome 3 : Tout nombre succède, directement ou par intermédiaire, à 1
Mais ceci ne suffit pas, car , si la suite 1,2,3,4,5,6..... convient bien, la suite 1,2,3,4,2,3,4,2,3,4...
conviendrait aussi .
On ajoute donc :
Axiome 4 : La suite des nombres qui, de proche en proche succèdent à un nombre a
quelconque est isomorphe à la suite construite à partir de 1.
Et effectivement, toute suite qui satisfait à ces quatre axiomes est isomorphe à la suite des
entiers naturels 1,2,3,4,5,6,7.....
Mais justement si l’on s’intéresse aux suites ci-dessous : S2 : 2,4,6,8,10,12.... S10 :
10,20,30,40,50,60.... S100 : 100,200,300,400,500,600... elles possèdent toutes la même structure
logique qui est celle de la suite des entiers naturels et sont donc des modèles de cette suite et pourtant
l’on sent bien, intuitivement, que 1 n’est égal ni à 2, ni à 10 ni à 100.
voir ici si vous ne me croyez pas
Je trouve qu'il s'agit d'une pseudo vulgarisation qui méprise son public.

Puisque l'on parle ici du primaire et du collège, j'aimerais savoir quelle est l'expérience personnelle de M. Delord dans ce domaine.
Il a été longtemps instituteur ?
Il a enseigné pendant 10 ans dans un collège de banlieue ?

Les conseilleurs ne sont pas les payeurs.

Et puisque je parle de l'expérience des autres, je dirais un mot de la mienne :
Mon premier contact avec la pédagogie telle que la conçoit un certain Delord a eu lieu en licence (L3 pour les nouveaux).
On avait un prof de math, très compétant comme mathématicien, qui avait décidé de se reconvertir dans la pédagogie. Domaine dans le quel il était d'une incompétence abyssale, et j'ai fait parti des gens qui ont payé cette incompétence : je l'avais bêtement écouté.
J'ai ensuite fréquenté les IREM, j'y ai rencontré, entre autre, des universitaires mathématiquement médiocres, même si il étaient bien meilleurs que moi. Ces gens ne reculaient devant aucun effort, pourvu que d'autres les fassent. Ce qui leur permettait de publier.
Et de mépriser notre inculture : «Comment ? Vous n'avez pas lu toute la bibliographie ?». Sans penser un seul instant que nous avions un peu de travail à faire de temps en temps.

D'où ma méfiance envers un certain Delord.
Dont le style et la pensée me semble relever respectivement du vide et de la tétracapilectomie.

Sinon je n'ai rien contre le fait que 1 ou 2 soient considérés comme le premier nombre.
Mais je me demande 1,5 c'est le combien d'ième ?
Dans l'attente d'une réponse éclairée, j'arrête ici ma participation.

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Contre la bêtise, les dieux eux mêmes luttent en vain.
Ni centidieux, ni centimètres.
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MarcoPaulo
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Le mot unité a-t-il deux sens ?  - Page 3 Empty Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

par MarcoPaulo le Ven 9 Nov 2012 - 10:13
MC, PoneyExpress de MD

@verdurin a écrit:Je ne prétend pas avoir le niveau mathématique de M. Michel Delord.
Je ne suis certainement pas un bon prof.
Mais j'aurai honte d'écrire des choses comme ça :
Michel Delord a écrit:Pour montrer ce qu’est l’aspect logique des mathématiques, prenons pour exemple les axiomes
de la numération, c’est-à-dire ceux qui permettent de définir la suite des nombres entiers :
Axiome 1 : A chaque nombre a succède un nombre entier a’ différent de a
Axiome 2 : Seul le nombre 1 ne succède à aucun nombre
Axiome 3 : Tout nombre succède, directement ou par intermédiaire, à 1
Mais ceci ne suffit pas, car , si la suite 1,2,3,4,5,6..... convient bien, la suite 1,2,3,4,2,3,4,2,3,4...
conviendrait aussi .
On ajoute donc :
Axiome 4 : La suite des nombres qui, de proche en proche succèdent à un nombre a
quelconque est isomorphe à la suite construite à partir de 1.
Et effectivement, toute suite qui satisfait à ces quatre axiomes est isomorphe à la suite des
entiers naturels 1,2,3,4,5,6,7.....
Mais justement si l’on s’intéresse aux suites ci-dessous : S2 : 2,4,6,8,10,12.... S10 :
10,20,30,40,50,60.... S100 : 100,200,300,400,500,600... elles possèdent toutes la même structure
logique qui est celle de la suite des entiers naturels et sont donc des modèles de cette suite et pourtant
l’on sent bien, intuitivement, que 1 n’est égal ni à 2, ni à 10 ni à 100.
voir ici si vous ne me croyez pas
Je trouve qu'il s'agit d'une pseudo vulgarisation qui méprise son public.

[...]Dans l'attente d'une réponse éclairée, j'arrête ici ma participation.

Bonjour

Je ne voudrais surtout pas vous empêcher de participer et je vais donc essayer de vous répondre de manière éclairée, si j’en ai les moyens.

Allons tout de suite à « l’objet du délit » qui est le passage que vous citez et qui, rappelons-le est précédé dans le texte original - http://michel.delord.free.fr/milan+.pdf - de : « Je m’inspire ici assez librement du livre de Ferdinand Gonseth paru en 1936, «Les mathématiques et la réalité : essai sur la méthode axiomatique» (Paris, Librairie Scientifique et Technique Albert Blanchard, 1974 ) »

Je vous demande donc de comparer ce passage avec le suivant :

44. Les axiomes de la suite des entiers.

On passe au stade arithmétique par une abstraction portant surtout sur la notion d'objet. Ainsi le nombre cinq, par exemple, est un caractère qui appartient, que nous savons attribuer, à tous les groupes de cinq objets. Dans cette phrase, l'explication du concept cinq à l'aide des mots « cinq objets » ne représente pas du tout un cercle vicieux ! Au contraire, le double emploi du mot cinq marque le passage de la représentation intuitive au concept abstrait. Ce n'est que si l'on prétendait faire de cette « description suggérante » une définition fournissant la construction logique du concept cinq, qu'il faudrait lui opposer les plus expresses réserves.

Le concept de nombre une fois dégagé, on peut lui imprimer le sceau de l'axiomatisation. Il ne faut pas chercher avoir dans cette première axiomatisation une tentative de créer de toutes pièces les bases de l'arithmétique. Au contraire, il faut admettre qu'un certain nombre de notions fondamentales sont claires par elles-mêmes et données avec toute la précision désirable. Les axiomes sont alors des énoncés dont le but est d'évoquer et de suggérer certaines opérations mentales par lesquelles nous mettons les concepts fondamentaux en relations les uns avec les autres. Ils forment un système complet si les opérations évoquées suffisent pour reconstruire à elles seules tout l'édifice arithmétique. Celui-ci est, dès lors, une construction mentale rationnelle et, axiomatiquement fondée. A cet endroit - et bien que ce soit une répétition - nous insistons encore sur le fait que, dans la phrase qui précède, le mot rationnel n'intervient pas avec une signification déjà parfaite, et constituée par avance. Ce qui précède, tout au contraire, lui confère une partie de son sens, le sens maximal et optimal n'étant jamais définitivement acquis.

Voici comment peut se présenter la schématisation axiomatique : Exigeons tout d'abord que l'acte de compter (de numéroter) soit possible indéfiniment. Ceci s'exprime par les axiomes suivants :

Axiome 1 : A chaque nombre a succède un nombre a' différent de a.
Axiome 2 : Seul le nombre 1 ne succède à aucun nombre.

D'autre part, le passage d'un nombre au successif les engendre tous de proche en proche. D'où le troisième axiome

Axiome 3 : Tout nombre succède, directement ou par intermédiaire, au nombre 1.

Ces trois axiomes ne suffisent pas encore. Aussi bien que pour la suite des nombres entiers, 1 2 3 4 5... ils sont aussi vérifiés par la suite 1 2 3 4 2 3 4... formée à l'aide de quatre nombres seulement. On peut appeler isomorphes deux suites satisfaisant à ces trois axiomes et telles que, si l'on descend parallèlement dans l'une et dans l'autre de successif en successif, on ne puisse retomber dans l'une sur un nombre déjà connu sans que ce soit aussi le cas pour les nombres correspondants de l'autre suite. On peut alors énoncer encore l'axiome suivant, qui exprime le fait que l'acte de compter reste constamment identique à lui-même.

Axiome 4 : La suite des nombres qui de proche en proche succèdent à un nombre a quelconque est isomorphe la suite prise à partir de 1.

On peut reconnaître (Ces mots étant pris au sens ordinaire de la déduction mathématique) que toute suite qui satisfait à ces quatre axiomes est isomorphe à la suite des entiers 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...

Nous renonçons à énoncer les axiomes relatifs à l'addition et à la multiplication.

Ici, il ne s’agit pas d’un texte de Michel Delord, mais de Ferdinand Gonseth, Les mathématiques et la réalité : Essai sur la méthode axiomatique, 1936 et pour être très précis du paragraphe 44 du chapitre VII « La nature du nombre entier ». Vous voudrez bien reconnaitre, peut-être, qu’il n’y a pas de différences majeures entre ce que j’ai écrit et le texte de Gonseth.

Ceci dit, vous avez affirmé, SANS DONNER UN SEUL ARGUMENT, que « vous auriez eu honte de l’écrire » et qu’il s’agit « d'une pseudo vulgarisation qui méprise son public ». Vous avez tout à fait le droit de qualifier ainsi ce que j’écris, mais, pour que ce ne soit pas une insulte caractérisée, à une condition qui est d’argumenter vos assertions. Je vous invite donc à le faire ou à retirer vos affirmations.

Je vous fait remarquer, pour que vous ne commettiez pas d’erreur d’appréciation que, si Michel Delord est un inconnu, Ferdinand Gonseth est un mathématicien qui a une certaine envergure, qui est un spécialiste de l’axiomatique et qui a en particulier travaillé sur ce sujet avec Paul Bernays « mathématicien qui a joué un rôle crucial dans le développement de la logique mathématique du XXème siècle » [1] - et qui a notamment partagé avec Hilbert l’écriture des Grundlagen.
C’est-à-dire qu’en vous attaquant à ce que j’ai écrit sur l’axiomatique et qui est repris de Gonseth, vous critiquez en gros un des auteurs qui a conception la plus aboutie de l’axiomatique au XXème siècle. Je n’ai pas dit que ce n’était pas faisable mais je demande à voir le résultat car je ne suis pas personnellement capable de le faire.

MD

[1] http://fr.wikipedia.org/wiki/Paul_Bernays
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Le mot unité a-t-il deux sens ?  - Page 3 Empty Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

par Anaxagore le Ven 9 Nov 2012 - 10:40
@verdurin a écrit:Je ne prétend pas avoir le niveau mathématique de M. Michel Delord.
Je ne suis certainement pas un bon prof.
Mais j'aurai honte d'écrire des choses comme ça :
Michel Delord a écrit:Pour montrer ce qu’est l’aspect logique des mathématiques, prenons pour exemple les axiomes
de la numération, c’est-à-dire ceux qui permettent de définir la suite des nombres entiers :
Axiome 1 : A chaque nombre a succède un nombre entier a’ différent de a
Axiome 2 : Seul le nombre 1 ne succède à aucun nombre
Axiome 3 : Tout nombre succède, directement ou par intermédiaire, à 1
Mais ceci ne suffit pas, car , si la suite 1,2,3,4,5,6..... convient bien, la suite 1,2,3,4,2,3,4,2,3,4...
conviendrait aussi .
On ajoute donc :
Axiome 4 : La suite des nombres qui, de proche en proche succèdent à un nombre a
quelconque est isomorphe à la suite construite à partir de 1.
Et effectivement, toute suite qui satisfait à ces quatre axiomes est isomorphe à la suite des
entiers naturels 1,2,3,4,5,6,7.....
Mais justement si l’on s’intéresse aux suites ci-dessous : S2 : 2,4,6,8,10,12.... S10 :
10,20,30,40,50,60.... S100 : 100,200,300,400,500,600... elles possèdent toutes la même structure
logique qui est celle de la suite des entiers naturels et sont donc des modèles de cette suite et pourtant
l’on sent bien, intuitivement, que 1 n’est égal ni à 2, ni à 10 ni à 100.
voir ici si vous ne me croyez pas
Je trouve qu'il s'agit d'une pseudo vulgarisation qui méprise son public.

Puisque l'on parle ici du primaire et du collège, j'aimerais savoir quelle est l'expérience personnelle de M. Delord dans ce domaine.
Il a été longtemps instituteur ?
Il a enseigné pendant 10 ans dans un collège de banlieue ?

Les conseilleurs ne sont pas les payeurs.

Et puisque je parle de l'expérience des autres, je dirais un mot de la mienne :
Mon premier contact avec la pédagogie telle que la conçoit un certain Delord a eu lieu en licence (L3 pour les nouveaux).
On avait un prof de math, très compétant comme mathématicien, qui avait décidé de se reconvertir dans la pédagogie. Domaine dans le quel il était d'une incompétence abyssale, et j'ai fait parti des gens qui ont payé cette incompétence : je l'avais bêtement écouté.
J'ai ensuite fréquenté les IREM, j'y ai rencontré, entre autre, des universitaires mathématiquement médiocres, même si il étaient bien meilleurs que moi. Ces gens ne reculaient devant aucun effort, pourvu que d'autres les fassent. Ce qui leur permettait de publier.
Et de mépriser notre inculture : «Comment ? Vous n'avez pas lu toute la bibliographie ?». Sans penser un seul instant que nous avions un peu de travail à faire de temps en temps.

D'où ma méfiance envers un certain Delord.
Dont le style et la pensée me semble relever respectivement du vide et de la tétracapilectomie.

Sinon je n'ai rien contre le fait que 1 ou 2 soient considérés comme le premier nombre.
Mais je me demande 1,5 c'est le combien d'ième ?
Dans l'attente d'une réponse éclairée, j'arrête ici ma participation.

Cher Verdurin,

Personne n'a dit que vous êtes un "mauvais prof".

La question est de se demander comment amener les élèves de la façon la plus éclairante et féconde vers la modernité.
Les considérations que vous expose Michel Delord sont à la fois pratiques et pédagogiques, mais aussi mathématiques. Les auteurs comme Gonseth ont été éclipsés par ceux qui voulaient faire table rase du passé et de la tradition pédagogique qui existait avant eux. Les propos de Michel Delord ne vont pas "à l'encontre" des hommes de terrain.

La question des grandeurs vous hérisse. Vous avez sans doute remarqué que Bourbaki prend la peine d'en parler à sa manière:
Topologie, chapitre V.
Bourbaki n'est pas assez moderne pour vous?

Ceci dit je trouve qu'on peut faire des constructions plus générales que ce que propose Bourbaki dans cette partie.
Êtes-vous contre les semi-groupes?



Dernière édition par Anaxagore le Ven 9 Nov 2012 - 12:01, édité 1 fois
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par JPhMM le Ven 9 Nov 2012 - 11:34
@Anaxagore a écrit:Ceci dit je trouve qu'on peut faire des constructions plus générales que ce que propose Bourbaki.
Êtes-vous contre les semi-groupes?
Y a-t-il un lien entre les deux phrases ? C'est que Bourbaki utilise (et a inventé) les magmas, plus généraux que les demi-groupes...

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

Je crois que je ne crois en rien. Mais j'ai des doutes. — Jacques Goimard
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par Anaxagore le Ven 9 Nov 2012 - 11:44
@JPhMM a écrit:
@Anaxagore a écrit:Ceci dit je trouve qu'on peut faire des constructions plus générales que ce que propose Bourbaki.
Êtes-vous contre les semi-groupes?
Y a-t-il un lien entre les deux phrases ? C'est que Bourbaki utilise (et a inventé) les magmas, plus généraux que les demi-groupes...

Certes, mais dans la partie sur les grandeurs ils ne travaillent pas dans ce large cadre. [J'ai précisé dans mon message initial.]
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par Anaxagore le Ven 9 Nov 2012 - 12:09
Comme tu l'as dit naturellement JPhMM (plus haut) sur l'exemple du zéro, on accède facilement à une situation dans laquelle on obtient la grandeur nulle pour un certain type de grandeur. Celle-ci est plus accessible conceptuellement que le nombre zéro, et c'est un bon chemin à emprunter dans un premier temps.


Ps: Ok, là je me promène déjà dans un monoïde JPh. Very Happy
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par Spinoza1670 le Dim 11 Nov 2012 - 16:20
verdurin le Mar 23 Oct 2012 a écrit:Il semble difficile de se connecter aux endroits où répond Michel Delord.
Voici donc la réponse, un peu légère , d'un certain verdurin à quelqu'un qui a poussé la lâcheté assez loin.

Mais c'est un pédagogue, et un spécialiste des «sciences de l'éducation».
Après 40 ans d'expériences, je ne pense guère de bien des gens de cette sorte.

..............

Ps : Il y a une chose qui m'a toujours étonné : on peut reconnaitre les spécialistes des sciences de l'éducation au style d'argumentation.
Deux citations, un mépris total pour qui ne pense pas comme eux, et une totale incompétence.

verdurin le Ven 09 Nov 2012 a écrit:
Puisque l'on parle ici du primaire et du collège, j'aimerais savoir quelle est l'expérience personnelle de M. Delord dans ce domaine.
Il a été longtemps instituteur ?
Il a enseigné pendant 10 ans dans un collège de banlieue ?

Les conseilleurs ne sont pas les payeurs.

Et puisque je parle de l'expérience des autres, je dirais un mot de la mienne :
Mon premier contact avec la pédagogie telle que la conçoit un certain Delord a eu lieu en licence (L3 pour les nouveaux).
On avait un prof de math, très compétant comme mathématicien, qui avait décidé de se reconvertir dans la pédagogie. Domaine dans le quel il était d'une incompétence abyssale, et j'ai fait parti des gens qui ont payé cette incompétence : je l'avais bêtement écouté.
J'ai ensuite fréquenté les IREM, j'y ai rencontré, entre autre, des universitaires mathématiquement médiocres, même si il étaient bien meilleurs que moi. Ces gens ne reculaient devant aucun effort, pourvu que d'autres les fassent. Ce qui leur permettait de publier.
Et de mépriser notre inculture : «Comment ? Vous n'avez pas lu toute la bibliographie ?». Sans penser un seul instant que nous avions un peu de travail à faire de temps en temps.

D'où ma méfiance envers un certain Delord.
Dont le style et la pensée me semble relever respectivement du vide et de la tétracapilectomie.

J'aurais dû intervenir dès le mardi 23 octobre au sujet de cette argumentation ad hominem visant à discréditer d'avance tout propos, tout argument, toute thèse qui pourraient être émis par Michel Delord :
prémisse 1 : Michel Delord = spécialiste des sciences de l'éducation
prémisse 2 : sciences de l'éducation = vide, incompétence disciplinaire, volonté de dominer les vrais savants
conclusion : Michel Delord = vide, incompétence disciplinaire, volonté de dominer les vrais savants

Le problème est que Michel Delord a écrit ces textes au sujet des sciences de l'éducation :

Survol : Sciences de l’Education
http://www.alaintale.com/smf1.html

Huile de ricin et Coca-Cola : aux sources troubles de la pédagogie de projet
http://www.sauv.net/ricin.htm

S'il peut modestement être considéré comme un spécialiste des sciences de l'éducation, c'est moins au sens où il les pratique et les défend que dans la mesure où il apprend à les connaître pour mieux les critiquer dans ce qu'elles ont de nocif : (exemple : Textes réunis en 1998-1999 sur les sciences de l'éducation : http://michel.delord.free.fr/bibli1998/ )

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Le mot unité a-t-il deux sens ?  - Page 3 Empty Re: Le mot unité a-t-il deux sens ?

par verdurin le Jeu 15 Nov 2012 - 1:04
Spinoza1670,
tu as raison, il s'agit d'une argumentation ad hominem, et je ne la renie pas.

J'ai réagi au terme «un certain» qui est ici, à mon avis, une marque de mépris.

Je ne répond pas à «un certain Spinoza1670» mais à Spinoza1670. Même si il s'agit visiblement d'un pseudonyme. Et je précise que j'ai de l'estime pour toi.




À un certain MarcoPaulo : vous noterez assez facilement que le texte que vous citez et celui de M. Delord sont très différents.
Je ne vois pas pourquoi je devrais argumenter un sentiment du genre «j'aurai honte d'écrire des choses comme ça».

Mais je ne retire rien de ce que j'ai dit plus haut. L'intervention de MarcoPaulo ne fait que confirmer mes préjugés : croire qu'une paraphrase approximative vaut une citation est, au mieux une preuve de bêtise, au pire un mensonge. Et les mathématiques ont fait quelques progrès depuis 1936.
On est ici dans le mode typique des «sciences» de l'éducation : une citation pour clouer le bec à celui qui pense mal.
Pour préciser mes reproches, vous confondez allègrement les notations : on note en général 2 le successeur de 1 mais on peut effectivement le noter 5 (c'est rare) ou 10 (en binaire).
Le signe 2 n'a effectivement aucune raison de succéder au signe 1.
Mais il s'agit d'un mélange douteux entre une définition axiomatique et les notations courantes.
C'est en ceci que je trouve qu'il s'agit d'une vulgarisation méprisante.

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