Egalité et identité en mathématiques

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas

Egalité et identité en mathématiques

Message par Ruthven le Dim 30 Déc 2012 - 11:39

Est-ce que, en mathématiques, les termes d'égalité et d'identité désignent la même relation ou s'agit-il de relations différentes ?

Lorsque je lis cette formulation de l'axiome d'extensionnalité, "deux ensembles qui ont les mêmes éléments sont égaux", intuitivement il y a quelque chose qui m'accroche (ces deux ensembles ne sont-ils pas finalement le même et n'ont qu'un nom différent ?).

Et pour compliquer, quelle différence encore entre les deux notions ci-dessus et celle d'équivalence ?

Ruthven
Grand Maître


Revenir en haut Aller en bas

Re: Egalité et identité en mathématiques

Message par Cipango le Dim 30 Déc 2012 - 13:25

Ce n'est pas la même chose. L'identité est un genre d'égalité particulier.

Une égalité est une proposition (elle peut donc être vraie ou fausse) où le signe "égal" sépare deux expressions. Par exemple je peux écrire 5 + 2 = 8 + 3. C'est une égalité, et elle est fausse.

Une identité est une égalité entre deux expressions munies de variables définies, qui est toujours vraie, quelles que soient les valeurs des variables. On a l'exemple de l'identité remarquable: pour tout a et b réels, (a-2) ² = (a-b) (a+b)

Cipango
Habitué du forum


Revenir en haut Aller en bas

Re: Egalité et identité en mathématiques

Message par dasson le Dim 30 Déc 2012 - 15:56

Un autre point de vue.

Une égalité est une identité : ce qui est écrit à gauche de = et ce qui est écrit à droite désignent le même objet.

Une équation est une question.
Par exemple : existe-t-il un réel x tel que 3x=7 ?
Il fut un temps où on n'oubliait pas l'ensemble dans lequel une solution était recherchée ni le point d'interrogation.

Une équivalence porte sur des propositions (ou assertions).
Par exemple : "les ensembles A et B sont égaux" est une proposition équivalente à ""x appartient à A" est équivalent à "x appartient à B"".

dasson
Niveau 5


Revenir en haut Aller en bas

Re: Egalité et identité en mathématiques

Message par Patissot le Dim 30 Déc 2012 - 16:51

Je dirai que l'égalité est une relation d'équivalence particulièrement pour laquelle les classes d'équivalences sont réduites à des singletons. Je ne distinguerai alors pas l'égalité de l'identité.

Patissot
Vénérable


Revenir en haut Aller en bas

Re: Egalité et identité en mathématiques

Message par dasson le Dim 30 Déc 2012 - 18:04

Pour Patissot.
Je donne aussi ma langue aux chats ici :
http://www.youtube.com/watch?v=5JVqLzw2my0&feature=plcp

dasson
Niveau 5


Revenir en haut Aller en bas

Re: Egalité et identité en mathématiques

Message par JPhMM le Dim 30 Déc 2012 - 19:14

La question est difficile.

Je songe qu'une identité entre deux représentants désigne le fait que ces deux représentants sont représentants d'un même représenté. L'identité serait alors un constat métamathématique, issu de la théorie de la représentation.

Par contre, comme il fut dit, l'égalité est relation d'équivalence.

Ainsi donc, une identité entre A et B serait une proposition tautologiquement vraie d'égalité entre A et B.

Du moins, c'est ce que je me représente.

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

JPhMM
Demi-dieu


Revenir en haut Aller en bas

Re: Egalité et identité en mathématiques

Message par dasson le Dim 30 Déc 2012 - 19:50

Distinguer "équivalence logique" et "relation d'équivalence".
On peut affirmer que la relation d'égalité est une relation d'équivalence (Réflexive, Symétrique,Transitive) mais cette affirmation donne des propriétés de cette relation, pas sa définition.

dasson
Niveau 5


Revenir en haut Aller en bas

Re: Egalité et identité en mathématiques

Message par JPhMM le Dim 30 Déc 2012 - 20:07

C'est vrai.

L'ancienne définition de Leibniz est intéressante. En substance :

(a=b)

est équivalent à

(pour toute propriété P, P(a) et P(b) sont équivalentes).

Ainsi donc, dès lors qu'on accepte d'utiliser le quantificateur universel ∀:
Par définition, pour tous a et b : (a=b) <=> ((∀P)(P(a))<=>(P(b)))

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

JPhMM
Demi-dieu


Revenir en haut Aller en bas

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut


 
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum