Petits problèmes mathématiques

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Petits problèmes mathématiques

Message par JPhMM le Lun 28 Jan 2013 - 21:55

Problème fourni par Apollonius :

Soit ABCD un rectangle tel que AB = 1 et AD = 2. On nomme O son centre.
Soit (C) un cercle de centre O et de rayon R.
On appelle E et F les intersections de (C) avec respectivement [BA) et [BC).
Quelle doit être la valeur de R pour que E, F et D soient alignés ?



Extension possible : généralisation du problème avec un rectangle de dimensions AB = a et AD = b.

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Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par invitéW le Lun 28 Jan 2013 - 22:19

environ 2,3

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par jonjon71 le Lun 28 Jan 2013 - 22:54

Plus exactement (3+racine(33))/4 !

Sauf erreur de calcul, bien sûr...

Merci

jonjon71
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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par Igniatius le Mar 29 Jan 2013 - 0:42

Pour ma part, j'ai trouvé racine(205)/6, soit environ 2,39.

Mais il est tard, je ne sais pas si je me suis planté.

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par Igniatius le Mar 29 Jan 2013 - 0:47

Ah si, je me suis planté : c'est en effet très proche de 2,3.
J'ai dû louper un calcul.

On verra ça demain.

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par JPhMM le Mar 29 Jan 2013 - 18:21

Jonjon Very Happy

Problème : extrait de Sésamath 3e 2008

On note 3! (on prononce “factorielle 3”) le produit 1×2×3, on note 4! le produit 1×2×3×4 et ainsi de suite…
Si on calculait le produit 17! que trouverait-on pour les trois derniers chiffres ?
Combien de fois se répète le dernier chiffre de 627! à la fin de ce nombre ?

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par Igniatius le Mar 29 Jan 2013 - 18:39

Tu es sûr de la valeur de Jonjon JP ?
Parce qu'elle est plutôt éloignée de ce que l'on trouve via Geogebra...

Je vais m'y remettre ce soir !

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par Kosakuyosida le Mar 29 Jan 2013 - 19:06

Bon le dernier chiffre est un $0$... et plus généralement, le nombre $n!$ se termine par $E(\dfrac{n}{5})+E(\dfrac{n}{5^2})+...+E(\dfrac{n}{5^p})$ zéros tant que $E(\dfrac{n}{5^p})$ n'est pas nul. Dans le cas de $627!$, le nombre de zéros est:

Spoiler:
$156$.

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par Kosakuyosida le Mar 29 Jan 2013 - 19:10

Question bonus: quel est le dernier chiffre non nul de $n!$ ? Very Happy

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par JPhMM le Mar 29 Jan 2013 - 19:59

@Igniatius a écrit:Tu es sûr de la valeur de Jonjon JP ?
Parce qu'elle est plutôt éloignée de ce que l'on trouve via Geogebra...

Je vais m'y remettre ce soir !
Je ne suis jamais sûr d'un calcul.

Effectivement, Gégé donne une valeur proche de 2,315. Notre calcul doit être erroné.
Hop, on recommence...

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par JPhMM le Mar 29 Jan 2013 - 20:03

@Kosakuyosida a écrit:Question bonus: quel est le dernier chiffre non nul de $n!$ ? Very Happy
On a le droit de tricher ? Rolling Eyes

Spoiler:


lol!

PS : Oui, c'est bien 125 + 25 + 5 + 1 = 156 bien sûr. Very Happy

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par Kosakuyosida le Mar 29 Jan 2013 - 20:04

@JPhMM a écrit:
@Kosakuyosida a écrit:Question bonus: quel est le dernier chiffre non nul de $n!$ ? Very Happy
On a le droit de tricher ? Rolling Eyes

Spoiler:
Mais tu ne réponds pas à la question ! Evil or Very Mad

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par JPhMM le Mar 29 Jan 2013 - 20:07

Oups, ça s'est vu Razz

Je cherche. Wink

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par JPhMM le Mar 29 Jan 2013 - 21:27

@Igniatius a écrit:Tu es sûr de la valeur de Jonjon JP ?
Parce qu'elle est plutôt éloignée de ce que l'on trouve via Geogebra...

Je vais m'y remettre ce soir !
Effectivement, c'était une erreur je pense.

Après correction :

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par invitéW le Mar 29 Jan 2013 - 21:29

@JPhMM a écrit:
@Igniatius a écrit:Tu es sûr de la valeur de Jonjon JP ?
Parce qu'elle est plutôt éloignée de ce que l'on trouve via Geogebra...

Je vais m'y remettre ce soir !
Effectivement, c'était une erreur je pense.

Après correction :

j'vous l'ai dit hier !!!

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par JPhMM le Mar 29 Jan 2013 - 21:32

Will.T a écrit:
@JPhMM a écrit:
@Igniatius a écrit:Tu es sûr de la valeur de Jonjon JP ?
Parce qu'elle est plutôt éloignée de ce que l'on trouve via Geogebra...

Je vais m'y remettre ce soir !
Effectivement, c'était une erreur je pense.

Après correction :

j'vous l'ai dit hier !!!
Oui je sais. Very Happy cheers

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par JPhMM le Mer 30 Jan 2013 - 0:18

@Kosakuyosida a écrit:Question bonus: quel est le dernier chiffre non nul de $n!$ ? Very Happy
Alors...

Je n'ai pas encore trouvé, mais j'ai la bonne piste je crois. Simplement il est tard, et je n'ai plus le cerveau à ça.
Je vais essayer de l'écrire simplement, pour ceux qui ne sont pas profs de maths.


Le produit de deux nombres entiers a pour chiffre des unités le chiffre des unités du produit des chiffres des unités des deux nombres.
Par exemple : 324*1598 finit par un 2 car 4*8 finit par un 2.

De plus 10! = (3*4*6*7*8*9) * (2*5*10) = 36288 * 100
Donc le dernier chiffre non nul de 20! est 4 car 8 * 8 = 64

MAIS le dernier chiffre non nul de 30! n'est pas 2 malgré le fait que 8 * 4 = 32.
En effet, 20 et 30 encadrent un diviseur d'une puissance de 10, puisque 25 * 4 = 100, etc.

Me reste donc à mettre tout ça en forme... Very Happy

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par Zorglub le Mer 30 Jan 2013 - 12:51

@JPhMM a écrit:
@Igniatius a écrit:Tu es sûr de la valeur de Jonjon JP ?
Parce qu'elle est plutôt éloignée de ce que l'on trouve via Geogebra...

Je vais m'y remettre ce soir !
Effectivement, c'était une erreur je pense.

Après correction :
Y'a-t-il une solution géométrie élégante et habile ou bien faut-il bouriner analytiquement ?

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par JPhMM le Mer 30 Jan 2013 - 13:04

J'ai cherché une solution élégante, je n'en ai pas trouvée, ce qui ne signifie pas qu'elle n'existe pas — d'ailleurs, je suis convaincu qu'il doit y avoir une solution géométrique. Si d'aventure vous en trouvez une, elle m'intéresse beaucoup. Wink

Tout de même, du fait de la racine cubique de 2, d'après le théorème de Wantzel (voir duplication du cube), il n'existe pas de solution à la règle et au compas.

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par Zorglub le Mer 30 Jan 2013 - 13:10

Je crains de ne pas avoir ce talent !

En plus je préfère perdre mon temps sur les forums à dire des conneries pour agacer les uns ou les autres !

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par JPhMM le Mer 30 Jan 2013 - 13:20

@Zorglub a écrit:En plus je préfère perdre mon temps sur les forums à dire des conneries pour agacer les uns ou les autres !
Je comprends, étant atteint du même mal. Very Happy

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Re: Petits problèmes mathématiques

Message par adelaideaugusta le Mer 30 Jan 2013 - 15:27

@JPhMM a écrit:
@Zorglub a écrit:En plus je préfère perdre mon temps sur les forums à dire des conneries pour agacer les uns ou les autres !
Je comprends, étant atteint du même mal. Very Happy

C'est pas beau, vous êtes addicts ! yesyes yesyes yesyes

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