Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

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Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par brac le Ven 5 Juil 2013 - 16:18

Voila qu'aujourd'hui je me pose la question de comment introduire les systèmes d'équations à deux inconnues ainsi que les méthodes de résolution en troisième.
Si vous avez des idées et que vous êtes prêts à me les communiquer, ce serait un grand plaisir que d'avoir votre avis sur la question.
Par avance merci
Pierre


Dernière édition par Will.T le Sam 6 Juil 2013 - 13:08, édité 1 fois (Raison : coquille dans le titre)

brac
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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par Marlou.Bassboost le Ven 5 Juil 2013 - 20:23

Je mets en situation avec des problèmes de mise en équations et une fois le système écrit on passe à la résolution par substitution et par combinaison.

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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par marie91270 le Ven 5 Juil 2013 - 21:53

Je démarre avec un petit problème simple et en "images".
Je dessine deux bouquets au tableau, l'un avec 1 roses et 2 tulipes qui coûte 9,60 euros , l'autre avec 3 roses et 2 tulipes qui coûte 13,40, et je demande le prix d'une rose et d'une tulipe.
Souvent, les élèves remarquent que le premier bouquet apparaît dans le 2ème.
Ensuite, un problème un peu plus difficile (7 roses et 4 tulipes, 6 roses et 9 tulipes par exemple!) , je les laisse réfléchir quelques minutes et comme peu d'élèves trouvent, je "balance" un peu ma méthode (par combinaison, je ne parle pas de la méthode par substitution...). C'est un chapitre qui passe plutôt bien je trouve.

marie91270
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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par brac le Ven 5 Juil 2013 - 22:35

Merci Marie, je pensais exactement faire comme cela mais je ne savais pas si le premier exemple était nécessaire. Tu m'aide donc, c'est parfait. Un très très gros merci.
Pierre

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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par marie91270 le Ven 5 Juil 2013 - 23:13

Je t'en prie.
Le premier exemple est important je trouve, car il met les élèves dans une situation de recherche. Ce type de problème est nouveau mais ils peuvent trouver la solution avec un peu de raisonnement. Ensuite, un deuxième problème pour leur montrer les limites de leur raisonnement et passer à une vraie méthode de résolution : les systèmes de deux équations à deux inconnues.

(je fais pareil pour le PGCD, les équations... : je pars d'un problème simple que les élèves peuvent résoudre sans aucune connaissance, puis je redonne le même avec d'autres nombres plus compliqués pour leur montrer l'intérêt d'avoir une vraie méthode).

marie91270
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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par Moonchild le Sam 6 Juil 2013 - 0:40

@marie91270 a écrit:(par combinaison, je ne parle pas de la méthode par substitution...)
Petit hors sujet : en lycée lorsqu'il faut résoudre un système - ce qui est loin d'être acquis - je privilégie plutôt la méthode par substitution.
La combinaison est souvent plus rapide (à condition de se débrouiller avec le calcul mental) mais j'ai vraiment l'impression que les élèves l'appliquent sans comprendre ce qu'ils font, qu'elle a pour eux un aspect presque "magique".
La substitution a au moins l'avantage d'en revenir à un principe de base des mathématiques : "dans une formule, équation ou inéquation, on peut remplacer n'importe quelle expression par une autre expression qui lui est égale" ; d'ailleurs il n'est pas forcément inutile d'énoncer ce principe de temps à autre car si quasiment tous les élèves le trouvent évident avec par exemple "y=4", c'est déjà moins clair dans la tête de certains avec un "y=2x+3".

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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par JPhMM le Sam 6 Juil 2013 - 0:49

Une locomotive et 4 wagons font un train de 70 m de long.
deux trains et 9 wagons font un train de 155 m de long.

Vous avez de grands Legos bleus qui figurent les wagons, de petits Legos rouges qui figures des locomotives... quelle est la longueur d'une locomotive ? d'un wagon ?

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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par JPhMM le Sam 6 Juil 2013 - 0:50

@Moonchild a écrit:
@marie91270 a écrit:(par combinaison, je ne parle pas de la méthode par substitution...)
Petit hors sujet : en lycée lorsqu'il faut résoudre un système - ce qui est loin d'être acquis - je privilégie plutôt la méthode par substitution.
Pas moi. Elle est brutale et n'est guère intelligente.

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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par Moonchild le Sam 6 Juil 2013 - 1:05

@JPhMM a écrit:
@Moonchild a écrit:Petit hors sujet : en lycée lorsqu'il faut résoudre un système - ce qui est loin d'être acquis - je privilégie plutôt la méthode par substitution.
Pas moi. Elle est brutale et n'est guère intelligente.
C'est un jugement un peu expéditif qui demanderait à être développé. Wink 
D'accord, la substitution est une méthode moins élaborée, moins experte, mais je suis à peu près sûr que la quasi-totalité des élèves actuels du lycée ne comprennent absolument pas ce qui se passe avec une combinaison et qu'ils l'appliquent mécaniquement comme une simple recette.

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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par Marlou.Bassboost le Sam 6 Juil 2013 - 7:44

Elle est difficile mais elle permet de développer l'idée de substituer qui en maths peut s'avérer souvent utile notamment pour repasser à une inconnue quand dans un problème concret on sent bien que les inconnues sont liées, ou lors de situations de démonstration.
Perso je leur enseigne les deux ensuite ils choisissent

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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par petit karibou le Sam 6 Juil 2013 - 7:53

J'enseigne aussi les 2 et les laisse choisir. Pour ce que j'en vois beaucoup préfèrent la combinaison linéaire, essentiellement car elle permet souvent des manipulations plus simples dans certains cas: pas de développement abhorré par eux.

Un peu démago, moi j'ai bien aussi l'exemple sur les lots pizzas/cocas dans la sandwicherie du coin. Etrangement cela leur parle... Very Happy 

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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par brac le Sam 6 Juil 2013 - 8:24

Merci pour toutes ces réponses. Alors faites vous comme Marie et proposez vous un problème facile à résoudre avant un problème plus compliqué ou au contraire, vous les faites patauger directement avec le problème complexe ?

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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par Marlou.Bassboost le Sam 6 Juil 2013 - 8:25

je commence aussi par du simple pour dériver plus complexe et mettre en place le système.

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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par Carrie7 le Sam 6 Juil 2013 - 8:29

Je trouve indispensable d'enseigner les 2 méthodes. En 2nde, on revoit ces systèmes, et parmi ceux qu'on a résolus cette année, il y en avait qui étaient super longs à résoudre par CL, et très rapides par substitution (même si ça ne se voyait pas de prime abord).
Je trouve que c'est un enrichissement quand il y a 2 méthodes possibles, et que les élèves doivent choisir...

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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par Moonchild le Sam 6 Juil 2013 - 9:58

@Carrie7 a écrit:Je trouve indispensable d'enseigner les 2 méthodes.
En parlant de deux méthodes, je crois qu'on brouille un peu les cartes car, en fait, il n'y a en pas deux mais une seule : on résout les systèmes par "triangularisation".
La combinaison et la substitution sont juste deux techniques qui permettent en un certain nombre d'étapes d'obtenir une forme triangulaire ; d'ailleurs on peut très bien commencer une résolution par une combinaison pour ensuite enchaîner avec une substitution.
Lorsqu'en classe de première on donne un système à 3 équations et 3 inconnues, on voit très vite que beaucoup d'élèves n'ont toujours pas saisi que l'objectif est d'atteindre une forme triangulaire ; généralement ils restent bloqués en se demandant s'ils doivent "faire par combinaison ou par substitution" (enfin pour ceux qui se souviennent des noms) mais trop peu arrivent à mettre en place une stratégie d'élimination des inconnues sans tourner en rond.
Je peux faire fausse route, mais j'aurais tendance à penser que, dans un premier temps, il serait raisonnable de se limiter à la substitution car le principe est plus simple à comprendre et permet de mettre bien en évidence l'idée d'élimination successive des inconnues. Je dirais que c'est dans un deuxième temps, une fois que la méthode de "triangularisation" est bien assimilée, qu'il est alors intéressant d'aborder la combinaison linéaire comme une technique qui, assez souvent, est plus performante.
 
@petit karibou a écrit:Un peu démago, moi j'ai bien aussi l'exemple sur les lots pizzas/cocas dans la sandwicherie du coin. Etrangement cela leur parle... Very Happy
Pourtant, ça c'est l'exemple type de faux problème concret. A moins d'être totalement perché, on lit d'abord le prix des pizzas et du coca sur la carte avant de commander ; il n'y a vraiment que des profs de maths pour aller passer deux commandes différentes et ensuite calculer le prix d'une pizza et d'un coca en résolvant un système linéaire. Et quand il y a des lots dans une sandwicherie, généralement cela correspond à une promo sur au moins l'un des articles et le raisonnement avec les prix individuels ne tient plus.
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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par JPhMM le Sam 6 Juil 2013 - 10:12

@petit karibou a écrit:J'enseigne aussi les 2 et les laisse choisir.
topela 
Évidemment.

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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par petit karibou le Sam 6 Juil 2013 - 13:03

@Moonchild a écrit:
@petit karibou a écrit:Un peu démago, moi j'ai bien aussi l'exemple sur les lots pizzas/cocas dans la sandwicherie du coin. Etrangement cela leur parle... Very Happy
Pourtant, ça c'est l'exemple type de faux problème concret. A moins d'être totalement perché, on lit d'abord le prix des pizzas et du coca sur la carte avant de commander ; il n'y a vraiment que des profs de maths pour aller passer deux commandes différentes et ensuite calculer le prix d'une pizza et d'un coca en résolvant un système linéaire. Et quand il y a des lots dans une sandwicherie, généralement cela correspond à une promo sur au moins l'un des articles et le raisonnement avec les prix individuels ne tient plus.
Rolling Eyes

Je suis entièrement d'accord sur les faux problèmes concrets que j'évite au maximum. Dans ce chapitre je fuis les execices type j'achète 2 BD et 3 livres, 2 roses et 3 tulipes etc... Justement pour la raison que tu cites (de même d'ailleurs que les faux patissiers avec leurs framboises et fraises à répartir à l'aide d'un pgcd et autres fadaises).
Dans l'exemple des pizzas, justement on est souvent confrontés au pb des plaquettes avec beaucoup de packs promos et même si bien souvent il n'est pas judicieux de ramener le calcul à un système... ben des fois si. Et dans ces cas là, en plus les élèves accrochent.
Cependant, niveau collège, il est souvent délicat de trouver des exemples à la fois réellement concrets... et qui parlent aux élèves. Même ce qui est proposé dans plein de revues spécialisées (et j'en ai lu un packet, depuis hypercube, jusqu'au kangourou ou aux revues de l'ampep) me semble souvent ou artificiel ou vraiment très loin...
Mais c'est un sujet passionnant... tu ouvres un sujet?

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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par JPhMM le Sam 6 Juil 2013 - 13:58

Il y a un vrai problème mathématiquement concret, qui fait sens en troisième : l'équation d'une droite qui passe par deux points dont on a les coordonnées.


Dernière édition par JPhMM le Sam 6 Juil 2013 - 18:51, édité 1 fois

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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par petit karibou le Sam 6 Juil 2013 - 17:00

Oui et c'est bien le seul qui soit mathématiquement correct. Je le traite bien sur. Mais à moins de ne faire que cela dans ce chapitre ca fait un peu court. De plus, la démagogie que je ne nie pas me pousse aussi à parler de pizzas et de cocas car étrangement cela les amuse plus que la détermination d'une fonction affine dont on connait 2 antécedants et leurs images... Et je considère que s'amuser, même sur les problèmes tirés par les cheveux, c'est toujours ça de gagné.

Qui plus est, il m'arrive fréquemment en cours de d'expliquer aux élèves que le problème est bancal, que le pizzaïolo qui ferait ça serait un dingue etc... et ils comprennent.

Par contre j'estime il y a bien des chapitres qui permettent de vraies applications concrètes et osons, quotidiennes, donc qui peuvent plus facilement leur parler, et là c'est un vrai bonheur. J'admets ma difficulté face à certaines notions plus déconnectées.

petit karibou
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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par SandyVeg le Dim 7 Juil 2013 - 0:48

Pour moi, je trouve qu'il est important de leur apprendre les 2 méthodes :
- pour les systèmes, à plus de 2 équations, la combinaison fonctionne bien mieux que la substitution
- pour des systèmes avec des carrés, seule la substitution fonctionne (points d'intersections entre un cercle et une droite par exemple)
Les 2 méthodes sont complémentaires.

_________________
Parcours :
2016-2017 : T4 - 3 classes de 6e et 1 classe de 3e - PP 6e + coordo Maths + coordo 6e
2015-2016 : T3 - Poste fixe dans mon département, mais encore à 60km de chez moi - 3 classes de 6e et 2 classes de 3e - PP 6e + coordo Maths
2014-2015 : T2 - Poste fixe dans le département d'à côté - 2 classes de 5e et 3 classes de 4e
2013-2014 : T1 - Année de galère, pseudo-TZR - classes de 5e, 4e, 3e, 2nde et 1ère
2012-2013 : Stagiaire - 2 classes de 4e et 2 classes de 3e
2012 : 3e concours du CAPES
2009-2012 : Contractuelle - Plein de petits remplacements en collège et lycée
2005-2012 : Cours particuliers - collège, lycée et prépa ECE
2000-2004 : Ingénieur en informatique
1999-2000 : Monitrice d'informatrice à la fac

SandyVeg
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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par Moonchild le Dim 7 Juil 2013 - 8:40

@SandyVeg a écrit:Pour moi, je trouve qu'il est important de leur apprendre les 2 méthodes :
- pour les systèmes, à plus de 2 équations, la combinaison fonctionne bien mieux que la substitution
- pour des systèmes avec des carrés, seule la substitution fonctionne (points d'intersections entre un cercle et une droite par exemple)
Les 2 méthodes sont complémentaires.
Là dessus, on est bien d'accord, mais je me demande si c'est vraiment une bonne idée de leur enseigner en même temps et dès le départ la substitution et la combinaison ; j'ai l'impression qu'en faisant ainsi, d'une part, on cumule en début de chapitre les difficultés de compréhension de ces deux techniques alors qu'on pourrait les étaler dans le temps et, d'autre part, on détourne l'attention des élèves de l'essentiel qui est la mise sous forme triangulaire (notion clairement non acquise par une forte proportion des élèves de première S, du moins par chez moi).
Sans compter qu'en insistant comme on le fait sur les deux méthodes, on induit chez les élèves l'idée que la résolution d'un système doit se faire soit strictement par l'une soit strictement par l'autre et la question du choix entre les deux finit pour certains élèves par occulter tout le reste alors que c'est en réalité à chaque étape d'élimination d'une inconnue qu'on peut faire le choix entre une substitution ou une combinaison.
En plus avec la substitution, l'idée d'équivalence des systèmes est plus simple à mettre en évidence (on a simplement remplacé une expression par une autre qui lui est égale) alors qu'elle apparaît de manière moins nette avec la combinaison (où, si on veut vraiment justifier cette équivalence, on en vient à utiliser la "combinaison réciproque") ; bien sûr, en l'état actuel des programmes et des élèves de collège, se poser la question de l'équivalence des systèmes est un luxe qu'on ne peut plus se permettre.
 
Bref, comme je le disais précédemment, je verrais bien une progression en plusieurs temps :
- systèmes à 2 équations et 2 inconnues en centrant la méthode sur l'idée d'élimination d'une inconnue (et savoir le cas échéant faire le choix le plus simple) et en travaillant par substitution sans trop insister sur le mot ;
- systèmes à 3 équations et 3 inconnues (voire plus si la classe le permet, mais j'en doute), toujours en insistant sur l'idée de mise sous forme triangulaire et toujours en travaillant par substitution ;
- enseignement de la technique de combinaison qui simplifie quand même souvent la résolution, surtout à partir de 3 inconnues (et c'est là qu'on explique clairement qu'avant on avait travaillé par substitution pour bien distinguer les deux techniques d'élimination des inconnues).
Après, il faudrait voir sur combien de temps on étale cette progression.
 
@petit karibou
Dans le temps, on pouvait obtenir une situation presque concrète et pas trop absurde avec des lots de billes de différents types ; mais maintenant je crois que les gamins ne jouent plus du tout aux billes, ou alors en les utilisant comme projectiles...

Moonchild
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Re: Comment introduire les systèmes d'equations en troisième ?

Message par petit karibou le Dim 7 Juil 2013 - 11:16

Je pense que tu as raison sur le fait de séparer l'apprentissage des notions en 2 temps.

C'est pour cela que j'ai apprécié cette année de faire le chapitre sur les fonctions affines avant celui sur les systèmes car ainsi j'introduis la triangulation pour la fameuse détermination. C'est effectivement un exemple qui se resout bien et est assez visuel. Je n'introduis la combinaison linéaire que dans le chapitre sur les systèmes.

En fait d'ailleurs ce n'est pas un chapitre système mais un chapitre équations, inéquations et système qui est placé en fin d'année et dans lequel on reprend tout ce qui a été disséminé dans plein de chapitre tout au long de l'année:
- équation simples
- équation produit
- équations carrées
- notion d'ordre (et là je formalise les inéquations)
- système par subsititution (et là j'introduis la combinaison linéaire)

J'aime bien présenter cela aux élèves comme une compil de tout ce qui a été vu au collège... un peu avant le passage au lycée.

Pour ce qui est des billes... ou je faisais, mais j'avais quand même moins de succès qu'avec les pizzas Embarassed , même si dans le fond je suis d'accord, bien sur avec toi.

Ah... et puis en ce qui concerne les fonctions affines... beaucoup de mes élèves préfèrent calculer le coefficient directeur avec la formule de l'accroissement + poser une équation pour l'ordonnée à l'origine plutôt que mes systèmes qui n'ont décidément pas la cote. C'est humain... même si le puriste...

petit karibou
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