Re: Comment apprendre aux élèves de 5e et 4e à rédiger une démonstration ?

Pour ma part, j'ai commencé en 6e (vers Janvier-février le "On sait que.........Or...........Donc") lorsque dans les exos on a les mots : "démontrer", justifier", "prouver".
C'est venu naturellement, lorsqu'un élève m'a posé la question "pourquoi c'est marqué justifier en écriture bizarre ?" (mot pour mot !).
On a fait un petit échange-débat et certains ont fait le lien avec l'actualité sur la médecine.

Donc de là, on a fait trois étiquettes de trois couleurs , pour la rédaction.
Pour eux, l'étiquette verte est "on sait que" , la noire est "propriété" et la Rouge est "conclusion" (les couleurs sont toujours respectées).
Ils marquent sur trois lignes différentes les début de "phrases" en passant deux lignes (généralement) puis ils complètent, généralement en commençant par le "donc", ensuite par le "on sait que", pour finir par la propriété.

Sur ma classe de 22 élèves, seulement 3 élèves n'ont pas acquis la méthode de rédaction (mais c'est plus parce qu'ils n'ont pas appris les leçons que compris, car en classe (au tableau) ils savent utiliser les étiquettes aimantées! (Oui j'ai les trois étiquettes en grand formant, aimantées).

En 5e j'ai eu du mal à mettre en place cette rédaction, car pour les élèves "c'est trop long à écrire et il faut apprendre les propriétés".
C'est des élèves très faibles et fainéants surtout, le cahier de leçon est très rarement ouvert.
Mais là j'ai précisé que pour le 3eme trimestre, je serais très sévère dans les notations des devoirs si vous ne respectez pas la méthode. Pour l'instant ça marche plutôt bien !

Ton système d'étiquettes m'intéresse. Ça se présente comment ?
Et les étiquettes aimantées pour le tableau, tu les fabriques toi même ?

Pour ma part, afin de finir le cours sur la symétrie avec ma classe de 6eme, je pense leur faire démontrer les propriétés qu'ils voient cette année. Je sais que certains (3 élèves en fait cheers

) vont sans doute comprendre mieux que la moitié des troisièmes ce qu'est une démonstration, mais pour le reste...

Depuis le début de l'année, ils me demandent comment rédiger, comment écrire ceci ou cela. Je suis contre le fait de donner des règles strictes : l'année prochaine, avec un autre prof, ce qui compte est qu'ils sachent se faire comprendre. Je leur dis tout le temps qu'il y a plusieurs manières de faire une phrase réponse, qu'on a écrit simplement un exemple de réponse possible dans le cahier. Et puis, étant élève, j'ai toujours détesté les profs de maths au collège qui voulaient qu'on écrive toute la f*** propriété avant de l'utiliser... De toute manière on sait si l'élève a compris de quoi il parlait ou s'il essaye de baratiner... Mais bon après chacun son truc Very Happy

Mes étiquettes pour tableau, je les ai faites moi même (3 feuilles A4), elles sont plastifiée donc parfaite pour plusieurs années.

Les élèves ont fabriqué eu même, sur une feuille un tableau de trois colonnes (ils m'ont tout simplement demandé si ils avaient le droit de faire les même étiquettes que celle du tableau) et ils ont complété les cases par "on sait que", "or" et "donc" (avec les 3 couleurs).
Puis à la maison ils ont tous découpé et mis dans une enveloppe qui est collée dans le cahier de leçon (sur la couverture).
Et lors des exercices, dès qu'ils ont le mot "démontrer", "montrer", "prouver" ou "justifier", ils sortent une étiquette de chaque couleur et la colle dans le bonne ordre, et ils complètent.

Il m'est arrivé de ne pas avoir sorti une fois les étiquettes, je vous assure que j'ai pris la remarque suivante : "Madame les étiquettes sont obligatoire, sinon on ne peut pas corriger l'exercice!" (Heureusement j'ai de l'humour avec eux)

Ici, dans le collège où je suis les collègues apprennent aux élèves le terme de "chaînon déductif".

J'ai été surpris car ce sont eux qui m'ont appris le terme que je ne connaissais pas.

Du coup ici c'est très structuré : on sait que ... or... donc.

On en a fait beaucoup avec les cinquièmes sur les calculs d'angles dans des figures complexes, y compris avec 3 ou 4 chaînons à la suite. Sur les autres leçons on faisait un ou deux chaînons maxi.

Les collègues utilisent aussi les étiquettes.

Pour ma part j'ai utilisé Labomep, il y a beaucoup d'exercices avec des étiquettes à déplacer à l'écran. On en a fait deux séances d'une heure, ils ont terminé à la maison.

Il a fallu pas mal argumenter sur la nécessité ou pas de démontrer, l'utilité de la chose.
Tout y est passé, du tribunal avec les indices et la peine, au chirurgien avec les examens (données) et le diagnostic (conclusion), en passant par l'ingénieur qui conçoit un avion. Pour eux bien sûr la loi du moindre effort fait que c'est inutile.

En cinquième, il reste quelques élèves qui n'y arrivent pas, en quatrième ils sont rares.

pailleauquebec a écrit:
Il a fallu pas mal argumenter sur la nécessité ou pas de démontrer, l'utilité de la chose.
Tout y est passé, du tribunal avec les indices et la peine, au chirurgien avec les examens (données) et le diagnostic (conclusion), en passant par l'ingénieur qui conçoit un avion. Pour eux bien sûr la loi du moindre effort fait que c'est inutile.

Tes analogies avec la vie réelle sont pas mal pour donner du sens aux élèves.

Petite question pour les adeptes de "on sait que" "or" "donc" et les autres aussi.
Comment réagissez-vous, en devoir par exemple, lorsqu'un élève écrit " comme les côtés opposés de ABCD sont parallèles alors c'est un parallélogramme" ou "(AB)//(CD) et (BC)//(AD) donc ABCD est un parallélogramme" ?

Pour ma part je valide, car au brevet on le fait.
L'élève a compris et semble savoir de quoi il parle.
Toutefois en devoir ayant toujours 2 points pour rédaction, présentation, orthographe, je retire 0,5

Botentoush a écrit:Petite question pour les adeptes de "on sait que" "or" "donc" et les autres aussi.
Comment réagissez-vous, en devoir par exemple, lorsqu'un élève écrit " comme les côtés opposés de ABCD sont parallèles alors c'est un parallélogramme" ou "(AB)//(CD) et (BC)//(AD) donc ABCD est un parallélogramme" ?

Pour moi c'est bon. On voit que l'élève sait de quoi il parle.
Quand j'étais stagiaire, j'imposais à mes 4ème le "on sait que... or... donc..." . La formatrice qui m'avait inspectée m'avait reproché de trop guider les élèves en leur imposant une rédaction toute faite. Selon elle, les élèves se contentaient de reproduire le modèle du cours sans vraiment comprendre ce qu'ils faisaient. Aujourd'hui avec un peu de recul, je suis d'accord avec elle. Tant que l'élève justifie sa réponse avec une propriété du cours (sans oublier de vérifier toutes les hypothèses), ça me convient.
Dans le cours par contre je rédige toutes les démonstrations avec "on sait que... or... donc...", comme ça les élèves ont au moins un modèle.

Candy62 a écrit:Pour ma part je valide, car au brevet on le fait.
L'élève a compris et semble savoir de quoi il parle.

+1
Mon tuteur m'avait dit de me baser sur ce qu'on valide au DNB.
Mais c'est un peu dure quand on ne l'a jamais corrigé !

Je crois qu'il n'y a pas de recette unique...
Je ne suis pas adepte d'un systématique "on sait que / or / donc" :
- dans une démonstration en deux ou trois étapes, cela devient vite très lourd,
- si la propriété utilisée est un savoir d'une année antérieure, il devient normal que les élèves rédigent de manière plus rapide (juste les données, ou un bref "car + petit argument"),
- l'aspect 'moule' peut permettre à des élèves (rentrant dans le moule) d'avoir des points, sans forcément avoir compris. On croit avoir bien fait passé notre chapitre, mais en fait des élèves se contentent de reproduire, sans prendre du recul sur ce qu'ils font, et sans réellement faire de maths.
- à l'inverse du point précédent, des élèves peu scolaires ne voyant pas l'intérêt d'écrire 'tout', mais raisonnant correctement, n'auront pas tous les points. On a aussi dans ce cas des bons élèves qui rédigent déjà de manière synthétique.

Un point positif du "on sait que / or / donc" est qu'il rassure certains élèves.

Bref, pour revenir à la question de départ, je pense qu'il faut trouver différentes façons de faire suivant le contexte, on ne rédige pas tout de la même façon. Par exemple :
- on démontre la propriété de la droite de milieu, il y a beaucoup d'étapes : on peut faire à l'oral en énonçant toutes les propriétés, ou à l'écrit en mettant juste les grandes étapes,
- on commence le chapitre sur le théorème de Thalès : on ne rédige absolument rien, on ne fait que des calculs pour découvrir les idées de proportionnalité,
- plus tard, on a convenu d'un énoncé pour le théorème de Thalès et les idées sont en place : exercice d'application avec rédaction "on sait que / or / donc" très cadré,
- encore plus tard, le théorème de Thalès est utile à la dernière question d'un exercice compliqué : on se contente de montrer qu'on a vu le point clé "(AB)//(CD)"
- etc.

Donc pas vraiment de solution simple :'(

Edit : il y a une petite partie sur la rédaction en géométrie dans le document d'accompagnement Géométrie page 15 : http://eduscol.education.fr/cid45766/mathematiques-pour-le-college-et-le-lycee.html#lien1

C'est marrant, ça me fait penser à nos discussions qui n'en finissent pas sur les barèmes des devoirs communs, nous n'arrivons pas toujours à nous mettre d'accord.
Les ~~laxistes~~ bienveillants:"mouais, on voit bien qu'y'a quequ'chose qu'aurait pu aboutir là, bon, il a pas utilisé Pythagore, mais il a vu qu'il y avait un triangle, c'est déjà pas mal, au brevet il aurait eu tous les points, alors...."." Bon, 4 points si il a pensé à développer ; 4, 25 si en plus le calcul est juste, les erreurs de signe ça compte pas, c'est pas le même chapitre".
Les ~~psychorigides~~ rigoureux :" "Vu que " je supporte pas, c'est moins deux direct","ah non, si il n'a pas redit pour la troisième fois que le triangle était rectangle en U', ça ne va pas", "J'enlève 0,25 par tiers de page si les figures sont tracées à la mine 0,7 au lieu de la 0,5, mais il peuvent les récupérer si la date est écrite en toutes lettres"

Moi j'oscille entre les deux positions, selon les années, les élèves, et comment je suis lunée.

Je leur demande de rédiger en utilisant "comme ... alors". Je ne leur demande pas d'écrire la propriété. Je pars du principe que s'ils écrivent les conditions d'application du thm et la conclusion c'est qu'ils ont compris.

Le véritable soucis des rédactions c'est qu'on n'est pas capable de se mettre d'accord entre collègues. Madame Machin veut absolument en 5e "comme ... alors", Monsieur Untel exige en 4e "On sait que ..." et Monsieur Truc Machin en 3e "Il était une fois ..." , bref on perd beaucoup nos élèves. La preuve est qu'au brevet blanc, on a très peu de "on sait que ..." ou de "comme ... alors" (en dehors des classiques comme Thalès et Pyth) . Ils rédigent à leur façon ...

Pour finir, je dirais que je ne suis même pas d'accord avec moi-même puisque chaque année ou presque je change heu

:boulet:

Si on regarde comment les rédactions étaient rédigées dans les vieux manuels, comme le Lebossé Hemery, c'était très détaillé, sans formalisme excessif cependant et dans un bon français. (http://lib.freescienceengineering.org/view.php?id=855254, il faut télécherger djview pour le voir).

A l'époque l'exigence portait sur les exercices qui étaient bien plus durs et sur la capacité à rédiger.

Si on regarde dans les manuels de Singapour, ils notent les propriétés utilisées avec des abréviations entre parenthèses et ne font aucune phrase (http://www.singaporemath.com/v/vspfiles/assets/images/sp_dmtn7a6.pdf). Les exercices de ces manuels sont par contre bien plus ambitieux que dans nos manuels et il faut parfois 5 ou 6 chaînons pour arriver au résultat qui n'est pas évident.

Chez eux l'exigence porte sur la difficulté des exercices et pas sur la capacité à rédiger.

Bonjour,
J'interdis aux élèves de rédiger avec « On sait que... Or... Donc...» (que j'ai en horreur) pour les raisons suivantes :

- Je n'ai encore jamais lu une seule démonstration dans un bouquin de maths utilisant cette formulation;
- L'usage de cette formulation donne le primat à la forme sur le sens. Elle induit chez les élèves la peur de « mal rédiger ». Au lieu d'être centré sur le sens, les élèves se posent la question de savoir « si c'est bien dit », « si on va leur enlever des points s'ils rédigent autrement », ce qui a été le cas avec leurs enseignants des années précédentes (et qui est encore le cas lors des contrôles communs);
- Les démonstrations sont quasiment toutes rédigées de la même façon. Les élèves copient allègrement les uns sur les autres puisque justement on leur interdit de rédiger à leur façon.
- Les démonstrations sont longues, lourdes et inélégantes;
- Un très grand nombre d'élèves ayant appris avec cette formulation confond SI et COMME;
- On ne peut pas demander à un élève de raisonner par lui-même en le contraignant à raisonner selon un modèle prédéterminé. Pour pouvoir raisonner par soi-même, chacun a besoin d'être libre de faire à sa guise, l'essentiel est que le raisonnement soit juste;
- Elle dégoûte un grand nombre d'élèves des maths.

Je donne en exemple COMME ... ALORS ... qui permet de faire des rédactions courtes et élégantes sans perte de sens, mais sans la rendre obligatoire. J'accepte toutes les formulations correctes selon le principe du tiers exclu et je rappelle aux élèves que la meilleure façon de rédiger, c'est de rédiger comme l'on pense soi-même...

@AndréC, tu réponds à un fil de 2014.

Peux-tu passer te présenter ?
https://www.neoprofs.org/f26-votre-presentation

Certes, 2014, mais le sujet est encore d'actualité.

C'est vrai, je te le faisais remarquer pour être sûr que tu ne croyais pas répondre à une conversation en cours.

La discussion peut reprendre, il n'y a pas de problème.

Si j'ai bien compris André, au lieu d'écrire :

On sait que la discussion date de 2014, or elle reste d'actualité, donc la discussion peut reprendre.

il propose de rédiger :

Quoique datant de 2014, cette discussion reste d'actualité, donc elle peut reprendre.

BR a écrit:Si j'ai bien compris André, au lieu d'écrire :

On sait que la discussion date de 2014, or elle reste d'actualité, donc la discussion peut reprendre.

il propose de rédiger :

Quoique datant de 2014, cette discussion reste d'actualité, donc elle peut reprendre.

Je dirais pluôt:
Bien que datant de 2014 cette discussion reste d'actualité. Elle peut donc reprendre.

Non,
Au lieu de

On sait que la discussion date de 2014 et est d'actualité.
Or, si une discussion date de 2014 et est d'actualité alors elle peut reprendre.
Donc, cette discussion peut reprendre

On rédige simplement

Comme cette discussion de 2014 reste d'actualité, elle peut reprendre.

P.S : vous remarquerez que j'ai omis « alors »

Pour répondre plus sérieusement, enseignant en CPGE, j'ai pris de plus en plus l'habitude de rédiger de façon stéréotypée les corrections d'exercice, en explicitant au maximum les raisonnements. J'utilise ainsi toujours la même structure pour les raisonnements par récurrence ou lorsque j'utilise certains théorèmes. Ainsi, j'écris :

Nous avons démontré que la fonction x->x^3-3x est continue, strictement décroissante sur [-1,1], de valeur 2 en -1, -2 en 1, donc, d'après le théorème de la bijection, elle définit une bijection de [-1,1] sur [-2,2]

et je conserve toujours la même structure lorsque j'utilise le théorème de la bijection.

Je pense qu'il est important de structurer la mise au propre des raisonnements mathématiques. Que des professeurs de collège proposent d'écrire :

On sait que... Or... Donc...

me semble une bonne étape pour étayer de bonnes pratiques de rédaction et de raisonnement. La formulation choisie me semble indifférente, à partir du moment où elle se base sur une structure claire et reproductible.

Le fond n'est pas fondamentalement séparé de la forme en cette matière : une forme contraignante permet souvent de raisonner juste. Ainsi, lorsque mes élèves résolvent un système linéaire de trois équations à trois inconnues, imposer la convention matricielle et la méthode du pivot permet aux élèves de résoudre le système sans difficulté et en faisant des calculs facilement (re)lisibles. Sans la contrainte de forme imposée par la notation matricielle, on obtient des pages de calculs, dans lesquels les élèves travaillent par substitution successives de façon totalement anarchique pour aboutir en général à un résultat faux. Ils arrivent également souvent à un résultat faux en appliquant la méthode du pivot, mais je leur impose de vérifier leur calcul et, en général, après vérification, ils peuvent retrouver rapidement une erreur éventuelle et corriger leur calcul.

Dans ce cadre là, l'imposition d'une structure contraignante les aide à travailler de façon efficace.

@BR
En étant très sérieux, je fais avec vous ce que je fais avec les élèves : je vous laisse entièrement libre de faire selon votre gré.

La différence c'est que la réciproque n'est pas vraie.

Il y a certainement des élèves pour lesquels un cadre rigide est bénéfique.

Les formes très contraintes en poésie ne semblent pas empêcher la créativité.
Il y a même des auteurs qui pensent qu'une forme très contrainte libère.

Pourquoi des vers de 12 pieds, des rimes abba,..., des paragraphes avec des nombres de vers fixés,...?

Au fond "on sait que... or... donc" n'est peut être qu'un cadre.

pailleauquebec a écrit:Il y a certainement des élèves pour lesquels un cadre rigide est bénéfique.

Oui, c'est un avantage du "on sait que ... or ... donc".
Je pense en particulier à des élèves qui auraient besoin d'être rassurés. Enfin..., ils sont peut-être rassurés mais on leur ment... ils ne font pas vraiment de maths. Ils imitent sans comprendre.
Alors certes, le fait qu'ils soient rassurés permet de les raccrocher pour d'autres travaux, mathématiques cette fois, plus tard. Mais c'est un peu tordu comme cheminement Smile

Les inconvénients donnés par AndréC sont tellement nombreux que je fais aussi le choix de ne pas proposer ce cadre de rédaction.

Dans les récents documents d'accompagnement, cette question est abordée. Voici ce qu'ils disent :

doc accompagnement:

Source : http://eduscol.education.fr/cid99696/ressources-maths-cycle.html document raisonner

Étant donné que le cours de mathématiques est un enchaînement raisonné et pendant lequel on raisonne, étant donné que faire un cours c'est aussi penser devant ses élèves, il me semble que l'apprentissage de la démonstration commence bien tôt, au primaire, et se poursuit tout au long de la scolarité. Évidemment on passe de l'oral à l'écrit, puis vers un certain formalisme; d'exemples génériques au travers desquels on perçoit la généralité à des démonstrations rédigées en toute généralité.