Comment apprendre aux élèves de 5e et 4e à rédiger une démonstration ?

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Re: Comment apprendre aux élèves de 5e et 4e à rédiger une démonstration ?

Message par Anaxagore le Sam 7 Mai 2016 - 11:36

Étant donné que le cours de mathématiques est un enchaînement raisonné et pendant lequel on raisonne, étant donné que faire un cours c'est aussi penser devant ses élèves, il me semble que l'apprentissage de la démonstration commence bien tôt, au primaire, et se poursuit tout au long de la scolarité. Évidemment on passe de l'oral à l'écrit, puis vers un certain formalisme; d'exemples génériques au travers desquels on perçoit la généralité à des démonstrations rédigées en toute généralité.

Anaxagore
Doyen


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Re: Comment apprendre aux élèves de 5e et 4e à rédiger une démonstration ?

Message par Anaxagore le Sam 7 Mai 2016 - 11:37

Je n'ai jamais été un adepte des canevas.

_________________
"De même que notre esprit devient plus fort grâce à la communication avec les esprits vigoureux et raisonnables, de même on ne peut pas dire combien il s'abâtardit par le commerce continuel et la fréquentation que nous avons des esprits bas et maladifs." Montaigne

Anaxagore
Doyen


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Re: Comment apprendre aux élèves de 5e et 4e à rédiger une démonstration ?

Message par Pat B le Sam 7 Mai 2016 - 21:34

@t3- a écrit:
@pailleauquebec a écrit:Il y a certainement des élèves pour lesquels un cadre rigide est bénéfique.
Oui, c'est un avantage du "on sait que ... or ... donc".
Je pense en particulier à des élèves qui auraient besoin d'être rassurés. Enfin..., ils sont peut-être rassurés mais on leur ment... ils ne font pas vraiment de maths. Ils imitent sans comprendre.
Alors certes, le fait qu'ils soient rassurés permet de les raccrocher pour d'autres travaux, mathématiques cette fois, plus tard. Mais c'est un peu tordu comme cheminement Smile

Les inconvénients donnés par AndréC sont tellement nombreux que je fais aussi le choix de ne pas proposer ce cadre de rédaction.  

Dans les récents documents d'accompagnement, cette question est abordée. Voici ce qu'ils disent :

doc accompagnement:
L’apprentissage du raisonnement et de la démonstration est un processus long et délicat
qui doit se faire de manière progressive, dans la durée, et tenir compte des deux contraintes
suivantes :
• tout d’abord, la nécessité de séparer les tâches de résolution du problème (recherche et
obtention de la preuve) de celle de la rédaction d’un texte qui traduit l’organisation de la
démonstration ;
• ensuite, l’apprentissage de la rédaction se fait notamment lorsque l’élève est confronté à
l’expérience de la communication de sa solution. L’envie de se faire comprendre associée à
la critique de ses pairs est, pour un élève, un levier de progrès certainement plus puissant
que la fourniture, par le professeur, d’un modèle de rédaction. Si, pour être communicable et
compréhensible, une démonstration mathématique doit respecter des règles syntaxiques, il
faut reconnaître que celles-ci ne sont pas naturelles pour les élèves. Des exigences excessives
et prématurées d’un modèle de rédaction standardisée peuvent induire de leur part
des comportements relevant de l’imitation plus que de la compréhension. En accordant une
place disproportionnée aux activités purement formelles de nature rhétorique (« je sais
que… or… donc »), on risque d’éloigner les élèves du raisonnement lui-même et du plaisir
de chercher. Afin de ne pas détourner de la résolution de problèmes les élèves ayant des
difficultés à entrer dans les codes de rédaction d’une démonstration, il importe de valoriser
les productions spontanées, écrites ou orales, issues des phases de recherche et d’expé-
rimentation (calculs seuls, croquis destinés à comprendre l’exercice, idées de preuve, plan
de preuve, etc.). Souvent imparfaites et inabouties, elles constituent de véritables objets
d’étude pour la classe au cours d’un débat permettant de faire émerger progressivement
les critères d’une rédaction performante, sans pour autant modéliser le travail. Progressivement,
la phase de rédaction, entamée ou non en classe, sera dévolue aux élèves, en
classe ou en dehors de la classe, en veillant à différencier les exigences de formalisme selon
l’objectif d’apprentissage (le raisonnement ou la communication) et la capacité des élèves à
entrer dans les codes de la démonstration. En particulier, il  est tout à fait possible d’exprimer
dans le langage naturel un raisonnement mathématique tout en respectant parfaitement
les règles logiques d’inférence. De même, si l’on peut faire apparaître, dans certains
cas, l’intérêt d’une mise en forme de la démonstration sous forme déductive (en mettant la
conclusion à la fin de la démonstration), il est cependant admis de la placer au début, suivie
de « car…, parce que… et que… ».

Source : http://eduscol.education.fr/cid99696/ressources-maths-cycle.html document raisonner

Galère, la démonstration. Ca fait des années que j'enseigne en quatrième et j'ai de plus en plus de mal à faire passer ça.
Je ne suis pas tout à fait d'accord avec ce qui est dit sur eduscol : non, la motivation de "convaincre ses pairs" n'est absolument pas suffisante. Les camarades se laisseront convaincre par une explication sans la moindre rigueur, il suffit d'un bon schéma et de quelques mots, à l'oral... Certes on peut imposer que ce soit fait à l'écrit, peut-être, mais même ainsi, ça ne suffira pas : ils prendront des habitudes qui ne sont pas les bonnes (simplement parce que ce qu'ils ont écrit suffit à convaincre la classe) et auront bien du mal à les changer plus tard. Les bonnes habitudes doivent être prises du départ, c'est trop dur de les transformer ensuite... Et elles doivent être imposées par le prof, non par la classe.
On n'est pas pour autant obligés d'imposer un formalisme type chainon déductif, même si ça aide, pour certains, à construire le cheminement logique, au début (on l'abandonne ensuite).

Le vrai souci, pour la démonstration, c'est qu'ils n'aiment pas écrire, qu'ils ont du mal à comprendre et, pire, à créer des phrases complexes, à enchaîner des arguments, des conséquences, à exprimer (même à l'oral!) un raisonnement logique... Bref, le souci vient du français, et non de la logique mathématique.

Je me demande parfois si je ne devrais pas revenir à la façon dont on m'a enseigné, autrefois, le raisonnement (à la fin des maths modernes) : écrire toutes les hypothèses à gauche en colonne (avec codes et abréviations), tracer une grande accolade, une flèche d'implication, et la conclusion à droite. On ne cherchait pas à faire des phrases complexes, on donnait le nom des théorèmes mais on ne les récitait pas (pour les propriétés n'ayant pas de nom, du moment qu'on avait bien détaillé toutes les conditions remplies et la conclusion, ça suffisait). Peut-être que ça leur conviendrait mieux ?
Certes, on est sensé contribuer à leur formation en expression écrite, donc les faire rédiger...

Pat B
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Re: Comment apprendre aux élèves de 5e et 4e à rédiger une démonstration ?

Message par AndréC le Sam 7 Mai 2016 - 21:44

@Pat B a écrit:
Galère, la démonstration. Ca fait des années que j'enseigne en quatrième et j'ai de plus en plus de mal à faire passer ça.
Je ne suis pas tout à fait d'accord avec ce qui est dit sur eduscol : non, la motivation de "convaincre ses pairs" n'est absolument pas suffisante. Les camarades se laisseront convaincre par une explication sans la moindre rigueur, il suffit d'un bon schéma et de quelques mots, à l'oral... Certes on peut imposer que ce soit fait à l'écrit, peut-être, mais même ainsi, ça ne suffira pas : ils prendront des habitudes qui ne sont pas les bonnes (simplement parce que ce qu'ils ont écrit suffit à convaincre la classe) et auront bien du mal à les changer plus tard. Les bonnes habitudes doivent être prises du départ, c'est trop dur de les transformer ensuite... Et elles doivent être imposées par le prof, non par la classe.
Oui, c'est vrai, c'est galère et d'autant plus galère si les années précédentes ils n'ont pas vu le prof faire de démonstration lui même au tableau en expliquant de manière magistrale (mais à l'oral) les propriétés de cours comme celles des symétries axiales et centrales, les propriétés angulaires des parallèles, les propriétés des parallélogrammes.
Il y a des choses qui ne s'inventent pas. Il faut au départ (c'est mon point de vue) donner des exemples de démonstrations. On ne peut pas exiger d'eux de faire des démonstrations à partir de propriétés que l'on n'a jamais démontré soi-même et qu'on leur a demandé d'admettre.
@Pat B a écrit:
On n'est pas pour autant obligés d'imposer un formalisme type chainon déductif, même si ça aide, pour certains, à construire le cheminement logique, au début (on l'abandonne ensuite).

Le vrai souci, pour la démonstration, c'est qu'ils n'aiment pas écrire, qu'ils ont du mal à comprendre et, pire, à créer des phrases complexes, à enchaîner des arguments, des conséquences, à exprimer (même à l'oral!) un raisonnement logique... Bref, le souci vient du français, et non de la logique mathématique.
Oui, beaucoup n'aiment pas écrire, en revanche ils aiment bien trouver le pourquoi des choses, alors souvent pour les exercices, on cherche ensemble au tableau comment dire les choses plus simplement.
Le simple fait que l'on cherche avec eux à améliorer la rédaction, que l'on transforme le tableau en brouillon leur montre que la rédaction est un vrai travail de réflexion, de relecture.
@Pat B a écrit:
Je me demande parfois si je ne devrais pas revenir à la façon dont on m'a enseigné, autrefois, le raisonnement (à la fin des maths modernes) : écrire toutes les hypothèses à gauche en colonne (avec codes et abréviations), tracer une grande accolade, une flèche d'implication, et la conclusion à droite. On ne cherchait pas à faire des phrases complexes, on donnait le nom des théorèmes mais on ne les récitait pas (pour les propriétés n'ayant pas de nom, du moment qu'on avait bien détaillé toutes les conditions remplies et la conclusion, ça suffisait).
Mais cela suffit, il n'y a aucune obligation logique à réciter le théorème (surtout au collège). En appliquant le principe du tiers exclu, il n'y a pas d'erreur lorsque l'on rédige en citant les conditions d'application.
D'autant plus qu'en géométrie, le vocabulaire est riche et permet de faire une référence explicite au théorème sans avoir besoin de l'ânonner.
Personnellement, je leur explique que la propriété qui s'énonce « Si p ALORS q » s'applique en disant « COMME p ALORS q ». Le langage naturel est largement suffisant au collège.
@Pat B a écrit:
Peut-être que ça leur conviendrait mieux ?
Certes, on est sensé contribuer à leur formation en expression écrite, donc les faire rédiger...
c'est à essayer.


Dernière édition par AndréC le Dim 8 Mai 2016 - 11:29, édité 2 fois

AndréC
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Re: Comment apprendre aux élèves de 5e et 4e à rédiger une démonstration ?

Message par dasson le Sam 7 Mai 2016 - 23:24

Les différentes formulations autour de
"Comme cette discussion de 2014 reste d'actualité, elle peut reprendre."
montrent la richesse de la langue française Very Happy
L'apprentissage de la démonstration me semble lié à l'apprentissage de la langue ; la littérature c'est après...
Dans le premier exemple de démonstration que je donnais au siècle dernier, il y avait une curiosité qui pouvait susciter un "pourquoi ?" et attirer l'attention sur ce qu'est une démonstration :
http://rdassonval.free.fr/flash/mediap3demo.html
Autre exemple avec un schéma à compléter, une rédaction à ordonner :
http://rdassonval.free.fr/flash/exercice3n.html
Chaque affirmation est justifiée à la fin de son énoncé (on peut mettre un lien hypertexte).
Le rédacteur en noeud papillon qui rédige sur WORD peut renvoyer en bas de page...
De vieux travaux peut-être encore utiles ?

dasson
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Re: Comment apprendre aux élèves de 5e et 4e à rédiger une démonstration ?

Message par t3- le Dim 8 Mai 2016 - 11:27

@Pat B a écrit:Je ne suis pas tout à fait d'accord avec ce qui est dit sur eduscol : non, la motivation de "convaincre ses pairs" n'est absolument pas suffisante. Les camarades se laisseront convaincre par une explication sans la moindre rigueur, il suffit d'un bon schéma et de quelques mots, à l'oral... Certes on peut imposer que ce soit fait à l'écrit, peut-être, mais même ainsi, ça ne suffira pas : ils prendront des habitudes qui ne sont pas les bonnes (simplement parce que ce qu'ils ont écrit suffit à convaincre la classe) et auront bien du mal à les changer plus tard. Les bonnes habitudes doivent être prises du départ, c'est trop dur de les transformer ensuite... Et elles doivent être imposées par le prof, non par la classe.
Il y a un juste milieu à trouver. Je ne crois pas, en effet, qu'il faille laisser complètement les mains libres aux élèves pour améliorer un texte proposé par un autre élève.
Il y a des choses qu'ils croiront claires alors qu'elles ne le sont pas, et nous seront là pour les pointer.  

@Pat B a écrit:"convaincre ses pairs" n'est absolument pas suffisante
Nous sommes d'accord. Mais c'est un point d'appui utile pour amorcer le travail de rédaction.

@AndréC a écrit:ils n'ont pas vu le prof faire de démonstration lui même au tableau en expliquant de manière magistrale.  [...] Il y a des choses qui ne s'inventent pas. Il faut au départ (c'est mon point de vue) donner des exemples de démonstrations.
Oui, je crois qu'il est utile que le prof fasse quelques démonstrations magistrales. L'ancien programme le préconisait d'ailleurs.
Comme vous l'aurez noté, je suis en général partisan de partir de la bouillie des élèves, qu'ils amélioreront entre pair. Mais cela ne m'empêche pas de reprendre la main, de temps en temps, pour montrer quelque chose de plus solide.  

programme 2008 a écrit:La prise de conscience de ce que sont la recherche et la mise en
œuvre d’une démonstration est également facilitée par le fait que, en
certaines occasions, l’enseignant se livre à ce travail devant la classe,
avec la participation des élèves

t3-
Niveau 5


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