Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

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Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par marie91270 le Sam 10 Mai 2014 - 21:25

Je précise ma question : dans le programme, on ne nous demande pas de distinguer le théorème, sa réciproque et sa contraposée, mais je sais que beaucoup de profs font quand même la distinction dans leur cours.
Dans ma leçon, j'ai fait le choix d'énoncer le théorème comme une équivalence, et de ne pas utiliser les mots "réciproque" ni "contraposée", mais je me demande si ce choix est pertinent.

Et vous, comment faîtes vous ?
Je partage ma leçon ici, toute remarque est la bienvenue!

marie91270
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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par ycombe le Sam 10 Mai 2014 - 21:32

@marie91270 a écrit:Je précise ma question : dans le programme, on ne nous demande pas de distinguer le théorème, sa réciproque et sa contraposée, mais je sais que beaucoup de profs font quand même la distinction dans leur cours.
Dans ma leçon, j'ai fait le choix d'énoncer le théorème comme une équivalence, et de ne pas utiliser les mots "réciproque" ni "contraposée", mais je me demande si ce choix est pertinent.

Et vous, comment faîtes vous ?
Je partage ma leçon ici, toute remarque est la bienvenue!

Je ne comprends pas pourquoi tu dis «j'ai fait le choix d'énoncer le théorème comme une équivalence», alors que tu donnes les formes directe et réciproque dans les deux phrases d'énoncé du théorème.

Il me semble que l'idée du programme, c'est de dire: l'égalité de Pythagore caractérise le triangle rectangle. (je ne suis pas d'accord avec cette approche).

ycombe
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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par marie91270 le Sam 10 Mai 2014 - 21:36

@ycombe a écrit:Je ne comprends pas pourquoi tu dis «j'ai fait le choix d'énoncer le théorème comme une équivalence», alors que tu donnes les formes directe et réciproque dans les deux phrases d'énoncé du théorème.

Il me semble que l'idée du programme, c'est de dire: l'égalité de Pythagore caractérise le triangle rectangle. (je ne suis pas d'accord avec cette approche).

Pourquoi n'es tu pas d'accord avec cette approche ? Comment traites tu ce chapitre du coup ? Tu parles de réciproque et de contraposée ?
Je n'ai pas vraiment écrit le théorème comme une équivalence, mais j'ai regroupé dans le même théorème le sens direct et sa réciproque. Dans les exercices, on ne parle que du "théorème de Pythagore", les mots "réciproque" et "contraposée" ne sont pas utilisés.



marie91270
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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par ycombe le Sam 10 Mai 2014 - 21:44

@marie91270 a écrit:
@ycombe a écrit:Je ne comprends pas pourquoi tu dis «j'ai fait le choix d'énoncer le théorème comme une équivalence», alors que tu donnes les formes directe et réciproque dans les deux phrases d'énoncé du théorème.

Il me semble que l'idée du programme, c'est de dire: l'égalité de Pythagore caractérise le triangle rectangle. (je ne suis pas d'accord avec cette approche).

Pourquoi n'es tu pas d'accord avec cette approche ? Comment traites tu ce chapitre du coup ? Tu parles de réciproque et de contraposée ?
Je n'ai pas vraiment écrit le théorème comme une équivalence, mais j'ai regroupé dans le même théorème le sens direct et sa réciproque. Dans les exercices, on ne parle que du "théorème de Pythagore", les mots "réciproque" et "contraposée" ne sont pas utilisés.



L'idée de caractérisation passe assez mal, puisqu'on a une géométrie par petits morceaux sans cohérences. Je fais théorème direct/réciproque, la contraposée est un raisonnement par l'absurde sur le direct (s'il était rectangle, on aurait l'égalité donc il n'est pas rectangle) ce qui évite de parler de contraposée.


Dernière édition par ycombe le Sam 10 Mai 2014 - 22:28, édité 1 fois

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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par t3- le Sam 10 Mai 2014 - 22:14

On m'a fait découvrir cette année le livre "Des maths ensemble et pour chacun" qui regorge d'idées.
J'en parle car la séquence sur le théorème de Pythagore est disponible en ligne sur cette page : http://web-linux.crdp-nantes.fr/edition/index.php?id=catalogue&tx_catalogue_pi1[showUid]=143&no_cache=1&retour=accueil


En résumé, ils construisent leur séquence sur Pythagore de la façon suivante :
- Ils présentent magistralement une animation geogebra avec le traditionnel puzzle (sans dire que c'est le théorème de Pythagore), et demandent "ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = 5 cm et AC = 12 cm. À quoi peut servir la découverte des mathématiciens dans cette situation ?"
Cela donne une activité d'introduction où les élèves ont une vraie activité de recherche (et pas juste une tâche de vérification d'une égalité).
- Ils enchaînent avec des exercices de calcul d'une longueur manquante, sans aucune rédaction (le théorème n'est d'ailleurs toujours pas énoncé) ;
- Même fonctionnement avec la propriété réciproque ;
- Et enfin, une fois seulement que les élèves se sont appropriés la notion, ils demandent aux élèves d'élaborer un énoncé du théorème ;
- On peut alors travailler la rédaction.


Je trouve leur démarche (1. découverte/appropriation -> 2. élaboration d'un énoncé -> 3. rédaction) intéressante.
Ils la renouvellent sur des chapitres comme Thalès et cosinus.
Il y a énormément d'idées dans leur livre, en numérique comme un géométrie, je vous le recommande. Après, il faut adapter en fonction de sa propre façon de faire.

t3-
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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par marie91270 le Sam 10 Mai 2014 - 22:17

@t3- a écrit:On m'a fait découvrir cette année le livre "Des maths ensemble et pour chacun" qui regorge d'idées.
J'en parle car la séquence sur le théorème de Pythagore est disponible en ligne sur cette page : http://web-linux.crdp-nantes.fr/edition/index.php?id=catalogue&tx_catalogue_pi1[showUid]=143&no_cache=1&retour=accueil


En résumé, ils construisent leur séquence sur Pythagore de la façon suivante :
- Ils présentent magistralement une animation geogebra avec le traditionnel puzzle (sans dire que c'est le théorème de Pythagore), et demandent "ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = 5 cm et AC = 12 cm. À quoi peut servir la découverte des mathématiciens dans cette situation ?"
Cela donne une activité d'introduction où les élèves ont une vraie activité de recherche (et pas juste une tâche de vérification d'une égalité).
- Ils enchaînent avec des exercices de calcul d'une longueur manquante, sans aucune rédaction (le théorème n'est d'ailleurs toujours pas énoncé) ;
- Même fonctionnement avec la propriété réciproque ;
- Et enfin, une fois seulement que les élèves se sont appropriés la notion, ils demandent aux élèves d'élaborer un énoncé du théorème ;
- On peut alors travailler la rédaction.


Je trouve leur démarche (1. découverte/appropriation -> 2. élaboration d'un énoncé -> 3. rédaction) intéressante.
Ils la renouvellent sur des chapitres comme Thalès et cosinus.
Il y a énormément d'idées dans leur livre, en numérique comme un géométrie, je vous le recommande. Après, il faut adapter en fonction de sa propre façon de faire.

C'est exactement ce que je fais! (il faut que j'achète le livre d'ailleurs, je l'ai en 5ème mais pas en 4ème)
Avant de voir le théorème, on fait des exercices sans aucune rédaction avec seulement les schémas que j'ai mis dans ma leçon. La formulation du théorème vient plus tard.

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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par t3- le Sam 10 Mai 2014 - 23:05

Avant de voir le théorème, on fait des exercices sans aucune rédaction avec seulement les schémas que j'ai mis dans ma leçon. La formulation du théorème vient plus tard.

Avec cette construction du cours, je me demande donc s'il y a vraiment lieu se réfléchir trop longtemps à la façon d'énoncer le théorème dans le cours sachant que :
- avant la phase d'élaboration de l'énoncé, les élèves ne rédigeront pas. (Le problème ne se pose donc pas !)
- lors de l'heure où l'énoncé sera élaboré, ils formuleront ce qu'ils ont appris. Je présume que c'est une formulation en deux points (énoncé et réciproque, mais sans dire que c'est la propriété ou sa réciproque) qui viendra des élèves. Je pense qu'il faut partir de cela, et je vois mal comment on peut formuler l'énoncer en une seule phrase dans le cours... On ne va pas utiliser "si et seulement si" ou "caractérise"... ! Je pense donc qu'il faudra deux phrases (mais sans dire que c'est la propriété et la réciproque)
- après cette heure, ils écriront juste "d'après le théorème de Pythagore" comme tu le mets dans tes exemples, que se soit pour le théorème ou sa réciproque. (là encore, le problème de distinguer réciproque et théorème ne se pose pas).
Cette année, je tolère même "Comme le triangle ABC est rectangle, on a ..." sans citer "Pythagore". Idem pour la réciproque, on peut passer de l'égalité à la conclusion "donc le triangle est rectangle en ..." sans citer le nom Pythagore.

t3-
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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par ycombe le Dim 11 Mai 2014 - 10:50

@t3- a écrit:
Je trouve leur démarche (1. découverte/appropriation -> 2. élaboration d'un énoncé -> 3. rédaction) intéressante.
Ils la renouvellent sur des chapitres comme Thalès et cosinus.

Je trouve cette démarche assez discutable. Je vais être un peu virulent  darkvador , alors je mets des fleurs pour m'excuser  fleurs2 . Demandez à Volubilys, elle vous dira que je dis que des conneries sans réfléchir, et elle n'aura pas tort.

Pour moi c'est un bon exemple de perte de temps. De quoi s'agit-il en fait? D'un ersatz de constructivisme pour essayer de sauver cette pédagogie qui fait plus de dégâts qu'autre chose. On ne fait plus découvrir la notion, approche qui ne marche vraiment pas, on fait désormais deviner à quoi elle sert. La notion de situation-problème chère à Meirieu n'est plus là et c'est tant mieux, mais on a gardé la pratique chronophage pour faire croire qu'on est toujours dans la même approche. Du constructivisme canada-dry, en quelque sorte.

Autant la situation-probème est défendue par une littérature abondante à laquelle on peut se référer pour la contester (ou la défendre), autant cette démarche-ci se pose comme un cheveux sur la soupe tombé de nulle part. C'est du travail de groupe pour introduire une notion sans avoir à la faire deviner. Encore en effort et on en viendra à une vraie pédagogie directe sans chercher un travail de groupe pour faire croire qu'on fait toujours ce qui a été recommandé pendant plus de 20 ans.

Prétendre faire deviner à quoi ça sert, dans la situation décrite, relève de l'escroquerie intellectuelle. Quel autre choix a-t-on que le troisième côté dans le premier exemple? Dans une démarche explicite directe, on pourrait très bien imaginer attaquer le premier exemple en posant la question à la classe de ce qu'on va calculer, pas besoin de demander de se mettre en groupe pour ça, sauf si on veut absolument y perdre du temps.

Et si jamais on avait vraiment plusieurs réponses possibles défendables, on prendrait le risque, déjà présent dans les situations-problèmes et dans beaucoup d'activités de démarrage, que des élèves aient passé suffisamment de temps sur la mauvaise réponse pour que ce soit cela qu'ils retiennent, au détriment de la notion visée. À titre d'exemple j'ai eu en soutien des troisièmes qui ne comprenaient pas la trigonométrie. Dans l'activité de démarrage il y avait eu Thalès, et du coup ils voulaient mettre Thalès pour résoudre chaque exercice de Trigo. Ce n'est pas le manque de travail qui provoque ce genre d'échec, c'est une pratique pédagogique mal menée.

C'est un chapitre qui marche assez bien si on le fait directement: présentation de la notion, preuve, études d'exemples résolus, exercices d’entraînements (en mélangeant les trois cas dès le départ: calcul d'hypoténuse, de cathète et vérification de l'angle droit) puis problèmes d'application. Pour le faire marcher encore mieux, on peut l'étaler en y passant seulement 20/30min par séance, pour que l'entrainement soit étalé sur une durée beaucoup plus longue. Pourquoi chercher autre chose?


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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par marie91270 le Dim 11 Mai 2014 - 11:15

@ycombe a écrit:C'est un chapitre qui marche assez bien si on le fait directement: présentation de la notion, preuve, études d'exemples résolus, exercices d’entraînements (en mélangeant les trois cas dès le départ: calcul d'hypoténuse, de cathète et vérification de l'angle droit) puis problèmes d'application. Pour le faire marcher encore mieux, on peut l'étaler en y passant seulement 20/30min par séance, pour que l'entrainement soit étalé sur une durée beaucoup plus longue. Pourquoi chercher autre chose?

Quelle différence avec ce qui est proposé par t3 ?  heu 
Les élèves découvrent la notion grâce à un travail de découpage/puzzle, on explique à quoi ça sert, et on passe tout de suite aux exercices d'entraînement. La seule différence, c'est qu'au début on ne demande pas aux élèves de rédiger, seulement de savoir appliquer le théorème. Quand ils se sont bien appropriés le théorème, on le leur fait formuler (parce qu'un schéma c'est bien beau, mais qu'à un moment il faut passer à la rédaction), et on leur apprend à rédiger correctement. Le théorème de Pythagore en lui même ne pose pas trop de problème aux élèves, c'est souvent la rédaction qui leur paraît compliquée. Mais ton enchaînement "présentation de la notion" "études d'exemples résolus" "exercices d'entraînements en mélangeant les 3 cas" est tout à fait compatible avec la méthode expliquée par t3.

Le travail de découverte est loin d'être une perte de temps, seul ou par groupes (personnellement je ne travaille que par groupes donc la question ne se pose pas). Déjà, ça ne prend je pense pas plus de 15 ou 20 minutes, ça permet de faire une activité sur géogébra, et même si ce n'est pas vraiment une preuve du théorème les élèves garderont en tête cette idée du "puzzle" tout au long du chapitre. Après, essayer de leur faire "deviner" à quoi ça sert, pourquoi pas. Je préfère le leur dire directement, et passer tout de suite aux exercices d'application.

marie91270
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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par ycombe le Dim 11 Mai 2014 - 11:46

@marie91270 a écrit:
@ycombe a écrit:C'est un chapitre qui marche assez bien si on le fait directement: présentation de la notion, preuve, études d'exemples résolus, exercices d’entraînements (en mélangeant les trois cas dès le départ: calcul d'hypoténuse, de cathète et vérification de l'angle droit) puis problèmes d'application. Pour le faire marcher encore mieux, on peut l'étaler en y passant seulement 20/30min par séance, pour que l'entrainement soit étalé sur une durée beaucoup plus longue. Pourquoi chercher autre chose?

Quelle différence avec ce qui est proposé par t3 ?  heu 
Les élèves découvrent la notion grâce à un travail de découpage/puzzle, on explique à quoi ça sert, et on passe tout de suite aux exercices d'entraînement.

Ce n'est pas t3 que je critique, c'est le livre.

Les élèves ne découvrent pas la notion, on la leur explique directement. On va à l'essentiel, dans l'idéal. Et avant de la leur faire utiliser, on leur montre comment en étudiant des exemples résolus.



La seule différence, c'est qu'au début on ne demande pas aux élèves de rédiger, seulement de savoir appliquer le théorème. Quand ils se sont bien appropriés le théorème, on le leur fait formuler (parce qu'un schéma c'est bien beau, mais qu'à un moment il faut passer à la rédaction), et on leur apprend à rédiger correctement.

Je n'en ai pas parlé mais je trouve cette idée étrange. Si on ne fait la rédaction qu'en dernier, on la relègue à «quelque chose de pas important», sur lequel on aura moins insisté. Je ne suis pas convaincu que ce soit une bonne idée, mais à vrai dire c'est la première fois que je vois cette idée. Ou alors on leur demande une série d'exercice oraux (avec l'ardoise par exemple) avant de passer aux exercices écrits?


Le théorème de Pythagore en lui même ne pose pas trop de problème aux élèves, c'est souvent la rédaction qui leur paraît compliquée. Mais ton enchaînement "présentation de la notion" "études d'exemples résolus" "exercices d'entraînements en mélangeant les 3 cas" est tout à fait compatible avec la méthode expliquée par t3.

Le travail de découverte est loin d'être une perte de temps, seul ou par groupes (personnellement je ne travaille que par groupes donc la question ne se pose pas). Déjà, ça ne prend je pense pas plus de 15 ou 20 minutes, ça permet de faire une activité sur géogébra, et même si ce n'est pas vraiment une preuve du théorème les élèves garderont en tête cette idée du "puzzle" tout au long du chapitre. Après, essayer de leur faire "deviner" à quoi ça sert, pourquoi pas. Je préfère le leur dire directement, et passer tout de suite aux exercices d'application.
Si c'est la rédaction qui parait compliqué, il faut la placer dès le départ pour insister dessus à chaque fois. Pourquoi la reléguer à la fin? Je ne comprends pas cette approche, elle ne me semble pas logique.

Je critiquais l'approche du bouquin, cette pseudo activité de découverte de la notion qui n'en est pas une. Tu préfères leur dire directement à quoi ça sert, ce n'est pas du tout l'approche du livre, le seul point commun est le travail en groupe. Dans le livre ils donnent le théorème et font deviner à quoi il sert. Tu fais l'inverse, c'est bien ça? Tu leur donnes le puzzle et tu leur explique après à quoi ça sert?


Dernière édition par ycombe le Dim 11 Mai 2014 - 11:58, édité 1 fois

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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par ycombe le Dim 11 Mai 2014 - 11:56

@marie91270 a écrit:

Le travail de découverte est loin d'être une perte de temps, seul ou par groupes (personnellement je ne travaille que par groupes donc la question ne se pose pas). Déjà, ça ne prend je pense pas plus de 15 ou 20 minutes, ça permet de faire une activité sur géogébra, et même si ce n'est pas vraiment une preuve du théorème les élèves garderont en tête cette idée du "puzzle" tout au long du chapitre. Après, essayer de leur faire "deviner" à quoi ça sert, pourquoi pas. Je préfère le leur dire directement, et passer tout de suite aux exercices d'application.

Quel intérêt de faire une activité Geogebra ici? Quel intérêt y-a-t'il à ce qu'ils gardent en tête ce puzzle plutôt que, par exemple, la démonstration par soustraction d'aire qu'on peut donner directement?

20 minutes c'est le temps qu'il faut pour donner une petite demi-douzaine d'exercices d'entrainement à l'écrit et les corriger. Gagner 20 minutes ce n'est pas négligeable.

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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par marie91270 le Dim 11 Mai 2014 - 13:47

J'utilise beaucoup l'ardoise en classe pour le calcul mental, le puzzle est bien pratique car les élèves retiennent le schéma avec les 3 carrés et c'est ce qu'ils utilisent pour résoudre l'exercice sans rédiger.

Ca fait longtemps que je n'ai pas eu de 4ème (5 ans), donc je n'ai pas encore testé l'activité sur géogébra. A l'époque mes élèves devaient construire un triangle rectangle, puis faire les constructions nécessaires pour faire apparaître le puzzle, le découper et le recoller. On faisait ça dès le début de l'année, bien avant de parler de Pythagore. Je leur demandais à quoi cette découverte (aire du grand carré = somme des aires des deux plus petits) pouvait bien servir, on débattait 5 minutes sur la question et je leur donnais les premiers exemples résolus (toujours sans parler de Pythagore). Ensuite, on faisait régulièrement ce type d'exercices en calcul mental, sans rédaction. Je ne sais plus si je laissais les élèves formuler eux-même le théorème ou si je le leur donnais directement quand on abordait le chapitre. La démonstration par soustraction d'aire, je la donne en DM quand on voit le calcul littéral (bien plus tard donc...).

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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par t3- le Dim 11 Mai 2014 - 15:39

@ycombe a écrit:
@t3- a écrit:
Je trouve leur démarche (1. découverte/appropriation -> 2. élaboration d'un énoncé -> 3. rédaction) intéressante.
Ils la renouvellent sur des chapitres comme Thalès et cosinus.

Je trouve cette démarche assez discutable.

Pour moi c'est un bon exemple de perte de temps. De quoi s'agit-il en fait? D'un ersatz de constructivisme pour essayer de sauver cette pédagogie qui fait plus de dégâts qu'autre chose. On ne fait plus découvrir la notion, approche qui ne marche vraiment pas, on fait désormais deviner à quoi elle sert.

"on fait désormais deviner à quoi elle sert" : on ne peut rien faire d'autre sur le théorème de Pythagore, les élèves ne peuvent pas trouver l'égalité, ni inventer eux même le puzzle. L'idée du "À quoi peut servir la découverte des mathématiciens" pour le théorème de Pythagore permet donc de donner quand même aux élèves quelque chose à chercher. Je préfère leur donner cette petite tâche, que de faire une présentation complètement magistrale.

Sur des chapitres comme Thalès ou cosinus, le livre propose des activités qui permettent vraiment de découvrir la notion (et non seulement à quoi elle sert)

@ycombe a écrit:Autant la situation-probème est défendue par une littérature abondante à laquelle on peut se référer pour la contester (ou la défendre), autant cette démarche-ci se pose comme un cheveux sur la soupe tombé de nulle part. C'est du travail de groupe pour introduire une notion sans avoir à la faire deviner.

Comme je le dis juste avant, cette démarche est propre au chapitre théorème de Pythagore, car on ne peut rien faire de mieux. C'est ça ou bien une présentation complètement magistrale.  

@ycombe a écrit:
Prétendre faire deviner à quoi ça sert, dans la situation décrite, relève de l'escroquerie intellectuelle. Quel autre choix a-t-on que le troisième côté dans le premier exemple?  

On pourrait ouvrir un peu plus la question, en ne proposant pas des longueurs de triangles. Mais alors, est-ce faisable par des élèves ?

@ycombe a écrit:
Dans une démarche explicite directe, on pourrait très bien imaginer attaquer le premier exemple en posant la question à la classe de ce qu'on va calculer, pas besoin de demander de se mettre en groupe pour ça, sauf si on veut absolument y perdre du temps.

Certes, le travail en groupe est un peu leur dada dans ce livre. On peut conserver leurs idées d'activités, sans travail en groupe. C'est le choix que j'ai fait cette année, ne voulant pas de changement trop brusque dans ma pratique.


@ycombe a écrit: À titre d'exemple j'ai eu en soutien des troisièmes qui ne comprenaient pas la trigonométrie. Dans l'activité de démarrage il y avait eu Thalès, et du coup ils voulaient mettre Thalès pour résoudre chaque exercice de Trigo. Ce n'est pas le manque de travail qui  provoque ce genre d'échec, c'est une pratique pédagogique mal menée.
Je suis d'accord, c'est une mauvaise idée d'introduire la trigo par Thalès. Thalès est utile juste pour la preuve, qui arrive plus tard dans le chapitre.


@ycombe a écrit:C'est un chapitre qui marche assez bien si on le fait directement: présentation de la notion, preuve, études d'exemples résolus, exercices d’entraînements (en mélangeant les trois cas dès le départ: calcul d'hypoténuse, de cathète et vérification de l'angle droit) puis problèmes d'application. Pour le faire marcher encore mieux, on peut l'étaler en y passant seulement 20/30min par séance, pour que l'entrainement soit étalé sur une durée beaucoup plus longue. Pourquoi chercher autre chose?
La démarche d'une présentation magistrale est respectable aussi, puisque les élèves ne peuvent pas trouver le théorème.  
La seule démarche que je trouve mauvaise, est celle d'une pseudo-découverte où les élèves se contentent en fait de vérifier une égalité, ou d'établir une conjecture complètement mâchée ("Calcule AB², Calcule BC²+CA², que remarques tu ?")


@ycombe a écrit:Si on ne fait la rédaction qu'en dernier, on la relègue à «quelque chose de pas important», sur lequel on aura moins insisté. Je ne suis pas convaincu que ce soit une bonne idée, mais à vrai dire c'est la première fois que je vois cette idée. Ou alors on leur demande une série d'exercice oraux (avec l'ardoise par exemple) avant de passer aux exercices écrits?
Je ne crois pas que mettre la rédaction en dernier la relègue à "pas important". C'est l'idée de séparer le fond et la forme. On comprend d'abord l'outil, puis on cherche à communiquer ce qu'on a compris.
Une rédaction proposée trop tôt devient modélisante, et des élèves risquent d'"imiter", sans comprendre, le texte donnée en exemple.

t3-
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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par fannyzz le Dim 11 Mai 2014 - 19:20

Bonjour, pour revenir à la question de départ. Moi je parle d'égalité de Pythagore. Voici comment je l'énonce en début de chapitre :

Egalité de Pythagore : Un triangle rectangle est un triangle dont le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Ensuite en rédaction, ils écrivent :
Dans le triangle ABC rectangle en C, on a l'égalité de Pythagore : AB²=AC²+CB² puis calculs
ou calculs séparés, l'égalité de Pythagore est vérifiée (ou n'est pas) donc le triangle ABC est (ou n'est pas) rectangle en C (car [AB] est l'hypoténuse)


Je n'ai pas d'avis pour ou contre telle méthode, j'avoue que celle-ci facilite les choses en 4èmes pour l'écriture, mais du coup en 3èmes ils sont un peu paumés avec Thalès où là on a gardé réciproque et contraposée... J'en ai qui essaient de contourner la difficulté en disant que l'égalité de Thalès est vérifiée, les petits malins  bounce 

Sinon petite remarque, avant de faire utiliser la racine carrée, je leur fais écrire : "Comme AB est une longueur, AB > 0" en leur expliquant qu'il y a une autre solution que 6 à l'équation AB²=36, ça permet de partir sur de bonnes bases pour l'équation x²=a en 3èmes Wink

fannyzz
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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par ycombe le Lun 12 Mai 2014 - 8:39

@t3- a écrit:
@ycombe a écrit:
@t3- a écrit:
Je trouve leur démarche (1. découverte/appropriation -> 2. élaboration d'un énoncé -> 3. rédaction) intéressante.
Ils la renouvellent sur des chapitres comme Thalès et cosinus.

Je trouve cette démarche assez discutable.

Pour moi c'est un bon exemple de perte de temps. De quoi s'agit-il en fait? D'un ersatz de constructivisme pour essayer de sauver cette pédagogie qui fait plus de dégâts qu'autre chose. On ne fait plus découvrir la notion, approche qui ne marche vraiment pas, on fait désormais deviner à quoi elle sert.

"on fait désormais deviner à quoi elle sert" : on ne peut rien faire d'autre sur le théorème de Pythagore, les élèves ne peuvent pas trouver l'égalité, ni inventer eux même le puzzle. L'idée du "À quoi peut servir la découverte des mathématiciens" pour le théorème de Pythagore permet donc de donner quand même aux élèves quelque chose à chercher. Je préfère leur donner cette petite tâche, que de faire une présentation complètement magistrale.
Pourquoi cette préférence?


Sur des chapitres comme Thalès ou cosinus, le livre propose des activités qui permettent vraiment de découvrir la notion (et non seulement à quoi elle sert)

@ycombe a écrit:Autant la situation-probème est défendue par une littérature abondante à laquelle on peut se référer pour la contester (ou la défendre), autant cette démarche-ci se pose comme un cheveux sur la soupe tombé de nulle part. C'est du travail de groupe pour introduire une notion sans avoir à la faire deviner.

Comme je le dis juste avant, cette démarche est propre au chapitre théorème de Pythagore, car on ne peut rien faire de mieux. C'est ça ou bien une présentation complètement magistrale.  

@ycombe a écrit:
Prétendre faire deviner à quoi ça sert, dans la situation décrite, relève de l'escroquerie intellectuelle. Quel autre choix a-t-on que le troisième côté dans le premier exemple?  

On pourrait ouvrir un peu plus la question, en ne proposant pas des longueurs de triangles. Mais alors, est-ce faisable par des élèves ?
C'est le problème général de ce type de démarche: ce n'est pas faisable par les élèves moyens, ça les met en situation d'échec et au pire ça leur met dans la tête des solutions fausses, les premières sur lesquels ils ont passé du temps. Ou alors on guide le travail, ça devient trivial et c'est juste une perte de temps.

Franchement cette démarche d'activité de démarrage mérite d'être questionnée. Pour moi son intérêt est très faible et son coût/risque est important.  


@ycombe a écrit:
Dans une démarche explicite directe, on pourrait très bien imaginer attaquer le premier exemple en posant la question à la classe de ce qu'on va calculer, pas besoin de demander de se mettre en groupe pour ça, sauf si on veut absolument y perdre du temps.

Certes, le travail en groupe est un peu leur dada dans ce livre. On peut conserver leurs idées d'activités, sans travail en groupe. C'est le choix que j'ai fait cette année, ne voulant pas de changement trop brusque dans ma pratique.
Pourquoi vouloir faire du travail en groupe? Quel est le gain espéré?

@ycombe a écrit: À titre d'exemple j'ai eu en soutien des troisièmes qui ne comprenaient pas la trigonométrie. Dans l'activité de démarrage il y avait eu Thalès, et du coup ils voulaient mettre Thalès pour résoudre chaque exercice de Trigo. Ce n'est pas le manque de travail qui  provoque ce genre d'échec, c'est une pratique pédagogique mal menée.
Je suis d'accord, c'est une mauvaise idée d'introduire la trigo par Thalès. Thalès est utile juste pour la preuve, qui arrive plus tard dans le chapitre.
La trigo par Thalès, ça peut aller très bien. Avant on l'introduisait par les projections.  Mais le mettre en activité du type "découvrez vous-même les relations trigonométriques", ça ne marche pas. Les élèves ne savent pas distinguer la construction d'un concept de son usage... et finissent par tout mélanger.





@ycombe a écrit:Si on ne fait la rédaction qu'en dernier, on la relègue à «quelque chose de pas important», sur lequel on aura moins insisté. Je ne suis pas convaincu que ce soit une bonne idée, mais à vrai dire c'est la première fois que je vois cette idée. Ou alors on leur demande une série d'exercice oraux (avec l'ardoise par exemple) avant de passer aux exercices écrits?
Je ne crois pas que mettre la rédaction en dernier la relègue à "pas important". C'est l'idée de séparer le fond et la forme. On comprend d'abord l'outil, puis on cherche à communiquer ce qu'on a compris.
Une rédaction proposée trop tôt devient modélisante, et des élèves risquent d'"imiter", sans comprendre, le texte donnée en exemple.

C'est le reproche habituel sur les rédactions trop cadrée. Mais je ne suis pas d'accord. Une rédaction bien cadrée est un bon guide pour les élèves, en particulier ceux en difficulté. Ça leur permet de ne pas avoir d'angoisse supplémentaire (C'est Pythagore, mais comment je dois rédiger?).


Dernière édition par ycombe le Lun 12 Mai 2014 - 8:45, édité 1 fois

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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par ycombe le Lun 12 Mai 2014 - 8:42

@fannyzz a écrit:

Sinon petite remarque, avant de faire utiliser la racine carrée, je leur fais écrire : "Comme AB est une longueur, AB > 0" en leur expliquant qu'il y a une autre solution que 6 à l'équation AB²=36, ça permet de partir sur de bonnes bases pour l'équation x²=a en 3èmes Wink

C'est une bonne idée pour moi. On pourrait carrément étudier ce type d'équation en quatrième avant de faire ce chapitre.

ycombe
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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par pailleauquebec le Lun 12 Mai 2014 - 13:30

Voici comment je procède :

- première séance : notion de carré et de racine carrée et noms des côtés d'un triangle rectangle (hypoténuse et côtés de l'angle droit)
- deuxième séance : dessin de 4 ou 5 triangles rectangles ou pas et mesures des côtés. Découverte de l'égalité de Pythagore dans un tableau à compléter
- troisième séance : écriture de l'égalité de Pythagore littéralement dans des triangles et apprentissage par coeur du théorème direct. Récitation à l'oral
- Quatrième séance : méthode de calcul de l'hypoténuse rédigée correctement (imposée), exercices
- Cinquième séance : méthode de calcul d'un côté de l'angle droit rédigée correctement (imposée), exercices mélange hypoténuse et côté angle droit
- Sixième séance  : réciproque, méthode pour montrer qu'un triangle est rectangle
exercices, problèmes
- Septième séance  : contraposée, méthode pour montrer qu'un triangle n'est pas rectangle
exercices, problèmes
-Huitième séance  : problèmes complexes

La méthode est clairement explicite (c'est mal) et fait la distinction entre théorème, réciproque et contraposée (re-mal). Cette année, j'ai eu plus de 20 élèves sur 25 qui savent calculer la longueur d'un côté avec une rédaction complète à la fin de la leçon.

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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par t3- le Lun 12 Mai 2014 - 19:18

@ycombe a écrit:
@t3- a écrit:"on fait désormais deviner à quoi elle sert" : on ne peut rien faire d'autre sur le théorème de Pythagore, les élèves ne peuvent pas trouver l'égalité, ni inventer eux même le puzzle. L'idée du "À quoi peut servir la découverte des mathématiciens ?" pour le théorème de Pythagore permet donc de donner quand même aux élèves quelque chose à chercher. Je préfère leur donner cette petite tâche, que de faire une présentation complètement magistrale.
Pourquoi cette préférence?

Deux raisons :
- Parce que je préfère parler au minimum (je sens qu'ils décrochent vite !), je trouve que 8 min de recherche élève (même maladroite) et 2 min de synthèse prof est plus rentable que 2 min de recherche élève et 8 min de blabla prof.
- Je crois aussi que cette petite question permet aux élèves de s'approprier l'outil en cherchant à quoi il sert.


@ycombe a écrit:
@t3- a écrit:
On pourrait ouvrir un peu plus la question, en ne proposant pas des longueurs de triangles. Mais alors, est-ce faisable par des élèves ?
C'est le problème général de ce type de démarche: ce n'est pas faisable par les élèves moyens, ça les met en situation d'échec et au pire ça leur met dans la tête des solutions fausses, les premières sur lesquels ils ont passé du temps.

C'est vrai que cette démarche semble, à première vue, adaptée aux bons élèves. Mais ce n'est pas si évident que ça. Peut-être qu'un élève moyen gagnera plus dans une recherche maladroite que dans une recopie de solution/modèle.
On a aussi l'idée que des élèves moyens/faibles vont être stimulés par l'aspect problème un peu ouvert. Ils ne butent pas directement par leur manque de savoir, ils peuvent commencer à faire quelque chose, rentrer un peu dans l'activité. Au moins, ils auront essayé quelque chose, et sauront de quoi on parle. Ils n'auront pas été complètement passifs.

Je ne suis pas tranché sur la question, je suis conscient des avantages/inconvénients que peuvent apporter des énoncés type 'recherche'/résolution de problèmes.

@ycombe a écrit:
Pourquoi vouloir faire du travail en groupe? Quel est le gain espéré?

Je ne vais pas prêcher pour quelque chose que je n'ai pas tenté. Les auteurs du livre justifient très certainement leur choix, je n'ai pas leurs arguments en tête.
En général, je me contente de les faire bosser seul d'abord, puis ils peuvent chuchoter à deux.


@ycombe a écrit: Mais le mettre en activité du type "découvrez vous-même les relations trigonométriques", ça ne marche pas. Les élèves ne savent pas distinguer la construction d'un concept de son usage... et finissent par tout mélanger.
Oui, c'est possible... c'est pour sûr un inconvénient.
Mais avantage : un élève qui aura cherché d'abord un moyen de calculer le côté adjacent à un angle aura peut être des idées un peu plus précise sur ce qu'on appelle cosinus d'un angle.  
Un élève à qui on aura dit directement que le cos(ABC)=.../... va retenir quoi ? Il va retenir (au mieux !) ce qu'on lui a dit, c'est-à-dire que cos(ABC)=.../.... Utile si on veut calculer une longueur, mais ça n'ira pas plus loin.

Je me dis en fait que les différentes façons de faire qu'on est en train de confronter ont peut être chacune leur mérite suivant l'objectif :
Veut-on 1/ que les élèves soient très performants dans un calcul de longueur dans un triangle rectangle ? ou veut-on 2/ que les élèves comprennent un peu plus l'outil et cherchent, quitte à être moins performant techniquement (car embrouillés par la phase d'élaboration) ?

Cela me rappelle la phrase choc (à mon avis volontairement extrême, pour faire passer le message) que j'ai entendu venant d'une inspectrice : "ce qui est important dans le programme, ce n'est pas la partie que vous lisez, avec les cases et les notions, mais le préambule, juste au dessus". En gros, les notions ne sont que des prétextes pour apprendre à raisonner et apprendre à résoudre des problèmes. Suivant qu'on soit d'accord ou pas avec ça, on préfèrera commencer par 1/ ou par 2/. D'où nos divergences peut-être.


@ycombe a écrit:Si on ne fait la rédaction qu'en dernier, on la relègue à «quelque chose de pas important», sur lequel on aura moins insisté. Je ne suis pas convaincu que ce soit une bonne idée, mais à vrai dire c'est
C'est le reproche habituel sur les rédactions trop cadrée. Mais je ne suis pas d'accord. Une rédaction bien cadrée est un bon guide pour les élèves, en particulier ceux en difficulté. Ça leur permet de ne pas avoir d'angoisse supplémentaire (C'est Pythagore, mais comment je dois rédiger?).
Mais on peut aussi se demander si ce n'est pas escroquer les élèves faibles que de leur faire croire qu'ils ont compris alors qu'ils recopient.
Je suis d'accord avec l'idée que ça les mets en réussite, et parfois, on en a besoin ! Je suis conscient qu'avec certaines classes, les mettre au travail/en réussite est déjà une bonne chose.
Chaque idée a avantages et inconvénients...

t3-
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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par RequiemForADream le Lun 12 Mai 2014 - 19:39

@pailleauquebec a écrit:Voici comment je procède :

- première séance : notion de carré et de racine carrée et noms des côtés d'un triangle rectangle (hypoténuse et côtés de l'angle droit)
- deuxième séance : dessin de 4 ou 5 triangles rectangles ou pas et mesures des côtés. Découverte de l'égalité de Pythagore dans un tableau à compléter
- troisième séance : écriture de l'égalité de Pythagore littéralement dans des triangles et apprentissage par coeur du théorème direct. Récitation à l'oral
- Quatrième séance : méthode de calcul de l'hypoténuse rédigée correctement (imposée), exercices
- Cinquième séance : méthode de calcul d'un côté de l'angle droit rédigée correctement (imposée), exercices mélange hypoténuse et côté angle droit
- Sixième séance  : réciproque, méthode pour montrer qu'un triangle est rectangle
exercices, problèmes
- Septième séance  : contraposée, méthode pour montrer qu'un triangle n'est pas rectangle
exercices, problèmes
-Huitième séance  : problèmes complexes

La méthode est clairement explicite (c'est mal) et fait la distinction entre théorème, réciproque et contraposée (re-mal). Cette année, j'ai eu plus de 20 élèves sur 25 qui savent calculer la longueur d'un côté avec une rédaction complète à la fin de la leçon.

 Je n'ai encore jamais eu de 4ème mais j'aime beaucoup cette façon de faire  topela (mais oui je fonctionne "a l'ancienne" alors que je suis neotit...  et il parait que c'est pas bien angedemon ).

RequiemForADream
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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par ycombe le Lun 12 Mai 2014 - 22:40

@RequiemForADream a écrit:
@pailleauquebec a écrit:Voici comment je procède :

- première séance : notion de carré et de racine carrée et noms des côtés d'un triangle rectangle (hypoténuse et côtés de l'angle droit)
- deuxième séance : dessin de 4 ou 5 triangles rectangles ou pas et mesures des côtés. Découverte de l'égalité de Pythagore dans un tableau à compléter
- troisième séance : écriture de l'égalité de Pythagore littéralement dans des triangles et apprentissage par coeur du théorème direct. Récitation à l'oral
- Quatrième séance : méthode de calcul de l'hypoténuse rédigée correctement (imposée), exercices
- Cinquième séance : méthode de calcul d'un côté de l'angle droit rédigée correctement (imposée), exercices mélange hypoténuse et côté angle droit
- Sixième séance  : réciproque, méthode pour montrer qu'un triangle est rectangle
exercices, problèmes
- Septième séance  : contraposée, méthode pour montrer qu'un triangle n'est pas rectangle
exercices, problèmes
-Huitième séance  : problèmes complexes

La méthode est clairement explicite (c'est mal) et fait la distinction entre théorème, réciproque et contraposée (re-mal). Cette année, j'ai eu plus de 20 élèves sur 25 qui savent calculer la longueur d'un côté avec une rédaction complète à la fin de la leçon.

 Je n'ai encore jamais eu de 4ème mais j'aime beaucoup cette façon de faire   topela (mais oui je fonctionne "a l'ancienne" alors que je suis neotit...  et il parait que c'est pas bien angedemon).

En gros, on en est arrivé à la situation où les gens qui enseignent normalement se considèrent comme anormaux.   

ycombe
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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par ycombe le Lun 12 Mai 2014 - 23:15

@pailleauquebec a écrit:Voici comment je procède :

- première séance : notion de carré et de racine carrée et noms des côtés d'un triangle rectangle (hypoténuse et côtés de l'angle droit)
- deuxième séance : dessin de 4 ou 5 triangles rectangles ou pas et mesures des côtés. Découverte de l'égalité de Pythagore dans un tableau à compléter
- troisième séance : écriture de l'égalité de Pythagore littéralement dans des triangles et apprentissage par coeur du théorème direct. Récitation à l'oral
- Quatrième séance : méthode de calcul de l'hypoténuse rédigée correctement (imposée), exercices
- Cinquième séance : méthode de calcul d'un côté de l'angle droit rédigée correctement (imposée), exercices mélange hypoténuse et côté angle droit
- Sixième séance  : réciproque, méthode pour montrer qu'un triangle est rectangle
exercices, problèmes
- Septième séance  : contraposée, méthode pour montrer qu'un triangle n'est pas rectangle
exercices, problèmes
-Huitième séance  : problèmes complexes

La méthode est clairement explicite (c'est mal) et fait la distinction entre théorème, réciproque et contraposée (re-mal). Cette année, j'ai eu plus de 20 élèves sur 25 qui savent calculer la longueur d'un côté avec une rédaction complète à la fin de la leçon.

Non ce n'est pas complètement explicite. Une pédagogie explicite n'a pas besoin de ta deuxième séance.
Par exemple, dans la version ancienne, on donne le résultat et on le démontre. Les exercices sont en fin de chapitre et, clairement, la connaissance des démonstrations fait partie des objectifs:



Dans une autre méthode à classer dans les explicites, on donne le résultat sans démonstration. On montre comment s'en servir et on s'en sert:


ycombe
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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par ycombe le Lun 12 Mai 2014 - 23:55

@t3- a écrit:
@ycombe a écrit:
@t3- a écrit:"on fait désormais deviner à quoi elle sert" : on ne peut rien faire d'autre sur le théorème de Pythagore, les élèves ne peuvent pas trouver l'égalité, ni inventer eux même le puzzle. L'idée du "À quoi peut servir la découverte des mathématiciens ?" pour le théorème de Pythagore permet donc de donner quand même aux élèves quelque chose à chercher. Je préfère leur donner cette petite tâche, que de faire une présentation complètement magistrale.
Pourquoi cette préférence?

Deux raisons :
- Parce que je préfère parler au minimum (je sens qu'ils décrochent vite !), je trouve que 8 min de recherche élève (même maladroite) et 2 min de synthèse prof est plus rentable que 2 min de recherche élève et 8 min de blabla prof.
- Je crois aussi que cette petite question permet aux élèves de s'approprier l'outil en cherchant à quoi il sert.
Tu pourrais aussi faire 2 min de blabla profs et puis c'est tout  Laughing. Mais tu as raison, on est toujours trop bavard (surtout moi): j'ai du mal à tenir les durées d'explication que je prévois.



@ycombe a écrit:
@t3- a écrit:
On pourrait ouvrir un peu plus la question, en ne proposant pas des longueurs de triangles. Mais alors, est-ce faisable par des élèves ?
C'est le problème général de ce type de démarche: ce n'est pas faisable par les élèves moyens, ça les met en situation d'échec et au pire ça leur met dans la tête des solutions fausses, les premières sur lesquels ils ont passé du temps.

C'est vrai que cette démarche semble, à première vue, adaptée aux bons élèves. Mais ce n'est pas si évident que ça. Peut-être qu'un élève moyen gagnera plus dans une recherche maladroite que dans une recopie de solution/modèle.
On a aussi l'idée que des élèves moyens/faibles vont être stimulés par l'aspect problème un peu ouvert. Ils ne butent pas directement par leur manque de savoir, ils peuvent commencer à faire quelque chose, rentrer un peu dans l'activité. Au moins, ils auront essayé quelque chose, et sauront de quoi on parle. Ils n'auront pas été complètement passifs.

Je ne suis pas tranché sur la question, je suis conscient des avantages/inconvénients que peuvent apporter des énoncés type 'recherche'/résolution de problèmes.

Je pense que la question est quand même assez tranchée: on apprend mieux en étudiant des exemples résolus, sauf si on est un expert du domaine. Que les bons élèves s'y retrouvent n'a donc rien d'étonnant, le problème c'est que cela ne semble pas favorable aux autres. L'ensemble pouvant d'ailleurs expliquer une partie du fossé qui se creuse entre les bons élèves et les autres.





@ycombe a écrit: Mais le mettre en activité du type "découvrez vous-même les relations trigonométriques", ça ne marche pas. Les élèves ne savent pas distinguer la construction d'un concept de son usage... et finissent par tout mélanger.
Oui, c'est possible... c'est pour sûr un inconvénient.
Mais avantage : un élève qui aura cherché d'abord un moyen de calculer le côté adjacent à un angle aura peut être des idées un peu plus précise sur ce qu'on appelle cosinus d'un angle.  

Non dans l'exemple dont je parle, aucune idée de ce qu'est un cosinus sinon un truc qui utilise Thalès. En général je fais par les triangles semblables et la proportionnalité, ou bien je sort une approche historique par le cercle. C'est un peu plus long dans ce cas là (mais c'est plus intéressant).



Un élève à qui on aura dit directement que le cos(ABC)=.../... va retenir quoi ? Il va retenir (au mieux !) ce qu'on lui a dit, c'est-à-dire que cos(ABC)=.../.... Utile si on veut calculer une longueur, mais ça n'ira pas plus loin.
La compréhension n'est pas linéaire. On peut aborder le concept directement par des exemples de calcul, et revenir dessus pour montrer les liens avec les triangles semblables et le cercle ensuite. Ça ne me semble pas génant. C'est d'ailleurs ce que font les programmes (le cercle trigo est au lycée).


Je me dis en fait que les différentes façons de faire qu'on est en train de confronter ont peut être chacune leur mérite suivant l'objectif :
Veut-on 1/ que les élèves soient très performants dans un calcul de longueur dans un triangle rectangle ? ou veut-on 2/ que les élèves comprennent un peu plus l'outil et cherchent, quitte à être moins performant techniquement (car embrouillés par la phase d'élaboration) ?
Pour moi cette alternative est un faux dilemme. Les élèves en réussite font les deux. Les élèves embrouillés ne comprennent pas l'outil. Il faut viser les deux. Pas nécessairement en même temps.




@ycombe a écrit:Si on ne fait la rédaction qu'en dernier, on la relègue à «quelque chose de pas important», sur lequel on aura moins insisté. Je ne suis pas convaincu que ce soit une bonne idée, mais à vrai dire c'est
C'est le reproche habituel sur les rédactions trop cadrée. Mais je ne suis pas d'accord. Une rédaction bien cadrée est un bon guide pour les élèves, en particulier ceux en difficulté. Ça leur permet de ne pas avoir d'angoisse supplémentaire (C'est Pythagore, mais comment je dois rédiger?).
Mais on peut aussi se demander si ce n'est pas escroquer les élèves faibles que de leur faire croire qu'ils ont compris alors qu'ils recopient.
Je suis d'accord avec l'idée que ça les mets en réussite, et parfois, on en a besoin ! Je suis conscient qu'avec certaines classes, les mettre au travail/en réussite est déjà une bonne chose.
Chaque idée a avantages et inconvénients...
Comprendre n'est ni simple ni linéaire.

On a appris à faire la preuve par neuf sans en comprendre le mécanisme, est-ce que l'outil est sans intérêt?

ycombe
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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par pailleauquebec le Mar 13 Mai 2014 - 8:58

@ycombe a écrit:Non ce n'est pas complètement explicite. Une pédagogie explicite n'a pas besoin de ta deuxième séance.
Par exemple, dans la version ancienne, on donne le résultat et on le démontre. Les exercices sont en fin de chapitre et, clairement, la connaissance des démonstrations fait partie des objectifs

En fait la seconde séance fait partie de l'approche concret-imagé-symbolique que j'utilise.
Pour les élèves faibles il est important selon moi de toucher quelques triangles avec des longueurs avant de passer à l'écriture symbolique (ça permet de réviser les tracés au passage).
Je ne cherche par là leur faire découvrir la propriété mais à leur faire concrètement voir comment ça marche.
Je préfère cette approche à la démonstration que je ne fais généralement pas.
La démarche n'en reste pas moins explicite il me semble.

Je leur donne le résultat et je leur fait vérifier concrètement que ça marche. Je démontre peu les propriétés et théorèmes, je vais réfléchir à faire davantage de démonstrations, mais je ne suis pas trop à l'aise avec cela, j'ai peur que ce soit du temps improductif pour 80% des élèves. Disons moins productif que de faire de bons problèmes.

C'est moins ambitieux que le Lebossé Hemery que tu cites en exemple. Mais plus adapté il me semble au fait que nous avons des élèves moins sélectionnés qu'en 1960. C'est un point sur lequel je réfléchis en effet, je peux évoluer.

La connaissance des théorèmes et des rédactions attendues fait par contre partie de mes objectifs.

La démonstration de Lebossé Hemery que je viens de regarder en détail à l'instant utilise les triangles semblables, notion très intéressante mais qui nous éloigne des programmes actuels. Je n'ai pas trouvé de démonstration symbolique (autre que les puzzles concrets que je distribue à faire à la maison) abordable par mes élèves.


Dernière édition par pailleauquebec le Mar 13 Mai 2014 - 10:19, édité 1 fois

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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par ycombe le Mar 13 Mai 2014 - 9:20

@pailleauquebec a écrit:
En fait la seconde séance fait partie de l'approche concret-imagé-symbolique que j'utilise.
Pour les élèves faibles il est important selon moi de toucher quelques triangles avec des longueurs avant de passer à l'écriture symbolique (ça permet de réviser les tracés au passage).
Je ne cherche par là leur faire découvrir la propriété mais à leur faire concrètement voir comment ça marche.
Je préfère cette approche à la démonstration que je ne fais généralement pas.
La démarche n'en reste pas moins explicite il me semble.
Je vois. J'ai été induit en erreur par l'ordre de tes séances. J'ai cru que tu faisais "découvrir" dans la séance 2. Tu as de l'explicite "pur" si tu donnes l'égalité au début de la séance 2. Je pensais que tu ne donnais l'égalité qu'après avoir fait le tableau de la séance 2.

C'est intéressant ce que tu racontes sur le "toucher". La méthode n°2 dans les images que j'ai montrées au-dessus utilise ce genre de choses. Ce n'est pas dans les manuels des élèves, c'est dans les scripts dans le livre pour les enseignants, mais en gros ça donne des choses comme:
- au signal, mettez le doigt sur l'hypoténuse. (signal). Quelle est sa longueur (signal)?




Je leur donne le résultat et je leur fait vérifier concrètement que ça marche. Je démontre peu les propriétés et théorèmes, je vais réfléchir à faire davantage de démonstrations, mais je ne suis pas trop à l'aise avec cela, j'ai peur que ce soit du temps improductif.
Je les explique ou je les démontre. Tu as un excellent bouquin pour la géométrie du programme pour comprendre les démonstrations, même si c'est difficilement utilisable directement pour les élèves.


Dernière édition par ycombe le Mar 13 Mai 2014 - 19:27, édité 1 fois

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Re: Théorème de Pythagore : comment l'aborder en classe ?

Message par gpelletier4 le Mar 13 Mai 2014 - 16:39

Peut être une façon intéressante d'obtenir l'égalité de Pythagore à partir d'un calcul d'aire ...
Peut être une approche numérique dans un premier temps ...
4*(x*y/2) correspond à la somme des aires des 4 triangles rectangles et (y-x)² correspond à l'aire du petit carré.
Fichiers joints
Pythagore.jpg Vous n'avez pas la permission de télécharger les fichiers joints.(30 Ko) Téléchargé 65 fois

gpelletier4
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