Propriétés des quadrilatères particuliers (6e)

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Propriétés des quadrilatères particuliers (6e)

Message par brac le Jeu 22 Mai 2014 - 20:16

Comment abordez vous les propriétés des quadrilatères particuliers (rectangles, losanges, carrés) en 6eme ?
Faut-il démontrer toutes ces propriétés (en utilisant les propriétés de la symétrie axiale) ?
Merci de me donner vos tuyaux.

brac
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Re: Propriétés des quadrilatères particuliers (6e)

Message par mdd le Jeu 22 Mai 2014 - 22:31

Oui, c'est ce que j'ai fait. Dans mon chapitre symétrie axiale, j'ai un paragraphe là-dessus et je justifie les propriétés des quadrilatères particuliers à l'aide de la symétrie axiale (je justifie plus que je ne démontre).

mdd
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Re: Propriétés des quadrilatères particuliers (6e)

Message par mdd le Jeu 22 Mai 2014 - 22:34

D'ailleurs le BO dit :
[mention]BO à propos des propriétés des quadrilatères
usuels.
[/mention] a écrit:
La symétrie axiale est mise en jeu pour mettre en
évidence certaines propriétés.

Il n'est pas question de vraie démonstration....

mdd
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Re: Propriétés des quadrilatères particuliers (6e)

Message par Feyn le Ven 23 Mai 2014 - 15:49

Faire le lien de manière rigoureuse entre médiatrice et équidistance est déjà dur.

Admettre qu'on a un axe de symétrie pour ensuite démontrer des choses qui "se voient" et qui par ailleurs se démontrent avec des théorèmes vus plus tard (pythagore par ex) est assez étrange, mais bon, comme déjà ils n'ont pas de définition claire de ce qu'est une symétrie axiale, je pense qu'il ne faut pas trop s'embêter, et se contenter d'utiliser le fait que c'est une isométrie dans quelques cas simples...

Feyn
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Re: Propriétés des quadrilatères particuliers (6e)

Message par frand le Ven 18 Juil 2014 - 8:37

Généralement je les aborde à l'aide de constructions qui nécessitent l'utilisation de l'une d'entre elles. Par exemple construire un rectangle ABCD de centre O avec AO=3cm et AB = 5cm. Je leur demande de faire un dessin à main levée, ensuite on discute de la façon de construire le rectangle en taille réelle. Une fois la propriété exhibée et le rectangle tracé, on écrit la propriété dans le cahier de cours. S'ensuit une discussion pour expliquer pourquoi c'est toujours vrai, les arguments restent oraux. Par contre après en contrôle j'aime qu'ils expliquent leurs construction en écrivant la propriété employée.

frand
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Re: Propriétés des quadrilatères particuliers (6e)

Message par ben2510 le Ven 18 Juil 2014 - 12:13

Salut,
un truc qui marche bien avec les sixièmes, c'est "le losange est ton ami".
On commence avec une équerre en papier (on plie deux fois une feuille, la plupart connaissent ça du primaire).
On donne un coup de ciseau rectiligne, et on obtient un authentique triangle rectangle.
On déplie une fois, et on a un triangle isocèle, avec deux côtés égaux car superposables, un axe de symétrie, des angles à la base égaux (car superposables), une hauteur qui arrive au milieu, qui est aussi médiatrice et bissectrice.
On déplie une deuxième fois, et on obtient un quadrilatère avec quatre côtés égaux (car superposables), donc par définition un losange.
Chaque diagonale (en tant que droite) est la médiatrice de l'autre (en tant que segment).
On retrouve la construction (classique en CM2) du milieu d'un segment au compas avec la médiatrice.
En repliant, on trouve un (autre) triangle isocèle.
Ensuite cette figure débouche sur les constructions usuelles à la règle et au compas : milieu, médiatrice, bissectrice, perpendiculaire, parallèle. (Bon pour la parallèle il faut attendre la cinquième pour justifier avec les angles alternes internes ou avec les diagonales de même milieu/le parallélogramme/la symétrie centrale).
Et en dépliant la feuille (mutilée au début par le coup de ciseau), on trouve un joli trou losange.
Le fait de donner un nom "le losange est ton ami" à l'activité permet de se contenter ensuite de "le losange est ton..." dès qu'un élève a des soucis dans une construction.
Tout compris ça prend 5 minutes, bien sûr avec manipulation par les élèves eux-mêmes.
Et moins de trente secondes quand on refait la manip au tableau, régulièrement.

ben2510
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Re: Propriétés des quadrilatères particuliers (6e)

Message par m++ le Sam 19 Juil 2014 - 18:54

Ben2510 j'aime beaucoup cette activité ! Je vais la noter dans un coin Wink merci

m++
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Re: Propriétés des quadrilatères particuliers (6e)

Message par Mandy8 le Mer 23 Juil 2014 - 14:17

J'aime beaucoup aussi !!! La manipulation des objets est ton amie !!

_________________
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Mandy8
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Re: Propriétés des quadrilatères particuliers (6e)

Message par elomaths le Lun 27 Oct 2014 - 9:49

Ben2510, à quel moment dans ta progression fais-tu cette activité ? Après avoir vu la symétrie axiale, médiatrice ? Ou justement tu commences la géométrie par cette activité ?
Merci !!

elomaths
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Re: Propriétés des quadrilatères particuliers (6e)

Message par ben2510 le Lun 27 Oct 2014 - 11:45

Salut elomaths, je n'ai plus de sixièmes depuis quelques années déjà (je suis passé au lycée). Mais à l'époque où j'avais encore des sixièmes, je faisais ça très tôt dans l'année, en septembre.
Le premier chapitre était autour du vocabulaire somme, termes, produit, facteurs, équations opérations à trous, calcul sur les entiers et les décimaux.
Le deuxième chapitre était sur les constructions géométriques (et les notations [AB] AB (AB) [AB)...), les parallèles et les perpendiculaires, et c'est ce deuxième chapitre qui commençait par "le losange est ton ami", ce qui me permettait d'une part de réinvestir la symétrie vue en CM2 ("superposables par pliage") et d'autre part de faire le tour des constructions usuelles telles que détaillées dans le message précédent.
De mémoire, le chapitre suivants était sur les fractions et la proportionnalité, puis les aires (et "exprimer en fonction de", développer, factoriser), ensuite les droites graduées (et somme, différence de fractions Twisted Evil ), puis Pythagore et la construction des réels (mais sans le dire Twisted Evil Twisted Evil ), et enfin la symétrie axiale comme transformation ponctuelle (avec utilisation de ↦ en lisant "a pour image" ou "donne").

ben2510
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Re: Propriétés des quadrilatères particuliers (6e)

Message par ben2510 le Lun 27 Oct 2014 - 12:19

Pour Pythagore, voici le déroulement (attention, il y a des vrais mcx de suites adjacentes dedans).

Spoiler:

* en fin d'une séance, tracer un carré sur papier quadrillé, au tableau (genre 5x5) puis demander son aire (nan, pas 20, ça c'est le périmètre)
Puis demander un carré de 36 carreaux (facile), de 49, et...
A la sonnerie, "vous me construisez un carré de 29 carreaux pour demain".
* le lendemain, calmer l'émeute : "on en reparle à la fin de la séance" ; faire la séance normale du chapitre en cours, tout en jetant un coup d'oeil sur les productions des élèves (ou de leurs parents ou grands frères/grandes soeurs). A la fin de l'heure, prendre un air désolé, "en fait je voulais que les sommets du carré soient sur les points du quadrillage" ; s'enfuir à la sonnerie.
* Suivant la classe, la phase 3 peut avoir lieu à la fin du cours suivant ou au début (en cas d'émeute incontrôlable). Essentiellement on construit un carré 7x7 avec un carré inscrit (la figure classique pour prouver Pythagore avec (a+b)²-a²-b²=4xab/2) p.ex d'aire 6²+1²=37. Prendre le temps de justifier que le losange inscrit (hypoténuses égales car superposables) est bien un carré (une rotation d'un quart de tour donne bien un angle droit, ce qui suffit à établir que le losange est un carré). Calcul de son aire par découpage. Dring, et "pour demain un carré d'aire 29 avec les sommets sur les points du quadrillage".
* Phase 4, vérification de la réussite des élèves, éventuellement un peu d'aide et quelques exemples jusqu'à ce que tout le monde ait vu que 29=5²+2².
* Phase 5, pendant la même séance que la phase 4, "au fait quel est le côté du carré ?" et c'est parti pour un petit balayage décimal... 5²=25, trop petit. 6²=36, trop grand. 5,5² = 30,25, trop grand. 5,3² = 28,09 trop petit, 5,4²=29,16 trop grand. Et là on passe aux centièmes. Attention certains élèves proposent de procéder par dichotomie mais le balayage décimal est préférable pour la suite des événements.
* Phase 6, pendant la même séance encore. Un élève ou plusieurs finit (finissent) par remarquer qu'il y a précisément deu fois plus de décimales dans le carré que dans le côté (en plein dans le programme de sixième Smile ) ; ce qui nous amène à la triste conclusion que notre quête du résultat exact est sans espoir.
divisions qui tombent juste ?:
Un travail antérieur sur les quotients de deux entiers a permis de mettre en évidence trois cas : quotient entier, quotient juste mais après la virgule (quotient décimal), division qui ne s'arrête jamais mais la suite des restes est périodique (Dirichlet) donc la suite des décimales est périodique (quotient rationnel...)


Il reste à conclure :
* le côté du carré est constructible donc il existe un nombre qui le mesure ;
* on est en mesure de construire les suites des valeurs approchées à 10^(-n) par défaut et par excès, donc on peut avoir autant de décimales qu'on veut, donc le nombre est parfaitement défini
* L'ensemble des décimaux est coupé en deux par le critère x²<29

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Re: Propriétés des quadrilatères particuliers (6e)

Message par elomaths le Lun 27 Oct 2014 - 14:11

très intéressant, merci !

Concernant l'activité de 6ème, peux-tu m'en dire un peu plus sur ses objectifs, ce que tu expliques aux élèves, etc ? Car elle me parait très bien, mais j'avoue que je suis un peu perdue (et c'est la première fois que j'ai des 6ème, je ne trouve pas ça très évident, j'ai du mal à savoir ce qu'ils savent déjà du primaire ...)

Par exemple, quand on déplie une fois et que l'on obtient un triangle isocèle, tu parles d'angles égaux, de côtés de même longueur (aucune démonstration, ils constatent c'est bien ça ?), mais tu parles aussi d'axe de symétrie et des droites remarquables ... sauf que tu ne les as pas encore vu à ce stade de ta progression ... J'aimerai donc avoir si tu le veux bien ta façon d'amener les choses stp ?
Merci Smile

elomaths
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Re: Propriétés des quadrilatères particuliers (6e)

Message par wanax le Lun 27 Oct 2014 - 14:20

@ben2510 a écrit:Pour Pythagore, voici le déroulement (attention, il y a des vrais mcx de suites adjacentes dedans).
Intéressant et stimulant !

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Re: Propriétés des quadrilatères particuliers (6e)

Message par ben2510 le Lun 27 Oct 2014 - 17:37

@elomaths a écrit:très intéressant, merci !

Concernant l'activité de 6ème, peux-tu m'en dire un peu plus sur ses objectifs, ce que tu expliques aux élèves, etc ? Car elle me parait très bien, mais j'avoue que je suis un peu perdue (et c'est la première fois que j'ai des 6ème, je ne trouve pas ça très évident, j'ai du mal à savoir ce qu'ils savent déjà du primaire ...)

Par exemple, quand on déplie une fois et que l'on obtient un triangle isocèle, tu parles d'angles égaux, de côtés de même longueur (aucune démonstration, ils constatent c'est bien ça ?), mais tu parles aussi d'axe de symétrie et des droites remarquables ... sauf que tu ne les as pas encore vu à ce stade de ta progression ... J'aimerai donc avoir si tu le veux bien ta façon d'amener les choses stp ?
Merci Smile

L'objectif est de faire remarquer aux élèves une "situation de référence" facile à identifier et réutilisable ; l'intérêt du losange est qu'il est facile à construire au compas, et donc à utiliser pour des constructions géométriques (je déteste l'équerre qui glisse sur la règle, trop imprécis même si c'est utile pour la propriété des droites perpendiculaires à une même troisième).

En fait lors de "l'activité" (ça ne dure que quelques minutes, car ce qui se passe au tableau est compris par un à deux tiers de la classe, pour les autres il faut reprendre individuellement Rolling Eyes ) je leur demande de faire une équerre en papier ("je vais vous montrer quelque chose d'utile, commencez par me construire une équerre en papier").
Je fais moi-même la manip sur une feuille A3, et hop un coup de ciseau (attention à ne pas couper trop près de 60° ou 45°).
Lors du dépliage, je demande aux élèves d'abord "c'est quoi comme figure géométrique ?". En général j'ai "un triangle", il reste à leur faire dire quel genre de triangle (j'en profite pour leur faire me rappeler les différents types de triangle qu'ils connaissent). Puis une fois le mot "isocèle" prononcé, et après un détour étymologique par "mêmes jambes", je leur demande d'argumenter, à partir de leurs connaissances de CM2. Il faut savoir que les instits de CM2 du coin sont des instits à l'ancienne, qui donnent du contenu aux élèves ; je peux m'appuyer sur du costaud, au moins pour une partie des élèves (et quelque chose qui vient d'un autre élève n'a pas le même statut aux yeux des autres élèves que ce qui vient du prof).
Ensuite je fais un point sur ce que nous apprend l'axe de symétrie : des longueurs égales car superposables, des angles égaux car superposables, un milieu, un angle droit, une médiatrice et une bissectrice... Pour les droites remarquables, je fais bien sûr lister aux élèves ce qu'on peut en dire et pourquoi : bissectrice (mais on n'a pas encore travaillé la mesure en degrés, hein !), passant par le milieu de la base, perpendiculaire à la base, passant par le sommet opposé... (mais je ne parle pas de médiane ni de hauteur).

Ne pas oublier de déplier pour avoir un losange, puis de replier sur l'autre diagonale, pour mettre en évidence la deuxième symétrie. Si les élèves sont attentifs, tu peux aussi tenter le demi-tour Wink

Le but de ce travail est d'ensuite lister les constructions à la règle et au compas qui sont à connaître, que je propose sous forme algorithmique ("Pour..., on fait ..."), avec démonstration. Tout au long de l'année ils ont un DM par semaine, toujours sur le même modèle : des calculs (entiers, décimaux, fractions, divisions euclidiennes, équations), des constructions géométriques (avec des mesures d'angles le moment venu), un "pb d'arithmétique" (robinets, trains, toussa).

La notion "collège" de symétrie axiale en tant que transformation ponctuelle vient plus tard, disons vers décembre (même si "construire le symétrique d'un point par rapport à une droite" est dans la liste des constructions à connaître). La différence entre la géométrie du primaire et celle du collège n'est pas tellement dans les contenus (il y a quelques années en récupérant mes élèves à l'école j'étais passé devant une salle de CM1 avec au tableau la section d'un cube par un plan ni parallèle à une face, ni parallèle à une arête...) mais plutôt que au primaire c'est plus "statique" et au collège plus "dynamique" (disons "trouver les axes de symétrie" au primaire vs "construire le symétrique de la figure" au collège).

Mais les 6e arrivent avec beaucoup de connaissances, qu'il reste à structurer et à consolider ; pour un élève qui maîtrise bien le programme de CM2, il n'y a pas de grosse nouveauté en maths en sixième...

Pour le aucune démonstration, je ne suis pas d'accord. Le fait que des objets superposables par pliage aient même mesure, c'est une démonstration !


Dernière édition par ben2510 le Lun 27 Oct 2014 - 18:13, édité 1 fois

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Re: Propriétés des quadrilatères particuliers (6e)

Message par ben2510 le Lun 27 Oct 2014 - 18:05

@wanax a écrit:
@ben2510 a écrit:Pour Pythagore, voici le déroulement (attention, il y a des vrais mcx de suites adjacentes dedans).
Intéressant et stimulant !

Merci Very Happy

Dans le même ordre d'idée, il y a moyen d'attaquer les logarithmes en troisième Very Happy
Bon maintenant que je suis en lycée, je le fais en seconde et en 1S, mais c'est plus dur qu'en troisième il y a dix ans car il faut bien connaître les règles de calcul sur les puissances (c'est d'ailleurs l'occasion de les consolider en seconde car dans le "programme"  Sleep elles brillent par leur absence, et ça se voit en 1ère "M'sieur pourquoi est-ce que q^n*q=q^(n+1) ?").

Spoiler:
Ça commence classiquement par la correspondance entre la progression arithmétique 1, 2, 3, 4... et la progression géométrique 10, 100, 1000, 10000, déja vue en quatrième pour la notation scientifique.

On en profite pour un petit retour sur 10^n*10^p=10^(n+p), 10^n /10^p = 10^(n-p) et surtout (10^n)^p=10^(np) (et avec une autre base que 10 si on veut les logarithmes en base autre que 10).

Ensuite, la question qui tue (après avoir remarqué que (10^n) est une suite (généralisée, n est dans Z) croissante). Peut-on trouver un nombre x tel que 10^x=345 ? On remarque vite qu'on voudrait 2 < x < 3.

Puis analyse synthèse.

attention âmes sensibles:

Déjà, on voudrait conserver les mêmes règles de calcul que sur les puissances entières.
Ensuite, on utilise une astuce : comment trouver l'écriture scientifique de 345^1000 (la calculatrice couine) ?

Bah, comme ça :
345=3,45E2
345^10=3,45^10 * E20 = 2,39E5 * E20 = 2,39E25
345^100=(345^10)^10 = 2,39^10 *E250 = 6,052E3 * E250 = 6,052E253
etc...

avec 345^100000=8,1E273581 et (10^x)^100000=10^(100000x), on a 10^273581<10^(100000x)<10^273582,
donc 273581<100000x<273582 (par croissance) donc 2,73581 < x < 2,73582.

Mais surtout, on a un algorithme qui permet de sortir l'une après l'autre toutes les décimales de x, de façon unique (il faut insister sur le fait qu'on travaille, avec la calculatrice, de façon approchée ; on risque d'être embêté si on tombe sur une mantisse proche de 1 ou de 10... mais les élèves conviennent facilement que 345^1000000000 existe et doit pouvoir être calculé de manière exacte, avec quelques milliers d'années ou un ordinateur devant soi).
Ainsi, si x existe il est unique.
Pour l'existence, c'est un peu plus fourbe, sans parler de la conservation des règles de calcul ; mais en général je m'arrête là.


 


Dans le même ordre d'idées, il y a ce bijou :
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/renaissance.pdf

veneration veneration veneration veneration veneration

ben2510
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