Points mouvants sur le diamètre d'un cercle : est-il possible d'expliquer géométriquement ce phénomène ?

okay. (de toute façon c'est un raisonnement par équivalence)

Et donc le lien avec l'égalité des arcs viendrait du fait que B et M se déplacent à la même vitesse donc parcourent la même distance, ce qui serait l'hypothèse de départ.

Faudra que je regarde où je me suis planté pour le calcul paramétrique.

Pour le calcul tu t’es emmêlé les pinceaux parce que ma figure ne respecte pas les conventions habituelles, il aurait fallu refaire une figure avec un axe horizontal et un angle α qui part dans le sens trigo. Ici cos α représente la coordonnée verticale de OI par exemple, donc dans tes calculs l’axe des abscisses est (AC), et ton vecteur N est orienté vers le bas et la droite donc il faut soit prendre le vecteur opposé, soit modifier les coordonnées de M. C’est aussi l’autre coordonnée de M qu’on veut calculer du coup.
Si je ne me suis pas trompée, on obtient sin α + sin(α − β). Comme on cherche à prouver que M est sur (AC) par calcul de ses coordonnées on ne peut pas le supposer, on utilise l’égalité des longueurs des arcs AB et MB et le fait que OB = 2 OI (tu as aussi supposé OI = 1 mais ça ce n’est pas gênant) pour obtenir β = 2α, d’où sin α + sin(α − β) = sin α + sin(−α) = 0.

Bonjour, pour montrer ça à mes élèves j'ai fait la figure animée dans geogebra :

https://dl.dropboxusercontent.com/u/5043135/points%20mouvants.ggb