Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

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Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par Marounette le Sam 8 Nov 2014 - 20:44


Bonsoir,

En panne d'idées, je me demande comment introduire les identités remarquables auprès de mes élèves de 3ème.
Comment procédez-vous ?
Merci d'avance.

_________________
"Je ne sais qu'une chose, c'est que je ne sais rien." Socrate
La recherche est l'un des rares domaines où des personnes volontaires peuvent mesurer leur ignorance.  Laughing

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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par marie91270 le Sam 8 Nov 2014 - 20:54

Je leur fais développer plein d'expressions du type (a+b)², (a+b)(a-b), (a-b)² dès le début de l'année grâce à la double distributivité, jusqu'à ce qu'un élève me fasse remarquer que "Mais en fait Madame, on peut trouver le résultat directement on a pas besoin de développer!".
Et là, on écrit les 3 identités remarquables dans le cahier de leçons!

(selon les classes, ça peut mettre plus ou moins de temps : parfois un élève le remarque dès la première fois, d'autres fois il faut attendre 3 ou 4 mois)

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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par wanax le Sam 8 Nov 2014 - 21:03

Je suis au lycée, mais une bonne moitié ne maîtrise pas, donc on repasse une couche ( de peinture, sinon ça tient pas. )
Idées :
*faire calculer des carrés d'entiers consécutifs, pour bien marquer que (n+1)² n'est pas n² + 1² et voir le 2.n
*dessin d'un carré de côté a + b, pour voir a² , b² , ab et ba en décomposant les aires. Mais je constate que ça ne marche pas et je ne sais pas pourquoi.
*Développement brutal ( à un moment, il faut qu'ils s'y mettent, mémoriser trois formules, ce n'est pas le bout du monde. ) avec le défi (a+b+c+d+...)²
*Toujours dire le carré de a + b et pas a + b au carré
*Faire remarquer que (-x-1)² = (x+1)², sinon ils ne savent pas faire.
*Si tu veux être brutale : triplets pythagoriciens : a² - b² , 2ab et a² + b²
*exos marrants ; calculer 2015² - 2014²...
Calculer les carrés de 29, 31, 51 via ( 30 + 1 )², de tête...


Bon, ce matin, j'expliquais à des élèves que je n'ai qu'en aide comment simplifier 4 . ( x + 1) / 2
J'ai pu voir qu'ils ne savaient pas faire 4 . ( 5 / 2 ) sans la calculatrice donc :

BANNIR LA CALCULATRICE.

Bien marquer l'idée que tous les trinômes ne sont pas des identités remarquables.
exo : comment compléter x² + 6.x + ... pour que ce soit une identité, x² + ... x + 25
exo : xy =((x+y)² - (x-y)² )/4, un produit peut se calculer à l'aide de carrés..


Dernière édition par wanax le Sam 8 Nov 2014 - 21:07, édité 1 fois (Raison : Complément)

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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par JPhMM le Sam 8 Nov 2014 - 21:07

Par dessin du carré et calcul de son aire de deux manières différentes.
Par application de la double distributivite.
En posant la multiplication "polynomiale ".

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par ben2510 le Sam 8 Nov 2014 - 21:18

Salut, quand j'avais des troisième je leur demandais de résoudre l'équation de Babylone, x²+10x=39.
Avec un petit topo historique sur la tablette (conservée au British Museum, je crois) sur laquelle cette équation avait été retrouvée, mais sans lettres latines, sans chiffres arabes, sans le + et le = inventés beaucoup plus tard !
Un dessin au tableau, avec un carré de côté x auquel était accolé un rectangle de 10 par x, puis le découpage habituel, x²+5x+5x=39,
x²+5x+5x+25=39+25, (x+5)²=64=8², donc x+5=8 et x=3.
Une petite remarque sur le fait qu'à l'époque les nombres négatifs n'existaient pas ; puis un dessin pour a²-b²=(a-b)(a+b), enfin on mettait tout à gauche pour factoriser, et enfin la nullité d'un facteur comme CNS pour la nullité du produit, avec démonstration.
Disons 30 minutes en tout, ensuite les deux identités (=égalité toujours vraie, utile à préciser) au tableau et des exos : résoudre avec la même méthode/développer/factoriser/compléter une identité (du genre x²+6x+... = (x+...)² ) et au fil des exos la troisième (a-b)²=a²-2ab+b², en faisant remarquer (en développant) que les trois identités, bien qu'introduites et illustrées géométriquement, restaient valables dans le cas où a ou b étaient négatifs.

_________________
On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré  La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold

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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par Marounette le Sam 8 Nov 2014 - 22:09

@marie91270 a écrit:Je leur fais développer plein d'expressions du type (a+b)², (a+b)(a-b), (a-b)² dès le début de l'année grâce à la double distributivité, jusqu'à ce qu'un élève me fasse remarquer que "Mais en fait Madame, on peut trouver le résultat directement on a pas besoin de développer!".
Et là, on écrit les 3 identités remarquables dans le cahier de leçons!

(selon les classes, ça peut mettre plus ou moins de temps : parfois un élève le remarque dès la première fois, d'autres fois il faut attendre 3 ou 4 mois)

Je retiens l'idée pour une fois prochaine !!

@wanax a écrit:
*exos marrants ; calculer 2015² - 2014²...
Calculer les carrés de 29, 31, 51 via ( 30 + 1 )², de tête...

Je doute que les élèves trouvent ce genre d'exercices marrants !!! Razz
Mais je dois avouer que cela m'amuse !!


Je remarque que l'idée de l'illustration géométrique de ces identités remarquables revient dans les réponses.

scratch D'autres idées ?

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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par User5899 le Sam 8 Nov 2014 - 22:15

@Marounette a écrit:je me demande comment introduire les identités remarquables auprès de mes élèves de 3ème.
Comment procédez-vous ?
Je ne suis pas matheux, mais comme je me les rappelle 36 ans après, je vais vous donner le truc de mon prof de 5e :
-Il les a copiées au tableau.
-Nous les avons apprises.
-Nous les avons utilisées.

Dingue, non ? Razz

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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par PauvreYorick le Sam 8 Nov 2014 - 22:21

@wanax a écrit: dessin d'un carré de côté a + b, pour voir a² , b² , ab et ba en décomposant les aires. Mais je constate que ça ne marche pas et je ne sais pas pourquoi.
C'est dingue, ça, pourquoi, en effet ?

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DISCUSSION, n. A method of confirming others in their errors.


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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par Rendash le Sam 8 Nov 2014 - 22:25

Cripure a écrit:
@Marounette a écrit:je me demande comment introduire les identités remarquables auprès de mes élèves de 3ème.
Comment procédez-vous ?
Je ne suis pas matheux, mais comme je me les rappelle 36 ans après, je vais vous donner le truc de mon prof de 5e :
-Il les a copiées au tableau.
-Nous les avons apprises.
-Nous les avons utilisées.

Dingue, non ? Razz

Shocked Nous avons eu le même yesyes
Sauf qu'il a dû perdre deux ou trois choses entre temps, vu qu'à mon époque, c'était devenue "elle" Twisted Evil

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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par wanax le Sam 8 Nov 2014 - 23:00

@PauvreYorick a écrit:
@wanax a écrit: dessin d'un carré de côté a + b, pour voir a² , b² , ab et ba en décomposant les aires. Mais je constate que ça ne marche pas et je ne sais pas pourquoi.
C'est dingue, ça, pourquoi, en effet ?
Réponse facile : paresse mentale, ce que j'ai d'autant plus de mal à comprendre que ces savoirs sont des économies de l'esprit.
( Gamin, je me suis toujours plus intéressé à ce qui était réadaptable, définitif, d'un emploi fréquent vs l'astuce qui ne marche que dans un cas précis et ne montre rien. )
Je pense que l'éclatement des disciplines, l'éparpillement des quelques heures qui restent empêchent toute structuration, qu'il n'y a plus que des bribes de savoirs plus ou moins cloisonnés.
Si c'est du calcul, ce n'est pas une fonction, si c'est une fonction, ce n'est pas de la géométrie, si on est en Physique, on ne fait pas comme en maths..

C'est une question qu'on ne se pose pas assez : pourquoi l'élève qui, face à un exercice spécifique aux racines carrées, va bien s'abstenir d'écrire sqrt(a+b) = sqr(a)+sqrt(b), n'y pense pas lors d'une étude de fonction, "hors-contexte" ?

wanax
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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par Marounette le Sam 8 Nov 2014 - 23:07

Cripure a écrit:
@Marounette a écrit:je me demande comment introduire les identités remarquables auprès de mes élèves de 3ème.
Comment procédez-vous ?
Je ne suis pas matheux, mais comme je me les rappelle 36 ans après, je vais vous donner le truc de mon prof de 5e :
-Il les a copiées au tableau.
-Nous les avons apprises.
-Nous les avons utilisées.

Dingue, non ? Razz

On a donc eu le même profeseur.
Mais comme le dit la pub... ça c'était avant !

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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par User5899 le Sam 8 Nov 2014 - 23:13

C'était pour aider, hein Wink

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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par Dalilah le Sam 8 Nov 2014 - 23:15

@Marounette a écrit:
Cripure a écrit:
@Marounette a écrit:je me demande comment introduire les identités remarquables auprès de mes élèves de 3ème.
Comment procédez-vous ?
Je ne suis pas matheux, mais comme je me les rappelle 36 ans après, je vais vous donner le truc de mon prof de 5e :
-Il les a copiées au tableau.
-Nous les avons apprises.
-Nous les avons utilisées.

Dingue, non ? Razz

On a donc eu le même  profeseur.
Mais comme le dit la pub... ça c'était avant !


Même méthode employée par ma prof en 1997-1998, mais c'est vrai que ça commence à dater aussi...

Dalilah
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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par wanax le Sam 8 Nov 2014 - 23:20

Ouaips. En fait, l'information importante est dans l'un des posts de Cripure.
Je ne suis pas matheux, mais comme je me les rappelle 36 ans après, je vais vous donner le truc de mon prof de 5e :
-Il les a copiées au tableau.
-Nous les avons apprises.
-Nous les avons utilisées.

Dingue, non ?

wanax
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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par doubledecker le Sam 8 Nov 2014 - 23:32

@Marounette a écrit: (...)

@wanax a écrit:
*exos marrants ; calculer 2015² - 2014²...
Calculer les carrés de 29, 31, 51 via ( 30 + 1 )², de tête...

Je doute que les élèves trouvent ce genre d'exercices marrants !!! Razz
Mais je dois avouer que cela m'amuse !!

(...)

Vous êtes vraiment de grands malades vous les profs de maths! !!!!!!

Spoiler:
Euh, c'est du second degré hein!
Pardon, je sors Wink

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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par wanax le Sam 8 Nov 2014 - 23:35

@doubledecker a écrit:
Spoiler:
Euh, c'est du second degré hein!
Pardon, je sors Wink
Ben oui, celles pour les polynômes de degré 3 se voient en Première S en Terminale S enfin plus tard.

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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par JPhMM le Sam 8 Nov 2014 - 23:51

Cripure a écrit:
@Marounette a écrit:je me demande comment introduire les identités remarquables auprès de mes élèves de 3ème.
Comment procédez-vous ?
Je ne suis pas matheux, mais comme je me les rappelle 36 ans après, je vais vous donner le truc de mon prof de 5e :
-Il les a copiées au tableau.
-Nous les avons apprises.
-Nous les avons utilisées.

Dingue, non ? Razz
Je ne les ai jamais apprises...
Embarassed

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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par JPhMM le Dim 9 Nov 2014 - 0:11

Cripure a écrit:
@Marounette a écrit:je me demande comment introduire les identités remarquables auprès de mes élèves de 3ème.
Comment procédez-vous ?
Je ne suis pas matheux, mais comme je me les rappelle 36 ans après, je vais vous donner le truc de mon prof de 5e :
-Il les a copiées au tableau.
-Nous les avons apprises.
-Nous les avons utilisées.

Dingue, non ? Razz
Il aurait pu vous parler des identités remarquables du théâtre shakespearien.

Roméo et Juliette s'aiment

Signifie mathématiquement :

Roméo aime Roméo, et Roméo aime Juliette, et Juliette aime Roméo, et Juliette aime Juliette.

Razz

PS: pour la double distributivité, ça marche très bien...

Jean et Jacques mangent et boivent, etc.

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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par Pascal le Dim 9 Nov 2014 - 0:12

En quatrième, ce sont justement les identités remarquables qui m'ont définitivement dégoûté des maths ...

Pascal
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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par JPhMM le Dim 9 Nov 2014 - 0:35

@Pascal a écrit:En quatrième, ce sont justement les identités remarquables qui m'ont définitivement dégoûté des maths ...
Moi j'ai adoré l'idée de transformer un carré en somme, mais je me souviens avoir été déçu que la commutativité ne produise pas de résultat fascinant.

Je veux dire par là que, petit, j'étais resté bloqué, fasciné par la beauté des multiplications posées.
En effet, quand on pose 23 fois 15, on obtient la somme de 115 et de 230. Quand on pose 15 fois 23, on obtient la somme de 45 et de 300.
Et, depuis que j'avais appris à poser les multiplications, je me demandais par quel miracle ces deux additions différentes donnaient le même résultat à chaque fois. Je savais bien que la commutativité implique que ce soit nécessaire, mais je comprenais pas comment c'était possible. Je trouvais ça magique.

_________________
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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par Pascal le Dim 9 Nov 2014 - 0:45

@JPhMM a écrit:
@Pascal a écrit:En quatrième, ce sont justement les identités remarquables qui m'ont définitivement dégoûté des maths ...
Moi j'ai adoré l'idée de transformer un carré en somme, mais je me souviens avoir été déçu que la commutativité ne produise pas de résultat fascinant.

Je veux dire par là que, petit, j'étais resté bloqué, fasciné par la beauté des multiplications posées.
En effet, quand on pose 23 fois 15, on obtient la somme de 115 et de 230. Quand on pose 15 fois 23, on obtient la somme de 45 et de 300.
Et, depuis que j'avais appris à poser les multiplications, je me demandais par quel miracle ces deux additions différentes donnaient le même résultat à chaque fois. Je savais bien que la commutativité implique que ce soit nécessaire, mais je comprenais pas comment c'était possible. Je trouvais ça magique.

Je n'ai rien compris, mais chacun trouve son plaisir là où il peut ^^

Pascal
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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par JPhMM le Dim 9 Nov 2014 - 0:53

Pose et calcule :
23*15

Puis
15*23

Et tu comprendras. Wink

Ça vient de la distributivité bien sûr.
23*15=23*(5+10)=23*5+23*10=115+230=345
15*23=15*(3+20)=15*3+15*20=45+300=345

Mais en primaire je ne connaissais pas la distributivité, alors je ne comprenais comment ça marchait.

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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par ycombe le Dim 9 Nov 2014 - 1:28

@JPhMM a écrit:Pose et calcule :
23*15

Puis
15*23

Et tu comprendras. Wink

Ça vient de la distributivité bien sûr.
23*15=23*(5+10)=23*5+23*10=115+230=345
15*23=15*(3+20)=15*3+15*20=45+300=345

Mais en primaire je ne connaissais pas la distributivité, alors je ne comprenais comment ça marchait.
Il faut distribuer une fois de plus, et utiliser la commutativité de la
somme pour faire apparaître l'égalité des deux expressions.

_________________
Ronin : "A un moment il faut dire stop au n'importe quoi".

Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".

ycombe
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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par verdurin le Dim 9 Nov 2014 - 1:46

@Pascal a écrit:
@JPhMM a écrit:
@Pascal a écrit:En quatrième, ce sont justement les identités remarquables qui m'ont définitivement dégoûté des maths ...
Moi j'ai adoré l'idée de transformer un carré en somme, mais je me souviens avoir été déçu que la commutativité ne produise pas de résultat fascinant.

Je veux dire par là que, petit, j'étais resté bloqué, fasciné par la beauté des multiplications posées.
En effet, quand on pose 23 fois 15, on obtient la somme de 115 et de 230. Quand on pose 15 fois 23, on obtient la somme de 45 et de 300.
Et, depuis que j'avais appris à poser les multiplications, je me demandais par quel miracle ces deux additions différentes donnaient le même résultat à chaque fois. Je savais bien que la commutativité implique que ce soit nécessaire, mais je comprenais pas comment c'était possible. Je trouvais ça magique.

Je n'ai rien compris, mais chacun trouve son plaisir là où il peut ^^
Je me suis souvent demandé pourquoi des gens comme Pascal se croient obligés d'intervenir sur des sujets aux quels, de leur propre aveu, ils ne comprennent rien.
Avec, en prime, des commentaires dépréciatifs.
Enfin « chacun trouve son plaisir là où il peut ».

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Contre la bêtise, les dieux eux mêmes luttent en vain.
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Re: Comment introduire les identités remarquables aux élèves ?

Message par mathmax le Dim 9 Nov 2014 - 4:40

J'aime bien les remarques de Cripure, qui relativisent un peu cette obligation qu'on cherche à nous imposer d'introduire chaque nouvelle notion par une "activité". C'est rassurant quand même d'entendre que, parfois, dire une chose permet de la communiquer ! C'est presque révolutionnaire en fait.

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