l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

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l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par invitéW le Ven 21 Nov 2014 - 21:12

Le dernière vidéo de Michael Launay :

invitéW
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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par clélia le Ven 21 Nov 2014 - 22:12

Merci!
Voilà pourquoi, bien que prof de français, j'adore les mathématiques. Parce que les maths, c'est comme la poésie, un univers parallèle avec sa cohérence et sa beauté...
(Et puis ces calculs sont d'une telle simplicité et limpidité que c'en n'est que plus déroutant...)

_________________
Il voyagea.
Il connut la mélancolie des paquebots, les froids réveils sous la tente, l’étourdissement des paysages et des ruines, l’amertume des sympathies interrompues.
Il revint.
Il fréquenta le monde, et il eut d’autres amours, encore.

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par Felicie le Ven 21 Nov 2014 - 22:39

Very Happy

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par JPhMM le Ven 21 Nov 2014 - 22:50

Merci Will ! C'était vachement bien ! coeurs  (même si je connaissais déjà le résultat et le calcul).

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par JPhMM le Ven 21 Nov 2014 - 23:07


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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par Rendash le Sam 22 Nov 2014 - 0:17

Je trouve cette vidéo extraordinaire. Le mec est d'une clarté halogénique, et le problème posé est juste fascinant.

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par JPhMM le Sam 22 Nov 2014 - 0:24


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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par JPhMM le Sam 22 Nov 2014 - 0:41

@Rendash a écrit:Je trouve cette vidéo extraordinaire. Le mec est d'une clarté halogénique, et le problème posé est juste fascinant.
Il existe une illustration graphique du résultat, mais je me sens trop fatigué pour l'expliquer.
Demain peut-être.

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par Malaga le Sam 22 Nov 2014 - 8:43

@JPhMM a écrit:
@Rendash a écrit:Je trouve cette vidéo extraordinaire. Le mec est d'une clarté halogénique, et le problème posé est juste fascinant.
Il existe une illustration graphique du résultat, mais je me sens trop fatigué pour l'expliquer.
Demain peut-être.

ça intéresserait car je n'ai pas du tout compris le résultat de ce problème... Embarassed Pourtant, le mathématicien est clair dans ses explications.

Malaga
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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par barèges le Sam 22 Nov 2014 - 9:29

Merci ! La vidéo me rappelle des conversations complètement délirantes (et qui me manquent, d'ailleurs), quand les amis physiciens des particules essaient de vulgariser deux ou trois concepts à mon intention.
Habituée que je suis avec eux à "admettre", je me demande finalement simplement comment quelqu'un a eu l'idée de passer par les calculs de A ou B pour résoudre l'équation : en béotienne, je ne vois pas le rapport entre 1-1+1-1... et le schmilblick...

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par Bolzano le Sam 22 Nov 2014 - 10:53

Pour troubler (et émerveiller aussi je l'espère) encore un peu plus les non matheux du forum, je voudrais ajouter ceci :

La vidéo dit que
A = 1-1+1-1+... = 0,5.
Mais on peut aussi faire le calcul en groupant les termes deux par deux.
A = 1-1+1-1+...
A = (1-1)+(1-1)+...
A = 0+0+...
A = 0.
Bizarre... Quelle est la bonne valeur pour A ? D'ailleurs, en groupant autrement on pourrait aboutir à A = 1. Evidemment, ces nouvelles valeurs pour A changent celles qu'on obtient pour B et C, qui en dépendent.

Dans le même genre :

Savez-vous qui est le plus grand entre A=2 et B=1,9999... (avec une infinité de 9 après la virgule) ?

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par PauvreYorick le Sam 22 Nov 2014 - 11:01

@barèges a écrit: je me demande finalement simplement comment quelqu'un a eu l'idée de passer par les calculs de A ou B pour résoudre l'équation
Question à ceux qui savent : c'est Ramanujan ? ou quelqu'un d'autre ?

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par PauvreYorick le Sam 22 Nov 2014 - 11:03

@Bolzano a écrit: La vidéo dit que
A = 1-1+1-1+... = 0,5.
Mais on peut aussi faire le calcul en groupant les termes deux par deux.
A = 1-1+1-1+...
A = (1-1)+(1-1)+...
A = 0+0+...
A = 0.
Bizarre... Quelle est la bonne valeur pour A ? D'ailleurs, en groupant autrement on pourrait aboutir à A = 1.
Intuitivement, le problème avec ces deux nouveaux calculs, c'est que le « nombre » de termes à grouper n'est ni pair ni impair, non ?

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par Balthazaard le Sam 22 Nov 2014 - 11:16

"Intuitivement, le problème avec ces deux nouveaux calculs, c'est que le « nombre » de termes à grouper n'est ni pair ni impair, non ?"

c'est un peu la confusion entre cardinaux et ordinaux...qui coïncident pour des ensembles finis, mais ça ce gâte un peu dés que l'on va plus loin

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par JPhMM le Sam 22 Nov 2014 - 11:16

@PauvreYorick a écrit:
@Bolzano a écrit: La vidéo dit que
A = 1-1+1-1+... = 0,5.
Mais on peut aussi faire le calcul en groupant les termes deux par deux.
A = 1-1+1-1+...
A = (1-1)+(1-1)+...
A = 0+0+...
A = 0.
Bizarre... Quelle est la bonne valeur pour A ? D'ailleurs, en groupant autrement on pourrait aboutir à A = 1.
Intuitivement, le problème avec ces deux nouveaux calculs, c'est que le « nombre » de termes à grouper n'est ni pair ni impair, non ?
Le problème est (serait, dirait sans doute un spécialiste de théories de la série divergente) de poser sans l'avoir démontré au préalable que ce calcul admettrait un résultat qui est un nombre, la série n'étant pas convergente.
Très humblement, et sans être capable de vraiment le formaliser strictement, mais en me souvenant de mes anciens acquis en théorie des ensembles flous et en analyse non standard, j'ai toujours eu l'impression que le cœur du problème pourrait venir du sens du symbole égalité ici. Je pourrais développer mon propos, mais j'ai peur de raconter des âneries.

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par PauvreYorick le Sam 22 Nov 2014 - 11:23

En tout cas, toute explication sera lue avec avidité.

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par JPhMM le Sam 22 Nov 2014 - 11:38

For your eyes only Very Happy

Je vais essayer de le dire en quelques mots.
Posons que d soit une valuation de proposition logique, telle que :

d(P)=1 <=> (P est vraie)
et
d(P)=0 <=> (P est fausse)

En somme, au lieu d'utiliser les mots "vrai" et "faux", on utilise les nombres "1" et "0", selon le principe des logiques multivalentes.

Spoiler:
Le principe est connu pour venir à bout de l'antinomie de Russell, qui dit : "La classe de toutes les classes qui ne sont pas éléments d'elles-mêmes est-elle élément d'elle-même ?".

Soit R cette classe.
Classiquement, on écrirait : R={x|x∉x }
R ∈ R ?

En utilisant cette valuation :
d(x∈R)=d(x∉x)

On démontre assez aisément que d(non P)=1-d(P), d'où
d(x∈R)=1-d(x∈x)

Pour x=R, il vient :
d(R∈R)=1-d(R∈R), d'où d(R∈R)=1/2. Ce qui démontre aussi que l'Antinomie de Russell n'est pas soluble dans une logique bivalente.

A = 1-1+1-1+...

J'ai jadis couru l'espoir qu'il serait peut-être capable de démontrer, par exemple (je ne connais pas les valeurs exactes, ces dernières sont données à titre d'exemple)

d(A=0)=1/3
d(A=1)=1/3
et d(A=1/2)=1/3

afin de pouvoir en déduire des choses en analyse non standard robinsonnienne. Mais faire cela demande de replonger dans la définition ensembliste de l'égalité avec une profondeur qui me dépasse, car, pour le dire vite, quand j'écris " d(A=1/2)=1/3 ", les deux signes = n'ont pas la même statut.

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par PauvreYorick le Sam 22 Nov 2014 - 11:57

Merci. Je vais mouliner un peu Smile

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par JPhMM le Sam 22 Nov 2014 - 12:16

Je n'ai rien dit sur l'analyse non standard, mais je pense qu'elle n'était pas l'objet de ta demande.

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par Jean-charles le Sam 22 Nov 2014 - 12:25

On pose u_n=(-1)^n.
La série de terme u_n diverge car u_n ne tend pas vers 0.

Par conséquent la notation 1-1+1-1+1... qui aurait pu être égale à la limite de la somme des u_n n'a aucun sens mathématique.

Game over.

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par JPhMM le Sam 22 Nov 2014 - 12:28

@Jean-charles a écrit:On pose u_n=(-1)^n.
La série de terme u_n diverge car u_n ne tend pas vers 0.

Par conséquent la notation 1-1+1-1+1... qui aurait pu être égale  à la limite de la somme des u_n n'a aucun sens mathématique.

Game over.
C'est balayer les arguments de Hardy, Ramanujan, Euler... un peu vite. En la matière, la prudence me semble de mise. Quand quelqu'un que je connais désespérément (pour moi) supérieur à moi dans un certain domaine me dit un chose que je pense absurde, je me garderais bien de dire en trois lignes qu'il a tort sans me pencher sur les arguments qu'il propose.

Après, chacun fait comme il veut.

PS : je rappelle que l'équation x + 5 = 2 a provoqué des réactions du type Game Over pendant des siècles (et plus encore).

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par Bolzano le Sam 22 Nov 2014 - 12:40

@PauvreYorick : Toutes ces manipulations sur une infinité de termes sont difficiles à admettre, aussi bien les groupements de termes que les sommations du genre A=1-A comme dans la vidéo. Il s'agit donc de savoir dans quelle mesure on peut leur donner un sens. Lorsque, comme ici, on obtient des valeurs qui se contredisent, le mathématicien a tendance à dire qu'elles n'ont pas de sens, afin de protéger l'édifice logique.

Pour entrer dans les détails :
La théorie des séries convergentes donne un sens aux sommes infinies sous certaines conditions. Dans le cas des sommes 1^x+2^x+3^x+..., cette condition est x<-1. Dans la vidéo, l'exposant x vaut 1 et nous sortons du domaine de validité.
Donc,
1) Pour tout x<-1, 1^x+2^x+3^x+... représente un nombre [appelons-le S(x)]. Pour les autres valeurs de x, S(x) se signifie rien d'intelligible.
2) Il existe cependant une fonction qui, pour tout x différent de -1, définit un nombre zeta(x) (on l'appelle comme ça, je n'écris pas sa définition).
3) Certes, zeta(1) = -1/12.
4) Certes, lorsque x<-1, on a bien l'égalité zeta(x) = 1^x+2^x+3^x+... = S(x).
Autrement dit, zeta prolonge S pour les valeurs où S n'a pas de sens (sauf -1).

La fin de la vidéo, qui affirme que c'est S(1) et pas zeta(1) qui vaut -1/12 me paraît un peu malhonnête, mathématiquement parlant. Je ne crois pas que quiconque ait réussi à donner un sens à S(1). Mais le fait que Casimir tombant sur S(1) dans son calcul, le remplaçant par zeta(1)=-1/12, et aboutissant à des résultats confirmés par l'expérience, est vraiment troublant et laisse penser qu'il n'est pas absurde de vouloir interpréter S(1). C'est bien plus la conformité avec le phénomène naturel mesuré que le petit calcul de la vidéo qui donne envie de considérer que 1+2+3+...=-1/12. Mais il s'agit de physique quantique... où une particule peut être en deux endroits en même temps. En mathématique classique, on dit plutôt que 1+2+3+...=infini (le grand Euler, qui se permettait d'écrire ce genre d'égalités, aurait sans doute plutôt dit 1+2+3+...=infini²/2 exprimant par là l'équivalent des sommes partielles 1+2+3+...+n quand n tend vers l'infini)

Je précise que je ne suis en rien spécialiste de théorie des nombres, et que je me ferai peut-être corriger.

Edit : Ce que j'appelle ici zeta(x) est plutôt noté zeta(-x) "en vrai".


Dernière édition par Bolzano le Sam 22 Nov 2014 - 12:54, édité 1 fois

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par Jean-charles le Sam 22 Nov 2014 - 12:43

@JPhMM a écrit:
C'est balayer les arguments de Hardy, Ramanujan, Euler... un peu vite. En la matière, la prudence me semble de mise. Quand quelqu'un que je connais désespérément (pour moi) supérieur à moi dans un certain domaine me dit ce que je pense absurde, je me garderais bien de dire en trois lignes qu'il a tort sans me pencher sur les arguments qu'il propose.

Après, chacun fait comme il veut.

PS : je rappelle que l'équation x + 5 = 2 a provoqué des réactions du type Game Over pendant des siècles (et plus encore).

Je te rassure ces génies me sont infiniment supérieurs aussi.
Je me rappelle d'une égalité, il me semble la somme "infinie" des 1/k^2 égale pi^2/6, trouvée par Euler d'une façon absolument géniale et manquant totalement de rigueur.

Je dis simplement que faire des mathématiques c'est manipuler des objets clairement définis et la somme infinie 1-1+1-1..... n'a aucune définition et du coup on peut faire tout et n'importe quoi.

D'ailleurs comme tu le fais remarquer en regroupant les termes d'une autre façon, on peut justifier que la somme vaut 0 et probablement beaucoup d'autres valeurs en modifiant les groupements...

Après la vidéo est amusante et intéressante...

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par JPhMM le Sam 22 Nov 2014 - 12:51

Et rappelons que l'un des principaux moteurs (sinon le principal) de révolution dans l'histoire des mathématiques est la posture "et si en fait s'était possible ?" : nombres relatifs, réels, complexes, géométries non-euclidiennes, distributions, etc etc.


Dernière édition par JPhMM le Sam 22 Nov 2014 - 12:55, édité 2 fois

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Re: l'incroyable addition 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... = - 1/12

Message par Normandyx le Sam 22 Nov 2014 - 12:52

J'ai envoyé le lien vidéo à mon aîné et sa réponse a été "trop drôles les trucs sur ses étagères, c'est un pote à toi? " Rolling Eyes

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