[Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

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[Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

Message par ycombe le Lun 24 Aoû 2015 - 19:05

ABCD un carré.
M un point mobile de AB. N le point de AD tel que MN=AB.
La perpendiculaire à MN passant par C coupe MN en H.

Prouver que, lorsque M parcourt [AB], H ne parcourt pas un quart de cercle autour de C.


En DM en troisième? Ou c'est trop dur? On place le milieu de MN pour aider ou pas?

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Re: [Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

Message par Niang973 le Lun 24 Aoû 2015 - 20:40

Perso je ne mettrais pas l'indication du milieu de [MN] histoire de ne pas les influencer et voir s'ils exploitent d'autres pistes de démonstration.
Spoiler:
c'est joli sous géogebra ta figure hein Smile

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Re: [Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

Message par ben2510 le Lun 24 Aoû 2015 - 20:43

Par les aires, je trouve CH=x racine(2x-x²)+1-x en posant AB=1 et en paramétrant par x=BM.
Ça m'a pas l'air trop constant. Genre CH(1/2)=(2+rac 3)/4 et CH(1/4)=(12+rac 7)/16.

Mais j'ai utilisé du gros bourrin, pas vu le milieu de [MN].
Tu peux aussi utiliser un repère, sans doute ?

Tout dépend du cadre dans lequel tu te places et du chapitre en cours, autrement dit des outils que les élèves sauront mobiliser.

En tout cas merci pour l'exo, mes secondes te remercient déjà, avec des étoiles dans les yeux.

Pourquoi la formulation négative de la question, au fait ?
Pourquoi pas "est-ce que H parcourt un quart de cercle ?"
Quelle courbe parcourt H est un peu trop difficile (pour moi, en tout cas Very Happy  qui à ma grande honte n'ai pas fait toutes les activités de l'Herbier )

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Re: [Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

Message par Niang973 le Lun 24 Aoû 2015 - 20:56

@ben2510 a écrit:
Quelle courbe parcourt H est un peu trop difficile (pour moi, en tout cas Very Happy  qui à ma grande honte n'ai pas fait toutes les activités de l'Herbier )
C'est vrai que çà peut être sympa de poser la question de façon ouverte.
Mais j'avoue qu'au lieu géométrique parcouru par H j'y aurais laissé des plumes moi aussi Laughing

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Re: [Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

Message par ycombe le Lun 24 Aoû 2015 - 20:59

Mettons que l'idée de base est qu'il est facile de calculer CH lorsque H est sur AC. Le milieu de MN me semblait une aide puisque dans ce cas là il est précisément confondu avec H.


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Re: [Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

Message par Niang973 le Lun 24 Aoû 2015 - 21:03

Je suis d'accord avec ton idée,
mais perso je ne leur aurais pas donné l'idée du milieu de MN (je suis un sadique Laughing d'autant plus qu'il s'agit d'un DM) En fait tout dépend de si je donne ce DM en début d'année ou en fin d'année....

voili voilou, j'ai donné mon avis.
En tout cas bravo, c'est un beau devoir je trouve. veneration

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Re: [Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

Message par ben2510 le Lun 24 Aoû 2015 - 21:08

@ycombe a écrit:Mettons que l'idée de base est qu'il est facile de calculer CH lorsque H est sur AC. Le milieu de MN me semblait une aide puisque dans ce cas là il est précisément confondu avec H.


Mais tu attends alors des élèves qu'ils sachent qu'un (seul) contre exemple suffit à conclure négativement !
Bon moi aussi je l'attends
Spoiler:
depuis longtemps  Very Happy

Ça demande pas mal de subtilité pour des troisièmes.

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Re: [Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

Message par ycombe le Lun 24 Aoû 2015 - 21:12

@Niang973 a écrit:Perso je ne mettrais pas l'indication du milieu de [MN] histoire de ne pas les influencer et voir s'ils exploitent d'autres pistes de démonstration.
Spoiler:
c'est joli sous géogebra ta figure hein Smile

C'est plus joli avec CarMetal  Razz

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Re: [Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

Message par Niang973 le Lun 24 Aoû 2015 - 21:13

chouette en effet! je ne connaissais pas ce logiciel! merci pour la découverte ! Very Happy

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Re: [Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

Message par ycombe le Lun 24 Aoû 2015 - 21:25

@ben2510 a écrit:
@ycombe a écrit:Mettons que l'idée de base est qu'il est facile de calculer CH lorsque H est sur AC. Le milieu de MN me semblait une aide puisque dans ce cas là il est précisément confondu avec H.


Mais tu attends alors des élèves qu'ils sachent qu'un (seul) contre exemple suffit à conclure négativement !
Bon moi aussi je l'attends
Spoiler:
depuis longtemps  Very Happy

Ça demande pas mal de subtilité pour des troisièmes.
C'est bien l'idée, d'où la question négative: il suffit de trouver un contre-exemple.

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Re: [Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

Message par ben2510 le Lun 24 Aoû 2015 - 21:44

En DM, dès que quelques débrouillards auront pensé à un contre-exemple, tous seront au courant.
Bon ce n'est pas très dérangeant pour peu qu'ils se soient tous creusé un peu la tête auparavant !

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Re: [Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

Message par Samuel DM le Lun 24 Aoû 2015 - 22:01

Ça ne serait pas celle qui se paramétrise en cos^4 (t) et sin^4 (t) ? L'espèce d'étoile avec des points de rebroussements de première espèce ?

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Re: [Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

Message par ycombe le Lun 24 Aoû 2015 - 22:36

J'ai une idée de démonstration.

Supposons que H soit sur le cercle en question. Il suffit de montrer que MN est inférieur à 1 (AB=1 pour simplifier):


Il suffit de montrer que MN=x+y < 1.

On ressort de la naphtaline ce vieux théorème de je ne sais plus qui, le carré du truc qui fait la somme des machins, on tripatouille un peu et on arrive à…

x+y=1-xy < 1


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Re: [Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

Message par ben2510 le Lun 24 Aoû 2015 - 22:50

On voit toujours les cerfs-volants en cinquième ?
Ils verront les triangles isocèles ?

Ça me fait penser à l'échelle qui glisse le long du mur et au lieu du milieu.

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Re: [Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

Message par ycombe le Lun 24 Aoû 2015 - 23:06

@ben2510 a écrit:On voit toujours les cerfs-volants en cinquième ?
Ils verront les triangles isocèles ?

Ça me fait penser à l'échelle qui glisse le long du mur et au lieu du milieu.
C'est pour ça que je voulais ajouter le milieu. Dans la position centrale, son lieu permet de calculer CH facilement.

L'égalité des tangentes partant du même point résulte facilement du théorème de Pythagore. Ou de la symétrie axiale. Je vais le mettre dans ma leçon sur les tangentes pour les quatrièmes, et le faire réviser aux troisièmes.

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Re: [Avec des mathématiques dedans] DM d'analyse.

Message par Marlou.Bassboost le Mar 25 Aoû 2015 - 15:07

Si on considère que AB = 1 , le quart de cercle c'est celui de rayon 1? qui passe par B et D? ( je l'avais pas vu sur l'énoncé, c'est pour ça que je pose la question )
Tu poses x = MB et y = ND.
avec l'aire de NCM exprimé de deux façons différentes : soit CH/2 et par découpage soit aire du carré - aire des trois triangles rectangles j'obtiens CH = 1-xy.
xy étant une valeur positive, CH <1 .

super problème ! Du coup je ne vois pas l'utilité du milieu ici.

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