[Maths] Questions aux collègues de collège

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[Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ben2510 le Mar 13 Oct 2015 - 20:51

Salut à tous,
en discutant avec une collègue de collège j'ai appris que des questions du type Thalès => x/(x+5)=3/7 n'étaient plus abordées par elle en quatrième, car les élèves n'y comprennent rien.

Du coup je me demandais quelles étaient vos pratiques en général au collège, et ce qu'il était encore possible de faire au collège ;
plus spécifiquement, les exercices qui suivent sont-ils pour vous des objectifs (en quatrième ou en troisième) :

* Thalès => x/(x+5)=3/7

* ABC est le triangle défini par AB=12, AC=5, BC=13, D est sur [CB), CD=18, la perpendiculaire à (BC) passant par D coupe (AB) en E, calculer BE.

* ABC est défini par l'angle en A qui vaut 60°, AB=10, AC=6, on demande BC.

* Compléter avec des identités remarquables (... + ...)²= x²+12x+...

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par Al9 le Mar 13 Oct 2015 - 21:06

1) Il faut que la notion d'équation soit bien ancré donc pour une bonne classe de quatrième ou en troisième mais perso assez rarement ou pour les bons. Déjà si il maîtrisait Thalès ou les équations.

2) Clairement quatrième Non, troisième, j'avais la figure un peu vite.

3) Jamais brutalement direct comme çà. Avec un hauteur de tracé dans le triangle, c'est faisable en 4eme. Mais cela pourrait être intéressant à travailler en problème ouvert, voir si il pense à tracer une hauteur. En tout cas, ce n'est pas un objectif de savoir calculer une longueur dans un triangle non rectangle.

4) En troisième et c'est même un exercice intéressant pour manipuler et comprendre les identités remarquables.


Dernière édition par Al9 le Mar 13 Oct 2015 - 21:23, édité 1 fois

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ycombe le Mar 13 Oct 2015 - 21:17

@ben2510 a écrit:Salut à tous,
en discutant avec une collègue de collège j'ai appris que des questions du type Thalès => x/(x+5)=3/7 n'étaient plus abordées par elle en quatrième, car les élèves n'y comprennent rien.

Du coup je me demandais quelles étaient vos pratiques en général au collège, et ce qu'il était encore possible de faire au collège ;
plus spécifiquement, les exercices qui suivent sont-ils pour vous des objectifs (en quatrième ou en troisième) :

* Thalès => x/(x+5)=3/7
Oui.

C'est indispensable, cela permet d'insister sur le fait que les segments qui ne sont pas des côtés des triangles ne sont pas utlisables dans la relation de Thalès (actuelle).

Je le faisais en troisième, j'ai des 4e cette année c'est dans mes objectifs aussi.



* ABC est le triangle défini par AB=12, AC=5, BC=13, D est sur [CB), CD=18, la perpendiculaire à (BC) passant par D coupe (AB) en E, calculer BE.
Par la similitude, c'est hors programme au collège actuellement. Par la trigo c'est du cosinus, donc 4e.


* ABC est défini par l'angle en A qui vaut 60°, AB=10, AC=6, on demande BC.
Non pour moi, pas directement. Je le fais en ajoutant la hauteur issue de B, mais je n'en fais pas un objectif. Je ne le donnerais pas en DS.




* Compléter avec des identités remarquables (... + ...)²= x²+12x+...
Je le fais, en 3e.

_________________
Ronin : "A un moment il faut dire stop au n'importe quoi".

Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par Al9 le Mar 13 Oct 2015 - 21:25

@ycombe a écrit:



* ABC est le triangle défini par AB=12, AC=5, BC=13, D est sur [CB), CD=18, la perpendiculaire à (BC) passant par D coupe (AB) en E, calculer BE.
Par la similitude, c'est hors programme au collège actuellement. Par la trigo c'est du cosinus, donc 4e.

On peut faire aussi un Thalès papillon pour le coup. J'avais pas vu directement le cosinus.

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ben2510 le Mar 13 Oct 2015 - 21:26

OK, merci.
En fait je m'appuie beaucoup sur mon expérience au collège pour mon enseignement au lycée, car elle me permet d'avoir une assez bonne idée des acquis que peuvent avoir les collégiens qui nous arrivent ; mais j'ai l'impression que des choses considérées comme basiques il y a quelques années ne le sont plus tant que ça.

P.ex le premier exercice sur Thalès, je le donnais systématiquement dès la première séance sur Thalès, sans mettre moi-même en équation, sans que ça ait jamais posé problème.

Le deuxième je l'ai donné à mes secondes et j'ai 95% de cos(ABC avec chapeau)=12/13 donc ABC chapeau=23°  (ou à peu près égal pour les bonnes copies) donc 5/BE=cos(23) ; au lieu de 5/BE=12/13 ; et très peu d'élèves arrivent à la valeur exacte (beaucoup ne semblant même pas distinguer valeur exacte de valeur approchée).

Pour le troisième, j'ai d'excellents souvenirs de séances entières à passer d'un groupe à l'autre en me grattant le dos avec l'équerre, tout en disant "ah bah oui il n'y a pas d'angle droit, que c'est contrariant" ; l'idée étant d'attendre 55 minutes avant que quelqu'un finisse par comprendre qu'en tracer un serait peut-être pertinent Very Happy Laughing Laughing  

Pour le quatrième, tu me rassures, c'est un exercice fort utile pour la seconde et la 1S (la 1S étant l'année où les identités remarquables sont présentes dans TOUS les chapitres, y compris Stats, Proba et Géométrie).

_________________
On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré  La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ben2510 le Mar 13 Oct 2015 - 21:29

@Al9 a écrit:
@ycombe a écrit:



* ABC est le triangle défini par AB=12, AC=5, BC=13, D est sur [CB), CD=18, la perpendiculaire à (BC) passant par D coupe (AB) en E, calculer BE.
Par la similitude, c'est hors programme au collège actuellement. Par la trigo c'est du cosinus, donc 4e.

On peut faire aussi un Thalès papillon pour le coup. J'avais pas vu directement le cosinus.

Non !
Tu n'as pas fait le dessin ! professeur
(Bon j'avoue que j'ai eu la flemme de faire une figure en PJ)
Clairement c'est un exo avec le cosinus (+ angles opposés par le sommet => même mesure => même cosinus => proportionnalité), pour des quatrièmes, avec le "piège" d'éviter de passer par une valeur approchée de l'angle.

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ycombe le Mar 13 Oct 2015 - 21:30

@Al9 a écrit:
@ycombe a écrit:



* ABC est le triangle défini par AB=12, AC=5, BC=13, D est sur [CB), CD=18, la perpendiculaire à (BC) passant par D coupe (AB) en E, calculer BE.
Par la similitude, c'est hors programme au collège actuellement. Par la trigo c'est du cosinus, donc 4e.

On peut faire aussi un Thalès papillon pour le coup. J'avais pas vu directement le cosinus.
Il n'y a pas de parallèles si je ne me suis pas mélangé les pinceaux. Il faudrait prendre la parallèle à (AB) passant par D.




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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par Al9 le Mar 13 Oct 2015 - 21:32

@ben2510 a écrit:
@Al9 a écrit:
@ycombe a écrit:



* ABC est le triangle défini par AB=12, AC=5, BC=13, D est sur [CB), CD=18, la perpendiculaire à (BC) passant par D coupe (AB) en E, calculer BE.
Par la similitude, c'est hors programme au collège actuellement. Par la trigo c'est du cosinus, donc 4e.

On peut faire aussi un Thalès papillon pour le coup. J'avais pas vu directement le cosinus.

Non !
Tu n'as pas fait le dessin ! professeur
(Bon j'avoue que j'ai eu la flemme de faire une figure en PJ)
Clairement c'est un exo avec le cosinus (+ angles opposés par le sommet => même mesure => même cosinus => proportionnalité), pour des quatrièmes, avec le "piège" d'éviter de passer par une valeur approchée de l'angle.

Embarassed J'ai mal fait la figure..J'ai mis l'angle droit où çà m'arrangeait. Non effectivement quatrième, sans trop de difficulté d'ailleurs.

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ben2510 le Mar 13 Oct 2015 - 21:34

@ycombe a écrit:
@ben2510 a écrit:Salut à tous,
en discutant avec une collègue de collège j'ai appris que des questions du type Thalès => x/(x+5)=3/7 n'étaient plus abordées par elle en quatrième, car les élèves n'y comprennent rien.

Du coup je me demandais quelles étaient vos pratiques en général au collège, et ce qu'il était encore possible de faire au collège ;
plus spécifiquement, les exercices qui suivent sont-ils pour vous des objectifs (en quatrième ou en troisième) :

* Thalès => x/(x+5)=3/7
Oui.

C'est indispensable, cela permet d'insister sur le fait que les segments qui ne sont pas des côtés des triangles ne sont pas utilisables dans la relation de Thalès (actuelle).

Je le faisais en troisième, j'ai des 4e cette année c'est dans mes objectifs aussi.



* ABC est le triangle défini par AB=12, AC=5, BC=13, D est sur [CB), CD=18, la perpendiculaire à (BC) passant par D coupe (AB) en E, calculer BE.
Par la similitude, c'est hors programme au collège actuellement. Par la trigo c'est du cosinus, donc 4e.


* ABC est défini par l'angle en A qui vaut 60°, AB=10, AC=6, on demande BC.
Non pour moi, pas directement. Je le fais en ajoutant la hauteur issue de B, mais je n'en fais pas un objectif. Je ne le donnerais pas en DS.




* Compléter avec des identités remarquables (... + ...)²= x²+12x+...
Je le fais, en 3e.

Pas avec des similitudes, bien sûr (ça ne fait pas si longtemps que ça que je suis passé au lycée Smile  ; d'ailleurs ça n'a jamais été au programme au collège, si ? )

Pour celui où tracer une hauteur permet de commencer, il y a deux objectifs :
*les planter sur 3-4-5 * 2 = 6-8-10 donc BC=8 (ça permet d'obliger les récalcitrants à faire un dessin, et d'utiliser un micro raisonnement par l'absurde ("mais alors cos(60)=6/10 ?").
*casse une bonne fois pour toutes le "mais on a le droit de rajouter des points ?"

Bien sûr c'est inenvisageable en DS (sauf classe particulièrement douée, et encore...).

Merci du retour !

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ben2510 le Mar 13 Oct 2015 - 21:39

@Al9 a écrit:
@ben2510 a écrit:
@Al9 a écrit:
@ycombe a écrit:


Par la similitude, c'est hors programme au collège actuellement. Par la trigo c'est du cosinus, donc 4e.

On peut faire aussi un Thalès papillon pour le coup. J'avais pas vu directement le cosinus.

Non !
Tu n'as pas fait le dessin ! professeur
(Bon j'avoue que j'ai eu la flemme de faire une figure en PJ)
Clairement c'est un exo avec le cosinus (+ angles opposés par le sommet => même mesure => même cosinus => proportionnalité), pour des quatrièmes, avec le "piège" d'éviter de passer par une valeur approchée de l'angle.

Embarassed J'ai mal fait la figure..J'ai mis l'angle droit où çà m'arrangeait. Non effectivement quatrième, sans trop de difficulté d'ailleurs.

Mais il n'y a pas trop de confusions sur la valeur approchée ?
(Comme dans un combo Pyth + réciproque, avec AB²=12 donc AB~=3,4 "donc" AB²=3,4²).
Parce qu'avec mes secondes on a vraiment l'impression qu'ils ne comprennent pas la distinction exact/approché ; je leur avais pourtant conseillé de ne pas utiliser leur calculatrice, et j'avais pris soin de ne demander que le cosinus, et pas une valeur approchée de l'angle ; et dans le DM précédent j'avais d'ailleurs distingué deux questions : calculer l'angle (réponse du type arccos(5/7) ), puis donner une valeur approchée de cet angle, à 0,1° près (réponse du type 44,4°).

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par bchasa le Mar 13 Oct 2015 - 21:40

Pour le premier exercice de  Thalès , je le donne uniquement aux bons élèves.

Pour le deuxième , c'est vrai que très peu d'élèves voir aucun selon les années travaillent avec les valeurs exactes. La plupart d'entre eux passent par la trigo quand je le donne en exercice à prise d’initiative et je valorise leur démarche.

Pour le troisième, je le fait aussi en ajoutant la hauteur.

Pour le quatrième je le fais dès qu'ils connaissent les identités remarquables.

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ben2510 le Mar 13 Oct 2015 - 21:50

En réalité j'ai l'impression de retrouver tous les réflexes que j'avais au collège ("pour vérifier une égalité, on calcule séparément les deux membres", ce genre de choses), mais j'ai du mal à savoir si c'est parce que j'ai lâché des secondes de fin d'année pour récupérer des petits troisièmes, comme tous les ans, ou bien parce que mes nouveaux secondes sont réellement mous du genou.

Et par dessus cette impression désagréable, je me suis aperçu que j'avais donné à mes TS un DM (sur les formules des demi-tangentes) que je donnais jadis en troisième (puis en seconde, puis en 1S, et là c'est arrivé en TS affraid ).

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ben2510 le Mar 13 Oct 2015 - 21:56

@bchasa a écrit:Pour le premier exercice de  Thalès , je le donne uniquement aux bons élèves.

Pour le deuxième , c'est vrai que très peu d'élèves voir aucun selon les années travaillent avec les valeurs exactes. La plupart d'entre eux passent par la trigo quand je le donne en exercice à prise d’initiative et je valorise leur démarche.

Pour le troisième, je le fait aussi en ajoutant la hauteur.

Pour le quatrième je le fais dès qu'ils connaissent les identités remarquables.

Mais tu ne les reprends pas quand ils confondent exact avec approché ?
(Ce n'est pas un reproche, hein, juste une question histoire de savoir sur quoi on peut raisonnablement s'appuyer à l'arrivée en seconde).

Tiens, encore un exemple sur le deuxième ; il s'agissait de montrer que C, A, D et E sont cocycliques ; la plupart des élèves confondent "cercle de diamètre EC" avec "cercle de diamètre [EC]" ; dans le temps, c'était en sixième qu'on voyait cette distinction (dont l'absence ruine leur raisonnement, avec "le cercle de diamètre EC" dans les copies).

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ycombe le Mar 13 Oct 2015 - 22:19

@ben2510 a écrit:
Mais tu ne les reprends pas quand ils confondent exact avec approché ?
Bien sûr qu'on les reprend. On enlève même des points pour ça en devoir.


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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ben2510 le Mar 13 Oct 2015 - 22:31

Ouf :-)
Le boulot au lycée est plus facile quand on peut s'appuyer sur le discours tenu par les collègues de collège (pendant des années j'ai récupéré en sixième des élèves qui avaient eu en CM2 un instit excellent mais qui notait les longueurs [AB] ; j'ai déployé des trésors de diplomatie pour expliquer qu'au collège on notait les longueurs AB et les segments [AB], sans avoir l'air de dire que j'étais en désaccord avec le collègue instit' ; j'ai toujours eu l'impression que les élèves faisaient plus confiance à leurs instits qu'à leurs profs de collège, et plus confiance à leurs profs de collège qu'à leurs profs de lycée).

Tiens, cette discussion m'a fait penser à un petit exo sympa : montrer que l'aire du cercle inscrit dans le triangle 3-4-5 est pi.

Indice:
Dans un triangle, la bissectrice d'un angle coupe le côté opposé proportionnellement aux côtés de l'angle
Indice bis:
Attendre la troisième, il faut un papillon de Thalès

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ycombe le Mar 13 Oct 2015 - 22:36

@ben2510 a écrit:
Tiens, cette discussion m'a fait penser à un petit exo sympa : montrer que l'aire du cercle inscrit dans le triangle 3-4-5 est pi.

Indice:
Dans un triangle, la bissectrice d'un angle coupe le côté opposé proportionnellement aux côtés de l'angle
Indice bis:
Attendre la troisième, il faut un papillon de Thalès

Pas besoin de tes indices, c'est trivial. L'aire du triangle vaut le rayon du cercle inscrit multiplié par le demi-périmètre.

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par bchasa le Mar 13 Oct 2015 - 22:40

@ycombe a écrit:
@ben2510 a écrit:
Mais tu ne les reprends pas quand ils confondent exact avec approché ?
Bien sûr qu'on les reprend. On enlève même des points pour ça en devoir.


Même chose pour moi. Je commence ce travail sur les valeurs exacte et approchées dès la sixième.

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ben2510 le Mar 13 Oct 2015 - 22:47

@ycombe a écrit:
@ben2510 a écrit:
Tiens, cette discussion m'a fait penser à un petit exo sympa : montrer que l'aire du cercle inscrit dans le triangle 3-4-5 est pi.

Indice:
Dans un triangle, la bissectrice d'un angle coupe le côté opposé proportionnellement aux côtés de l'angle
Indice bis:
Attendre la troisième, il faut un papillon de Thalès

Pas besoin de tes indices, c'est trivial. L'aire du triangle vaut le rayon du cercle inscrit multiplié par le demi-périmètre.

Argh !
Mon exercice était tout pourri !
Bon, merci de me l'avoir dit avant que je ne le donne aux élèves.
Je n'avais pas pensé à ta solution, beaucoup plus directe et élégante que la mienne (j'étais parti dans un toute autre direction).
Ceci dit le petit découpage qui prouve ta propriété peut être une bonne base pour un DM :-)
Je vais retravailler la question !

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ben2510 le Mar 13 Oct 2015 - 22:48

@bchasa a écrit:
@ycombe a écrit:
@ben2510 a écrit:
Mais tu ne les reprends pas quand ils confondent exact avec approché ?
Bien sûr qu'on les reprend. On enlève même des points pour ça en devoir.


Même chose pour moi. Je commence ce travail sur les valeurs exacte et approchées dès la sixième.

Bon ça me rassure, ce point n'a pas changé alors.
Je vais mettre les confusions des élèves sur le compte de vacances trop longues et y aller en douceur (je ne les pourrirai qu'au prochain DM).

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ycombe le Mar 13 Oct 2015 - 23:04

@ben2510 a écrit:
@ycombe a écrit:
@ben2510 a écrit:
Tiens, cette discussion m'a fait penser à un petit exo sympa : montrer que l'aire du cercle inscrit dans le triangle 3-4-5 est pi.

Indice:
Dans un triangle, la bissectrice d'un angle coupe le côté opposé proportionnellement aux côtés de l'angle
Indice bis:
Attendre la troisième, il faut un papillon de Thalès

Pas besoin de tes indices, c'est trivial. L'aire du triangle vaut le rayon du cercle inscrit multiplié par le demi-périmètre.

Argh !
Mon exercice était tout pourri !
Bon, merci de me l'avoir dit avant que je ne le donne aux élèves.
Je n'avais pas pensé à ta solution, beaucoup plus directe et élégante que la mienne (j'étais parti dans un toute autre direction).
Ceci dit le petit découpage qui prouve ta propriété peut être une bonne base pour un DM :-)
Je vais retravailler la question !
J'ai essayé de le faire sans utiliser l'aire. J'y parviens mais je n'ai pas vu de papillon. Juste un Thalès dans le triangle, niveau 4e:

CEDF est un carré donc CF=FD=r le rayon du cercle inscrit.
GC= a =3/2 par la proportionnalité induite par la bissectrice.

Par Thalès dans GCB, on (a-r)/a=r/3. La résolution de l'équation donne r=1.

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ben2510 le Mar 13 Oct 2015 - 23:08

Oui, c'est pile poil ce que je prévoyais (avant que tu ne ruines mon exercice Very Happy ).
Bon, on peut aussi le faire dans un cadre analytique, ce qui permet de varier les approches.

Le papillon de Thalès c'est pour démontrer la propriété de la bissectrice, car elle n'est pas au programme de collège. Ni de lycée. Ni de rien. Mais elle est cool.

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ycombe le Mar 13 Oct 2015 - 23:21

@ben2510 a écrit:Oui, c'est pile poil ce que je prévoyais (avant que tu ne ruines mon exercice Very Happy ).
Bon, on peut aussi le faire dans un cadre analytique, ce qui permet de varier les approches.

Le papillon de Thalès c'est pour démontrer la propriété de la bissectrice, car elle n'est pas au programme de collège. Ni de lycée. Ni de rien. Mais elle est cool.
Ah? J'en ai une directe par les aires.


E' le symétrique de C par rapport à la bissectrice (BD).
Les triangles BDE' et BDA ont des aires proportionnelles à BA et BE'=BC puisqu'ils ont même hauteur.
Il en va de même des triangles BDA et BDC, donc AD et DC sont proportionnels à BA et BC.

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ycombe le Mar 13 Oct 2015 - 23:29

@ycombe a écrit:
@ben2510 a écrit:Oui, c'est pile poil ce que je prévoyais (avant que tu ne ruines mon exercice Very Happy ).
Bon, on peut aussi le faire dans un cadre analytique, ce qui permet de varier les approches.

Le papillon de Thalès c'est pour démontrer la propriété de la bissectrice, car elle n'est pas au programme de collège. Ni de lycée. Ni de rien. Mais elle est cool.
Ah? J'en ai une directe par les aires.


E' le symétrique de C par rapport à la bissectrice (BD).
Les triangles BDE' et BDA ont des aires proportionnelles à BA et BE'=BC puisqu'ils ont même hauteur.
Il en va de même des triangles BDA et BDC, donc AD et DC sont proportionnels à BA et BC.
Je viens de me rendre compte qu'on peut facilement inverser pour montrer la réciproque. Cool.

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ben2510 le Mar 13 Oct 2015 - 23:41

Plus que cool :-)
Brillant.
Je savais qu'on sous-estimait la bissectrice.
Je me rends compte que je sous-estimais les aires (bien que j'aie démontré Thalès et Pythagore avec pendant toutes les années où j'ai enseigné au collège).

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Re: [Maths] Questions aux collègues de collège

Message par ben2510 le Mar 13 Oct 2015 - 23:46

Argh !
Une copie plutôt bien menée, on arrive à cos(arccos(12/13))=5/BE (bon c'est un peu lourd mais pourquoi pas), passage à 12/13=5/BE, puis BE=(5*13)/12, et là PAF BE~=5,4.

Mais qu'est ce qu'ils ont avec leurs valeurs approchées ?!?

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