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citron
Niveau 2

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par citron le Lun 2 Nov 2015 - 19:45
@leskhal a écrit:Je suis scotché.
Je ne me souvenais plus de la nuance entre « fois » et « multiplié par », je crois ne jamais l'avoir acquise pour être honnête...
Dois-je démissionner de mon agrégation de maths ?

Nous avions il y a quelques jours une discussion entre ceux qui admettaient de diviser un vecteur par un nombre réel (ce qui ne me choque pas...) et ceux qui le refusaient car on doit toujours écrire le nombre avant le vecteur...
Je leur avait parlé du Lebossé-Hémery de 1947 où l'on divise deux vecteurs colinéaires pour trouver le coefficient de proportionnalité...

Vous avez trouvé encore plus fort !

Je suis nettement plus choqué par la division de vecteurs que par l'histoire des petits bâtons qui ne sont pas en ligne mais en colonne.

Ceci dit, si deux vecteurs sont colinéaires, ils appartiennent à la même droite vectorielle qui a une homothétie près est la droite des réels, donc pourquoi pas. Mais bon ça demande de la contextualisation, pour éviter les erreurs de lycéens et d'étudiants.
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egomet
Grand sage

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par egomet le Lun 2 Nov 2015 - 23:21
@leskhal a écrit:Je suis scotché.
Je ne me souvenais plus de la nuance entre « fois » et « multiplié par », je crois ne jamais l'avoir acquise pour être honnête...
Dois-je démissionner de mon agrégation de maths ?

Je ne sais pas s'il y a une convention bien établie sur la façon de le dire.
Et il est certain qu'en mathématiques,  on utilise assez peu la nuance, puisqu'on travaille surtout avec des abstractions. Une fois qu'on a extrait les données chiffrées à partir du réel,  on peut manipuler dans tous les sens. Seul le produit nous intéresse. On peut négliger tout le reste.
Mais quand il s'agit de faire comprendre la signification de l'opération dans les petites classes, ça a son importance. Distinguer le multiplicateur et le multiplicande, ce n'est pas négligeable pour appréhender les situations concrètes et la relation entre les nombres et les choses. Si je prends 4 paquets de 3 biscuits, ce n'est pas pareil que 3 paquets de 4 biscuits. Sauf si je considère que seul le nombre total de biscuits est important. Alors, je fais abstraction des emballages. La commutativité de l'opération n'est pas une évidence, si je veux visualiser la situation qui se cache derrière.

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Sapientia vero ubi invenitur et quis est locus intellegentiae? Non est in me, non est mecum.


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egomet
Grand sage

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par egomet le Lun 2 Nov 2015 - 23:23
Bref, c'est plus un problème d'instituteur ou de technicien qu'un problème d'agrégé de mathématiques.

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Padre P. Lucas
Niveau 9

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par Padre P. Lucas le Mar 3 Nov 2015 - 8:21
@archeboc a écrit:
N'est-il pas plus productif de conseiller à chaque instituteur d'utiliser toutes les représentations alternativement, pour que les élèves se rendent compte que tous ces problèmes font appel à une même opération d'addition itérée (qu'on leur désignera plutôt sous le terme d'addition répétée).  

Pas tant que les notions de multiplicande et de multiplicateur ne sont pas comprises. Et pour qu'elles le soient il est important de nommer les deux termes et de leur attribuer un ordre, même si ces noms et cet ordre sont oubliés par la suite.

@archeboc a écrit: La progressivité à observer, à mon sens, réside dans la hauteur des nombres mis en jeu : il faut commencer par 2*4 puis 3*5, faciles à décompter sur les doigts, avant de passer à 4*7 puis 7*8.

Certainement, d'où l'importance d'enseigner les 4 opérations dès le CP.
Tazon
Niveau 9

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par Tazon le Mar 3 Nov 2015 - 10:39
@Padre P. Lucas a écrit:
Pas tant que les notions de multiplicande et de multiplicateur ne sont pas comprises. Et pour qu'elles le soient il est important de nommer les deux termes et de leur attribuer un ordre, même si ces noms et cet ordre sont oubliés par la suite.
 je ne comprends pas pourquoi c'est important, peux-tu développer?

Lorsqu'on calcule le nombre de biscuits ou d'élèves rangés, il est indépendant de la façon dont ils sont rangés. C'est même une justification intuitive de la commutativité. Si on veut faire la distinction dans la façon dont ils sont rangés, alors c'est qu'on n'est plus dans l'apprentissage de la multiplication, mais par exemple dans un problème de dénombrement ou de représentation dans l'espace, ou de proportionnalité avec coefficient, qui utiliserait comme moyen technique la multiplication, mais c'est un autre problème non? À partir du moment où on s'intéresse à la longueur totale des trois planches de 5 m de long, on est bien dans un nombre indifférencié de mètres de planche, par exemple pour savoir quelle longueur elles font mises bout à bout .Si il faut faire la distinction, c'est qu'il ne faut pas faire la multiplication, mais rester avec ses trois planches séparées.

Je crains aussi  qu'à vouloir séparer multiplicateur et multiplicande,  (et pourquoi y aurait-il un ordre dans lequel les écrire d'ailleurs? Donner une notation qui n'est même pas généralisée ou officielle dans son usage c'est de la tyrannie pure), on crée une analogie avec diviseur et dividende. Et puis apprendre comme une règle quelque chose qu'il faut oublier par la suite, je trouve ça très risqué. Qu'on apprenne quelque chose qui est complété ensuite, OK, mais quelque chose de faux non.
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Sapotille
Empereur

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par Sapotille le Mar 3 Nov 2015 - 13:28
@egomet a écrit:
Mais quand il s'agit de faire comprendre la signification de l'opération dans les petites classes, ça a son importance. Distinguer le multiplicateur et le multiplicande, ce n'est pas négligeable pour appréhender les situations concrètes et la relation entre les nombres et les choses. Si je prends 4 paquets de 3 biscuits, ce n'est pas pareil que 3 paquets de 4 biscuits. Sauf si je considère que seul le nombre total de biscuits est important. Alors, je fais abstraction des emballages. La commutativité de l'opération n'est pas une évidence, si je veux visualiser la situation qui se cache derrière.


Voilà !!! veneration
archeboc
Esprit éclairé

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par archeboc le Mar 3 Nov 2015 - 14:08
@Sapotille a écrit:
@egomet a écrit:
Mais quand il s'agit de faire comprendre la signification de l'opération dans les petites classes, ça a son importance. Distinguer le multiplicateur et le multiplicande, ce n'est pas négligeable pour appréhender les situations concrètes et la relation entre les nombres et les choses. Si je prends 4 paquets de 3 biscuits, ce n'est pas pareil que 3 paquets de 4 biscuits. Sauf si je considère que seul le nombre total de biscuits est important. Alors, je fais abstraction des emballages. La commutativité de l'opération n'est pas une évidence, si je veux visualiser la situation qui se cache derrière.


Voilà !!!   veneration

J'ai l'impression que ce n'est pas important par rapport aux maths, mais par rapport aux enfants, et que ce n'est pas important pour les multiplication, mais pour l'apprentissage consécutif de la division.

Pour les enfants, la division est l'opération abstraite qui regroupe deux opérations concrètes : la division-partage d'un côté (combien d'élèves par équipe si on fait cinq équipes) et la division-regroupement (combien d'équipes si on est 5 dans chaque équipe).

Dans ce cadre, 3 paquets de 4 et 4 paquets de 3, ce n'est pas la même chose. Mais l'objectif, c'est quand même que les élèves très vite saisissent que les opérations, elles, sont les mêmes.


_________________
Pour des raisons de commodité nous utilisons dans nos analyses un classement des élèves en « bons », « moyens » et « faibles » qui n'est valable qu'à l'intérieur de chaque classe ou dans des classes de même type. En fait, les élèves que nous appelons « bons » sont plutôt des élèves moyens, les « moyens » des élèves plutôt faibles et les « faibles » des élèves en grande difficulté.
van Zanten Agnès. Le quartier ou l'école ? Déviance et sociabilité adolescente dans un collège de banlieue . In: Déviance et société. 2000 - Vol. 24 - N°4. Les désordres urbains : regards sociologiques. pp. 377-401. note 3


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egomet
Grand sage

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par egomet le Mar 3 Nov 2015 - 15:27
Oui, le mathématicien vise l'abstraction.  Il sait que cette abstraction est un outil extrêmement puissant pour réfléchir. 

Mais ce problème de visualisation concrète des opérations n'est pas limité aux enfants.
Apprendre et appliquer des formules n'est pas très difficile. Faire des calculs non plus. Beaucoup de gens ont un rapport assez mécanique aux mathématiques.  Ils appliquent des théorèmes,  simplement parce qu'on leur a dit qu'ils étaient vrais. Ils se fichent pas mal de savoir que ces théorèmes ont une démonstration. 
Ce qui est très difficile en revanche, c'est de faire le lien entre des données chiffrées et des situations concrètes. Les "problèmes" sont plus durs que les calculs, parce qu'ils demandent quelque chose de plus, une compréhension fine du sens de l'opération a effectuer et une perception juste de la situation. Cette perception fait appel plus largement à la logique, au vocabulaire ou à la syntaxe.

Maintenant,  si je regarde l'usage que les adultes font des chiffres, je constate beaucoup de nullité.  Non pas que les opérations soient fausses, mais qu'elles sont mal interprétées,  que les calculs effectués n'ont tout simplement aucun sens pour la situation analysée, que les gens n'ont pas le sens des proportions...
Les statistiques conduisent trop souvent à confondre corrélation et causalité. Ou alors elles ne font qu'enfoncer des portes ouvertes.
Cette perte du concret se fait très tôt. 

15÷2=7, 5
C'est juste mathématiquement,  tant que je raisonne sur des abstractions, mais c'est absurde si je répartis des allumettes. 
Je crois vraiment qu'il faut une grande vigilance dans l'enseignement des mathématiques,  pour ne pas en faire un simple recueil de recettes à appliquer bêtement,  ou une sorte de fétiche coupant court à bla discussion.

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Padre P. Lucas
Niveau 9

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par Padre P. Lucas le Mar 3 Nov 2015 - 19:04
@Tazon a écrit:
@Padre P. Lucas a écrit:
Pas tant que les notions de multiplicande et de multiplicateur ne sont pas comprises. Et pour qu'elles le soient il est important de nommer les deux termes et de leur attribuer un ordre, même si ces noms et cet ordre sont oubliés par la suite.
 je ne comprends pas pourquoi c'est important, peux-tu développer?

Lorsqu'on calcule le nombre de biscuits ou d'élèves rangés, il est indépendant de la façon dont ils sont rangés. C'est même une justification intuitive de la commutativité. Si on veut faire la distinction dans la façon dont ils sont rangés, alors c'est qu'on n'est plus dans l'apprentissage de la multiplication, mais par exemple dans un problème de dénombrement ou de représentation dans l'espace, ou de proportionnalité avec coefficient, qui utiliserait comme moyen technique la multiplication, mais c'est un autre problème non?

Ces problèmes dans lesquels on calcule un nombre de biscuits, d'élèves, de carrés de chocolats ... rangés en lignes ou en colonnes sont intéressants pour une approche intuitive de la commutativité mais, pour cette même raison, ne sont pas les plus simples pour commencer l'apprentissage de la multiplication. Il faut se placer dans un contexte où les jeunes enfants sont amenés à faire varier le nombre d'objets d'une collection en ajoutant ou retirant le même type d'objets. Dès ce stade, on prend garde, à chaque occasion, de préciser l'unité, pour être bien sûr de savoir de quoi on parle, et sur quel objet porte le calcul. On pourrait donc dire, pour simplifier, qu'ils manient alors des nombres "concrets". La multiplication va permettre d'entrer dans l'abstraction du nombre car le multiplicateur, lui, sera un nombre de "fois", un nombre abstrait (même s'il est matérialisé sous forme de nombre de "paquets", de "tas", d'équipes ...) qui va opérer sur le nombre concret qu'est le multiplicande. Et le rapport entre multiplication et addition n'est bien établi que si la distinction de nature entre ces deux nombres est claire (ce qui n'est pas le cas dans les premiers types de problèmes).
archeboc
Esprit éclairé

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par archeboc le Mar 3 Nov 2015 - 19:24

Si j'ai bien compris, la différence entre multiplicateur et multiplicande est importante dans le cadre de la multiplication comme addition itérée : donc au tout début.

Mais dès que par l'expérience l'enfant prend conscience de la commutativité, on peut faire le saut dans l'abstraction, non ?

Objection évidente : l'instituteur n'est pas en charge d'un enfant, mais de trente élèves. Il doit aller piano piano pour ne pas en perdre (trop).

Vu ce matin en GS : des enfants qui comprennent la soustraction, et d'autres qui ne savent pas qu'après douze, il y a treize.

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Pour des raisons de commodité nous utilisons dans nos analyses un classement des élèves en « bons », « moyens » et « faibles » qui n'est valable qu'à l'intérieur de chaque classe ou dans des classes de même type. En fait, les élèves que nous appelons « bons » sont plutôt des élèves moyens, les « moyens » des élèves plutôt faibles et les « faibles » des élèves en grande difficulté.
van Zanten Agnès. Le quartier ou l'école ? Déviance et sociabilité adolescente dans un collège de banlieue . In: Déviance et société. 2000 - Vol. 24 - N°4. Les désordres urbains : regards sociologiques. pp. 377-401. note 3


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dandelion
Grand sage

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par dandelion le Mar 3 Nov 2015 - 19:30
Padre P., est-ce que ton exemple ne s'applique pas à des enfants plus jeunes?
Ce qui me dérange ici c'est que l'enseignant aurait pu préciser ce qu'il fallait multiplier. En l'absence de cette information, on n'est pas face à du concret mais à de l'abstrait.
C'est encore plus drôle et mal posé si l'enfant est issu d'une culture qui lit de droite à gauche.
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Padre P. Lucas
Niveau 9

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par Padre P. Lucas le Mar 3 Nov 2015 - 20:00
@Tazon a écrit:
@Padre P. Lucas a écrit:
Pas tant que les notions de multiplicande et de multiplicateur ne sont pas comprises. Et pour qu'elles le soient il est important de nommer les deux termes et de leur attribuer un ordre, même si ces noms et cet ordre sont oubliés par la suite.
 je ne comprends pas pourquoi c'est important, peux-tu développer?

... À partir du moment où on s'intéresse à la longueur totale des trois planches de 5 m de long, on est bien dans un nombre indifférencié de mètres de planche, par exemple pour savoir quelle longueur elles font mises bout à bout .Si il faut faire la distinction, c'est qu'il ne faut pas faire la multiplication, mais rester avec ses trois planches séparées.
Dans ce cas précis, il est justement important de préciser ce que l'on cherche : une longueur. On ne cherche pas un nombre de planches ni un nombre d'étagères, le bricoleur pourra aussi bien poser une grande étagère formée de 3 planches bout à bout que 6 petites étagères d'une demi-planche. Et c'est là qu'il est possible d'expliquer l'ordre conventionnel choisi par l'école française : "on commence l'opération par la grandeur recherchée dans le résultat" (la division fait exception pour le calcul du nombre de parts, mais c'est un processus efficace pour tous les autres cas) ; ici, on cherche une longueur, on commencera donc l'opération par le nombre de mètres. Après, on peut encore ajouter des mètres : 5 m + 5 m + 5 m , mais on n'a pas de "droit" d'ajouter des planches ou des étagères à des mètres, le "3" ne pourra entrer dans l'opération que comme nombre "abstrait", le multiplicateur.
Tazon
Niveau 9

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par Tazon le Mar 3 Nov 2015 - 21:32
Je ne savais pas du tout qu'il y avait ce genre de convention.

Bon alors on est dans le cas d'un coefficient alors, je parlerais plutôt de proportionnalité ici, la longueur totale est proportionnelle au nombre de planches de 5m employées. Mais il faudrait justement écrire l'opération dans l'autre ordre: 3 (nombre de planches, qui peut évoluer) fois 5 (longueur d'une planche, fixée une fois pour toute), accompagné par le dessin de la flèche ventrue d'un "fois 5" qui part de 3 pour aller vers 15 m. C'est à dire exactement le contraire de ce que tu dis! Oh, je m'y perds! Pour moi ce qui multiplie dans cette situation, c'est au contraire ce 5. Et paf, retour au départ, comment distinguer ce qui multiplie de ce qui est multiplié? Heureusement que je n'ai pas à enseigner cela!

Merci de tes efforts pour m'expliquer en tout cas, Padre.
User17706
Enchanteur

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par User17706 le Mar 3 Nov 2015 - 21:46
« 3 × 5 » peut se lire trois fois cinq (5+5+5) ou trois multiplié[s] par cinq (3+3+3+3+3).

Je crois qu'on a simplement tendance à adopter l'ordre « multiplicateur, opérateur, multiplicande » lorsqu'on lit × « fois » (en anglais times) et l'ordre « multiplicande, opérateur, multiplicateur » lorsqu'on le lit « multiplié par » ou « que multiplie ». Non ?

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'Tis a blushing, shamefaced spirit that mutinies in a man’s bosom. It fills a man full of obstacles. It made me once restore a purse of gold that by chance I found. It beggars any man that keeps it. It is turned out of towns and cities for a dangerous thing, and every man that means to live well endeavors to trust to himself and live without it.
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When everybody is swept away unthinkingly by what everybody else does and believes in, those who think are drawn out of hiding because their refusal to join is conspicuous and thereby becomes a kind of action.
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ycombe
Modérateur

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par ycombe le Mar 3 Nov 2015 - 22:42
PauvreYorick a écrit:« 3 × 5 » peut se lire trois fois cinq (5+5+5) ou trois multiplié[s] par cinq (3+3+3+3+3).

Je crois qu'on a simplement tendance à adopter l'ordre « multiplicateur, opérateur, multiplicande » lorsqu'on lit × « fois » (en anglais times) et l'ordre « multiplicande, opérateur, multiplicateur » lorsqu'on le lit « multiplié par » ou « que multiplie ». Non ?
Si. Il me semble que traditionnellement, l'addition se dit plus et la multiplication fois. On ne dit pas «4 additionné à 7», on ne doit pas dire non plus «4 multiplié par 7».

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Assurbanipal: "Passant, mange, bois, divertis-toi ; tout le reste n’est rien".

Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".
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Padre P. Lucas
Niveau 9

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par Padre P. Lucas le Mar 3 Nov 2015 - 23:44
PauvreYorick a écrit:« 3 × 5 » peut se lire trois fois cinq (5+5+5) ou trois multiplié[s] par cinq (3+3+3+3+3).

Je crois qu'on a simplement tendance à adopter l'ordre « multiplicateur, opérateur, multiplicande » lorsqu'on lit × « fois » (en anglais times) et l'ordre « multiplicande, opérateur, multiplicateur » lorsqu'on le lit « multiplié par » ou « que multiplie ». Non ?

Non, ce n'est qu'une convention mais on enseignait en France jusque dans les années 70 que « 3 × 5 »  se lisait cinq fois trois ou trois multiplié[s] par cinq (3+3+3+3+3)
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Madame Mado
Niveau 8

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par Madame Mado le Mer 4 Nov 2015 - 13:33
Je ne comprends pas trop le problème : la multiplication, comme l'addition, est commutative.
D'où 3x5=5x3.
Pour le calcul, 3x5 (5+5+5) est plus simple à calculer que 5x3 (3+3+3+3+3), je choisis donc de calculer avec la multiplication qui sera la plus "économe" en temps.

Si avec ces petits nombres, ce n'est pas trop évident, imaginons une situation plus "complexe" :
"La maîtresse a reçu 25 paquets de 4 stylos.
Combien a-t-elle de stylos ?"
Si on s'amuse à calculer avec des 4, bonjour la galère !
Pourtant, cela correspond à l'énoncé.
Il faut donc se souvenir que 4x25=25x4 pour calculer assez vite.
Enfin, c'est ce que j'essayais d'apprendre à mes CE1 quand j'en avais.
Mais je ne suis pas très douée en maths.
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un loyoliste
Je viens de m'inscrire !

En hommes salafistes ou mormons, c'est pas le même !

par un loyoliste le Mer 4 Nov 2015 - 17:14
Trois fois cinq femmes, ça donne trois maris saoudiens

Et cinq fois trois femmes, ça en donne cinq.

Et comme cela vaut aussi pour les polygames non salafistes, mormons ou autres (mais aussi pour tous collectionneurs), cela ne justifie-t-il pas pédagogiquement et docimologiquement la rigueur de cette évaluation (les maths valent par leur universalité)


J'aime bien l'amusante intervention de dandelion : "C'est encore plus drôle et mal posé si l'enfant est issu d'une culture qui lit de droite à gauche."
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Spinoza1670
Esprit éclairé

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par Spinoza1670 le Ven 6 Nov 2015 - 14:21
@Madame Mado a écrit:Je ne comprends pas trop le problème : la multiplication, comme l'addition, est commutative.
D'où 3x5=5x3.
Pour le calcul, 3x5 (5+5+5) est plus simple à calculer que 5x3 (3+3+3+3+3), je choisis donc de calculer avec la multiplication qui sera la plus "économe" en temps.

Si avec ces petits nombres, ce n'est pas trop évident, imaginons une situation plus "complexe" :
"La maîtresse a reçu 25 paquets de 4 stylos.
Combien a-t-elle de stylos ?"
Si on s'amuse à calculer avec des 4, bonjour la galère !
Pourtant, cela correspond à l'énoncé.
Il faut donc se souvenir que 4x25=25x4 pour calculer assez vite.
Enfin, c'est ce que j'essayais d'apprendre à mes CE1 quand j'en avais.
Mais je ne suis pas très douée en maths.

cf. Brissiaud, rechercher "Brissiaud  50 cruzeiros" sur internet.

Par exemple : http://education.blog.lemonde.fr/2014/02/13/si-lecole-nenseigne-plus-alors-pourquoi-la-conserver/
Je reproduis la citation de Brissiaud car sinon il faut la chercher parmi les 88 commentaires.

Rémi Brissiaud a écrit:
Guy Morel a écrit:Cher Luc Cédelle,
Comme vous le savez, je n’ai jamais donné dans la querelle que vous évoquez pour de multiples raisons sur lesquelles je reviendrai à l’occasion. L’une d’elles mérite d’être explicitée en premier et je trouve qu’elle l’est parfaitement par Michel Delord – on peut avoir rompu avec quelqu’un et estimer ce qu’il écrit – sous le lien suivant :
http://blogs.mediapart.fr/blog/micheldelord/220512/lettre-edwy-plenel-propos-de-ferdinand-buisson-et-james-guillaume
Tant que les divers protagonistes de la querelle ne se seront pas expliqués là-dessus, c’est-à-dire sur le reniement ou l’occultation de l’héritage pédagogique de l’Instruction publique, j’ai tendance à penser que la mêlée que vous déplorez continuera, ainsi que le dépérissement de l’école.
Cordialement.
Guy Morel

PS. J’ai noté avec intérêt que M. Brissiaud a redécouvert récemment les mérites de l’enseignement du calcul préconisé par Henri Canac en 1960. Tout n’est donc pas perdu, et il se peut qu’un jour prochain, il feuillette les pages du DP de Buisson de 1887 consacrée à la question. J’ose même espérer que M. Goigoux fasse de même avec les pages du même ouvrage sur l’écriture-lecture.
Rédigé par : guy morel | le 13 février 2014 à 17:52 

*1947 et non 1960 pour Henri Canac.
Bonjour M. Morel,

J’ai déjà eu un échange avec vous qui s’était terminé par l’expression d’excuses que j’ai bien volontiers acceptées http://www.cahiers-pedagogiques.com/L-enseignement-du-comptage-en-debat. Vous vous adressiez à moi comme si j’étais la force invitante à un colloque ministériel alors que ce n’était pas le cas. En fait, je n’avais même pas été invité à intervenir lors de ce colloque. De façon générale, le moins que l’on puisse dire est que, jusqu’à présent, je n’ai guère été sollicité par un ministre quel qu’il soit (pas plus que ne l’a été mon ami André Ouzoulias. Pour lui, c’est définitif).

De nouveau, je trouve votre parole rapide et, de ce point de vue, vous conservez un style déplaisant qui explique que, bien que je trouve que les idées du GRIP méritent souvent d’être débattues (j’ai d’ailleurs essayé plusieurs fois de le faire), je m’abstiens le plus souvent de le faire aujourd’hui.

Vous écrivez : « J’ai noté avec intérêt que M. Brissiaud a redécouvert récemment les mérites de l’enseignement du calcul préconisé par Henri Canac en 1960. Tout n’est donc pas perdu, et il se peut qu’un jour prochain, il feuillette les pages du DP (dictionnaire pédagogique) de Buisson de 1887 consacrée à la question. »
Si je comprends bien, ma lecture des pédagogues d’avant 1970 (date de la réforme des maths modernes) serait récente et celle du DP de Buisson à venir. Qu’est-ce qui vous permet d’affirmer cela ?

Lisez mon ouvrage de 1989 (Comment les enfants apprennent à calculer ? – notez la présence du mot « calculer » et non « compter ») et vous verrez qu’il n’en est rien. Il contient de nombreuses citations de pédagogues d’avant 1970 sur lesquelles je m’appuie (en complément de résultats de recherches) pour affirmer qu’il faut d’emblée viser l’enseignement du calcul à l’école et pour émettre une mise en garde : l’enseignement du comptage, tel qu’il s’effectue dans les familles, a un rôle ambivalent concernant le progrès vers le calcul. Nos prédécesseurs dans le métier s’en méfiaient comme de la peste. Une question au passage : la découverte de ce phénomène ne serait-elle pas récente au sein du Grip ? Sinon, comment expliquer que Catherine Huby ait intitulé son manuel de CP et, pire, de CE1 : « Compter, calculer au CE1 » ? (voir aussi les interventions de Catherine Huby sur le site pré-cité).

Quant au Dictionnaire pédagogique de Ferdinand Buisson, je l’ai lu la première fois en 1977 (j’étais en « stage d’adaptation » parce qu’ancien professeur de lycée, je devenais professeur d’école normale). Je suppose que vous êtes convaincu du contraire parce que je ne fais pas miennes toutes les recommandations du dictionnaire. Mais comment faut-il qualifier le rapport à un ouvrage qui consisterait à en épouser systématiquement les thèses ? À un niveau général, mon accord avec les thèses défendues dans le DP, est profond mais dans le détail, je pense qu’avec les connaissances qui sont les nôtres aujourd’hui, il faut nuancer ce qui y est dit et ne pas systématiquement retenir ce qui y est préconisé.

Je prendrai comme exemple un extrait du texte de Michel Delord auquel vous renvoyez dans votre billet :

“Jusqu’en 1970, on apprend simultanément le calcul et la numération : au programme de CP figure les quatre opérations car par exemple il n’est pas possible d’apprendre la numération sans connaitre la multiplication puisque 243 signifie bien 2 fois 100 plus 4 fois 10 plus 3.”

Pour moi, il n’est pas nécessaire d’avoir étudié la multiplication au CP pour savoir que 43, c’est 4 fois 10 plus 3, l’addition répétée suffit. Il faut savoir que 40 = 10 + 10 + 10 + 10, ce qui peut évidemment se dire : 40, c’est 4 fois 10. En effet, le mot « fois » fait partie du langage quotidien et il n’est pas nécessaire de l’avoir associé à la multiplication et au signe « x » pour l’utiliser. Nous allons voir en effet qu’utiliser le signe « x » et le mot « multiplication » à ce niveau de la scolarité n’est pas sans inconvénient. Pour s’en rendre compte, on peut se rapporter aux résultats d’une recherche menée à Recife, au Brésil. Schlieman et collègues (1998) proposent ces deux problèmes à des enfants entre 8 et 12 ans qui sont « vendeurs des rues » et qui n’ont jamais fréquenté l’école :

(1) Combien faut-il payer en tout pour acheter 3 objets à 50 cruzeiros l’un ?

(2) Combien faut-il payer en tout pour acheter 50 objets à 3 cruzeiros l’un ?

75% de ces enfants qui n’ont jamais entendu parler de la multiplication et qui ne connaissent pas le signe « x », réussissent le problème (1). Concernant le problème (2), avec les mêmes enfants des rues, on observe un taux de réussite de… 0%.

Il faut en tirer les conséquences : le problème (1) n’est pas un problème de multiplication, on peut le réussir sans avoir étudié cette opération, c’est un problème d’addition répétée. En revanche, le problème (2) est un authentique problème de multiplication : on ne peut pas le réussir sans avoir étudié cette opération. En effet, l’échec au problème (2) ne s’explique pas parce que les enfants ne comprennent pas la situation parce que c’est la même situation que celle qui est décrite dans le problème (1) ; il ne s’explique pas non plus parce que les enfants ne savent pas calculer 3 fois 50 (sinon ils échoueraient au premier problème) ; il s’explique parce que des enfants non scolarisés ne savent pas que 50 fois 3 et 3 fois 50 conduisent au même nombre (commutativité). Les enfants de la rue cherchent à faire : 3 + 3 + 3 + 3 +… et, bien entendu, ils ne s’en sortent pas. Comprendre une opération, c’est en comprendre les propriétés essentielles, comme la commutativité de la multiplication, les propriétés que les chercheurs qualifient de « conceptuelles ».

Dans un article publié dans la revue Developmental Science (Brissiaud et Sander, 2010), nous avons montré que pour chacune des principales situations qui donnent du sens aux 4 opérations, on peut distinguer comme ci-dessus 2 sortes de problèmes : des problèmes comme le (1) dont la réussite atteste la compréhension de la situation et des problèmes comme le (2) dont la réussite atteste que l’enfant a commencé à comprendre l’opération arithmétique parce qu’il en utilise une propriété conceptuelle.

Pour la multiplication et la division, une façon de lutter contre l’échec scolaire consiste à commencer par s’assurer que les enfants comprennent les situations qui donnent du sens à ces opérations en leur proposant des problèmes comme le (1) (sans parler de l’opération, ce n’est pas nécessaire) avant, dans un deuxième temps, de définir l’opération aux enfants en s’appuyant sur des problèmes comme le (2). La raison : les enfants n’ont pas tout à apprendre en même temps, la progressivité est meilleure. On risque moins de se retrouver avec des élèves qui, face à un problème, ne cherchent plus à comprendre la situation décrite et choisissent une opération selon l’air du temps.

Par ailleurs, lorsque vous dites à un enfant : « Comme 50 fois 3 et 3 fois 50, c’est le même nombre, pour ne pas l’oublier, les hommes ont inventé une opération arithmétique elle s’appelle la multiplication… », l’enseignement correspondant est plus explicite: lors de la première rencontre avec la multiplication, vous mettez l’accent sur une propriété essentielle de cette opération, vous ne leurrez pas les enfants en leur faisant croire que vous leur enseignez la multiplication alors que vous ne faites que leur enseigner l’addition répétée.

Ferdinand Buisson ne pouvait pas savoir tout cela. Même s’il avait raison sur l’essentiel, c’est-à-dire sur le fait que comprendre le nombre 8, c’est savoir que 8 = 7 + 1 ; 8 = 10 – 2 ; 8 = 4 + 4 etc., je ne pense pas que l’absence de l’écriture 8 = 4 x 2 soit un manque important.

Bref, au-delà du fait que je vous ai convaincu ou non, le DP de Buisson a-t-il figé à jamais notre connaissance des phénomènes didactiques ou bien y a-t-il place pour une recherche de meilleures progressions ? Et pourquoi quiconque se situant dans une telle dynamique ne mériterait que le sarcasme ?

Rédigé par : Rémi Brissiaud | le 19 février 2014 à 19:40 

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Spinoza1670
Esprit éclairé

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par Spinoza1670 le Sam 7 Nov 2015 - 19:37
A noter : Le texte de Michel Delord "Attention, Débroussaillage : Ferdinand Buisson, les quatre opérations en CP, la méthode intuitive" est une critique très détaillée de ce que dit Brissiaud à propos de Buisson.

Plan de l'article:
I) Remi Brissiaud et Ferdinand Buisson
A) FERDINAND BUISSON : CONNAITRE UN NOMBRE / CALCUL INTUITIF
B) LE CONTEXTE ET LA SIGNIFICATION DE LA CITATION DE BUISSON
Nota bene 1 : Renouer avec la culture pédagogique… des seuls pays francophones ?
Intermède I : La « définition » de la compréhension du nombre
Intermède II : Lorsqu‟il écrit « remuer », Henri Canac veut-il dire « remuer »?
Intermède III : Qu‟est-ce qui est « nouveau » en 1947 ?
Intermède IV : Définition / Propriétés
C) RETOUR AU SUJET : DÉTAIL ?
Nota bene 2 : Une autre rupture
D) LES QUATRE OPÉRATIONS EN CP
1) Les quatre opérations et les décompositions.
Nota bene 3 : Égalité ?
2) Les 4 opérations vraiment au programme du CP ?
E) ENFIN, QUELQUES REMARQUES CONCLUSIVES RAPIDES
F) COMPLÉMENTS
0) Petite histoire des « 4 opérations en CP » et de la publication du texte « Calcul intuitif »
1) Sus aux anachronismes
2) « La mutation fondamentale apportée par les programmes rénovés [de 1970] »
a) 1970 : Continuité / rupture
b) Dommages collatéraux
c) Retour aux opérations sur les grandeurs
d) Retour aux positions de Rémi Brissiaud
e) Deuxième retour sur les opérations sur les grandeurs
i) Précisions supplémentaires sur l'importance du calcul sur les grandeurs
ii) Le BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) et les « nombres concrets »
iii) Sur l'avenir de l'enseignement des opérations sur les grandeurs

II) Blackout sur Ferdinand Buisson et la méthode intuitive» : Rémi Brissiaud n’est pas seul.
A) LES RÉFÉRENCES À L’ARTICLE CALCUL INTUITIF DE FERDINAND BUISSON
Digression I – Charles-Ange Laisant : Système long et système court ?
Digression II – Charles-Ange Laisant : La mathématique est une science expérimentale
Digression III – Michel Crozier : Quelques remarques de principe sur l’entreprise
B) ÉLARGISSEMENT DISCIPLINAIRE ET HISTORIQUE
1) MÉTHODE INTUITIVE : « UN CONTINENT DISPARU »
Encadré : Warning ! Warning ! École de la république
2) DEUX OBSTACLES
a – Obstacles antipédagogistes : Buisson créateur / justificateur du pédagogisme ?
b – Méconnaissance du véritable contenu de la réforme des maths modernes
CONSENSUS FINAL ?
III) Documents
A) BIBLIOGRAPHIES DONNÉES PAR RÉMI BRISSIAUD EN 1989 ET 2013
B) FERDINAND BUISSON, CALCUL INTUITIF, in DP 1ÈRE ÉDITION, 1887.

Sur la multiplication précisément, il me semble qu'il avait écrit plusieurs textes.
Certains sont cités dans les messages ci-dessous.
- http://www.gilles-jobin.org/jobineries/index.php?2005/04/14/174-la-commutativite-de-la-multiplication-chez-les-naturels
- http://fr.education.divers.narkive.com/F99nrkgi/reponse-a-remi-brissiaud
- http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=284079
- http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,743121,747251

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Manu7
Niveau 5

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par Manu7 le Mer 14 Fév 2018 - 1:11
Je trouve que cette histoire est bien compliquée... Déjà la nuance entre égalité et équivalence me semble pas très claire, puisque l'égalité est une relation d'équivalence. Je suis totalement en phase avec Finrod et son explication avec les anneaux. Pour moi 3 x 5 est équivalent à 5 x 3. Quand on veut expliquer que ce n'est pas équivalent il faut changer l'énoncé ce qui n'est pas correct, on ne change pas les règles du jeu en route...

Par ailleurs je me pose des questions très simples : 5 x 3 <=> 3 + 3 + 3 + 3 + 3 ok mais alors on connait la définition de l'addition et celle de 3 (3 <=> 1 + 1 + 1) donc
3 + 3 + 3 + 3 + 3 <=> 1 + 1 + 1 + 1 + ..... + 1
et on devrait rapidement arrivé à <=> 5 + 5 + 5.

Autre idée très simple : on parle de bâton ou de bananes, mais si on prend des enfants qui bougent il y a 5 groupes de 3 enfants, ils sont bien toujours 5 groupes de trois même s'ils se mélangent même s'ils ne forment plus qu'un seul groupe ou bien 3 groupes de 5. Et si on place les 5 groupes en file indienne on a :
IIIIIIIIIIIIII
I
ben oui le 15ème ne logeait pas au bout de la ligne, mais on a bien représenter 5 groupes de 3 pourquoi faudrait-il qu'ils soient en ligne ou en colonne ? Ils viennent peut-être de 5 écoles différentes, ils ont peut-être des maillots distinctifs avec des numéros... cinq n°1 et cinq n°2 et cinq n°3...

Tout est équivalent.
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Verdurette
Modérateur

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par Verdurette le Mer 14 Fév 2018 - 6:54
Pour des raisons évidentes de praticité, on dit beaucoup plus souvent "4 fois 5" que "5 multiplié par 4" et je pense que nous prenons souvent des libertés -porte ouverte à l'inexactitude, c'est vrai- avec l'énonciation des multiplications.

Je pense que l'interdiction (pour moi infondée, et que je viole donc quotidiennement) d'écrire les unités dans les calculs concrets en élémentaire est à l'origine de bien des soucis.
Je reprends l'exemple des 25 paquets de 4 stylos.

Il est clair qu'en CE1 je ne vais pas hésiter à faire dessiner 25 paquets de 4 (de préférence en incitant à les regrouper par 10, tout de même), et je fais alors écrire (en ligne) : J'ai 25 fois 4 stylos, donc je multiplie.
Et dans la mesure où nous avons étudié, auparavant, la commutativité, j'accepterai qu'on pose l'opération en écrivant 25 en multiplicande et 4 en multiplicateur, parce que les élèves ne savent pas encore faire une multiplication avec un multiplicateur à deux chiffres. Mais je ferai explicitement toutes ces réserves.

Même si, au bout du compte, 3 paquets de 4 biscuits et 4 paquets de 3 biscuits font le même nombre de biscuits une fois posés sur une assiette, ça me semble important de comprendre que ce n'est pas la même chose.
D'ailleurs j'emploie le terme d'équivalence (en dessinant une petite balance) avec mes élèves.
J'avais remarqué, en arrivant au CE2 après des années de CP/CE1, un phénomène assez surprenant.
Si vous proposez l'opération suivante (en ligne) : 7 = 5 + ..... un nombre non négligeable d'élèves répondent "12" tellement ils sont habitués à écrire 7 + 5 = 12. Ils sont en réalité parfaitement capables de donner le bon résultat, c'est juste par habitude visuelle, ils n'ont pas regardé les signes.

Je rejoins tout à fait l'idée qu'on doit employer une terminologie très précise en mathématiques, même à notre modeste niveau de PE, et qu'à vouloir trop simplifier on a finalement embrouillé tout le monde.

Enfin, acquérir le sens des 4 opérations avec de très petits nombres (manipulables, donc) dès le CP me paraît faisable et même indispensable. C'est comme pour la numération : une fois qu'on a bétonné le principe du système décimal jusqu'à 999 (en CE1), le reste suit très facilement.






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Anaxagore
Empereur

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par Anaxagore le Mer 14 Fév 2018 - 10:20
Nous avons eu une longue joute avec Brissiaud qui est sur le blog de Cedelle.

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Mathador
Niveau 8

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par Mathador le Mer 14 Fév 2018 - 11:50
@Verdurette a écrit:J'avais remarqué, en arrivant au CE2 après des années de CP/CE1, un phénomène assez surprenant.
Si vous proposez l'opération suivante (en ligne) :  7 = 5 + .....  un nombre non négligeable d'élèves répondent "12" tellement ils sont habitués à écrire 7 + 5 = 12. Ils sont en réalité parfaitement capables de donner le bon résultat, c'est juste par habitude visuelle, ils n'ont pas regardé les signes.

Non, c'est parce qu'ils savent interpréter la notation polonaise inversée. Rappelez-vous, le niveau monte car ils ont d'autres compétences professeur .

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Manu7
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Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par Manu7 le Mer 14 Fév 2018 - 15:59
@Verdurette a écrit:Même si, au bout du compte, 3 paquets de 4 biscuits et 4 paquets de 3 biscuits font le même nombre de biscuits une fois posés sur une assiette, ça me semble important de comprendre que ce n'est pas la même chose.
D'ailleurs j'emploie le terme d'équivalence (en dessinant une petite balance) avec mes élèves.

Oui ce n'est pas la même chose c'est vrai, et cette chose se note dans un sens en France et dans un autre aux USA si j'ai bien suivi cette discussion. Ce qui au passage montre que l'ordre n'est pas un véritable problème. Tout comme réciter ses tables en se disant mentalement 7 fois 4 c'est 4 fois 7 donc 28 n'est pas un problème au contraire.

On en revient à la nuance entre égalité et équivalence. Pour moi, une balance représente plus une égalité (de masse) qu'une équivalence mais bon je ne suis pas choqué, car l'égalité est une relation d'équivalence. Si j'ai bonne mémoire une relation d'équivalance est réflexive (x R x), symétrique (x R y et y R x) et transitive (x R y et y R z => x R z). ( A mon époque on apprenait la transitivité, c'était joli !!! Et la bijection en primaire avec des patates et des flèches, le rêve... Smile ).

Pour revenir à l'expression ce n'est pas pareil le problème c'est que ce n'est jamais pareil. Dès qu'on parle d'équivalence alors on a changé d'ensemble. On ne parle plus de gâteaux mais de modèles, on peut dessiner un gâteau mais on pourrait très bien écrire en dessous "Ceci n'est pas un gâteau". Dès qu'on écrit 5 x 3 on n'est plus dans le même ensemble.

En fait le débat d'origine c'est plutôt une question de définition. Par définition 5 x 3 = 5 + 5 + 5 mais on peut aussi écrire par définition 5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3.

C'est comme avec le produit scalaire, il y a 3 définitions possibles, peut-on dire que les deux autres ne sont pas des définitions valables.

Pour revenir à l'équivalence pour moi équivalent ne signifie pas pareil, par exemple revenons aux balances bien utiles avec les équations :

5x + 3 = 10 <=> 5x - 2 = 5
Si on veut représenter cette équivalence avec deux balances ce ne sera pas du tout pareil, pourtant c'est équivalent.

Dans cette discussion j'ai vu qu'on parlait de segments égaux, cela me dérange car [AB]=[CD] n'est pas correct. Un segment n'est pas une classe d'équivalence par définition même si on pourrait l'admettre comme on le fait actuellement avec les angles.
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Mathador
Niveau 8

Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

par Mathador le Mer 14 Fév 2018 - 16:28
EmmanuelB a écrit:
Dans cette discussion j'ai vu qu'on parlait de segments égaux, cela me dérange car [AB]=[CD] n'est pas correct. Un segment n'est pas une classe d'équivalence par définition même si on pourrait l'admettre comme on le fait actuellement avec les angles.

La différence entre les deux cas c'est que pour les segments il y a une distinction syntaxique claire (pour nous): [AB] contre AB. Pour les angles il n'y a pas d'usage équivalent répandu; c'est pourquoi l'on accepte l'absence de distinction entre l'angle ABC (avec un chapeau au-dessus) et sa mesure.

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Re: 5 x 3 n'est pas équivalent à 5 + 5 + 5

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