[Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Page 1 sur 2 1, 2  Suivant

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas

[Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par ycombe le Lun 4 Jan 2016 - 23:31

Comme vous le savez tous, j'essaie de lutter contre l'hégémonie du triplet 3,4,5 et ses multiples dans les triangles pour les exercices sur Pythagore.

Je viens de réécrire un petit programme python que j'avais et qui calcule la liste des triplets pythagoriciens primitifs) pour qu'il soit plus simple et plus clair. Il n'est pas plus rapide mais ce n'est pas très grave. Je l'ai modifié pour qu'il affiche un triplet pris au hasard.

Je vous l'offre:
Code:

import sys
from fractions import gcd
from math import trunc,sqrt
from random import choice

argv = sys.argv
if len(argv) != 2:
    print "usage: \n\t" + argv[0] + " max\n"
    sys.exit(0)

Max = int(argv[1])
rkMax = trunc(sqrt(2*Max-1))+1

Total = 0
Res = []

rk = 3
while rk < rkMax:
    k = rk**2
    rdMax = min(trunc(sqrt(2*Max-k))+1, rk-1)
    rd = 1
    while rd < rdMax:
        if gcd(rk,rd) > 1:
            rd += 2
            continue

        d = rd**2
        Res.append([(k-d)/2, (k+d)/2, rk*rd])
        Total +=1
        rd += 2
    rk += 2

print choice(Res)
print "choisi parmi",  Total, "resultats inferieurs a ", Max

Il marche comme ça:
Code:

python triplet.py 200
[104, 185, 153]
choisi parmi 32 resultats inferieurs a  200

_________________
Ronin : "A un moment il faut dire stop au n'importe quoi".

Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".

ycombe
Modérateur


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par verdurin le Lun 4 Jan 2016 - 23:47

C'est amusant, du temps de ma folle jeunesse, j'ai fait des choses comme ça. ( À la main, mais c'est assez facile )

Et puis, un jour, on se demande : pourquoi les côtés doivent-ils être des entiers ( ou des rationnels ) ?

_________________
Contre la bêtise, les dieux eux mêmes luttent en vain.
Ni centidieux, ni centimètres.

verdurin
Niveau 10


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par svain le Mar 5 Jan 2016 - 0:19

Moi j'ai ça cher Ycombe.
Une infinité de triplets Pythagoriciens s'écrivent sous la forme (2k^2+2k+1;4k^2+4k+1; 2k^2+2k ) avec k entier naturel ..
Sans algo...
Svain

svain
Niveau 1


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par dasson le Mar 5 Jan 2016 - 0:28

Une génération géométrique qui vous intéressera peut-être :
http://rdassonval.free.fr/flash/geotriplets.swf
Une présentation vidéo sur
http://rdassonval.free.fr/flash/flash2015_4.html

dasson
Niveau 5


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par svain le Mar 5 Jan 2016 - 0:39

Le maître nageur et tout ça, ce n'est pas pour moi...
Mais bon courage pour le sauvetage ;-)

svain
Niveau 1


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par verdurin le Mar 5 Jan 2016 - 1:02

@svain a écrit:Moi j'ai ça cher Ycombe.
Une infinité de triplets Pythagoriciens s'écrivent sous la forme (2k^2+2k+1;4k^2+4k+1; 2k^2+2k ) avec k entier naturel ..
Sans algo...
Svain
Tous les triplets pythagoriciens s'écrivent sous la forme (2uv, u²-v², u²+v²) avec u et v entiers u>v.
Il suffit de regarder les intersections du  cercle trigonométrique avec une droite passant par (-1;0) pour le voir.
C'est l’expression de cos x et sin x en fonction de tan(x/2).


Dernière édition par verdurin le Mar 5 Jan 2016 - 1:06, édité 1 fois

_________________
Contre la bêtise, les dieux eux mêmes luttent en vain.
Ni centidieux, ni centimètres.

verdurin
Niveau 10


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par svain le Mar 5 Jan 2016 - 1:05

Je le sais... Et alors?

svain
Niveau 1


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par verdurin le Mar 5 Jan 2016 - 1:08

Alors, quel est l’intérêt de ce que tu as écrit plus haut ?

_________________
Contre la bêtise, les dieux eux mêmes luttent en vain.
Ni centidieux, ni centimètres.

verdurin
Niveau 10


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par svain le Mar 5 Jan 2016 - 1:13

D'abord on ne se connait pas, d'une part, donc je n'aime pas ce ton péremptoire.
D'autre part, je donne une formule explicite qui demande peu de connaissances en arithmétique pour expliciter ce résultat, contrairement à ta solution.
voili voulou.

svain
Niveau 1


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par svain le Mar 5 Jan 2016 - 1:20

pardon, et en trigonométrie...
J'utilise un peu d'algèbre et d'arithmétique... C'est ce qui est intéressant dans le résultat.

svain
Niveau 1


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par svain le Mar 5 Jan 2016 - 1:37

1) j'utilise l'algèbre: (k+1)^2-k^2=2k+1
2) l'arithmétique : un nombre est impair ssi son carré est impair
Pas de trigo là-dedans. Bien cordialement.

svain
Niveau 1


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par leskhal le Mar 5 Jan 2016 - 9:28

@verdurin a écrit:
@svain a écrit:Moi j'ai ça cher Ycombe.
Une infinité de triplets Pythagoriciens s'écrivent sous la forme (2k^2+2k+1;4k^2+4k+1; 2k^2+2k ) avec k entier naturel ..
Sans algo...
Svain
Tous les triplets pythagoriciens s'écrivent sous la forme (2uv, u²-v², u²+v²) avec u et v entiers u>v.
Il suffit de regarder les intersections du  cercle trigonométrique avec une droite passant par (-1;0) pour le voir.
C'est l’expression de cos x et sin x en fonction de  tan(x/2).
Pas tout à fait : tous les triplets pythagoriciens primitifs ( pgcd(a,b,c)=1 ) s'écrivent de cette façon, avec u et v premiers entre eux et de parités contraires.
La formule générale est (2kuv, k(u^2-v^2), k(u^2+v^2)) avec k parcourant IN et u et v premiers entre eux de parités contraires.

_________________
pingouin Dans consensus, la première syllabe prend trop de place. pingouin

leskhal
Niveau 10


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par ycombe le Mar 5 Jan 2016 - 14:49

On se calme. On ne va quand même pas s'écharper pour des triplets pythagoricens.

La formule que j'utilise est ( (rk²-rd²)/2, (rk²+rd²)/2, rk×rd ), avec rk>rd et rk et rd impairs premiers entre eux. Pas besoin de trigo pour y parvenir. Et en suivant le même raisonnement, on n'a pas besoin de trigo pour arriver à (2uv, u²-v², u²+v²):
Spoiler:

Commençons par remarquer que dans le triplet pythagoricien primitif ordonné (a,b,c), l'hypoténuse c est impaire est les cathètes a et b sont de parités contraires. Appelons n celui qui est impair.

Posons d=c-n. Il n'échappera à personne que d est pair, il existe donc k entier tel que d=2k.

on a donc c=n+2k et n qui sont les deux membres impairs du triplet. La différence de leur carré est égale au carré du cathète pair:
(n+2k)²-n² = 4k(n + k) est donc un carré parfait.

Comme le triplet est primitif, k et k+n sont nécessairement premiers entre eux. Il en résulte que k et k+n sont des carrés. Posons v²=k et u²=k+n. Comme k et n+k sont premiers entre eux de parités inverses il en va de même de u et v.

On a alors n = u² - v², c=n+2k=u²+v², et le troisième membre du triplet est la racine de 4u²v², donc 2uv.

On obtient bien (2uv, u² - v², u² + v²), avec u et v de parités inverses et premiers entre eux.

Pourquoi sortir la trigo pour si peu?

Remarque: on a montré en passant que la différence entre les deux membres impairs du triplet est le double d'un carré parfait. On montre de même que la différence de l'hypoténuse avec le cathète pair est un carré parfait impair. On ne peut donc pas avoir n'importe quoi comme écart entre les membres d'un triplet pythagoricien primitif.

Edit: c'est l'analyse. La synthèse est laissée à titre d'exercice.


Dernière édition par ycombe le Mar 5 Jan 2016 - 15:15, édité 2 fois

_________________
Ronin : "A un moment il faut dire stop au n'importe quoi".

Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".

ycombe
Modérateur


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par jaybe le Mar 5 Jan 2016 - 15:04

Difficile de ne pas penser aux premières pages du "théorie algébrique des nombres" de Samuel. Souvenirs...

_________________
Wir müssen wissen, wir werden wissen

jaybe
Niveau 6


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par ycombe le Mar 5 Jan 2016 - 15:14

@svain a écrit:Moi j'ai ça cher Ycombe.
Une infinité de triplets Pythagoriciens s'écrivent sous la forme (2k^2+2k+1;4k^2+4k+1; 2k^2+2k ) avec k entier naturel ..
Sans algo...
Svain
Avec k=1 on trouve (5, 9, 4). Je pense que tu as une erreur dans ta formule.

_________________
Ronin : "A un moment il faut dire stop au n'importe quoi".

Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".

ycombe
Modérateur


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par Avatar des Abysses le Mar 5 Jan 2016 - 17:23

je crois que svain les as déjà élevés au carré, on a bien a+c=b pour le triplet ( a,b,c )

_________________
Il y a 10 catégories de personnes ceux qui connaissent le binaire ... et les autres.
N'écoutez pas les bruits du monde, mais le silence de l'âme. ( JCVD )

Avatar des Abysses
Niveau 7


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par jaybe le Mar 5 Jan 2016 - 18:40

@Avatar des Abysses a écrit:je crois que svain les as déjà élevés au carré, on a bien a+c=b pour le triplet ( a,b,c )
Euh, on ne le croise pas très souvent, l'entier dont le carré vaut 5...

_________________
Wir müssen wissen, wir werden wissen

jaybe
Niveau 6


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par Avatar des Abysses le Mar 5 Jan 2016 - 19:18

Oui ^^ d'ailleurs il n' y a pas beaucoup de combinaisons entière qui vérifient a+b=c et a²+b²=c²

_________________
Il y a 10 catégories de personnes ceux qui connaissent le binaire ... et les autres.
N'écoutez pas les bruits du monde, mais le silence de l'âme. ( JCVD )

Avatar des Abysses
Niveau 7


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par svain le Mer 6 Jan 2016 - 0:00

Oui, j'ai merdé!  Very Happy
C'est (2k^2+2k+1; 2k^ 2+2k;2k+1).
Bien à vous.

svain
Niveau 1


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par svain le Mer 6 Jan 2016 - 0:08

Et effectivement, il y en avait bien un élevé au carré: 4k^2+4k+1... Pour le reste, ça fait des triangles "assez moches"...

svain
Niveau 1


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par leskhal le Mer 6 Jan 2016 - 20:10

Histoire de fêter la nouvelle année : trouver le triangle pythagoricien d'aire 2016 (il n'y a qu'une solution).

Mes élèves de TS spé maths ont mis moins de 5 minutes.

_________________
pingouin Dans consensus, la première syllabe prend trop de place. pingouin

leskhal
Niveau 10


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par verdurin le Ven 8 Jan 2016 - 19:29

Par quelle méthode ?

Il y a un triangle rectangle que j'aime bien : (20;21;29)

_________________
Contre la bêtise, les dieux eux mêmes luttent en vain.
Ni centidieux, ni centimètres.

verdurin
Niveau 10


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par leskhal le Ven 8 Jan 2016 - 19:33

@verdurin a écrit:Par quelle méthode ?

je l'ai fait par les diviseurs de 2016 et les triangles (2kab, k(a^2 - b^2), k(a^2 + b^2)) dont l'aire est k^2ab(a-b)(a+b) mais eux en bidouillant leurs calculatrices, c'est assez mystérieux, ils ne savaient pas expliquer leur méthode...

_________________
pingouin Dans consensus, la première syllabe prend trop de place. pingouin

leskhal
Niveau 10


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par verdurin le Ven 8 Jan 2016 - 19:41

J'ai fait comme toi, ce qui m'a pris plus de cinq minutes, puis je me suis demandé comment faire en étant feignant et j'ai ouvert un tableur. Effectivement, ça prend nettement moins de cinq minutes.

_________________
Contre la bêtise, les dieux eux mêmes luttent en vain.
Ni centidieux, ni centimètres.

verdurin
Niveau 10


Revenir en haut Aller en bas

Re: [Mathématiques] Ma petite lutte contre 3,4,5

Message par JPhMM le Ven 8 Jan 2016 - 20:27

@leskhal a écrit:
@verdurin a écrit:Par quelle méthode ?

je l'ai fait par les diviseurs de 2016 et les triangles (2kab, k(a^2 - b^2), k(a^2 + b^2)) dont l'aire est k^2ab(a-b)(a+b) mais eux en bidouillant leurs calculatrices, c'est assez mystérieux, ils ne savaient pas expliquer leur méthode...
J'ai essayé à la récré de bidouiller le truc. L'idée m'est venue en fumant.

Voilà mon bidouillage :
4032 = 4 x 4 x 4 x 9 x 7

Donc le produit des longueurs des cathètes issues du triplet primitif est 4 x 4 x 4 x 9 x 7 ou 4 x 4 x 9 x 7 ou 4 x 9 x 7 ou 9 x 7

9 x 7 : Considérons des cathètes de longueur 9 et 7, on calcule que la longueur de l’hypoténuse n'est pas entière.
9 x 7 x 4 : Considérons des cathètes de longueur 4 x 9 et 7 ; 9 et 4 x 7 ; 7 x 9 et 4 ; etc, on calcule que la longueur de l'hypoténuse n'est pas entière
9 x 7 x 4 x 4 : etc.
Considérons des cathètes de longueur 4 x 4 et 9 x 7, on calcule que la longueur de l'hypoténuse est entière, de valeur 65.
Donc a = 4 x 4 x 2 = 32 ; b = 9 x 7 x 2 = 126 et c = 65 x 2 = 130.

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

JPhMM
Demi-dieu


Revenir en haut Aller en bas

Page 1 sur 2 1, 2  Suivant

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut


 
Permission de ce forum:
Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum