Définition première du produit scalaire

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par pignolo le Dim 24 Jan 2016 - 23:13

Eh bien moi je trouve la définition avec les normes très naturelle.
Puisque (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 on peut exprimer xy d'une manière qui introduit assez naturellement l'identité de polarisation.

Que ce ne soit pas la forme la plus utile au lycée, ok, mais ça n'en fait pas une mauvaise définition ; par exemple je suppose que vos élèves ne calculent pas la plupart des dérivées en revenant à la limite du taux de variation...

pignolo
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Re: Définition première du produit scalaire

Message par ben2510 le Dim 24 Jan 2016 - 23:25

Laughing Laughing Laughing Laughing Laughing Twisted Evil
Pas après les deux premiers mois.
En fait j'attends qu'ils me disent que leurs collègues des autres 1S utilisent des "formules", je prends l'air étonné et très intéressé, et je leur demande de m'en dire plus. A partir du moment où ils me les ont prouvées, j'admets leur utilisation.

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par Ilona le Dim 24 Jan 2016 - 23:32

Ayant toujours été férue de mathématiques,je vous remercie chers collègues pour ce débat intéressant.

Ilona
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Re: Définition première du produit scalaire

Message par ben2510 le Dim 24 Jan 2016 - 23:42

En ce moment, je travaille la forme trigonométrique d'un complexe avec mes TS.
Lors de la dernière séance, j'ai réussi à placer le travail d'une force, la puissance comme dérivée du travail (c'est beau comme du (Groucho) Marx), bien sûr la vitesse comme dérivée de la position, et l'utilisation des complexes pour résoudre des ED en électricité (sur ce dernier point, il faudra que je revienne). La Physique est un terrain de jeux fructueux.

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par Moonchild le Dim 24 Jan 2016 - 23:46

@ben2510 a écrit:Ça se défend, mais pourquoi ce xx'+yy' ?
Comment tu motives cette formule ?
Et tu prouves comment le lien entre le signe et l'angle obtus/droit/aigü ?
Je préfère attaquer par des longueurs (des normes de vecteurs mais sans le dire) en particulier la norme de la différence est l' "hypoténuse présumée", fondamentalement ce n'est qu'un approfondissement de quatrième.
Il est bien sûr possible ensuite de prendre la forme analytique comme définition, mais je préfère avoir démontré d'abord que les quatre formes ont la même signification.
La formule xx'+yy' apparaît très naturellement lorsqu'on cherche un critère analytique d'orthogonalité : on prend M et N tels que u=vec(OM) et v=vec(ON), en écrivant que le triangle OMN est rectangle ssi OM²+ON²=MN², on arrive vite à l'équivalence avec xx'+yy'=0.

A partir cette définition du produit scalaire, on obtient sans difficulté la bilinéarité et donc les formules analogues aux identités remarquables. Cela permet de retrouver les formules du produit scalaire avec les normes de la somme u+v ou de la différence u-v qui seraient presque anecdotiques si elles ne montraient pas au passage que la valeur du produit scalaire ne dépend pas du choix du repère mais uniquement de l'unité de longueur.

Pour retrouver la formule du cosinus, il suffit alors de choisir un repère orthonormé dont l'axe des abscisses est dirigé par le vecteur u et, avec un peu de trigonométrie (cercle trigo et angles orientés), on trouve les coordonnées de u et v dans ce repère (en fait on utilise sans le dire les coordonnées polaires) ; arrivé là, le résultat est immédiat et on peut discuter du signe du produit scalaire selon que l'angle est aigu, droit ou obtus.

La formule avec projection arrive à la fin et, à vrai dire, je ne sais plus trop quoi en faire de vraiment intéressant dans le programme actuel puisque la plupart du temps elle peut être contournée par une décomposition vectorielle et l'application de la bilinéarité. Cette formule prend son sens en physique dans le cadre du travail d'une force, mais vu ce qu'il reste de la physique au lycée aujourd'hui...

Je crois que, dans le fond, la principale différence entre nos approches est que j'étale davantage dans le temps la découverte de ces différentes formules du produit scalaire.

Moonchild
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Re: Définition première du produit scalaire

Message par ben2510 le Dim 24 Jan 2016 - 23:50

OK.
Bon en fait je fais la condition analytique d'orthogonalité bien avant (en seconde, avec la démonstration par Pythagore (version géo ana), et en 1S début octobre avec les vecteurs, après les TSD et avant les suites). Le p.s. n'arrive que fin novembre, après la dérivation.
On peut alors dire que j'étale aussi !

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par leskhal le Lun 25 Jan 2016 - 7:13

@Moonchild a écrit:Les premières années où je faisais ce niveau, je définissais le produit scalaire avec les normes, en lien avec la question de l'orthogonalité ; mais cela semblait tellement traumatiser certains élèves qu'ils me ressortaient cette définition à tout bout de champ, y compris - et surtout ? - lorsqu'elle ne servait à rien. En fait, cette formule réussit l'exploit d'être la moins utile en pratique à ce niveau tout en étant la plus ésotérique (la norme d'une somme ou d'une différence de deux vecteurs est un objet que les élèves d'aujourd'hui appréhendent très mal). Face à ce fiasco, j'ai dû réfléchir à un autre choix.

J'avais aussi constaté que la définition par projection orthogonale passait très mal, ce qui n'a rien de surprenant car la notion de projection n'a pas vraiment été étudiée auparavant donc on a un effet de "double nouveauté" (comme quand fait découvrir aux élèves la notion de limite lors de l'introduction du nombre dérivé) et concrètement j'avais observé que cette formule est une source d'erreurs à répétition chez beaucoup d'élèves qui l'appliquent en projetant les deux vecteurs sur une troisième direction. De plus, je trouve que, sans les mesures algébriques, la démonstration de la bilinéarité du produit scalaire à partir de cette définition est très fastidieuse (j'ai toujours trouvé très barbantes les démonstrations avec d'interminables disjonctions de cas suivant les positions respectives de divers points).

La formule du cosinus est intéressante pour sa simplicité et ses applications en physique, mais je n'ai pas trouvé de manière simple de démontrer la bilinéarité en partant de cette définition.

Il reste donc la formule analytique : initialement, ça m'embêtait un peu de proposer une définition qui semblait à première vue dépendre du choix du repère, mais finalement c'est celle que je trouve la plus commode à l'usage :
- elle permet d'en déduire assez simplement la bilinéarité ainsi que toutes les autres formules ;
- on peut l'introduire en lien avec l'orthogonalité, en exprimant les longueurs en fonction des coordonnées ;
- concrètement, c'est celle que les élèves utiliseront le plus en maths au niveau bac, en particulier dans sa version "espace" ;
- l'indépendance par rapport au choix du repère est très facile à démontrer a posteriori, ce qui lève l'écueil qui m'avait rebuté au départ.
Donc, adjugé-vendu pour la définition analytique.
Voilà, tout est dit de mon point de vue, si ce n'est que j'ai toujours commencé par la formule analytique, suspectant sans les essayer les autres méthodes de produire les ennuis décrits. topela

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pingouin Dans consensus, la première syllabe prend trop de place. pingouin

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par Finrod le Lun 25 Jan 2016 - 7:59

+1000 il faut faire trèèèèès simple.

Quand je récupère des élèves en CPGE le simple mot "produit scalaire" leur est inconnu la plupart du temps et quand ils le connaissent ils ne savent pas quoi mettre derrière, sauf une minorité.

Le problème est bien entendu lié à leur manière de travailler car ils pensent que l'on est efficace lorsque le travail se fit facilement et que l'on a une mauvaise méthode s'il faut fournir un effort important (d'où leur réplique phare : "mais il y a une astuce ?"). Tout s'oublie en deux semaines... car malheureusement le travail sans efforts est superficiel et s'efface et seul le travail qui a nécessite un effort soutenu laisse une trace durable.



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Re: Définition première du produit scalaire

Message par Carrie7 le Mer 27 Jan 2016 - 18:01

@Finrod a écrit:+1000 il faut faire trèèèèès simple.

Quand je récupère des élèves en CPGE le simple mot "produit scalaire" leur est inconnu la plupart du temps et quand ils le connaissent ils ne savent pas quoi mettre derrière, sauf une minorité.

Le problème est bien entendu lié à leur manière de travailler car ils pensent que l'on est efficace lorsque le travail se fit facilement et que l'on a une mauvaise méthode s'il faut fournir un effort important (d'où leur réplique phare : "mais il y a une astuce ?"). Tout s'oublie en deux semaines... car malheureusement le travail sans efforts est superficiel et s'efface et seul le travail qui a nécessite un effort soutenu laisse une trace durable.



Pas des math sup tout de même ?

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par Avatar des Abysses le Jeu 28 Jan 2016 - 2:07

sisi... cafe

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par Samuel DM le Jeu 28 Jan 2016 - 17:54

Pour le fun: qui fait Cauchy-Schwarz ?

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par ben2510 le Jeu 28 Jan 2016 - 21:01

Un exo classique de première, qui croise discriminant et produit scalaire :-)

La vraie question est : qui fait Gram-Schmidter des bases ?

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par Carrie7 le Jeu 28 Jan 2016 - 21:20

@Avatar des Abysses a écrit:sisi... cafe

Ouille !
ça laisse songeur !

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par ben2510 le Jeu 28 Jan 2016 - 21:49

Tu fais quoi, AdA ?
Tu les rétrogrades en 1ère ?

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par Samuel DM le Ven 29 Jan 2016 - 18:54

Je l'avais mis initialement dans mes cours mais je l'ai viré plus tard, pensant que j'avais poussé le bouchon un peu trop loin Wink

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par Avatar des Abysses le Mar 2 Fév 2016 - 18:28

Petit extrait du très bon livre de bertrand Hauchecorne ( que tout le monde devrait avoir chez soi Smile ) "Les contre-exemples en mathématiques" page 333 ex 17.22 :

le conjugué de a sera noté a

"Nous considérons l'espace préhilbertien complexe obtenu en munissant l'espace vectoriel C² du produit scalaire complexe cannonique (.|.) défini, si x=(x1,x2) et y=(y1,y2) sont des vecteurs de C², par (x|y)= x1y1+x2y2. Donc pour tout vecteur x=(x1,x2), on a ||x||²=|x1|²+|x2|².
Posons u=(1,1) et v=(i,i) alors u+v=(1+i,1+i),||u||²=||v||²=1+1=2 et ||u+v||²=|1+i|²+|1+i|²=2+2=4 donc ||u||²+||v||²=||u+v||².

OR (u|v)= 1 x i + 1 x i = 2i qui n'est pas nul donc u et v ne sont pas orthogonaux."

En fait, si u et v sont orthogonaux dans un espace préhilbertien alors on a ||u||²+||v||²=||u+v||². Mais la réciproque n'est vraie que dans un espace préhilbertien réél.

Pour moi, utiliser la réciproque d'un théorème qui n'est pas toujours vraie pour donner une définition, cela peut générer pas mal de problèmes et une perte de temps, puisqu'il faudra au final apprendre deux ans plus tard la vraie définition.


Dernière édition par Avatar des Abysses le Mer 3 Fév 2016 - 0:55, édité 1 fois

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par BR le Mar 2 Fév 2016 - 20:52

AdA objecte le fait que les propriétés proposées pour caractériser le produit scalaire sont fausses dans les espaces hermitiens. Comme la notion d'espace hermitien est explicitement hors programme en CPGE :

Programme officiel de CPGE a écrit:
Toute notion sur les espaces préhilbertiens complexes est hors programme.

(cf page 13 du programme officiel de MP) je crois bien que l'objection d'AdA n'ait guère de sens : la notion d'espace préhilbertien complexe n'existe tout simplement plus dans le supérieur.

BR
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Re: Définition première du produit scalaire

Message par Avatar des Abysses le Mer 3 Fév 2016 - 0:54

Ce n'est pas parce qu'une notion n'est plus au programme qu'elle n'existe plus.

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par Samuel DM le Mer 3 Fév 2016 - 11:41

J'imagine que tu ne vas pas alors parler de forme bilinéaire symétrique définie positive, si ?

La logique de la géométrie du secondaire est que l'affine précède le vectoriel. Donc toutes les propriétés liées à l'orthogonalité dans le plan euclidien (et en particulier le théorème de Pythagore) sont des prérequis pour le chapitre du produit scalaire canonique dans R².

Puisque la norme a été étudiée en seconde (la norme de u est la longueur du segment [AB] où AB est un représentant de u), il me semble logique d'introduire le produit scalaire par les normes.

Samuel DM
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Re: Définition première du produit scalaire

Message par ben2510 le Mer 3 Fév 2016 - 16:38

Bah la bilinéarité du ps est dans le cours de 1S, autant la nommer correctement.
Idem pour la symétrie.
Par contre pour "définie positive" ça peut attendre le supérieur.

Sur le fait de lier ps et forme hermitienne, je crois que le problème est posé à l'envers ; une bonne acquisition de la notion de ps permet ensuite d'avoir un point d'appui pour élargir à la notion de forme hermitienne.

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par Fritz le Dim 1 Mai 2016 - 23:44

Bonjour,

je préfère "déterrer" ce sujet plutôt que d'en ouvrir un autre. J'aurais une simple question, quelqu'un peut-il me rappeler la différence entre "commutatif" et "symétrique"?

Car dans les différents articles et cours on lit les deux " le produit scalaire est commutatif " ou "le produit scalaire est symétrique" donc je voulais savoir la nuance.

Il me semble que cela se situe au niveau des loi internes et externes, j'explique mon point de vue:

La commutativité est réservée aux lois internes, or ici le produit scalaire n'est pas commutatif (car le produit scalaire de deux vecteurs est un réel).
Donc on doit dire que le produit scalaire est symétrique mais pas qu'il est commutatif.

Est-ce bien cela?


Dernière édition par Fritz le Lun 2 Mai 2016 - 11:30, édité 1 fois

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par Avatar des Abysses le Lun 2 Mai 2016 - 2:44

Pour être précis ... tu as raison la commutativité est à priori réservé aux lois internes ( enfin d'après mes sources )

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par Fritz le Lun 2 Mai 2016 - 11:30

Merci Avatar des Abysses. Je trouve quand même étrange de voir très souvent marqué "commutatif".

Fritz
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Re: Définition première du produit scalaire

Message par Dedale le Lun 2 Mai 2016 - 14:09

Je viens de bricoler un bout de document à la va-vite, dans le but de faire un rattrapage en TS sur le produit scalaire. (La joie d'avoir des élèves ayant eu un contractuel défaillant en 1S ... enfin bref, ce n'est pas le sujet.)

Que pensez-vous d'introduire simultanément les 3 expressions géométriques courantes du produit scalaire, en tant que défaut d'orthogonalité, à partir d'une démonstration générale du théorème d'Al-Kashi ? Quitte à en déduire immédiatement après (et rapidement) l'expression analytique et toutes les propriétés usuelles du produit scalaire.

Tout ceci dans le but de faire un cours le plus concis possible afin de faire des exos, et encore des exos.

Je vous joins un bout de document (non finalisé) qui correspondrait à l'introduction des trois formes.
Fichiers joints
Rattrapage 1S - Produit scalaire.pdf Vous n'avez pas la permission de télécharger les fichiers joints.(195 Ko) Téléchargé 29 fois

Dedale
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Re: Définition première du produit scalaire

Message par ben2510 le Lun 2 Mai 2016 - 19:04

C'est comme ça que je fais avec mes 1S, en tout cas.
Ensuite j'établis les diverses propriétés à partir de la forme analytique.

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Re: Définition première du produit scalaire

Message par Dedale le Lun 2 Mai 2016 - 19:17

@ben2510 a écrit:C'est comme ça que je fais avec mes 1S, en tout cas.
Ensuite j'établis les diverses propriétés à partir de la forme analytique.

Merci du retour. Smile Au moins, cela me confirme que ce n'est pas complètement aberrant (même si on s’éloigne, au premier abord, de la définition universitaire par les formes bilinéaires symétriques).

Dedale
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