Petits problèmes de mathématiques

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Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mar 16 Fév 2016 - 15:03

Démontrer que si n est un nombre naturel dont l'écriture décimale (finie) est constituée de ab chiffres 1 avec a, b > 1 (sous-entendu, donc : et aucun autre chiffre) alors n n'est pas premier.

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mar 16 Fév 2016 - 15:32

Je me demande si en généralisant à toute écriture (finie) de base k on obtiendrait pas une jolie spirale. scratch

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par invitéW le Mar 16 Fév 2016 - 15:33

Je ne comprends même pas la question humhum

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mar 16 Fév 2016 - 15:37

Will.T a écrit:Je ne comprends même pas la question humhum
En termes plus simples : démontrer que les nombres 1 111, 11 1111, 11 111 111, 111 111 111, 1 111 111 111, etc. (tout nombre ne s'écrivant qu'avec un nombre non premier (et supérieur à 3) de 1, est lui-même non premier.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par invitéW le Mar 16 Fév 2016 - 15:41

Ils sont tous divisibles par 11 non ?

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par Laverdure le Mar 16 Fév 2016 - 15:44

@JPhMM a écrit:Démontrer que si n est un nombre naturel dont l'écriture décimale (finie) est constituée de ab chiffres 1 avec a, b > 1 (sous-entendu, donc : et aucun autre chiffre) alors n n'est pas premier.

@JPhMM a écrit:
Will.T a écrit:Je ne comprends même pas la question humhum
En termes plus simples : démontrer que les nombres 1 111, 11 1111, 11 111 111, 111 111 111, 1 111 111 111, etc. (tout nombre ne s'écrivant qu'avec un nombre non premier (et supérieur à 3) de 1, est lui-même non premier.

Question bête d'un non matheux et qui n'est pas sûr de bien comprendre de quoi on parle (je vous autorise à m'envoyer gentiment balader Very Happy ) : pourquoi a-t-on besoin de formuler ça avec "ab chiffres 1" ? On ne peut simplement dire "constituée de k chiffres 1, k > 3 et non premier" ?

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mar 16 Fév 2016 - 15:45

Pas 111 111 111, par exemple, mais tu as une piste très sérieuse. Wink

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mar 16 Fév 2016 - 15:46

@Laverdure a écrit:
@JPhMM a écrit:Démontrer que si n est un nombre naturel dont l'écriture décimale (finie) est constituée de ab chiffres 1 avec a, b > 1 (sous-entendu, donc : et aucun autre chiffre) alors n n'est pas premier.

@JPhMM a écrit:
Will.T a écrit:Je ne comprends même pas la question humhum
En termes plus simples : démontrer que les nombres 1 111, 11 1111, 11 111 111, 111 111 111, 1 111 111 111, etc. (tout nombre ne s'écrivant qu'avec un nombre non premier (et supérieur à 3) de 1, est lui-même non premier.

Question bête d'un non matheux et qui n'est pas sûr de bien comprendre de quoi on parle (je vous autorise à m'envoyer gentiment balader Very Happy ) : pourquoi a-t-on besoin de formuler ça avec "ab chiffres 1" ? On ne peut simplement dire "constituée de k chiffres 1, k > 3 et non premier" ?
Pour indiquer une piste possible de démonstration, en utilisant ab précisément.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par invitéW le Mar 16 Fév 2016 - 15:54

@JPhMM a écrit:Pas 111 111 111, par exemple, mais tu as une piste très sérieuse. Wink
Lui ilest divisible par 111.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mar 16 Fév 2016 - 15:56

En effet.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mar 16 Fév 2016 - 15:58

Et 111 111 111 111 111 est divisible par 111 et par 11 111 (entre autres) Rolling Eyes

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par invitéW le Mar 16 Fév 2016 - 15:59

Oui, ils spnt tous divisibles par un nombre contenant un certain nombre de 1

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mar 16 Fév 2016 - 16:01

Mais quel est ce (certain) nombre ?
Et il faut produire une démonstration pour le cas général. Very Happy

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par invitéW le Mar 16 Fév 2016 - 16:05

Là. Je suis en mode "grosse larve en vacances", je me contente de répondre au feeling Smile

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par Laverdure le Mar 16 Fév 2016 - 16:19

@JPhMM a écrit:Et 111 111 111 111 111 est divisible par 111 et par 11 111 (entre autres) Rolling Eyes

Will.T a écrit:Oui, ils spnt tous divisibles par un nombre contenant un certain nombre de 1

Will.T a écrit:Là. Je suis en mode "grosse larve en vacances", je me contente de répondre au feeling Smile

Le nombre qui comporte 15 chiffres 1 est divisible par un nombre qui en comporte 3 et un autre qui comporte 5 et 3x5 = 15, c'est un hasard ? (je suis déjà sorti, je ne fais que passer Very Happy sorciere2 )

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par mathmax le Mar 16 Fév 2016 - 16:38

Le nombre composé de ab 1 est divisible par le nombre composé de a nombre 1 ?

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mar 16 Fév 2016 - 16:42

@Laverdure a écrit:
@JPhMM a écrit:Et 111 111 111 111 111 est divisible par 111 et par 11 111 (entre autres) Rolling Eyes

Will.T a écrit:Oui, ils spnt tous divisibles par un nombre contenant un certain nombre de 1

Will.T a écrit:Là. Je suis en mode "grosse larve en vacances", je me contente de répondre au feeling Smile

Le nombre qui comporte 15 chiffres 1 est divisible par un nombre qui en comporte 3 et un autre qui comporte 5 et 3x5 = 15, c'est un hasard ? (je suis déjà sorti, je ne fais que passer Very Happy sorciere2 )
Ce n'est pas un hasard.

@mathmax a écrit:Le nombre composé de ab chiffres 1 est divisible par le nombre composé de a chiffres 1 ?
Oui en effet.
Pourquoi ?

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par mathmax le Mar 16 Fév 2016 - 16:54

Le nombre X composé de x 1 est égal à (10^x-1)/9, et
10^ab -1 est divisible par 10^a -1, donc X est divisible par A.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par leskhal le Mar 16 Fév 2016 - 16:55

factorisation de (10^(ab) - 1)/9 par 10^b - 1 puisque x^y - 1 est un multiple de x-1 pour x >= 2
classique.
grillé.


Dernière édition par leskhal le Mar 16 Fév 2016 - 17:03, édité 1 fois

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mar 16 Fév 2016 - 17:01

Je ne pensais pas à rn-1 est divisible par r-1 pour démontrer cela, et ta démonstration est plus élégante que celle que j'avais trouvée. Very Happy

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par M23 le Mar 16 Fév 2016 - 17:04

@JPhMM a écrit:Je ne pensais pas à rn-1 est divisible par r-1 pour démontrer cela, et ta démonstration est plus élégante que celle que j'avais trouvée. Very Happy

Ah, c'était la démo que j'avais aussi. Quelle est "l'autre" que tu avais ?

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par mathmax le Mar 16 Fév 2016 - 17:04

Laverdure : cette démonstration n'est pas possible si k est premier. Par exemple , pour 11 111.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mar 16 Fév 2016 - 17:15

@M23 a écrit:
@JPhMM a écrit:Je ne pensais pas à rn-1 est divisible par r-1 pour démontrer cela, et ta démonstration est plus élégante que celle que j'avais trouvée. Very Happy

Ah, c'était la démo que j'avais aussi. Quelle est "l'autre" que tu avais ?
Je vais l'écrire sur feuille et la scanner, ça ira plus vite.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mar 16 Fév 2016 - 17:22

Si je n'ai pas fait d'erreur sur les indices :


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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par leskhal le Mar 16 Fév 2016 - 17:26

La question de la primalité des repunits à p chiffres (p premier) reste entière : certains le sont, d'autres pas, cf les nombres de Carmichael...

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