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ben2510
Neoprof expérimenté

Re: Petits problèmes de mathématiques

par ben2510 le Mer 2 Nov 2016 - 0:35
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ycombe
Modérateur

Re: Petits problèmes de mathématiques

par ycombe le Mer 2 Nov 2016 - 8:56
@ben2510 a écrit:
Je l'ai par l'algèbre, je ne vois pas de solution purement géométrique Sad .

_________________
Assurbanipal: "Passant, mange, bois, divertis-toi ; tout le reste n’est rien".

Franck Ramus : "Les sciences de l'éducation à la française se font fort de produire un discours savant sur l'éducation, mais ce serait visiblement trop leur demander que de mettre leur discours à l'épreuve des faits".
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ben2510
Neoprof expérimenté

Re: Petits problèmes de mathématiques

par ben2510 le Mer 2 Nov 2016 - 10:29
@ycombe a écrit:
@ben2510 a écrit:
Je l'ai par l'algèbre, je ne vois pas de solution purement géométrique  Sad .

Pas de solution géo non plus pour l'instant (à part en géo ana, évidemment).
Par contre tan(a-b)=... permet de conclure en une ligne.

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On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré  La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold
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Bolzano
Niveau 5

Re: Petits problèmes de mathématiques

par Bolzano le Mer 2 Nov 2016 - 10:45
C'est vraiment dur pour un collégien, je trouve, étant donné la quantité de connaissances à mettre en œuvre. Voici une solution d'autant plus élémentaire qu'elle est éloignée de ce que peut produire un élève.

Une solution par les aires:

1) Les triangles ABF et ADE sont superposables, donc ont les mêmes angles. Cela entraîne que le triangle AGD est rectangle en G. Ainsi, DGF est bien un triangle rectangle. Reste à voir dans quelles proportions.
2) Choisissons l'unité de longueur de sorte que DF = AF = DE = 5 (on fait confiance à l'énoncé). En calculant l'aire de ADE de deux façons, on voit que AG.DE=AD.AE=AD²/2.
Mais avec notre convention DE = 5, Pythagore dans ADE donne AD²=20. Autrement dit, nous avons obtenu 5AG=10 ou encore AG=2 et GF=3. CQFD.

par la trigo:

Edit : Effectivement, c'est immédiat avec la trigonométrie comme le fait remarquer ben2510. Autant l'écrire : en notant x l'angle ADE, on a t:=tan x=1/2 et AFD=2x, d'où tan(GFD) = tan(2x) = 2t/(1-t²) = 4/3 (ben2510 utilise plutôt tan(a-b), lui).
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ben2510
Neoprof expérimenté

Re: Petits problèmes de mathématiques

par ben2510 le Mer 2 Nov 2016 - 11:18
En géo ana, on a G(1/5;2/5) dans (A;D,B) orthonormé, ce qui clôt le problème... (après quelques utilisations de Pythagore).

Plus dur : sans Pythagore et sans trigo Suspect chevalier

Remarque : qui fait encore les formules "de la demi-tangente" au lycée ?

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Sacapus
Niveau 10

Re: Petits problèmes de mathématiques

par Sacapus le Mer 2 Nov 2016 - 11:27
Sans Pythagore, et sans trigo :
Il suffit de montrer que :
DG = 4 EG,
FG = 3 EG,
et FD = 5 EG

Ou de montrer seulement deux des trois égalités, et de prouver que FGD est rectangle en G.

Le triangle ADE est l’image de ABF par une rotation de centre O (centre du carré) et d’angle droit. Donc leurs hypoténuses sont orthogonales, donc l’angle Ĝ est droit.

Considérons le triangle AGE : il possède avec le triangle ABF deux angles de même mesure : un angle droit, et l’angle Â. Le triangle AGE est donc homothétique au triangle ABF. Comme lui, donc, la longueur de sa grande cathète vaut le double de la longueur de la petite cathète.
Donc AG = 2 EG.


Considérons le triangle AGD : on montre de même qu’il homothétique au triangle ADE. Donc, la longueur de sa grande cathète vaut le double de la longueur de la petite cathète, c’est-à-dire :
GD = 2 AG
Donc GD = 4 EG

Comme la figure montre que ED = EG + GD, on déduit que ED = 5 EG, et comme FD = EG,
FD = 5 EG.

Voilà qui suffit. Mais on peut continuer :
Sur le segment AF, on a FG + AG = AF = 5 EG.
Donc FG = 5 EG - AG = 5 EG - 2 EG
Donc FG = 3 EG.


Dernière édition par Sacapus le Mer 2 Nov 2016 - 11:51, édité 1 fois
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Bolzano
Niveau 5

Re: Petits problèmes de mathématiques

par Bolzano le Mer 2 Nov 2016 - 11:49
C'est clair et élégant.

Edit. Quant au calcul de l'aire en jaune posté par ycombe, on ne peut sans doute pas faire plus simple que la solution présentée dans cette vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=GNJzhNBy7v8.
J'aimerais que mes élèves raisonnent aussi vite et bien que l'enfant qu'on y voit résoudre le problème.
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ben2510
Neoprof expérimenté

Re: Petits problèmes de mathématiques

par ben2510 le Mer 2 Nov 2016 - 15:11
@Sacapus a écrit:Sans Pythagore, et sans trigo :
Il suffit de montrer que :
DG = 4 EG,
FG = 3 EG,
et FD = 5 EG

Ou de montrer seulement deux des trois égalités, et de prouver que FGD est rectangle en G.

Le triangle ADE est l’image de ABF par une rotation de centre O (centre du carré) et d’angle droit. Donc leurs hypoténuses sont orthogonales, donc l’angle Ĝ est droit.

Considérons le triangle AGE : il possède avec le triangle ABF deux angles de même mesure : un angle droit, et l’angle Â. Le triangle AGE est donc homothétique au triangle ABF. Comme lui, donc, la longueur de sa grande cathète vaut le double de la longueur de la petite cathète.
Donc AG = 2 EG.


Considérons le triangle AGD : on montre de même qu’il homothétique au triangle ADE. Donc, la longueur de sa grande cathète vaut le double de la longueur de la petite cathète, c’est-à-dire :
GD = 2 AG
Donc GD = 4 EG

Comme la figure montre que ED = EG + GD, on déduit que ED = 5 EG, et comme FD = EG,
FD = 5 EG.

Voilà qui suffit. Mais on peut continuer :
Sur le segment AF, on a FG + AG = AF = 5 EG.
Donc FG = 5 EG - AG = 5 EG - 2 EG
Donc FG = 3 EG.

veneration

Au fait, les cas d'égalité de triangles, et les cas de similitude, c'est au programme quelque part en ce moment ? (Avant le bac+4, j'entends)
C'est sorti du programme de seconde en 2010, en même temps que les similitudes sont sorties du programme de TS spé.


Dernière édition par ben2510 le Mer 2 Nov 2016 - 15:14, édité 1 fois

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kioupsPBT
Niveau 9

Re: Petits problèmes de mathématiques

par kioupsPBT le Mer 2 Nov 2016 - 15:12
C'est au programme du cycle 4.
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ben2510
Neoprof expérimenté

Re: Petits problèmes de mathématiques

par ben2510 le Mer 2 Nov 2016 - 15:18
@kioupsPBT a écrit:C'est au programme du cycle 4.

Il y a des contenus dans les nouveaux programmes ? Je veux dire, des contenus précis ?
Ce n'est pas ce que disent certains inspecteurs généraux, qui parlent beaucoup de "compétences".

Est-ce que le programme est suffisamment explicite pour qu'on soit certain de pouvoir s'appuyer sur la notion en seconde, ou bien est-ce que c'est du même ordre que pour les rotations, translations et homothéties ?

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ycombe
Modérateur

Re: Petits problèmes de mathématiques

par ycombe le Mer 2 Nov 2016 - 15:34
@Sacapus a écrit:Sans Pythagore, et sans trigo :
Il suffit de montrer que :
DG = 4 EG,
FG = 3 EG,
et FD = 5 EG

Ou de montrer seulement deux des trois égalités, et de prouver que FGD est rectangle en G.

Le triangle ADE est l’image de ABF par une rotation de centre O (centre du carré) et d’angle droit. Donc leurs hypoténuses sont orthogonales, donc l’angle Ĝ est droit.

Considérons le triangle AGE : il possède avec le triangle ABF deux angles de même mesure : un angle droit, et l’angle Â. Le triangle AGE est donc homothétique au triangle ABF. Comme lui, donc, la longueur de sa grande cathète vaut le double de la longueur de la petite cathète.
Donc AG = 2 EG.


Considérons le triangle AGD : on montre de même qu’il homothétique au triangle ADE. Donc, la longueur de sa grande cathète vaut le double de la longueur de la petite cathète, c’est-à-dire :
GD = 2 AG
Donc GD = 4 EG

Comme la figure montre que ED = EG + GD, on déduit que ED = 5 EG, et comme FD = EG,
FD = 5 EG.

Voilà qui suffit. Mais on peut continuer :
Sur le segment AF, on a FG + AG = AF = 5 EG.
Donc FG = 5 EG - AG = 5 EG - 2 EG
Donc FG = 3 EG.
veneration Pure géométrie. Bravo!

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ycombe
Modérateur

Re: Petits problèmes de mathématiques

par ycombe le Mer 2 Nov 2016 - 15:42
@Bolzano a écrit:C'est clair et élégant.

Edit. Quant au calcul de l'aire en jaune posté par ycombe, on ne peut sans doute pas faire plus simple que la solution présentée dans cette vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=GNJzhNBy7v8.
J'aimerais que mes élèves raisonnent aussi vite et bien que l'enfant qu'on y voit résoudre le problème.
Le paternel donne la solution directe tout à la fin de la vidéo (à partir de 8 min) (vidéo qui est longue parce qu'on y voit surtout le fils chercher).

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ycombe
Modérateur

Re: Petits problèmes de mathématiques

par ycombe le Mer 2 Nov 2016 - 15:44
@ben2510 a écrit:
@kioupsPBT a écrit:C'est au programme du cycle 4.

Il y a des contenus dans les nouveaux programmes ? Je veux dire, des contenus précis ?
Ce n'est pas ce que disent certains inspecteurs généraux, qui parlent beaucoup de "compétences".

Est-ce que le programme est suffisamment explicite pour qu'on soit certain de pouvoir s'appuyer sur la notion en seconde, ou bien est-ce que c'est du même ordre que pour les rotations, translations et homothéties ?
J'ai suggéré de mettre les triangles égaux en 5e et de s'en servir pour démontrer les grands résultats du cours de géométrie mais non, ce n'est clairement pas le but. C'est du même ordre que les transformations, comme tu dis.


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kioupsPBT
Niveau 9

Re: Petits problèmes de mathématiques

par kioupsPBT le Mer 2 Nov 2016 - 15:45
@ben2510 a écrit:
@kioupsPBT a écrit:C'est au programme du cycle 4.

Il y a des contenus dans les nouveaux programmes ? Je veux dire, des contenus précis ?
Ce n'est pas ce que disent certains inspecteurs généraux, qui parlent beaucoup de "compétences".

Est-ce que le programme est suffisamment explicite pour qu'on soit certain de pouvoir s'appuyer sur la notion en seconde, ou bien est-ce que c'est du même ordre que pour les rotations, translations et homothéties ?

Je n'ai pas encore exploré cette partie du programme. Il n'y a rien de précis dans les textes officiels donc chacun fera à sa sauce. Tout en sachant qu'on sait que ça ne tombera pas au DNB cette année, donc déjà, inutile de compter sur quoi que ce soit pour vous l'an prochain...
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Anaxagore
Guide spirituel

Re: Petits problèmes de mathématiques

par Anaxagore le Mer 2 Nov 2016 - 15:57
@ycombe a écrit:
@ben2510 a écrit:
@kioupsPBT a écrit:C'est au programme du cycle 4.

Il y a des contenus dans les nouveaux programmes ? Je veux dire, des contenus précis ?
Ce n'est pas ce que disent certains inspecteurs généraux, qui parlent beaucoup de "compétences".

Est-ce que le programme est suffisamment explicite pour qu'on soit certain de pouvoir s'appuyer sur la notion en seconde, ou bien est-ce que c'est du même ordre que pour les rotations, translations et homothéties ?
J'ai suggéré de mettre les triangles égaux en 5e et de s'en servir pour démontrer les grands résultats du cours de géométrie mais non, ce n'est clairement pas le but. C'est du même ordre que les transformations, comme tu dis.


C'est complètement aberrant. Si j'étais en collège je sauterais sur l'occasion pour construire le cours de géométrie comme tu le proposes.

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"De même que notre esprit devient plus fort grâce à la communication avec les esprits vigoureux et raisonnables, de même on ne peut pas dire combien il s'abâtardit par le commerce continuel et la fréquentation que nous avons des esprits bas et maladifs." Montaigne

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VinZT
Grand sage

Re: Petits problèmes de mathématiques

par VinZT le Mer 2 Nov 2016 - 16:47
C'est hallucinant. 
Quand on sait que l'épreuve finale (DNB ou Bac) guide en grande partie les enseignements, annoncer officiellement que des points du programme (transformations par exemple) ne seront pas évalués lors de l'épreuve, c'est clairement donner ce signal aux collègues : « ne le faites pas, on s'en fout de ces trucs, on a juste mis ça là pour faire croire qu'on fait encore des trucs intéressants ». 
Les programmes sont tout à la fois flous, inconsistants,  déstructurés, et cela ne dérange pas plus que ça ceux qui sont censés défendre notre discipline (IPR, IG, Apmep); mieux, ils sont en grande partie les promoteurs de cette casse. 
Les soutiers « de base » que nous sommes et même les sociétés savantes tirent la sonnette d'alarme (et depuis un moment déjà) mais rien, nada, peau de zob, ça n'a pas plus d'effet qu'un pet de de manicou dans la savane …

C'est d'autant plus rageant qu'un enseignement consistant des mathématiques ne couterait pas un kopek. Clairement on pourrait, au plus grand profit des élèves, faire l'économie de tous les gadgets numérico-algorithmo-clic-clic et se recentrer sur l'essentiel.

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« Il ne faut pas croire tout ce qu'on voit sur Internet » Victor Hugo.
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ben2510
Neoprof expérimenté

Re: Petits problèmes de mathématiques

par ben2510 le Mer 2 Nov 2016 - 17:03
@Anaxagore a écrit:
@ycombe a écrit:
@ben2510 a écrit:
@kioupsPBT a écrit:C'est au programme du cycle 4.

Il y a des contenus dans les nouveaux programmes ? Je veux dire, des contenus précis ?
Ce n'est pas ce que disent certains inspecteurs généraux, qui parlent beaucoup de "compétences".

Est-ce que le programme est suffisamment explicite pour qu'on soit certain de pouvoir s'appuyer sur la notion en seconde, ou bien est-ce que c'est du même ordre que pour les rotations, translations et homothéties ?
J'ai suggéré de mettre les triangles égaux en 5e et de s'en servir pour démontrer les grands résultats du cours de géométrie mais non, ce n'est clairement pas le but. C'est du même ordre que les transformations, comme tu dis.


C'est complètement aberrant. Si j'étais en collège je sauterais sur l'occasion pour construire le cours de géométrie comme tu le proposes.

Les programmes d'avant 2006 (?) contenaient en cinquième les cas de construction de triangle.
L'occasion était belle de pousser jusqu'à la notion de cas d'isométrie ; ce point était-il encore présents dans les programmes d'avant réforme 2016 ?

Ensuite en 4e avec Thalès il était facile de passer aux cas de similitude.

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kioupsPBT
Niveau 9

Re: Petits problèmes de mathématiques

par kioupsPBT le Mer 2 Nov 2016 - 19:16
J'en faisais encore l'an dernier, ça devait être dans les programmes...
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Dw4rF_Naheulbeuk
Niveau 5

Re: Petits problèmes de mathématiques

par Dw4rF_Naheulbeuk le Mer 2 Nov 2016 - 20:44
Coucou, pourquoi ne pas utiliser Thalès en passant par là?



J'appelle x la longueur FD.
Soit O le symétrique de D par rapport à E.
Thalès nous a mène à: 2/3 = AD/FO = AG/FG = GD/GO.
On a alors: x = FA = FG + GA = FG + 2/3 FG = 5/3 FG et donc, FG = 3x/5
Et aussi 2x = DO = DG + GO = DG + 3DG/2 = 5DG/2 et donc, DG = 4x/5.
Enfin on a posé x = FD ou FD = 5x/5.
On a montré que FGD est un triangle 3-4-5


Dernière édition par Dw4rF_Naheulbeuk le Mer 2 Nov 2016 - 21:14, édité 2 fois

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Les Annales du Disque-Monde, Tome 18 : Masquarade de Terry Pratchett

Et, comme le Q.I. D'une populace équivaut au Q.I. de son membre le plus crétin divisé par le nombre de participants, personne ne sut jamais vraiment ce qui s'était passé.
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Anaxagore
Guide spirituel

Re: Petits problèmes de mathématiques

par Anaxagore le Mer 2 Nov 2016 - 20:51
@ben2510 a écrit:
@Anaxagore a écrit:
@ycombe a écrit:
@ben2510 a écrit:

Il y a des contenus dans les nouveaux programmes ? Je veux dire, des contenus précis ?
Ce n'est pas ce que disent certains inspecteurs généraux, qui parlent beaucoup de "compétences".

Est-ce que le programme est suffisamment explicite pour qu'on soit certain de pouvoir s'appuyer sur la notion en seconde, ou bien est-ce que c'est du même ordre que pour les rotations, translations et homothéties ?
J'ai suggéré de mettre les triangles égaux en 5e et de s'en servir pour démontrer les grands résultats du cours de géométrie mais non, ce n'est clairement pas le but. C'est du même ordre que les transformations, comme tu dis.


C'est complètement aberrant. Si j'étais en collège je sauterais sur l'occasion pour construire le cours de géométrie comme tu le proposes.

Les programmes d'avant 2006 (?) contenaient en cinquième les cas de construction de triangle.
L'occasion était belle de pousser jusqu'à la notion de cas d'isométrie ; ce point était-il encore présents dans les programmes d'avant réforme 2016 ?

Ensuite en 4e avec Thalès il était facile de passer aux cas de similitude.

Ce n'était pas trop l'esprit. En 6e symétrie axiale, puis en 5e symétrie centrale, puis avec tout ça les théorèmes de 4e: Pythagore, th des milieux puis th de Thalès pour les rapports rationnels...

Les programmes incitaient plutôt à se baser sur ces symétries.

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ycombe
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ycombe le Mar 6 Déc 2016 - 16:02

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ben2510
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ben2510 le Mar 6 Déc 2016 - 17:30
http://gogeometry.com/ et http://www.resourceaholic.com/ sont de bonnes adresses :-)

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ycombe
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ycombe le Dim 12 Fév 2017 - 23:09
Une propriété que je ne connaissais pas et que j'ai vu passer ce soir sur twitter:



J'ai passé la soirée à la prouver.



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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ben2510 le Lun 13 Fév 2017 - 0:20
@ycombe a écrit:Une propriété que je ne connaissais pas et que j'ai vu passer ce soir sur twitter:



J'ai passé la soirée à la prouver.



Spoiler:
Par l'algorithme d'Euclide ?


Dernière édition par ycombe le Lun 13 Fév 2017 - 9:58, édité 1 fois (Raison : spoiler pour ceux qui veulent chercher par eux-même.)

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ycombe
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ycombe le Lun 13 Fév 2017 - 9:47
À la fin, oui.

Spoiler:
Par les modulos et une récurrence sur k pour montrer que F_n | F_kn, puis par Euclide pour finir, en utilisant F_n premier avec F_n+1.

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ycombe
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Re: Petits problèmes de mathématiques

par ycombe le Sam 18 Fév 2017 - 20:53
Dans le Pour la science n° 472 de février 2017, Jean-Paul Delahaye donne huit exemples de vérités mathématiques assez simples et très inattendues. Elles sont toutes très intéressantes, mais il y en a une qui me plait plus que les autres: la sixième.

Miracle 6 - Les scarabées vont-ils tous tomber ?

Une famille de 20 scarabées se trouve sur une règle en bois en position horizontale dont la longueur est le 1m exactement. Ils sont placés au hasard sur la règle, chacun tourné vers la droite ou vers la gauche, au hasard. Chaque scarabée avance de 1 cm par seconde. Quand deux scarabées se rencontrent, ils font tous les deux demi-tour. On suppose que le demi-tour est instantané et que les scarabées sont de longueur négligeable. Quand un scarabée arrive à une des extrémités de la règle, il tombe par terre.
Les scarabées tombent-ils tous? Si oui, en combien de temps au maximum ? Si non, quelle configuration assure qu'il en reste indéfiniment sur la règle?

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