Petits problèmes de mathématiques

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ycombe le Mer 26 Juil 2017 - 23:49

archeboc a écrit:
Spoiler:
Appelons A le point de contact entre les deux pentagones. Considérons la configuration où les deux pentagones sont homothétiques, les deux droites de la figure passant par A. L'angle X vaut alors trivialement 162°. Appelons cette position la configuration particulière.

Nous allons montrer que cet angle est constant lorsqu'on rejoint la configuration générale, par rotation du pentagone vert autour de A.

Appelons B l'autre point d'intersection des deux cercles circonscrits aux deux pentagones : comme dans la configuration particulière les deux cercles sont tangents, l'existence de B est garantie.

Considérons maintenant une des droites qui dans la configuration particulière joint B (confondu avec A) à l'un des angles de chacun des pentagones. Dans la configuration générale, nous allons montrer que ces trois points restent alignés. Pour cela, nous allons montrer que les deux droites joignant B aux deux angles des deux pentagones vont dévier d'un même angle. Appelons les droite rouge et droite verte.

Appelons a l'angle de rotation du pentagone vert de la position particulière à la position générale.
Appelons r (resp.. v) l'angle sous lequel le centre du pentagone rouge (resp. vert) voit AB. Ces trois valeurs sont reliées par l'équation : r+v=2a (angles des rayons de deux cercles intersectants).

Or :
- la déviation de la droite rouge est de la moitié de r, par théorème de l'angle au centre.
- la déviation de la droite verte est la somme de deux composantes : d'une part la rotation du pentagone vert, d'autre part la dérive du point B. La rotation est de a, et la dérive est la moitié de l'opposée de v (moitié de v, toujours par théorème de l'angle au centre, et l'opposée, parce que B avance dans un sens opposé selon que l'on regarde depuis rouge ou depuis vert).

Les déviations des deux droites sont elles égales ? Autrement dit r/2=a-v/2 ?
Oui, c'est exactement la formule précédente.
Chapeau !

J'avais cherché un truc comme ça mais j'avoue y avoir renoncé. Trop complexe pour moi...

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ycombe le Mer 26 Juil 2017 - 23:53


J'ai usé (et peut-être même un peu abusé) de mon privilège de modérateur pour mettre en spoiler les solutions.


Je propose de placer les solutions en spoiler systématiquement, pour ceux qui voudraient garder le plaisir de chercher.

Dernier problème posé:
http://www.neoprofs.org/t99289p200-petits-problemes-de-mathematiques#4159543

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par Fenrir le Jeu 27 Juil 2017 - 11:27

Ma réponse. (je suis plus efficace le matin on dirait)

Réponse:

Soit O le centre du cercle

Soit H le point de tangence entre le cercle et (BC)

Soit F l'intersection de [AD] avec la parallèle à (AB) passant par E.

Soit G l'intersection de (AD) et (BC)

Par Pythagore dans AEF, on obtient que EF=9
Donc OE=6

Par trigonométrie dans OHE, on obtient que FÊC = 30°

Par trigonométrie dans FGE, on obtient que GF= 3*sqrt(3) et EG=6*sqrt(3)

Par Thalès dans ABG avec (EF)//(AB), on obtient : GB = 6*sqrt(3)+6

Donc EB = GB - GE = 6.

(Je vous laisse le soin des calculs Very Happy )

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ycombe le Jeu 27 Juil 2017 - 21:42

Oui. Ça marche.

Ma solution:

Je suis passé bien sûr par Pythagore, pour FE=9. Ensuite, appelant par exemple K l'intersection du cercle et de [OE], on a facilement FO=OK=KE=3.
Une histoire de mediane issue de l'hypoténuse du triangle (rectangle, forcément rectangle) EHO donne OKE équilatéral.

Montrons maintenant que ECO est isocèle en E, ce qui va régler le problème.
Notons que dans ECO, l'angle E mesure 30° (par le triangle équilatéral déjà évoqué par exemple)
Appelons L le point de tangence du cercle avec CD. OC est la bissectrice de HOL donc l'angle OHC mesure 15°
On en déduit que l'angle en O dans EOC mesure 75°, et la somme des angles du triangle permet d'assurer qu'il en de même pour l'angle C dans ECO.

Donc ECO est isocèle et x=6.

J'étais content de moi, j'ai trouvé une autre solution
Autre idée:

En appelant C' le 4e sommet du rectangle ADCC', en montrant que ECC' est équilatéral.

et puis je suis tombé sur celle là qui m'a bien fait comprendre à quel point j'avais des progrès à faire en géométrie pure:
La solution du livre:




Dernière édition par ycombe le Jeu 27 Juil 2017 - 21:57, édité 1 fois

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ycombe le Jeu 27 Juil 2017 - 21:56

ycombe a écrit:
La solution du livre:



Cette solution m'a aiguillé vers une autre:
Spoiler:

Le cercle inscrit tangent aux quatre côtés donne une aire du quadrilatère égale au demi-périmètre multiplié par le rayon du cercle inscrit. Ce périmètre est, par ailleurs, égal à 9*6=54 par la longueur FE qui est la moyenne des deux bases.

D'où x=6 en résolvant l'équation.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par archeboc le Jeu 27 Juil 2017 - 22:48


On est sur des propriétés très particulières et très peu connues !

Allez, je sèche sur l'exercice 2 des olympiades de cette année :

Trouver toutes les fonctions f de R dans R tq : f( f(x).f(y) ) + f(x+y) = f(xy)


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Pour des raisons de commodité nous utilisons dans nos analyses un classement des élèves en « bons », « moyens » et « faibles » qui n'est valable qu'à l'intérieur de chaque classe ou dans des classes de même type. En fait, les élèves que nous appelons « bons » sont plutôt des élèves moyens, les « moyens » des élèves plutôt faibles et les « faibles » des élèves en grande difficulté.
van Zanten Agnès. Le quartier ou l'école ? Déviance et sociabilité adolescente dans un collège de banlieue . In: Déviance et société. 2000 - Vol. 24 - N°4. Les désordres urbains : regards sociologiques. pp. 377-401. note 3



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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ycombe le Ven 28 Juil 2017 - 14:59

archeboc a écrit:
On est sur des propriétés très particulières et très peu connues !

Spoiler:
Celle par l'égalité de la somme des côtés opposés résulte directement de la propriété des tangentes par un point extérieur au cercle. Je n'ai pas pensé à utiliser ces égalités, ce qui me fait rager.

La seconde, par les aires, est une propriété connue des cercles: l'aire est égale au produit du demi-périmètre par le rayon du cercle  inscrit. Se généralise facilement si tous les côtés sont tangents au cercle inscrit aux autres polygones.



Allez, je sèche sur l'exercice 2 des olympiades de cette année :

Trouver toutes les fonctions f de R dans R tq : f( f(x).f(y) ) + f(x+y) = f(xy)

Disons que si f(0)=0, alors la fonction est nulle.

Je vous laisse trouver les autres possibilités. abi

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ycombe le Sam 9 Sep 2017 - 10:54


Un nombre non premier est dit spécial si ni lui ni son double ne sont divisibles par un carré.
Trouver la liste des nombres spéciaux inférieurs à 50.
Ma fille a eu ça en anglais euro (1ère). J'aime bien.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par William Foster le Sam 9 Sep 2017 - 11:14


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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ben2510 le Sam 9 Sep 2017 - 12:40

ycombe a écrit:

Un nombre non premier est dit spécial si ni lui ni son double ne sont divisibles par un carré.
Trouver la liste des nombres spéciaux inférieurs à 50.
Ma fille a eu ça en anglais euro (1ère). J'aime bien.

Effectivement, on peut trouver rapidement des théorèmes, ce qui permet le plaisir de la découverte. Si en plus on connaît la DEFP, on peut conclure rapidement !

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par archeboc le Sam 9 Sep 2017 - 15:31

ycombe a écrit:
archeboc a écrit:
Allez, je sèche sur l'exercice 2 des olympiades de cette année :

Trouver toutes les fonctions f de R dans R tq : f( f(x).f(y) ) + f(x+y) = f(xy)

Disons que si f(0)=0, alors la fonction est nulle.

Je vous laisse trouver les autres possibilités. abi

Personne pour nous débloquer ? J'arrive à résoudre sur Z, j'ai des pistes pour Q, mais je ne vois pas comment on se débrouille pour R.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par kioupsPBT le Sam 9 Sep 2017 - 16:11

Si les fonctions sont continues, résoudre sur Q suffit.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ben2510 le Sam 9 Sep 2017 - 18:45


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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par archeboc le Dim 10 Sep 2017 - 0:24


La seconde référence devrait être la meilleure, puisque c'est une préparation d'olympiade. Mais les exemples qu'elle traite sont constitués soit de problèmes sur N ou Q, soit de problème ajoutant à l'équation une hypothèse supplémentaire de continuité, ou assimilée.

Le problème des dernières olympiades sur lequel nous séchons ne propose aucune hypothèse de ce type, et porte bien sur l'ensemble R.

Attend-on dans ce cas des compétiteurs qu'ils ajoutent les hypothèses qui manquent ? Difficile dans ces conditions de faire une notation équitable.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par Vincent83 le Dim 10 Sep 2017 - 21:02

On montre assez facilement que si f est non nulle alors f(0)=+/-1. Comme f est solution ssi -f l'est on suppose par la suite f(0)=1.
SI on sait montrer que f est injective (je cherche encore!) alors:

la relation appliquée à x et 0 donne f(f(x))+f(x)=1
le relation appliquée à f(x) et 0 donne f(f(f(x)))+f(f(x))=1

D'où f(f(f(x)))=f(x) et par injectivité f(f(x))=x donc f(x)=1-x

Ceci sans continuité de f à priori!

Je continue à chercher pour l'injectivité, vu le peu d'hypothèses sur f c'est probablement une piste valable...mais à force d'essayer on s'y perd ;-)

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par archeboc le Lun 11 Sep 2017 - 0:52


J'ai essayé de montrer l'injectivité, je n'ai rien trouvé. Il me semble que la condition d'injectivité est encore plus forte que la condition de continuité, car la condition de continuité est souvent locale.

Mes étapes sont :
- f(0)=1 ou f(0)=-1 [j'avais loupé la symétrie f/-f]

- si x<>1, posons y=x/(x-1), alors xy=x+y et donc f(f(x).f(y)) = 0
on en déduit dans le même temps que f(x) n'est pas nul et qu'il existe un antécédent de 0 : cet antécédent est donc 1. Donc f(1)=0

- il vient facilement que pour tout x, f(0)=f(x)-f(x+1), et par récurrence, que nf(0)=f(x)-f(x+n).

- f réalise donc une injection sur Z. Dans le cas f(0)=1, f(n)=1-n

- A partir de là, je suis dans le brouillard. Je vois bien deux trois pistes, mais rien qui permettent d'atteindre R.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par Matheod le Lun 11 Sep 2017 - 1:31

Comment vous faites pour montrer que f(0) = 1 ou f(0) = -1 ?

Matheod
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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par archeboc le Lun 11 Sep 2017 - 7:09

Matheod a écrit:Comment vous faites pour montrer que f(0) = 1 ou f(0) = -1 ?

Tu as raison, il y a un problème dans l'ordre de mes étapes. Je reprends :

- si x<>1, posons y=x/(x-1), alors xy=x+y et donc f(f(x).f(y)) = 0

- si f n'est pas la fonction nulle, alors pour tout x différent de 1, f(x) est non nul.

- du même résultat, on déduit qu'il existe un antécédent de 0 : cet antécédent est unique et vaut 1.

- en posant x=y=0, on a f( f(0)² ) = 0  et par ce qui précède,  f(0)²=1

- il vient facilement que pour tout x, f(0)=f(x)-f(x+1), et par récurrence, que nf(0)=f(x)-f(x+n).

- f réalise donc une injection sur Z. Dans le cas f(0)=1, f(n)=1-n

- A partir de là, je suis dans le brouillard. Je vois bien deux trois pistes, mais rien qui permettent d'atteindre R.


Dernière édition par archeboc le Lun 11 Sep 2017 - 7:40, édité 1 fois

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par Vincent83 le Lun 11 Sep 2017 - 7:16

Pour l'injectivité : si f(x)=f(y) on peut essayer de montrer que f(x-y+1)=0 car par ce qui précède on a alors x-y=0. J'ai une preuve simple de ce fait mais elle ne tiendrait pas dans cette case...

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par lale le Lun 11 Sep 2017 - 9:26

si f(0)=1alors f(f(x))+f(x)=1 donc pour tout z dans f(R) f(z)=1-z
et alors c'est  la surjectivité qui pose problème

lale
Je viens de m'inscrire !


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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mer 11 Oct 2017 - 7:48

Petit truc en passant : comment calculer mentalement le produit de deux nombres "proches" ?

Par exemple : 23 x 27 = ?

20+3=23
20+7=27
20+7+3=30

Et bien 20 x 30 + 3 x 7 = 621 = 23 x 27

En effet :
a x (a+b+c) + bc = a² + ab+ac+bc
(a+b)(a+c)=a² + ab+ac+bc

Autre exemple :
215x207=?
200x(215+7)+15x7=200x222+105=44400+105=44505.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mer 11 Oct 2017 - 8:24

Plus joli encore:
(a-b)(a-c)=a²-ab-ac+bc=ax(a-b-c)+bxc
Donc 195x187=200x(195-13)+5x13=200x182+65=36400+65=36465

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mer 11 Oct 2017 - 9:31

Un autre ?
297 x 283 = 300 x (283 - 3) + 17x3=300x280+51=84051

Very Happy

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par archeboc le Mer 11 Oct 2017 - 11:30

JPhMM a écrit:Un autre ?
297 x 283 = 300 x (283 - 3) + 17x3=300x280+51=84051
Very Happy

Avec un peu plus de calcul, mais plus de calculs simples : 297 x 283 = (290+7)(290-7) = 290²-7² = (290-10)(290+10)+10²-7²

Le problème, c'est qu'on ne peut faire cela qu'avec des nombres de même parité. Mais comme tu n'as donné dans tes exemples que des couples de nombres impairs, ce n'est pas bien grave. Pourtant, ta méthode fonctionne aussi avec des couples pair-impair.

24*27=21*30+3*6=630+18=648

497*486=500*(486-3) + 14*3 = 243000 - 1500 + 42 = 241542

Joli.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mer 11 Oct 2017 - 11:38

Tu as raison.
Et en effet, j'aurais du utiliser au moins une fois le produit d'un pair par un impair.

Hop :

(a-b)(a+c)=a²-ab+ac-bc=a(a-b+c)-bc

1972 x 2017 =
2000*(1972+17) - 28*17=
2000*1989 - [20*(28-3)-8*3]=
3978000 - 500 + 24 = 3977524

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