Petits problèmes de mathématiques

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par pignolo le Mar 23 Fév 2016 - 20:59

@ben2510 a écrit:
@pignolo a écrit:
@ben2510 a écrit:Spontanément je dirais ]0;1], avec des fractions continues.
Mais bon il faudrait que j'attrape papier crayon. Grosse flemme.

N^N a la puissance du continu.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Puissance_du_continu

Ah bah voila.
Tu aurais pu me laisser chercher cinq minutes de plus.
Et après on critique ceux qui disent que toutes les connaissances sont sur internet ! Suspect

Encore faut-il savoir quoi chercher... Wink

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mar 23 Fév 2016 - 21:20

@ben2510 a écrit:
@JPhMM a écrit:
@ben2510 a écrit:
@JPhMM a écrit:Bon, voilà, il y a un petit truc qui me trotte dans la tête depuis très longtemps, et je ne sais qu'en penser.
Je pense que je me prends la tête avec pas grand chose, et j'en ai un peu mathématiquement honte par avance, mais bon... on ne se refait pas.

Je vais essayer d'expliquer.
Soit (pk) la suite ordonnée de tous les nombres premiers : p0=2; p1=3; p2=5; etc.
Tout entier N supérieur ou égal à 1 s'écrit de façon unique comme produit des pk^nk où les nk sont des entiers naturels.
Soit la suite (nk) ainsi constituée.
Alors, pour chaque N entier supérieur ou égal à 1 il existe un et un seul (n0, n1, n2, ... , nk, ...) ; et inversement.
Je trouve donc que ℕ* est en bijection avec ℕ. Et ce résultat me pose problème.

Alors soit je fais une grosse erreur (mea culpa) quelque part, soit je ne comprends pas pourquoi ce résultat me pose problème.

N est en bijection avec l'ensemble des suites presque nulles d'entiers naturels.
Mais pourquoi ce sev de ℕ serait-il en bijection avec ℕ (ton  ℕ me plaît pas trop pour désiner l'ensemble des suites d'entiers naturels, car des infinis il y en a plein).

@jaybe a écrit:
@JPhMM a écrit:Bon, voilà, il y a un petit truc qui me trotte dans la tête depuis très longtemps, et je ne sais qu'en penser.
Je pense que je me prends la tête avec pas grand chose, et j'en ai un peu mathématiquement honte par avance, mais bon... on ne se refait pas.

Je vais essayer d'expliquer.
Soit (pk) la suite ordonnée de tous les nombres premiers : p0=2; p1=3; p2=5; etc.
Tout entier N supérieur ou égal à 1 s'écrit de façon unique comme produit des pk^nk où les nk sont des entiers naturels.
Soit la suite (nk) ainsi constituée.
Alors, pour chaque N entier supérieur ou égal à 1 il existe un et un seul (n0, n1, n2, ... , nk, ...) ; et inversement.
Je trouve donc que ℕ* est en bijection avec ℕ. Et ce résultat me pose problème.

Alors soit je fais une grosse erreur (mea culpa) quelque part, soit je ne comprends pas pourquoi ce résultat me pose problème.

C'est parce que la bijection se fait avec les suites qui prennent un nombre fini de valeurs non nulles, pas toutes les suites ! (arf, grilled Smile )
Oui cheers Merci, je comprends.
En effet, (1;1; ... ; 1 ; 1 ; ...) n'est l'image d'aucun entier, merci. C'était simple en fait. Embarassed
Je me demande s'il existe un ensemble de nombres qui est en bijection avec cet ℕ. L'ensemble des hyperentiers peut-être (ma connaissance des hyperentiers est insuffisante ici, en l'espèce).

Spontanément je dirais ]0;1], avec des fractions continues.
Mais bon il faudrait que j'attrape papier crayon. Grosse flemme.
Oui.

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mar 23 Fév 2016 - 21:23

@pignolo a écrit:
@JPhMM a écrit:Ce n'est pas la plus connue (mais je l'aime bien) Very Happy
Le reste de la division de 10n par 11 est 1 pour n pair, –1 pour n impair. D'où le résultat.

C'est tout de même un classique de spé maths en TS.
Mon pauvre ami, cela fait plus de 10 ans que je n'ai pas eu de TS. Wink
(Mais je suis incollable en théorème de Pythagore. Laughing )

_________________
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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ben2510 le Mar 23 Fév 2016 - 21:37

@pignolo a écrit:
@ben2510 a écrit:
@pignolo a écrit:
@ben2510 a écrit:Spontanément je dirais ]0;1], avec des fractions continues.
Mais bon il faudrait que j'attrape papier crayon. Grosse flemme.

N^N a la puissance du continu.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Puissance_du_continu

Ah bah voila.
Tu aurais pu me laisser chercher cinq minutes de plus.
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Encore faut-il savoir quoi chercher... Wink

Mais si tu sais ce que tu cherches, où est le plaisir de la recherche ?

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On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Henri Poincaré  La notion d'équation différentielle est le pivot de la conception scientifique du monde. Vladimir Arnold

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ben2510 le Mar 23 Fév 2016 - 21:41

@JPhMM a écrit:
@pignolo a écrit:
@JPhMM a écrit:Ce n'est pas la plus connue (mais je l'aime bien) Very Happy
Le reste de la division de 10n par 11 est 1 pour n pair, –1 pour n impair. D'où le résultat.

C'est tout de même un classique de spé maths en TS.
Mon pauvre ami, cela fait plus de 10 ans que je n'ai pas eu de TS. Wink
(Mais je suis incollable en théorème de Pythagore. Laughing  )
L'irrationalité de racine de 2, et les triplets pythagoriciens sont des classiques de quatrième spé maths aussi !
Quant à la résolution de l'équation diophantienne ax+by=c, en fait on cherche juste des points faciles à placer pour interpréter graphiquement un système (avec l'astuce d'utiliser l'algorithme d'Euclide pour trouver une solution particulière) : du boulot de troisième.
En fait il y a un gros trou entre la troisième et la TS.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mar 23 Fév 2016 - 21:43

Et un gros trou entre la sixième et la troisième (division euclidienne).

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ben2510 le Mar 23 Fév 2016 - 21:48

Oui, il faut deux années intermédiaires à chaque fois pour digérer, semble-t-il !

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par pignolo le Mar 23 Fév 2016 - 22:07

Il y a globalement un gros trou en arithmétique entre l'école primaire et la TS, puisqu'à ce jour je n'ai connu que quelques spécimens d'élèves ayant retenu quelque chose, même infinitésimal, d'Euclide au collège.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ben2510 le Mar 23 Fév 2016 - 22:51

Déjà il faut reprendre la division euclidienne avec les spé !
Mais ça revient très très vite.
Pour Euclide, en général mes secondes s'en rappellent fort bien. Du nom, surtout Laughing Laughing Laughing

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mar 23 Fév 2016 - 23:21

La réforme des programmes du collège va peut-être nous permettre de "lisser" de l'arithmétique sur l'ensemble des niveaux du collège.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ben2510 le Mar 23 Fév 2016 - 23:53

La DEFP n'est plus au programme de seconde depuis 2010. Etonnamment, mes collèues et moi ne sommes pas encore au courant. Décomposer 294, puis demander la décomposition de 294^100 est assez facile pour les élèves, et suffisamment astucieux pour que ça les marque. Enfin quelques semaines, après il faut entretenir régulièrement. En fait c'est bien ça le problème dans l'enseignement des maths. Ce matin je définis l'addition des vecteurs ; on avait vu la notion de vecteurs opposés ; je me tourne vers les élèves et leur demande un synonyme de "ajouter l'opposé". Un grand moment de solitude... Mais comment ont-ils fait pour passer en quatrième ?

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mer 24 Fév 2016 - 0:01

En plus de l'avoir fait démontrer, l'avoir fait écrire dans la leçon, l'avoir fait appliqué une bonne cinquantaine de fois, je crois avoir répété plus de trente fois "enlever un nombre revient à ajouter son opposé", l'avoir fait dire par des élèves sans doute autant...

Et certains n'ont toujours pas imprimé.

cafe

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par William Foster le Mer 24 Fév 2016 - 9:59

@ben2510 a écrit:... Mais comment ont-ils fait pour passer en quatrième ?
C'est bien un truc de prof, ça, de poser la question alors que tu connais la réponse. Razz

_________________
Tout le monde me dit que je ne peux pas faire l'unanimité.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ben2510 le Mer 24 Fév 2016 - 13:45

@JPhMM a écrit:En plus de l'avoir fait démontrer, l'avoir fait écrire dans la leçon, l'avoir fait appliqué une bonne cinquantaine de fois, je crois avoir répété plus de trente fois "enlever un nombre revient à ajouter son opposé", l'avoir fait dire par des élèves sans doute autant...

Et certains n'ont toujours pas imprimé.

cafe

J'ai fait huit ans de collège avant de revenir au lycée.
Tout pareil que toi cafe
Et évidemment je l'ai répété une bonne cinquantaine de fois depuis le début de leur année de seconde. cafe cafe

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ben2510 le Mer 24 Fév 2016 - 13:46

@William Foster a écrit:
@ben2510 a écrit:... Mais comment ont-ils fait pour passer en quatrième ?
C'est bien un truc de prof, ça, de poser la question alors que tu connais la réponse. Razz

Sinon comment faire pour vérifier la réponse. professeur

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par jaybe le Mer 24 Fév 2016 - 14:06

Une amusette pour ceux qui ne la connaissent pas : Toto écrit tous les nombres de 1 à 9 au tableau. Il effectue à plusieurs reprises l'action suivante : parmi les nombres écrits, il choisit deux nombres m et n (avec m supérieur ou égal à n), les efface et écrit le nombre m-n ; il recommence jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un seul nombre écrit. Quelles sont les valeurs possibles de ce nombre ?

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mer 24 Fév 2016 - 14:28

@JPhMM a écrit:
@ben2510 a écrit:
@JPhMM a écrit:Bon, voilà, il y a un petit truc qui me trotte dans la tête depuis très longtemps, et je ne sais qu'en penser.
Je pense que je me prends la tête avec pas grand chose, et j'en ai un peu mathématiquement honte par avance, mais bon... on ne se refait pas.

Je vais essayer d'expliquer.
Soit (pk) la suite ordonnée de tous les nombres premiers : p0=2; p1=3; p2=5; etc.
Tout entier N supérieur ou égal à 1 s'écrit de façon unique comme produit des pk^nk où les nk sont des entiers naturels.
Soit la suite (nk) ainsi constituée.
Alors, pour chaque N entier supérieur ou égal à 1 il existe un et un seul (n0, n1, n2, ... , nk, ...) ; et inversement.
Je trouve donc que ℕ* est en bijection avec ℕ. Et ce résultat me pose problème.

Alors soit je fais une grosse erreur (mea culpa) quelque part, soit je ne comprends pas pourquoi ce résultat me pose problème.

N est en bijection avec l'ensemble des suites presque nulles d'entiers naturels.
Mais pourquoi ce sev de ℕ serait-il en bijection avec ℕ (ton  ℕ me plaît pas trop pour désiner l'ensemble des suites d'entiers naturels, car des infinis il y en a plein).

@jaybe a écrit:
@JPhMM a écrit:Bon, voilà, il y a un petit truc qui me trotte dans la tête depuis très longtemps, et je ne sais qu'en penser.
Je pense que je me prends la tête avec pas grand chose, et j'en ai un peu mathématiquement honte par avance, mais bon... on ne se refait pas.

Je vais essayer d'expliquer.
Soit (pk) la suite ordonnée de tous les nombres premiers : p0=2; p1=3; p2=5; etc.
Tout entier N supérieur ou égal à 1 s'écrit de façon unique comme produit des pk^nk où les nk sont des entiers naturels.
Soit la suite (nk) ainsi constituée.
Alors, pour chaque N entier supérieur ou égal à 1 il existe un et un seul (n0, n1, n2, ... , nk, ...) ; et inversement.
Je trouve donc que ℕ* est en bijection avec ℕ. Et ce résultat me pose problème.

Alors soit je fais une grosse erreur (mea culpa) quelque part, soit je ne comprends pas pourquoi ce résultat me pose problème.

C'est parce que la bijection se fait avec les suites qui prennent un nombre fini de valeurs non nulles, pas toutes les suites ! (arf, grilled Smile )
Oui cheers Merci, je comprends.
En effet, (1;1; ... ; 1 ; 1 ; ...) n'est l'image d'aucun entier, merci. C'était simple en fait. Embarassed
Je viens de réaliser que c'est donc une méthode possible pour démontrer que l'ensemble ℕ[X] des polynômes à coefficients entiers naturels est dénombrable.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ben2510 le Mer 24 Fév 2016 - 14:39

Et du coup les nombres algébriques sont dénombrables.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par hobbit le Mer 24 Fév 2016 - 15:57

@jaybe a écrit:Une amusette pour ceux qui ne la connaissent pas : Toto écrit tous les nombres de 1 à 9 au tableau. Il effectue à plusieurs reprises l'action suivante : parmi les nombres écrits, il choisit deux nombres m et n (avec m supérieur ou égal à n), les efface et écrit le nombre m-n ; il recommence jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un seul nombre écrit. Quelles sont les valeurs possibles de ce nombre ?
Je suppose que ce sont des nombres entiers.

On a donc les entiers de 1 à 9, ce qui fait cinq nombre impairs et quatre nombre pairs. À chaque étape il y a trois possibilités :

  1. on prend deux nombres impairs, leur différence donne un nombre pair : après l'étape, on a 2 impairs en moins, 1 pair en plus
  2. on prend un impair et un pair, leur différence est un impair : après l'étape on a 1 pair en moins, le nombre d'impair ne change pas
  3. on prend deux pairs, leur différence est un pair : après l'étape, on a 1 pair en moins

Le nombre d'entiers impairs ne peuvent être réduits que de deux en deux et donc, comme il y a en a cinq, il ne peut pas en avoir zéro. Quoi qu'il arrive, après la 8e étape, il ne restera qu'un nombre, c'est forcément un nombre impair.

Il ne reste plus qu'à montrer qu'on obtient tous les entiers impairs entre 1 et 9, mais c'est assez rapide en essayant.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par jaybe le Mer 24 Fév 2016 - 17:54

Joli ! On peut en fait synthétiser tous les cas de figure en un seul : initialement la somme de tous les nombres est impaire, en une étape la somme totale est diminuée de 2n, donc la parité de la somme reste inchangée et le nombre final est impair.

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par hobbit le Mer 24 Fév 2016 - 22:22

Et dire que c'était ma première idée et que je ne l'ai même pas creusée...

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mer 24 Fév 2016 - 22:43

Un petit Sangaku de monastère japonais.



Quel est le rayon du grand cercle, sachant que le rayon du petit cercle qui lui est concentrique vaut 1 ?

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ben2510 le Mer 24 Fév 2016 - 22:57

Notons r, m et M respectivement les rayons des cercles.
Ça commence bien, non ?

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par ben2510 le Mer 24 Fév 2016 - 22:58

Trouvé !

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mer 24 Fév 2016 - 23:00

@ben2510 a écrit:Notons r, m et M respectivement les rayons des cercles.
Ça commence bien, non ?
Oui Laughing

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Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

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Re: Petits problèmes de mathématiques

Message par JPhMM le Mer 24 Fév 2016 - 23:05

@ben2510 a écrit:Trouvé !
Very Happy

Voilà un exercice fort sympathique, non ?
J'aime bien les Sangaku, celui-ci n'est pas le plus difficile.

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Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

JPhMM
Demi-dieu


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