Domaine de dérivabilité.

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Domaine de dérivabilité.

Message par Fritz le Jeu 18 Fév 2016 - 16:42

Bonjour,

Je me pose une question, peut-on dire aux élèves de 1e (ES et S) que:

1/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'ensemble de définition de la fonction dérivée"?

2/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'intersection des domaines de dérivabilité des fonctions qui la composent"?

Merci!

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par JPhMM le Jeu 18 Fév 2016 - 16:46

La définition 2/ est circulaire.

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Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par Anaxagore le Jeu 18 Fév 2016 - 16:47

De manière générale, cette histoire d'ensemble de définition de la fonction est bien souvent mal considérée.

On dirait qu'il tombe des nues. Une fonction est un triplet (E,F,Gamma) où Gamma est une sous-partie de E x F vérifiant la condition que l'on connaît bien. L'ensemble de définition E est donc partie intégrante de la fonction.

Au lieu de "déterminer l'ensemble de définition de la fonction..." on devrait dire "déterminer l'ensemble maximal au sens de l'inclusion sur lequel on peut définir la fonction...".

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par JPhMM le Jeu 18 Fév 2016 - 16:51

Bourbakiste !

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par Anaxagore le Jeu 18 Fév 2016 - 16:51

J'assume.

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par JPhMM le Jeu 18 Fév 2016 - 16:53

Euh... ici E est l'ensemble de départ, non l'ensemble de définition, non ?

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par Anaxagore le Jeu 18 Fév 2016 - 16:54

Je pense à la notion d'application en fait. C'est vrai.

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par Fritz le Jeu 18 Fév 2016 - 16:57

@JPhMM a écrit:La définition 2/ est circulaire.

Elle est surtout fausse non?

Exemple: f(x)=1/(x-2)  or u(x)=1 dérivable sur R et v(x)=x-2 dérivable sur R aussi mais f n'est dérivable que sur R\{2}.

@Anaxagore a écrit:

Au lieu de "déterminer l'ensemble de définition de la fonction..." on devrait dire "déterminer l'ensemble maximal au sens de l'inclusion sur lequel on peut définir la fonction...".

Oui, le problème est le même pour le domaine de dérivabilité non? On devrait dire "le domaine maximal etc....".


Dernière édition par Fritz le Jeu 18 Fév 2016 - 17:00, édité 1 fois

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par JPhMM le Jeu 18 Fév 2016 - 16:59

Oui.

Tu as raison, j'insistais sur le fait qu'une définition circulaire n'est pas une définition.

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par Anaxagore le Jeu 18 Fév 2016 - 17:05

@Fritz a écrit:
@Anaxagore a écrit:

Au lieu de "déterminer l'ensemble de définition de la fonction..." on devrait dire "déterminer l'ensemble maximal au sens de l'inclusion sur lequel on peut définir la fonction...".

Oui, le problème est le même pour le domaine de dérivabilité non? On devrait dire "le domaine maximal etc....".

La dérivée s'obtient à partir de la fonction quand même.


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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par JPhMM le Jeu 18 Fév 2016 - 17:06

Oui, l'idéal serait de définir quelque chose comme "l'ensemble maximal de définition" ou "l'ensemble de définitibilité".

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par Hélips le Jeu 18 Fév 2016 - 17:07

C'est curieux comme définitions. Personnellement, j'attaque plutôt par :
1/ définition de f dérivable en un point
2/ l'ensemble de dérivabilité est l'ensemble des points en lesquels f est dérivable
3/ les fonctions de référence à l'exception de racine sont dérivables sur leur ensemble de définition
4/ racine est dérivable sur R+*
5/ la somme de deux fonctions dérivables sur I est dérivable sur I
5bis/ et elle peut être dérivable sur plus que I
6/ et 6bis/ la même avec le produit
7/ et 7bis/ presque la même avec le quotient.

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par Anaxagore le Jeu 18 Fév 2016 - 17:09

Pourquoi aller chercher cette idée d'ensemble de définition?

C'est l'ensemble des valeurs en lesquelles la fonction est dérivable.

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par Anaxagore le Jeu 18 Fév 2016 - 17:11

"Domaine" c'est un peu pénible parce que l'on réserve en général ce mot pour un ouvert connexe.

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par JPhMM le Jeu 18 Fév 2016 - 17:14

@Anaxagore a écrit:Pourquoi aller chercher cette idée d'ensemble de définition?

C'est l'ensemble des valeurs en lesquelles la fonction est dérivable.
Désolé, c'est l'usage de l'expression "ensemble de définition" qui scinde la discussion en deux parties, du fait de la non unicité de l'ensemble de définition sauf cas pathologiques.

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par Fritz le Jeu 18 Fév 2016 - 18:02

@Anaxagore a écrit:Pourquoi aller chercher cette idée d'ensemble de définition?

C'est l'ensemble des valeurs en lesquelles la fonction est dérivable.

Parce-que ta deuxième phrase fait écho à la définition de "fonction dérivable sur I" qui n'est pas forcément claire pour tous les élèves car elle donne l'impression de devoir tester toutes les valeurs.

@Hélips a écrit:C'est curieux comme définitions. Personnellement, j'attaque plutôt par :
1/ définition de f dérivable en un point
2/ l'ensemble de dérivabilité est l'ensemble des points en lesquels f est dérivable
3/ les fonctions de référence à l'exception de racine sont dérivables sur leur ensemble de définition
4/ racine est dérivable sur R+*
5/ la somme de deux fonctions dérivables sur I est dérivable sur I
5bis/ et elle peut être dérivable sur plus que I
6/ et 6bis/ la même avec le produit
7/ et 7bis/ presque la même avec le quotient.

Ah non non mais il n'a jamais été question de mettre ma phrase du début à l'écrit dans le cours. Uniquement de façon orale pour donner une autre approche.

En réalité j'ai fait comme toi (sauf le 3 et 4 que j'ai résumé dans un tableau).

Pour la 5 et la 6 j'aimerais que les élèves donnent le domaine maximal de dérivabilité, et ne s'arrêtent pas simplement à I justement.

Pour la 7 j'aimerais éviter le "presque".

Pour le quotient, afin d'éviter le "presque", ne peut-on pas dire simplement que f est dérivable sur I privé de x tel que v(x)=0?




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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par Hélips le Jeu 18 Fév 2016 - 19:01

@Fritz a écrit:
@Anaxagore a écrit:Pourquoi aller chercher cette idée d'ensemble de définition?

C'est l'ensemble des valeurs en lesquelles la fonction est dérivable.

Parce-que ta deuxième phrase fait écho à la définition de "fonction dérivable sur I" qui n'est pas forcément claire pour tous les élèves car elle donne l'impression de devoir tester toutes les valeurs.

@Hélips a écrit:C'est curieux comme définitions. Personnellement, j'attaque plutôt par :
1/ définition de f dérivable en un point
2/ l'ensemble de dérivabilité est l'ensemble des points en lesquels f est dérivable
3/ les fonctions de référence à l'exception de racine sont dérivables sur leur ensemble de définition
4/ racine est dérivable sur R+*
5/ la somme de deux fonctions dérivables sur I est dérivable sur I
5bis/ et elle peut être dérivable sur plus que I
6/ et 6bis/ la même avec le produit
7/ et 7bis/ presque la même avec le quotient.

Ah non non mais il n'a jamais été question de mettre ma phrase du début à l'écrit dans le cours. Uniquement de façon orale pour donner une autre approche.

Aaaahhhh d'accord ! Alors j'aurai tendance à dire attention avec un raccourci à l'oral, ils vont trouver ça super pratique et oublié le reste, rigueur comprise.

@Fritz a écrit:
En réalité j'ai fait comme toi (sauf le 3 et 4 que j'ai résumé dans un tableau).

Pour la 5 et la 6 j'aimerais que les élèves donnent le domaine maximal de dérivabilité, et ne s'arrêtent pas simplement à I justement.

Pareil pour moi, donc une fois le 5bis fait avec son petit contre-exemple assorti, j'indique que le travail de l'élève, c'est de chercher l'ensemble maximal. Une fois le 6 fait, une étude du classique x-> x*rac(x) pour mettre les choses au point.

@Fritz a écrit:
Pour la 7 j'aimerais éviter le "presque".

Pour le quotient, afin d'éviter le "presque", ne peut-on pas dire simplement que f est dérivable sur I privé de x tel que v(x)=0?


Je ne mets pas de "presque" dans mon cours ! Oui c'est ce que tu proposes que je fais noter.

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par Vincent83 le Jeu 18 Fév 2016 - 22:00

@Anaxagore a écrit:"Domaine" c'est un peu pénible parce que l'on réserve en général ce mot pour un ouvert connexe.

Ah tout de même! Merci de le faire remarquer ;-)

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par leskhal le Jeu 18 Fév 2016 - 22:25

@Fritz a écrit:Bonjour,

Je me pose une question, peut-on dire aux élèves de 1e (ES et S) que:

1/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'ensemble de définition de la fonction dérivée"?

2/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'intersection des domaines de dérivabilité des fonctions qui la composent"?

Merci!

Aïe ! Verbe bien mal choisi...

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par Fibonacci le Jeu 18 Fév 2016 - 23:16

@Fritz a écrit:Bonjour,

Je me pose une question, peut-on dire aux élèves de 1e (ES et S) que:

1/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'ensemble de définition de la fonction dérivée"?

2/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'intersection des domaines de dérivabilité des fonctions qui la composent"?

Merci!

1/ C'est vrai pour les polynômes, les fonctions rationnelles, mais il faut qu'ils fassent une phrase du genre : "La fonction f est dérivable sur tout son ensemble de définition en tant que polynôme / fonction rationnelle"

De façon générale, la somme, le produit, le quotient (à condition que le dénominateur ne s'annule pas) de deux fonctions dérivables est dérivable.

La seule épine, c'est la fonction racine pour laquelle le domaine de dérivabilité diffère du domaine de définition, et aussi la valeur absolue, mais cette fonction est de moins en moins étudiée.

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par ben2510 le Jeu 18 Fév 2016 - 23:27

@Fibonacci a écrit:
@Fritz a écrit:Bonjour,

Je me pose une question, peut-on dire aux élèves de 1e (ES et S) que:

1/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'ensemble de définition de la fonction dérivée"?

2/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'intersection des domaines de dérivabilité des fonctions qui la composent"?

Merci!

1/ C'est vrai pour les polynômes, les fonctions rationnelles, mais il faut qu'ils fassent une phrase du genre : "La fonction f est dérivable sur tout son ensemble de définition en tant que polynôme / fonction rationnelle"

De façon générale, la somme, le produit, le quotient (à condition que le dénominateur ne s'annule pas) de deux fonctions dérivables est dérivable.

La seule épine, c'est la fonction racine pour laquelle le domaine de dérivabilité diffère du domaine de définition, et aussi la valeur absolue, mais cette fonction est de moins en moins étudiée.


De moins en moins étudiée par qui ?
Les fonctions racine carrée et valeur absolue sont les (contre-)exemples classiques que tout le monde (on n'a pas les mêmes sources) met dans le cours.

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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par pignolo le Ven 19 Fév 2016 - 8:22

@leskhal a écrit:
@Fritz a écrit:1/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'ensemble de définition de la fonction dérivée"?
2/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'intersection des domaines de dérivabilité des fonctions qui la composent"?

Aïe ! Verbe bien mal choisi...

Comme déjà signalé, ce qui me choque beaucoup plus est que c'est faux.
Par exemple, en utilisant la fonction valeur absolue ;-) , x^2=abs(x)*abs(x) .

pignolo
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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par Finrod le Ven 19 Fév 2016 - 8:49

@ben2510 a écrit:
De moins en moins étudiée par qui ?

Par les élèves.

On pourra difficilement contester.


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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par BR le Ven 19 Fév 2016 - 10:32

@Fritz a écrit:Bonjour,

Je me pose une question, peut-on dire aux élèves de 1e (ES et S) que:

1/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'ensemble de définition de la fonction dérivée"?

2/ "le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'intersection des domaines de dérivabilité des fonctions qui la composent"?

Merci!

Le domaine de dérivabilité d'une fonction est l'ensemble des points où elle est dérivable.

Ni l'énoncé 1, ni l'énoncé 2 ne sont satisfaisants, mais surtout l'énoncé 2 est une véritable hérésie mathématique.

  • Le domaine de dérivabilité n'est pas l'ensemble de définition de la fonction dérivée : la fonction ln est définie sur ]0,+oo[, la fonction dérivée de ln a un sens sur R privé de 0... Avec ta définition 1, le domaine de dérivabilité de ln serait donc R privé de 0, ce qui inclut ]-oo,0[, sur lequel ln n'est pas défini. C'est un peu problématique.
  • Le domaine de dérivabilité n'est pas non plus l'intersection des domaines de dérivabilité des fonctions qui la composent. Ainsi, ln est dérivable sur ]0,+oo[, la fonction qui à x associe x-1 est dérivable sur R, mais la fonction composée :

    n'est pas définie sur ]0,+oo[ mais ]1,+oo[, dérivable sur cet ensemble, donc son domaine de dérivabilité n'est pas l'intersection des domaines de dérivabilité des fonctions qui la composent.

    Tu pourras objecter que je triche et que je n'ai pas compris ton énoncé correctement. Certes, je suis capable de reconstituer un énoncé correct... Mais le raisonnement que j'ai esquissé est le raisonnement qu'un élève normal fera à partir de l'énoncé que tu donnes. Il est à mon avis criminel de fournir des énoncés mathématiquement faux à des élèves qui n'ont aucun recul sur les notions qu'ils manipulent. On peut concevoir un tel raccourci dans un cours de niveau master (parce qu'à ce niveau, l'énoncé correct est évident), il est à mon avis hors de question de le faire à une niveau élémentaire, où le raisonnement que je propose serait écrit de façon spontanée par les élèves. L'énoncé 2 élude la difficulté principale dans l'étude des fonctions composées, au niveau où il est justement essentiel que les élèves soient confrontés à cette difficulté.

    Avec mes élèves en prépa, je prends la peine de leur faire écrire des phrases du genre (je ne leur demande pas d'écrire les mots entre parenthèses, mais je le souligne régulièrement à l'oral):

    (le nombre) f(x)=ln(x-1) est défini lorsque x-1>0, donc (la fonction) f est définie sur ]1,+oo[. f est de classe Coo sur  ]1,+oo[ car obtenue comme composée de fonctions de classe Coo.

    Prenons un exemple plus consistant : la fonction f définie par



    f(x) est défini aux points x où , donc f est définie sur R, et f est dérivable car obtenue comme composée de fonctions dérivables, sauf éventuellement aux points x où car la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.

    Il se trouve que f est dérivable à gauche et à droite aux points de la forme (2k+1)pi... mais que les dérivées à droite à et à gauche sont distinctes, donc f n'est pas dérivable en ces points; mais seule une étude approfondie permet de conclure en ce cas, et ces études n'est absolument pas possible sans entrer dans une virtuosité excessive désapprouvée par les programmes (par exemple en utilisant les formules de duplication pour la fonction cos).

  • De toutes façons, on peut trouver facilement des contrexemples à l'énoncé 2 corrigé. En effet, si on peut affirmer que la composée de fonctions dérivables est dérivable, on ne peut absolument rien dire lorsqu'on compose des fonctions dont l'une au moins n'est pas dérivable. Par exemple, la fonction :



    est dérivable, y compris en 0, même si la fonction racine cubique n'est pas dérivable en 0. Encore une fois, avec mes élèves, je leur fais écrire :

    f est continue sur R, car obtenue comme composée de fonctions continues, de classe Coo, sauf éventuellement en 0 car la fonction racine cubique n'est pas dérivable en 0.

    et je leur laisse traiter à part le cas correspondant à 0 s'ils sont capables de lever l'indétermination sur la dérivabilité en 0.
  • Enfin, ton énoncé ne permet pas de traiter les cas de fonctions définies par morceaux ou prolongées par continuité, comme par exemple :



    qui est dérivable, y compris en 0, comme l'étude du taux d'accroissement permet de le vérifier.

BR
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Re: Domaine de dérivabilité.

Message par ben2510 le Ven 19 Fév 2016 - 12:26

Merci pour les exemples !
Enfin, on rentre dans le détail qui fait mal et qui fait du bien, plutôt que de rester sur des généralités (pas passionnantes àmha).

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