Probabilités : quand numéroter les boules?

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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par Fritz le Lun 22 Fév - 21:21

@JPhMM a écrit:Oui mais les couples (i,j) avec i différent de j et les couples (i,i) ne sont pas équiprobables.

Oui, c'est ce qui est relevé d'ailleurs dans le lien que j'ai mis. La modélisation à prendre est celle de l'équiprobabilité.

Fritz
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par JPhMM le Lun 22 Fév - 21:23

@Fritz a écrit:
@JPhMM a écrit:
Ou alors de faire un arbre, dans le cas des boules par exemple (sans les numéroter).

J'y ai pensé, est-ce que l'arbre ressemble donc à ceci? (Faut-il le pondérer?)

" />
Oui bien sûr.
D'ailleurs, dès qu'une noire est tirée, il n'est plus nécessaire de poursuivre la branche.

Probabilité que la noire soit tirée au premier tirage (une parmi 4) : 1/4
Probabilité que la noire soit tirée au second tirage : 3/4 x 1/3
(probabilité qu'elle ne soit pas tirée au premier tirage multipliée par la probabilité qu'elle soit tirée parmi 3).
Probabilité que la noire soit tirée au troisième tirage : 3/4 x 2/3 x 1/2
Probabilité que la noire soit tirée au quatrième tirage : 3/4 x 2/3 x 1/2

Vérifions que sigma des P = 1 :
1/4 + 3/4 x 1/3 + 2 x 3/4 x 2/3 x 1/2 = 3/12 + 3/12 + 6/12 = 1

Remarquons que P(R=1) = P(R=2) = P(R=3) = P(R=4) = 1/4. Wink
On n'a pas plus ou moins de chance de la tirer au premier tirage qu'au dernier, ce qui semble intuitivement satisfaisant.

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

JPhMM
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par Gryphe le Lun 22 Fév - 21:27

@Fritz a écrit:Oui: (1;1) (1;2) (1;3) ... (1;6) (2;2) (2;3) .... (2;6) (3;3) (3;4) ... (3;6) (4;4) etc.... Soit 21 résultats ici (que je n'ai pas tous marqué).

Pourquoi est-ce que tu ne retiens pas (2;1), (3;1), (3;2), etc. ?

Gryphe
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par Fritz le Lun 22 Fév - 21:28

D'accord merci.

Mais si on prend un exercice de ce type là:
"Si une urne contient 3 boules vertes, 2 boules rouges et une boule bleue, et qu'on tire successivement et avec remise 2 boules."

Dans ce cas il faut numéroter les boules V1, V2, V3, R1, R2 et B, c'est bien ça?

Mon problème c'est que je ne crois pas encore avoir compris quand est-ce qu'il y a besoin de les numéroter pour les différencier et quand est-ce que ce n'est pas la peine.


Fritz
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par Niht le Lun 22 Fév - 21:28

@Gryphe a écrit:
@Fritz a écrit:Oui: (1;1) (1;2) (1;3) ... (1;6) (2;2) (2;3) .... (2;6) (3;3) (3;4) ... (3;6) (4;4) etc.... Soit 21 résultats ici (que je n'ai pas tous marqué).

Pourquoi est-ce que tu ne retiens pas (2;1), (3;1), (3;2), etc. ?

A cause de l'indiscernabilité des dés. Faire une différence entre (1;2) et (2;1) n'a pas de sens.

Niht
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par Fritz le Lun 22 Fév - 21:30

@Gryphe a écrit:
@Fritz a écrit:Oui: (1;1) (1;2) (1;3) ... (1;6) (2;2) (2;3) .... (2;6) (3;3) (3;4) ... (3;6) (4;4) etc.... Soit 21 résultats ici (que je n'ai pas tous marqué).

Pourquoi est-ce que tu ne retiens pas (2;1), (3;1), (3;2), etc. ?

A cause de la notion de "indiscernables", je partais du principe que ce qui compte c'est le résultat "photo": un 2 et un 3 et pas d'abord un 2 et ensuite un 3. Mais je viens de comprendre que mon raisonnement était faux.

Fritz
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par JPhMM le Lun 22 Fév - 21:30

@Niht a écrit:
@Gryphe a écrit:
@Fritz a écrit:Oui: (1;1) (1;2) (1;3) ... (1;6) (2;2) (2;3) .... (2;6) (3;3) (3;4) ... (3;6) (4;4) etc.... Soit 21 résultats ici (que je n'ai pas tous marqué).

Pourquoi est-ce que tu ne retiens pas (2;1), (3;1), (3;2), etc. ?

A cause de l'indiscernabilité des dés. Faire une différence entre (1;2) et (2;1) n'a pas de sens.
Sauf que P((1;2) ou (2;1)) n'est pas égal à P(1;1).

_________________
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par JPhMM le Lun 22 Fév - 21:32

@Fritz a écrit:D'accord merci.

Mais si on prend un exercice de ce type là:
"Si une urne contient 3 boules vertes, 2 boules rouges et une boule bleue, et qu'on tire successivement et avec remise 2 boules."

Dans ce cas il faut numéroter les boules V1, V2, V3, R1, R2 et B, c'est bien ça?

Mon problème c'est que je ne crois pas encore avoir compris quand est-ce qu'il y a besoin de les numéroter pour les différencier et quand est-ce que ce n'est pas la peine.

Ce n'est pas nécessaire car : P(Vert) = P(V1) + P(V2) + P(V3) = 3/6

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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par Niht le Lun 22 Fév - 21:33

@JPhMM a écrit:
@Niht a écrit:
@Gryphe a écrit:
@Fritz a écrit:Oui: (1;1) (1;2) (1;3) ... (1;6) (2;2) (2;3) .... (2;6) (3;3) (3;4) ... (3;6) (4;4) etc.... Soit 21 résultats ici (que je n'ai pas tous marqué).

Pourquoi est-ce que tu ne retiens pas (2;1), (3;1), (3;2), etc. ?

A cause de l'indiscernabilité des dés. Faire une différence entre (1;2) et (2;1) n'a pas de sens.
Sauf que P((1;2) ou (2;1)) n'est pas égal à P(1;1).

Je me répète, je suis d'accord ! Very Happy

Niht
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par JPhMM le Lun 22 Fév - 21:35

@Niht a écrit:
@JPhMM a écrit:
@Niht a écrit:
@Gryphe a écrit:

Pourquoi est-ce que tu ne retiens pas (2;1), (3;1), (3;2), etc. ?

A cause de l'indiscernabilité des dés. Faire une différence entre (1;2) et (2;1) n'a pas de sens.
Sauf que P((1;2) ou (2;1)) n'est pas égal à P(1;1).

Je me répète, je suis d'accord ! Very Happy
Je sais bien. Very Happy
Je me répétais car si quelqu'un n'est pas à l'aise avec des événements équiprobables, je pense qu'il ne faut pas commencer à lui parler d'événements non-équiprobables (sauf pour lui dire de les éviter tant que les situations équiprobables ne sont pas maîtrisées).

_________________
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par JPhMM le Lun 22 Fév - 21:37

PS : je viens de m'apercevoir que c'est ce que je fais en lui conseillant de ne pas numéroter les boules. Laughing
Mea maxima culpa. Wink

_________________
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par JPhMM le Lun 22 Fév - 21:38

@Fritz a écrit:
@Gryphe a écrit:
@Fritz a écrit:Oui: (1;1) (1;2) (1;3) ... (1;6) (2;2) (2;3) .... (2;6) (3;3) (3;4) ... (3;6) (4;4) etc.... Soit 21 résultats ici (que je n'ai pas tous marqué).

Pourquoi est-ce que tu ne retiens pas (2;1), (3;1), (3;2), etc. ?

A cause de la notion de "indiscernables", je partais du principe que ce qui compte c'est le résultat "photo": un 2 et un 3 et pas d'abord un 2 et ensuite un 3. Mais je viens de comprendre que mon raisonnement était faux.
Je crois qu'il faut partir du principe que des dés sont toujours discernables. Tout dépend de l'acuité de ton organe de vision. Razz

_________________
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par Niht le Lun 22 Fév - 21:40

@JPhMM a écrit:
@Niht a écrit:
@JPhMM a écrit:
@Niht a écrit:

A cause de l'indiscernabilité des dés. Faire une différence entre (1;2) et (2;1) n'a pas de sens.
Sauf que P((1;2) ou (2;1)) n'est pas égal à P(1;1).

Je me répète, je suis d'accord ! Very Happy
Je sais bien. Very Happy
Je me répétais car si quelqu'un n'est pas à l'aise avec des événements équiprobables, je pense qu'il ne faut pas commencer à lui parler d'événements non-équiprobables (sauf pour lui dire de les éviter tant que les situations équiprobables ne sont pas maîtrisées).

Je crois que je suis fatiguée Very Happy

Niht
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par JPhMM le Lun 22 Fév - 21:41

@Niht a écrit:
@JPhMM a écrit:
@Niht a écrit:
@JPhMM a écrit:
Sauf que P((1;2) ou (2;1)) n'est pas égal à P(1;1).

Je me répète, je suis d'accord ! Very Happy
Je sais bien. Very Happy
Je me répétais car si quelqu'un n'est pas à l'aise avec des événements équiprobables, je pense qu'il ne faut pas commencer à lui parler d'événements non-équiprobables (sauf pour lui dire de les éviter tant que les situations équiprobables ne sont pas maîtrisées).

Je crois que je suis fatiguée Very Happy
En lisant le message qui suit celui que tu as mis en citation, tu verras que moi aussi. Laughing

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

JPhMM
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par Fritz le Lun 22 Fév - 21:46

@JPhMM a écrit:PS : je viens de m'apercevoir que c'est ce que je fais en lui conseillant de ne pas numéroter les boules. Laughing
Mea maxima culpa. Wink

Aie! Donc il faut les numéroter ou il ne faut pas? Laughing

L'exercice sur lequel je m'entraine est exactement celui-ci: "Une urne contient trois boules vertes portant chacune le numéro 0 , deux boules rouges portant chacune le numéro 5 et une boule bleue portant le numéro tel a que a entier différent de 0, 5 et 10. On tire au hasard, successivement
et avec remise, deux boules de l’urne. La variable aléatoire X associe à chaque issue la somme des numéros sortis.

Calculer a pour que l’espérance de X soit égale à 6 puis déterminer, pour cette valeur de a, l’écart-type de X.

Pour faire la loi de probabilité dans un premier temps, p(X)=0 c'est p(VV) donc 3/6*3/6=9/36. C'est ça? Donc pas besoin de numéroter les boules.

Fritz
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par Niht le Lun 22 Fév - 21:47

@JPhMM a écrit:
@Niht a écrit:
@JPhMM a écrit:
@Niht a écrit:

Je me répète, je suis d'accord ! Very Happy
Je sais bien. Very Happy
Je me répétais car si quelqu'un n'est pas à l'aise avec des événements équiprobables, je pense qu'il ne faut pas commencer à lui parler d'événements non-équiprobables (sauf pour lui dire de les éviter tant que les situations équiprobables ne sont pas maîtrisées).

Je crois que je suis fatiguée Very Happy
En lisant le message qui suit celui que tu as mis en citation, tu verras que moi aussi. Laughing

Laughing

Niht
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par Moonchild le Lun 22 Fév - 21:49

la différence de probabilité entre faire 6 et 6 en jetant 2 dés simultanément et faire 6 et 6 en lançant 2 fois le même dé.
La différence, si je ne m'abuse réside dans le fait que dans le cas de deux dés lancés simultanément, ils sont indiscernables et donc, on ne doit pas faire la différence entre, par exemple, les couples (3;4) et (4;3), alors que pour un même dé lancé 2 fois de suite, on doit différencier (3;4) et (4;3), c'est bien cela?
En fait ça dépend.

Si on lance deux fois le même dé mais sans tenir compte de l'ordre d'arrivée des numéros, alors cela revient exactement au même que de lancer simultanément deux dés car, dans ce cas, les couples (3;4) et (4;3) donnent le même résultat : {3;4}.
En revanche, si on tient compte de l'ordre d'arrivée des numéros, les couples (3;4) et (4;3) ne donnent pas le même résultat.

Mais de toute manière, qu'on lance simultanément les deux dés (indiscernables ou pas) ou qu'on les lance successivement (en tenant ou non compte de l'ordre), dans la première phase du raisonnement on les distingue (soit par une couleur fictive, soit par le rang du lancer) et on dénombrera donc 36 issues équiprobables correspondant à des couples d'entiers compris entre 1 et 6 et les probabilités se compteront en multiples de 1/36.
Ce n'est que dans un deuxième temps du raisonnement que l'on identifiera si nécessaire certaines issues dans le cas où l'énoncé considère les dés comme indiscernables (les couples (3;4) et (4;3) donnent le résultat {3;4}) et on a alors 21 issues non équiprobables (6 issues du type {i;i} avec une probabilité de 1/36 et 15 issues du type {i;j} (où i < j) avec une probabilité de 2/36).


Et si une urne contient 3 boules blanches et une boule noire et que l'on tire successivement sans remise les 4 boules et que l'on s'intéresse au rang de la boule noire, il faut aussi numéroter les boules blanches? (c'est un tirage avec ordre et sans remise de 4 objets parmi 4? et on considère qu'il y a 24 issues?)
Là, l'idée est la même : dans tous les cas, on commence le raisonnement par faire une distinction fictive entre les boules blanches (par exemple B1, B2 et B3) et c'est normal puisque dans la réalité ce ne sont pas les mêmes boules, ce que l'on peut représenter avec un arbre donnant 24 issues possibles et équiprobables.
Dans un second temps, pour le problème posé, on se fiche complètement de la distinction entre B1, B2 et B3, donc on peut rendre invisible cette distinction mais à condition de ne pas oublier qu'alors les issues obtenues ne sont pas nécessairement équiprobables ; on peut représenter la situation par un arbre simplifié (moins de branches) mais pondéré.


Dernière édition par Moonchild le Lun 22 Fév - 21:51, édité 1 fois

Moonchild
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par JPhMM le Lun 22 Fév - 21:50

Lol.

D'où il vient cet exercice ?

_________________
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par Moonchild le Lun 22 Fév - 21:56

@Fritz a écrit:
@JPhMM a écrit:PS : je viens de m'apercevoir que c'est ce que je fais en lui conseillant de ne pas numéroter les boules. Laughing
Mea maxima culpa. Wink

Aie! Donc il faut les numéroter ou il ne faut pas? Laughing

L'exercice sur lequel je m'entraine est exactement celui-ci: "Une urne contient trois boules vertes portant chacune le numéro 0 , deux boules rouges portant chacune le numéro 5 et une boule bleue portant le numéro tel a que a entier différent de 0, 5 et 10. On tire au hasard, successivement
et avec remise, deux boules de l’urne. La variable aléatoire X associe à chaque issue la somme des numéros sortis.

Calculer a pour que l’espérance de X soit égale à 6 puis déterminer, pour cette valeur de a, l’écart-type de X.

Pour faire la loi de probabilité dans un premier temps, p(X)=0 c'est p(VV) donc 3/6*3/6=9/36. C'est ça? Donc pas besoin de numéroter les boules.
Dans cet exercice, il est essentiel de numéroter les boules puisqu'on fait la somme des numéros ; mais, comme il y a bijection entre les numéros et les couleurs, la distinction des couleurs est une donnée redondante.

Moonchild
Expert


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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par JPhMM le Lun 22 Fév - 21:58

@Fritz a écrit:
@JPhMM a écrit:PS : je viens de m'apercevoir que c'est ce que je fais en lui conseillant de ne pas numéroter les boules. Laughing
Mea maxima culpa. Wink

Aie! Donc il faut les numéroter ou il ne faut pas? Laughing

L'exercice sur lequel je m'entraine est exactement celui-ci: "Une urne contient trois boules vertes portant chacune le numéro 0 , deux boules rouges portant chacune le numéro 5 et une boule bleue portant le numéro tel a que a entier différent de 0, 5 et 10. On tire au hasard, successivement
et avec remise, deux boules de l’urne. La variable aléatoire X associe à chaque issue la somme des numéros sortis.

Calculer a pour que l’espérance de X soit égale à 6 puis déterminer, pour cette valeur de a, l’écart-type de X.

Pour faire la loi de probabilité dans un premier temps, p(X)=0 c'est p(VV) donc 3/6*3/6=9/36. C'est ça? Donc pas besoin de numéroter les boules.
Les couleurs "ne servent à rien" dans l'exercice pour faire la somme. Seules les valeurs affichées sur les boules sont des données.

_________________
Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par Fritz le Lun 22 Fév - 22:17

@JPhMM a écrit:Lol.

D'où il vient cet exercice ?

De là. Je cherchais des réponses à mes questions et j'ai trouvé cet exo corrigé. Mais je ne comprenais pas pourquoi ils numérotaient les boules...

http://www.sos-devoirs-corriges.com/images/exercices-corriges-maths/lycee-1ere-S/probabilites-problemes-1ere.pdf

Fritz
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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par JPhMM le Lun 22 Fév - 22:18

Effectivement  Laughing
L'art de couper les cheveux en quatre dans cette correction.
En quelques signes (pardon pour les approximations de la rédaction, j'écris ça très vite).

P(B=0)=3/6=1/2
P(B=5)=2/6=1/3
P(B=a)=1/6

E(2B) = 2 x (0 x 1/2 + 5 x 1/3 + a x 1/6) = 2 x (5/3+a/6)=(10+a)/3 = 6
D'où a = 8.

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Labyrinthe où l'admiration des ignorants et des idiots qui prennent pour savoir profond tout ce qu'ils n'entendent pas, les a retenus, bon gré malgré qu'ils en eussent. D'ailleurs, il n'y a point de meilleur moyen pour mettre en vogue ou pour défendre des doctrines étranges et absurdes, que de les munir d'une légion de mots obscurs, douteux , et indéterminés. Ce qui pourtant rend ces retraites bien plus semblables à des cavernes de brigands ou à des tanières de renards qu'à des forteresses de généreux guerriers. Que s'il est malaisé d'en chasser ceux qui s'y réfugient, ce n'est pas à cause de la force de ces lieux-là, mais à cause des ronces, des épines et de l'obscurité des buissons dont ils sont environnés. Car la fausseté étant par elle-même incompatible avec l'esprit de l'homme, il n'y a que l'obscurité qui puisse servir de défense à ce qui est absurde. — John Locke

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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par mathmax le Lun 22 Fév - 22:29

Il y a deux numéros dont il faut faire la somme non ? Dans ce cas,

P (0) = 1/2*/2
P(5)=2*1/2*1/3
P(10)=1/3*1/3
p(2a)=1/6*1/6
p(a)=2*1/2*1/6
p(5+a)=2*1/3/*1/6

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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par JPhMM le Lun 22 Fév - 22:32

Faire
E(Le résultat d'une boule)=3 ou E(La somme des deux boules)=6 est équivalent, par linéarité de l'intégrale, puisqu'il y a remise ici.
D'où mon E(2B)=2E(B)=6

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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par mathmax le Lun 22 Fév - 22:33

Bon, je me rendors, JPh a raison, ce n'est pas la peine de se compliquer la vie (si on sait que E(2X) = 2E(X), je ne sais plus si c'est le cas en 1ère).

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Re: Probabilités : quand numéroter les boules?

Message par mathmax le Lun 22 Fév - 22:34

Nos messages se sont croisés !

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