Entre rigueur et simplification (dérivée)

+1 !

leskhal a écrit:(cos(x))' est très dérangeant à mon avis, même si certains profs le pratiquent, par contre
cos'(x) est correct.
Du coup, pour écrire (2x+1)', il faut poser, pour être correct, u(x)=2x+1...
C'est lourd, mais c'est le prix de l'exemplarité pour ne pas confondre fonction et expression d'une fonction.
Après chacun fait ce qu'il veut, les inspecteurs s'en foutent, chacun reste face à son éthique de notation...

Sauf que "nos" élèves vont avec un autre prof après nous, ou auront un correcteur potentiellement "sacqueur" le jour du bac, alors évitons autant que possible les notations exotiques (fussent-elles historiques) ou sujettes à caution, ce n'est pas leur rendre service. Les inspecteurs n'ont guère plus d'avis sur les maths, préoccupés qu'ils sont par d'autres tâches plus exaltantes, profitons-en pour nous mettre d'accord entre nous :lol:

Hélips a écrit:

JPhMM a écrit:Même certaines conventions d'écriture ne sont pas très correctes. Ainsi, le cos²(x), pour (cos(x))² , m'a toujours dérangé.

Alors là, je ne vois pas où est le problème !

VinZT a écrit:[... ou auront un correcteur potentiellement "sacqueur" le jour du bac...

Ha ! Ha ! Très drôle...

VinZT a écrit:

JPhMM a écrit:

VinZT a écrit:

BR a écrit:
Notez que je tiens à ce que mes élèves ne retiennent pas la dérivée de la fonction racine carrée, mais qu'ils la retrouvent à partir des dérivées des fonctions puissances.

Les puissances non entières ne sont plus au programme, cela dit ...

Qui n'a pas utilisé x^1/2 pour retenir la formule ?

Au stade algébrique où en sont nos élèves, j'aime autant qu'ils apprennent la dérivée de racine(x). Les puissances fractionnaires, qui deviennent négatives en dérivant, deux bonnes raisons de boire contrex faire des conneries dans les calculs. Des choses qui nous paraissent triviales créent trop souvent de la confusion (et ils n'en ont pas besoin). Après, si un élève l'utilise à bon escient, je ne vais rien lui dire. Mais pour les autres, ceux qui ne savent pas que multiplier par 2 est la réciproque de la division par 2, oui, je préfère qu'ils apprennent une formule en plus.

Oui, je sais bien.

Jean-charles a écrit:

VinZT a écrit:[... ou auront un correcteur potentiellement "sacqueur" le jour du bac...

Ha ! Ha ! Très drôle...

Ben, pas tant que ça j'en croise chaque année, qui pinaillent à tout va, même après l'harmonisation, et dont les lots sont systématiquement inférieurs aux autres (petite académie, on finit par se connaître). Quoiqu'on pense du bac actuel (et je n'en pense pas grand chose de bien) et du niveau des élèves, on ne peut pas décider de n'en faire qu'à sa tête au moment de la correction.
Remarque que les IPR après ne convoquent plus ces collègues-là pour corriger le bac S, ils s'en vont sévir ailleurs. C'est peut-être une stratégie pour partir en vacances plus tôt d'ailleurs

VinZT a écrit:

JPhMM a écrit:

VinZT a écrit:

BR a écrit:
Notez que je tiens à ce que mes élèves ne retiennent pas la dérivée de la fonction racine carrée, mais qu'ils la retrouvent à partir des dérivées des fonctions puissances.

Les puissances non entières ne sont plus au programme, cela dit ...

Qui n'a pas utilisé x^1/2 pour retenir la formule ?

Au stade algébrique où en sont nos élèves, j'aime autant qu'ils apprennent la dérivée de racine(x). Les puissances fractionnaires, qui deviennent négatives en dérivant, deux bonnes raisons de boire contrex faire des conneries dans les calculs. Des choses qui nous paraissent triviales créent trop souvent de la confusion (et ils n'en ont pas besoin). Après, si un élève l'utilise à bon escient, je ne vais rien lui dire. Mais pour les autres, ceux qui ne savent pas que multiplier par 2 est la réciproque de la division par 2, oui, je préfère qu'ils apprennent une formule en plus.

Ah ouais quand même.
(Ceci dit, ça ne m'étonne même plus.)

VinZT a écrit:

JPhMM a écrit:

VinZT a écrit:

BR a écrit:
Notez que je tiens à ce que mes élèves ne retiennent pas la dérivée de la fonction racine carrée, mais qu'ils la retrouvent à partir des dérivées des fonctions puissances.

Les puissances non entières ne sont plus au programme, cela dit ...

Qui n'a pas utilisé x^1/2 pour retenir la formule ?

Au stade algébrique où en sont nos élèves, j'aime autant qu'ils apprennent la dérivée de racine(x). Les puissances fractionnaires, qui deviennent négatives en dérivant, deux bonnes raisons de boire contrex faire des conneries dans les calculs. Des choses qui nous paraissent triviales créent trop souvent de la confusion (et ils n'en ont pas besoin). Après, si un élève l'utilise à bon escient, je ne vais rien lui dire. Mais pour les autres, ceux qui ne savent pas que multiplier par 2 est la réciproque de la division par 2, oui, je préfère qu'ils apprennent une formule en plus.

D'autant plus que beaucoup d'élèves ne savent même pas vraiment ce qu'est une puissance entière, surtout si elle est négative, et ne comprennent/retiennent que très approximativement les règles de calculs sur les puissances.

En plus la définition des puissances fractionnaires peut en elle-même devenir problématique quand on passe par les fonctions racine n-ième : lorsque n est impair le théorème de bijection inciterait à définir la fonction racine n-ième sur R, mais avec les puissances fractionnaires, on est rétrospectivement amené à se restreindre à l'ensemble des réels positifs pour assurer la cohérence des formules (choix qui est conforté par la définition d'une puissance réelle par exponentielle et logarithme). Et pourtant, quand on tape (-8)^(1/3) sur la calculatrice, ça donne bien -2. En l'état actuel, la plupart des élèves de lycée n'est pas capable de gérer ces ambiguïtés.

Moonchild a écrit:
D'autant plus que beaucoup d'élèves ne savent même pas vraiment ce qu'est une puissance entière, surtout si elle est négative, et ne comprennent/retiennent que très approximativement les règles de calculs sur les puissances.

En plus la définition des puissances fractionnaires peut en elle-même devenir problématique quand on passe par les fonctions racine n-ième : lorsque n est impair le théorème de bijection inciterait à définir la fonction racine n-ième sur R, mais avec les puissances fractionnaires, on est rétrospectivement amené à se restreindre à l'ensemble des réels positifs pour assurer la cohérence des formules (choix qui est conforté par la définition d'une puissance réelle par exponentielle et logarithme). Et pourtant, quand on tape (-8)^(1/3) sur la calculatrice, ça donne bien -2. En l'état actuel, la plupart des élèves de lycée n'est pas capable de gérer ces ambiguïtés.

Que les définitions sur les puissances fractionnaires soit problématique est évident; mais ce n'est pas une raison pour ne pas adopter la notation puissance pour les racines carrées et les racines cubiques, puisqu'elles permet d'unifier les formules de dérivation de ces fonctions avec celles des puissances entières. Le principe de simplicité devrait prévaloir : pourquoi retenir deux formules (puissances entière et racine carrées), oublier une troisième (racine cubique) quand une seule formule suffirait ?

L'objection avec la racine cubique me semble d'ailleurs un peu spécieuse, puisque la fonction racine cubique n'existe pas au lycée (il ne me semble ni qu'elle soit citée dans les programmes, ni qu'elle ait jamais fait l'objet d'une quelconque question au Baccalauréat depuis le début troisième millénaire)

Rigueur et simplification.

Je croyais que le topic portait sur la loi El Khomri

:lol:

BR a écrit:L'objection avec la racine cubique me semble d'ailleurs un peu spécieuse, puisque la fonction racine cubique n'existe pas au lycée (il ne me semble ni qu'elle soit citée dans les programmes, ni qu'elle ait jamais fait l'objet d'une quelconque question au Baccalauréat depuis le début troisième millénaire)

Les racines n-ième, définies pour les x positifs sous la forme x^1/n, servent à calculer des taux d'évolution moyens, et sont donc au programme en STMG. Par ailleurs les élèves de ES apprécient qu'on leur en parle, puisqu'ils doivent résoudre des équations du type xⁿ=a, théoriquement en passant par l'application d'un logarithme puis d'une exponentielle.
Les fonctions ne sont pas étudiées en tant que telles, mais la notation et leur utilisation l'est.


Une petite perle de ce matin, qui m'a fait penser à ce fil : il fallait calculer f'(-2), f étant un polynôme bien défini.
Un élève : "Ben c'est 0, madame, la dérivée de -2."

BR a écrit:

Moonchild a écrit:
D'autant plus que beaucoup d'élèves ne savent même pas vraiment ce qu'est une puissance entière, surtout si elle est négative, et ne comprennent/retiennent que très approximativement les règles de calculs sur les puissances.

En plus la définition des puissances fractionnaires peut en elle-même devenir problématique quand on passe par les fonctions racine n-ième : lorsque n est impair le théorème de bijection inciterait à définir la fonction racine n-ième sur R, mais avec les puissances fractionnaires, on est rétrospectivement amené à se restreindre à l'ensemble des réels positifs pour assurer la cohérence des formules (choix qui est conforté par la définition d'une puissance réelle par exponentielle et logarithme). Et pourtant, quand on tape (-8)^(1/3) sur la calculatrice, ça donne bien -2. En l'état actuel, la plupart des élèves de lycée n'est pas capable de gérer ces ambiguïtés.

Que les définitions sur les puissances fractionnaires soit problématique est évident; mais ce n'est pas une raison pour ne pas adopter la notation puissance pour les racines carrées et les racines cubiques, puisqu'elles permet d'unifier les formules de dérivation de ces fonctions avec celles des puissances entières. Le principe de simplicité devrait prévaloir : pourquoi retenir deux formules (puissances entière et racine carrées), oublier une troisième (racine cubique) quand une seule formule suffirait ?

L'objection avec la racine cubique me semble d'ailleurs un peu spécieuse, puisque la fonction racine cubique n'existe pas au lycée (il ne me semble ni qu'elle soit citée dans les programmes, ni qu'elle ait jamais fait l'objet d'une quelconque question au Baccalauréat depuis le début troisième millénaire)

Même si elle est sans doute efficace comme procédé mnémotechnique (encore que le problème de calcul avec les puissances négatives soulevé par VinZT risque d'en limiter la pertinence), je reste très circonspect quant à une unification des formules présentée sans que les élèves soient réellement en mesure d'en comprendre les tenants et les aboutissants. Après on peut toujours objecter que, de toutes façons, la plupart d'entre eux ne connaissent pas vraiment non plus la définition correcte de la racine carrée et que ce n'est donc pas bien grave qu'on la note puissance 1/2.

Sans compter qu'en plus, ils ont déjà du mal à croire que la formule de dérivation des puissances positives et des puissances négatives est la même...

C'est bizarre.
Nous l'avions compris immédiatement. Cela nous permettait de ne plus avoir à apprendre l'expression de la dérivée de la fonction inverse.

Moonchild a écrit:
Même si elle est sans doute efficace comme procédé mnémotechnique (encore que le problème de calcul avec les puissances négatives soulevé par VinZT risque d'en limiter la pertinence), je reste très circonspect quant à une unification des formules présentée sans que les élèves soient réellement en mesure d'en comprendre les tenants et les aboutissants. Après on peut toujours objecter que, de toutes façons, la plupart d'entre eux ne connaissent pas vraiment non plus la définition correcte de la racine carrée et que ce n'est donc pas bien grave qu'on la note puissance 1/2.

Est ce donc cette même raison qui préside au choix baroque de faire retenir aux élèves mille et une formules pour dériver, tantôt exp(f(x)), tantôt ln(f(x)), puis f(x)^n, puis racine(f(x)), f(ax+b) etc... plutôt que la formule générale de dérivation des fonctions composées ?

Et qui impose de faire calculer l'espérance de la loi exponentielle en ayant bien prix soin de supprimer la formule d'intégration par parties du programme ?

JPhMM a écrit:C'est bizarre.
Nous l'avions compris immédiatement. Cela nous permettait de ne plus avoir à apprendre l'expression de la dérivée de la fonction inverse.

Oui j'ai été surprise la première fois
-"dans votre livre, on a séparé les deux formules, mais enfin, bon, on est d'accord, c'est la même"
-" :shock: "
-"si si, regardez"
et je n'ai eu que peu de " "

La deuxième fois, j'ai pris soin de tout écrire pour faire la comparaison. Au bout de 15 ans, je m'obstine, en me disant que si j'économise le cerveau de 4 élèves, c'est toujours ça de pris.

Le problème semble qu'il leur faut du temps pour comprendre que 1/x^(n+1) est bien la même chose que x^(k-1) avec k=-n

Je fais systématiquement cette remarque, mais certains persistent à préférer apprendre 3 formules (dérivée de l'inverse, de la puissance n-e pour n positif et négatif) plutôt que d'utiliser à fond une seule formule.

De plus, malgré mon refus de fournir un tableau de primitives (il suffit de bien connaître son tableau de dérivées) certains préfèrent apprendre 6 formules (3 pour les dérivées et 3 pour les primitives) qu'ils oublient au bout de 15 jours et qui viennent bourrer leur calculatrice.

On a les mêmes et je m'obstine aussi.

Utiliser une seule formule n'est pas seulement économique, c'est aussi élégant, et cette élégance-là a un sens mathématique ici.

Il y a une confusion qui est créée par les programmes sur la nature de l'activité mathématique. Faire des mathématiques, ce n'est pas apprendre des formules et les appliquer. Faire des mathématiques, c'est étudier les propriétés des objets d'études et comprendre les liens, les interactions, les ressemblances et les différences entre eux. N'apprendre qu'une seule formule est possible quand le lien entre les racines et les puissances a été fait, étudié, compris et digéré. Je comprends les élèves qui préfèrent apprendre trois formules plutôt que d'essayer d'appliquer aux racines des formules de puissances sans comprendre vraiment le lien entre les deux. Ils ne font pas vraiment des mathématiques, mais c'est parce que le programme ne le leur permet pas.

A partir du moment ou on sait dériver exp(f(x)), on peut, dès que x>0, écrire que
x^a = exp( a . ln(x) ). Mais bon transformé une fonction avant de la dériver ... faut pas trop rêver